Розроблення критерію технологічної міцності для гігроскопічних матеріалів змінної маси та температури Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. ТЕХНОЛОГ1Я ТА УСТАТКУВАННЯ Л1СОВИРОБНИЧОГО КОМПЛЕКСУ

УДК 634.0.812 Доц. Б.П. Поберейко, канд. техн. наук -

НЛТУ Украти, м. nbsis

РОЗРОБЛЕННЯ КРИТЕР1Ю ТЕХНОЛОГ1ЧНО1 МЩНОСТ1 ДЛЯ Г1ГРОСКОП1ЧНИХ МАТЕР1АЛ1В ЗМ1ННО1 МАСИ

ТА ТЕМПЕРАТУРИ

Виведено р1вняння балансу ентропп для гiгроскопiчних матерiалiв змшно" ма-си i температури та на його основ1 отримано критерш технологично" мiцностi для ви-сушуваних пиломатеpiалiв.

Assoc. prof. B.P. Pobereyko-NUFWTof Ukraine, L'viv

Development of criterion of technological durability for hygroscopic materials of variable mass and temperature

Equalization of balance of is shown out for hygroscopic materials of variable mass and temperature and on his basis the criterion of technological durability is got for the dried saw-timbers out.

Вихщш положення побудови критерш технолопчно1 мщносп та 1х обгрунтування. Для виведення технолопчного критерш мщносп узагаль-нимо методологда побудови вщомих ентропшних кpитеpiiв довгочасноi мщносп твердих тш 3i сталим об'емом на випадок, коли його змшою знехтувати не можна. Доцшьшсть ii застосування обгрунтовуеться тим, що такий шдхщ виршення задач1 дае змогу оцшити вплив змши геометричних характеристик на змшу густини ентропп деформованого матер1алу [1, 2]. Понад це, оскшьки цей вплив зумовлений тепломасообмшними процесами, законом1рност1 пере-б1гу яких вже описаш [3, 4], то використання ще" методики е не лише доцшь-ним, але i можливим. Тому, виходячи 1з зазначених м1ркувань та основних положень побудови вщомих ентpопiйних кpитеpiiв мщносп, у цiй pоботi ви-ршено такi задачi: 1) виведено piвняння балансу ентpопii для матеpiалiв змшно" маси i об'ему; 2) визначено з цього piвняння залежнiсть густини ентропп вщ характеристик pелаксацiйно-дефоpмiвних i тепломасообмiнних пpоцесiв; 3) обмежено отриману залежшсть умовою [1], яку покладено в основу сучасних ентропшних критерпв мiцностi та 4) на основi отримано!" не-piвностi знайдено гpаничнi значення напружень для пружно" та в'язкопруж-но" областей деформування висушуваноi деревини.

Виведення рiвняння балансу ентропп. У пpоцесi гiдpотеpмiчного оброблення маса та об'ем пгроскошчних матеpiалiв е змiнними величинами [3]. Густина внутршньо" енеpгii Е таких тш е залежною вiд "х густини р, по-лiв дефоpмацiй Sj та густини ентропп S

E = E(S, p,sj). (1)

Повний диференщал функци Е (S, р,е") визначаеться виразом

3 3

СЕ = (дЕ/д8С8 + Ц (дЕ/де" ) Се" + (дЕ/д8сС р,

I=1" =1 ' "

(2)

де, за даними дослщжень [1], (дЕ/38) = Т - термодинамiчна температура

матерiалу; (дЕ/де")8 = ст„р - пружна складова полiв напружень.

Тому, з урахуванням зазначеного, формула (1) запишеться у виглядi

(3)

3 3

СЕ = Ш + Ц + цСр,

I=1"=1

де м = (дЕ/др)8 е - хiмiчний потенцiал (у цьому випадку масовий).

Виразимо величини Е та 8 через 1х питомi значення е = Е / р та 5 = 8 / р. Для цього подшимо (3) на р

СЕ „р. С р

— = Т — +—XI а„РСе" + М~

р р р I=1"=1 р

(4)

С

\р)

Виразимо СЕ/р, С8/р та Се"/р через С(Е/р), С(8/р), С("р):

Е1 = рСЕ - ЕС р = СЕ ЕС р = СЕ С р ; ^р) р2 р р р р р '

рСе" - еуСр = Се" е" Ср

С

рС8 - 8С р = С8 8 С р = С8 С р С

Г ----5 ; С

р р р р р Шдставимо (5)-(6) у (2)

3 3

р

\р;

р

р р р

(5)

(6)

________(7)

р I =1"=1

Перенесемо другий доданок лiвоl частини рiвняння (7) у праву части-ну та згрупуемо у правш частинi одержаного рiвняння доданки з множника-ми др/ р, тодi матимемо

ае + ерТС5 + Т^ + ХХ^С(ефХ Х""^^Ср

р р I=1"=1 \р ) I=1"=1 р р р

3 3

Се = ТС5 + ХХ°„РС ("■/ р) +

I=1"=1

3 3

М + ХХ^/ р-е + Т5

I=1"=1

С р Р

(8)

Величина дрр характеризуе вщносну змшу маси матерiалу. За даними дослщжень [4]

С рр = цСт/р, (9)

де ц(т) - кшьюсть вологи, яка втрачаеться нескшченно малим об'емом мате-рiалу у момент часу т, тобто

С (рАУ)

ц (т)Ст = Нш

4 ' ау^о АУ

(10)

1з (9) випливае, що вiдносна змiна маси матерiалу Ср/р е залежною вiд часу. Тод^ з огляду на (8), залежшсть питомо! внутршньо1 енерги висушува-но! деревини вiд часу сушiння т е явною. Але, за ще1 умови, не виконуеться

^инцип лoкальнoï piвнoваги: 6удь-який теpмoдинамiчний пoтенцiал явнo не залежить вiд часy т [5]. ToMy для yсyнення ще1* сyпеpечнoстi неoбхiднo ^и-пустити, шр

J + t 17jsjlp-e + Ts = 0. (11)

i=1 j=1

Звiдси, сшввщшшення Гiббса для деpевини зi змшним вoлoгoвмiстoм мае вигляд

Tds = de -t 17jd (J p), (12)

i=1 j=1

а хiмiчний штенщал визначаеться за фopмyлoю

j = e - Ts-t 17faj¡p. (13)

i=1 j=1

Пiдставимo (9) y (V) та псмнсжимс oтpиманий pезyльтат на p. Toдi матимемo

3 3 3 3

pde + qedт = T (pds + qsd^ + Jlqdт + pt 17<JPd (sj/p) + qt t (ifsijl py-т . (14)

i=1 J=1 i=1 J=1

A6o, з вpахyванням piвняння неpoзpивнoстi для пoтoкy Jem вoлoги [3]

q = dp + pdivu = -divjвол, (15)

ат

pde + qedт = T (pds + sdp + spd¡vudт^) + Juqdт +

+

117jpd \ +11 < pp + t t <7Sydivod^ К i=1 j=1 К p J i=1 j=1 p i=1 j=1

(16)

де и - швидюсть pyxy матеpiальних тoчoк сyцiльнoгo сеpедoвища. Звiдси, oскiльки

pds + sdp = dps ; dp(ey/p) = pd(Jp) + (ej/p)dp, (1V)

то

3 3 3 3

pde + qedт = Tdps + Tpsd¡vudт + Juqdт + tt 7i¡p dsj + tt ' Sjd¡vudт . (1 S)

i=l j=l i=l j=l

1з тoтoжнoстi лiвиx частин oтpиманoгo piвняння та piвняння [4]

pp^T + qe = t 7k + div (ЛgradT - к]вол ) + ôpyY^ (19)

дт k=1 dxk 4 ' дт

пoмнoженoгo на dт витiкаe piвнiсть ïx пpавиx частин, тобто

3 3 3 3

Tdps + T psd¡vudт + Juqdт + tt 7пр dsj + tt 7rJjP sijd¡vudт = (20)

i=l j=l i=l j=l

= t<k —— + div (àgradT - hjвол )т + SpyYdL dт, k=1 dxk дт

де: h - питома ентальшя; Л- ^еф^е^т теплoпpoвiднoстi; у - питома теплoта випаpoвyвання (питoма теплoта фазoвoгo пеpеxoдy вoлoги з piдкoгo y газoпo-дiбний стан); ô - ^еф^е^т фазoвoгo пеpеxoдy для вoлoгoï деpевини.

Визначимо другий доданок суми право1 частини у (20). Для цього ско-ристаемося визначенням дивергенци векторно1 величини, правилами дифе-ренцiювання та залежностями [4]:

а" = а„р + о%; (21)

СыЩвоп = -цН + (]^тСк); (22)

С™к"вол = НС"Л + (]во^тСН); (23)

дН 1 р— + —

дт р

{п 3 3

^р+р.Т На"? е, =

к—т т дт)I=1"=1

= Х Х а е + СIV ЛгаСТ) - (вол graСH) + 5ру

I=1"=1 дт дт

(24)

де: ад - дисипативна складова полiв напружень, J- якобiан градiентiв руху

матерiальних точок суцiльного середовища. Тодi за допомогою нескладних математичних перетворень неважко показати, що

Су (ЛgraСT - Н"воЛ) = &у (ЛgraСT) - Нау"вол - СР ("воЛ^аСТ). (25)

Шдставимо (25) у (24), тодi матимемо

3 3 3 3

Т (С р5 + ря^иСт} + мцСт + ХХ а^Се" + Ц а„р'еуСуйСт =

I=1"=1 I =1"=1

= Хак + Су (ЛgraСT)т - Н&у]волСт - СР ("волgraСT)т + 8р>у-— Ст.

k=1 дхк 3т

(26)

Звщси, оскшьки зпдно з [4]

Ц = -Су"вол, (27)

то з врахуванням цього сшввщношення (26) запишеться у виглядi

3 3 3 3

Т (Ср5 + ряШуиСтТ + ХХ а"РСе" + ХХ а„Реу&уйСт =

I=1"=1 ¿=1"=1

Х ак+ Сгу(ЛgraСT)т +(Н-м)цСт -СР("волgraСT)т + 8ргу—-— Ст.

k=1 дх 3т

(28)

Дивергенцiя вектора и е залежною вiд деформiвного стану матерiалу та визначаеться формулою [3]

Суи= - Т. (29)

J Ст

Тому, пiдставивши цю формулу у (28), отримаемо

Г 33 1 ^ 33 1 СТ

ТСр5 +ХХа"Се" + Тр5 + Ца"е13 Т =

г =1"=1 ) V г'=1"=1 ) Т (30)

= Хак-— + Су(ЛgraСT)т +(Н-м)цСт -СР("волgraСT)т + 8р>у-дСт.

к=1 дхк дт

Невщому величину (Н-М)Ц знайдемо iз формули (13) та стввдаошень [4]:

d p p dJ

q _—+—— ;

dт J dт

X j du du.

t<k — =tt<kj ^

k=1 dxk k=1 J=1 dxk

(31)

(32)

Зодш з цими фopмyлами

(h-j)q _ e-tt

3 3 7nps.. ijij

3 3 7nPSj

i =1 j =1 P

e + Ts + tt.. i=l j=l P

d p i p dJ \ Ts dJ p J dт

+

dт J dт

(33)

To,ai, замiнивши y (30) дoданoк (h - j) q на в^аз T'l dJi P, oдеpжимo

J dт

Td ps +t t 7jdSij + T psJ + t t 7] Sj J - Ts dJ P

i=1J=1 J i=1 j=1

J J dт

t<k ■дudт + div (AgradT )dт- CP (]'волgradT )dт + Spyд—dт. k=l dxk v 1 дт

(34)

Пoдамo це piвняння y бiльш кoмпактнiй, пpoстiшiй фopмi записy. Для ^oro згpyпyeмo y йoгo лiвiй частит пеpший, тpетiй i четвеpтий дoданки та пеpетвopимo oтpиманий виpаз. У pезyльтатi матимемo тoтoжнiсть

Td ps + T psdJ - Ts dJ P = T (Jd ps + psdJ - sdJ p) = T pds. J J J

(35)

Для спpoщення суми y ^авш частиш piвняння (34) пoдамo ^туж-шсть пoлiв напpyжень у виглядi алгебpаïчнoï суми пoтyжнoстей пpyжниx та в'язких пoлiв напpyжень. Для цьoгo викopистаeмo фopмyли (21) та [4]

dsjk дт

_duj _ 1

dxk

du. + duk dxk dx

] J

Toдi пеpший дoданoк цieï суми запишеться y виглядi

3

du

3 3

t7k—_tt

7.

np dsij iJ

3 3 +tt

7

lJ

i=1 J=1

S

дт

k=1 dxk i=l j_1 дт Пiдставимo (35) та (37) y (34)

3 3 3 3 dJ

T pds +tt 7jdSj +tt 7n Sj J _

i=1 j=1 i=1 j=1

3 3 3 3

(36)

(37)

J

_tt7'nPdsij +tt7jdsj + div (AgradT )dт - CP (волgradT )т + ÔY~— dт.

i=l j=l ¡=1 j=l дт

Вщ o6ox частин oдеpжанoгo piвняння вiднiмемo пеpший дoданoк ви-p^y пpавoï частини, а oтpиманий pезyльтат пoмнoжимo на якoбiан гpадieнтiв pyxy матеpiальниx тoчoк су^льшто сеpедoвиша. Toдi, зважаючи на фopмyлy густини дефopмoванoгo матеpiалy з недефopмoваним [3, 4]

P_pHm.¡ J , (39)

(38)

матимемo

= 3

3 3

т рнтй5+ЕЕ =

Ы' = л (40)

3 3 ди

Е Е + (ЛgradT)т - СР ((волgradT + 8ру-с1т

V i=11 =1 дт ,

Другий доданок суми виразу у лiвiй частит рiвняння (2.40) характе-ризуе деяку фiзичну властивiсть деформованого матерiалу. Формально вiн визначаеться iз рiвняння нерозривностi потоку густини потенщально! енерги

1Е

3Еп

^пот

+ JEпотdivй = ^Увпот , (41)

dт

де епот - густина потоку потенщально! енерги 3Епот, яка дорiвнюе кiлькостi потенщально! енерги, що переноситься через одиничну площадку поверхш матерiалу за одиницю часу:

3 3

Епот = Е Е 1 ЕУ . (42)

I=11=1

Дшсно, оскiльки за формулою (29)

3 3 1 з г

, Еу^3 — EпотdJ — 3Епот " dт — (3Епот^^и)(^т ? (43)

I=11=1 3

то, з огляду на рiвняння (41), отримаемо

3 3

Е Е апрЕ= (JEпоmdivu)т = ^ (зЗЕпот) - diveпоm . (44)

I=11=1

Але, за фiзичною штерпретащею потенцiальна енергiя е залежною вщ взаемного розмiщення матерiальних точок сущльного середовища та характеру !х взаемоди. II значення за межами цього середовища дорiвнюе нулевi. Значення потоку ще! енерги через замкнену поверхню матерiалу, а отже, i значення його дивергенци дорiвнюють нулевь Таким чином

Е Е а"р ЕуЗ = -d (ЗЕпот), (45)

i=11=1

що й необхщно було показати.

Шдставимо (44) у (40), а отриманий результат подiлимо на Трнт, тодi, зважаючи на залежшсть (39), матимемо рiвняння

ds = ■ 3

Т рн

Е Е + div (ЛgradT ^т - СР (вол gradT ^т + дру^дГс^^ V i=11=1 дт У

' 1 Г13 3 л <4б)

тd 1 ЕЕ^РЕу

т Vрi=11=1 У

Це рiвняння е узагальненням так званого загального рiвняння балансу ентрош! для малостисливих пружних матерiалiв стало! маси [6]

ds

Т рн

' 3 3 ^

(div (ЛgradT )dт + XX a'rifdei

I=1у =1

(47)

Дшсно, якщо у (46) значення якобiану градiентiв руху J покласти рiв-ним одиницi, а дисипативною складовою аП тензора напружень Су та швид-кiстю змiни вологовмiсту знехтувати, то одержимо таке рiвняння

3 3

Т Рн^ = div ^ radT )т - d I XX С^ёу

V i =1} =1

(48)

яке е тотожним рiвнянню (47). Справдi, оскшьки елементарна змiна потенщ-

ально! енерги деформованого абсолютно пружного тiла d

3 3

XXе е

V i=1}=1

пр

у ьч

дорiв-

3 3

нюе елементарнiй роботi XXсri]?dеj полiв напружень аСр узятiй з проти-

i=1 а=1

лежним знаком [1], то (48) е^валентне (47), що i необхiдно було показати.

Отже, дотримуючись загальноприйнято! термшологи, рiвняння (46) е за-гальним локальним рiвнянням балансу ентропи для стисливих та малостисли-вих в'язкопружних гiгроскопiчних матерiалiв змшно! маси. Воно дае змогу виз-начити швидюсть змiни питомо! ентропи пиломатерiалу як у випадку конвективного сушшня, так i у випадках застосування iнших способiв вологовидален-ня. Для пиломатерiалiв висушуваних конвективним способом воно мае вигляд

ds

J

Т рн

3 3 ди

X X еу + div (ЛgradT )dт +8ру-d т

V i=1 а=1 дт

Л-1 d

у Т

^13 3 ^

1XX С еу

р «=1 у=1 у

. (49)

Визначення граничного напружено-деформiвного стану. Для визначен-ня граничного напружено-деформiвного стану для твердих пгроскошчних тiл змшно! маси знайдемо залежнiсть приросту ДЯ, рiзницi густин ентропи матерь алу у деформованому Я та недеформованому Ян.т. станах. Для цього проштег-руемо рiвняння (49) та помножимо отриманий результат на р, тодi матимемо

т 1 3 3

р8 - р£>н.т. = рр--XX с^еу +

0 Т рнт i=1 у=1

т

т 1 ( ди ) т 1 13 3

+р\т— ^)+рг~— ^т-р1 т^ рXXспре

Т рнт V дт У ^

3 3

т XX

0 т рнт V д т у 01 VР i=1 у=1

Або, оскшьки S=рs, то, зважаючи на формулу (39), отримаемо

3 3

(50)

1 113 3

Я --$нт= -Р-XXСldеij +

^ ^ 0 Т i=l у=1

+—|—| div(ЛgradT) + Зруди <Лт-—|^

J 0т V дт У J 0т

Запишемо лiву частину (51) у виглядi

J X X а еу

V 1 =1 у =1 у

(51)

8 Sнт. и

( 1 ^ V 3 У

тод1, шдставивши (52) у (51), одержимо

3 3

А8 +

1 -1

. 3 У

8Н

(52)

А8 =1 ]1Е1 е^Еу + - ]11 жу(райТ) + дру

3 0 Т I=1} =1

г Т V и о1 V

ди

дт

йт

1 -1

3

(53)

3 I Тй ¿ЕЕ*? Еу

3 о Т V I=1} =1

Знак скалярно! величини А8 е залежним вщ способу деформування матер1алу. Залежно вщ значення якоб1ану град1ент1в руху И значення можуть бути як додатними, так 1 вщ'емними. Виявлена законом1ршсть е очевидною для ад1абатних процеЫв деформування. Дшсно, оскшьки у цьому випадку ен-трошя твердого тша е сталою величиною, то для того щоб вона не змшювала-ся у процес деформування, необхщно 1 достатньо, щоб добуток густини ен-тропи $ 1 об'ему деформованого матер1алу був сталим. Звщси, з огляду на формулу [2]

ау (т) = 3 (т) йУо, (54)

добуток 83 е сталим. Для 3<1 густина ентропп $ збшьшуеться, а для 3>1 -зменшуеться, тобто у випадку усестороннього стиску А8>0, а в умовах усес-тороннього розтягу А8<0, що 1 потр1бно було показати. Бшьше цього виходя-чи 1з умов неперервност функцп А8(сту,8у, Т, и) доцшьно припустити, що встановлена залежшсть знаку величини А8 вщ якоб1ану град1ент1в руху I мае мюце також 1 для матер1ал1в з граничним напружено-деформ1вним станом. II врахування дае змогу, у граничному випадку, подати формулу (53) у вигляд1

1 т 1 3 3 1 т*1 ( дил

3* IТЕЕ+ — I ТI а™(аат) + дру

А8

1 - 3 *

1 - 3 *

о т I=1 ] =1

3'' т1

дт

йт -

3 т

3 Е Е е Е

V I=1}=1

V

1 -Л

3

(55)

8н

/

де символом "*" позначено значення характеристик 3, Т, и, р та Еу матер1алу у граничному напружено-деформ1вному стат.

Висновки. Отримано технолопчний критерш локально! м1цносп (55), який дае змогу визначити як межу текучосп, так 1 межу мщносп пгроскотчних матерь атв з1 зм1нними нер1вном1рно-розподшеними полями температури та вологи.

Л1тература

1. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1977. - 248 с.

2. Поберейко Б.П. Анал1з критерив мщносп деревини та ашзотропних катлярно-по-ристих матер1ашв// Наук. вюник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: НЛТУ Украши. - 2005, вип. 15.3. - С. 138-148.

3. Поберейко Б.П., Соколовський Я.1. Дослщження процеав вологоперенесення все-редиш та на меж неруйшвно! област деформування деревини// Наук. вюник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: НЛТУ Украши. - 2006, вип. 16.6. - С. 82-90.

4. Поберейко Б.П. Дослщження процеав теплоперенесення всерединi та на меж неруйшвно'1 област деформування деревини// HayKOBi працi: Зб. наук. праць ЛАН Украши. -Льв1в : Вид-во НУ мЛьвiвськa поттехшка". - 2007. - Вип. 5. - С. 139-144.

5. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

6. Лыков А.В. Теория сушки. - М.: Энергия, 1968. - 472 с.

УДК 674.02.048 Проф. 1.М. Озармв, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв;

тж. Б.М. Перетятко - Львiвський ДУ безпеки житт£дшльност1

МЕТОДИКА ПРОСОЧЕННЯ ДЕРЕВИНИ АНТИП1РЕНАМИ МЕТОДОМ ТЕПЛО-ХОЛОДНИХ ВАНН

Наведено aнaлiз особливостей просочення деревини антитренами з метою вив-чення фiзичних зaкономiрностей та способiв введення вогнезахисних речовин, а та-кож напрацювання методики визначення якосп просочення деревини.

Prof. I.M. Ozarkiv-NUFWTof Ukraine, L'viv; eng. B.M. Peretyatko -

Lviv State University of Vital Activity Safety

The methods of wood percolation with the help of antypirens using the baths of medium temperature

The analysis of pecularities of wood percolation with help of antypirens was used to learn physical rules, the ways of firefighting substances engagement and working on the methods of the quality of wood percolation.

Вщомо [1], що захист вщ горшня деревини та дерев'яних конструкцш е обов'язковим у дерев'яному домобудуванш, буд1внищш складських та тва-ринницьких споруд, пасажирському машино- й вагонобудуванш й ш. Однак надати деревиш aбсолютноi вогнестшкосп е практично неможливо. Тому, на сьогодш вогнезахист деревини зводиться, в основному, до обмеження ii заго-ряння та поширення полум'я на ii поверхню.

1накше кажучи, просоченням деревини антитренами можна домогти-ся того, що деревина, яка охоплена вогнем, не шдтримуе горшня, а в раз1 вщ-далення джерела вогню - швидко гасне та не тл1е. При цьому вогнезахист речовини тд час нагр1вання шод1 плавляться та покривають поверхню деревини вогнезахисною пл1вкою, яка перекривае доступ кисню до деревини. В шшому випадку антишрени розкладаються 1з одночасним видшенням вели-коi к1лькост1 негорючих газ1в, як1 в1дт1сняють пов1тря в1д поверхш матер1алу та розбавляють горюч1 гази, що видшяються 1з деревини.

Горючють природноi, непросоченоi антип1реном деревини залежить в1д багатьох чинник1в, серед яких слщ вид1лити основн1, а саме: породу, во-лог1сний стан, здатшсть антип1рен1в сорбуватися деревиною, особлив1стю будови деревини i м1сцем розташування дерев'яних елемент1в у констрyкцii тiеi чи iншоi споруди. Кр1м цього, просочення антишренами буде впливати на мехашчш влaстивостi деревини, тобто характер i стyпiнь впливу буде за-лежати вщ типу i кiлькостi антишрена, що вводиться в деревину та режиму просочення. Своею чергою, режими просочення деревини будуть визначати-ся здатшстю деревини пропускати рiдини та гази.