Дослідження процесів вологоперенесення всередині та на межі неруйнівної області деформування деревини Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК634.0.812 Доц. Б.П. Поберейко, канд. техн. наук;

проф. Я.1. Соколовський, д-р техн. наук - НЛТУ Украти

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРОЦЕС1В ВОЛОГОПЕРЕНЕСЕННЯ ВСЕРЕДИН1 ТА НА МЕЖ1 НЕРУЙН1ВНО1 ОБЛАСТ1 ДЕФОРМУВАННЯ ДЕРЕВИНИ

Отримано рiвняння вологоперенесення для деформовано'1 деревини 3i змiнним вологовмютом. Показано, що процеси вологоперенесення у висушуваних пиломате-рiалах е залежними вщ полiв деформацiй. Зокрема, виявлено, що у випадку всебiчно-го стиску процеси перемщення вологи всередиш матерiалу сповiльнюються, а у випадку всебiчного розтягу - прискорюються.

Assist. prof. B.P. Pobereyko; prof. Ya.I. Sokolovskyy - NUFWT of Ukraine, L'viv

Research of processes of transference of moisture inwardly and on verge of unrestrictive area of deformation of wood

Equalization of transference of moisture is got for the deformed wood with variable moisture. It is shown that the processes of transference of moisture in the dried saw-timbers out are dependency upon the fields of deformations. In particular, it is discovered that in the case of comprehensive com-pression of process of moving of moisture into material is slowed, and in the case of comprehensive tension - is accelerated.

Актуальшсть теми та n04aTK0Bi положення ТТ розроблення. Одним i3 основних чинниюв руйнування пгроскошчних кашлярно-пористих тш в умовах масообмшу е нерiвномiрний розподш полiв вологи в ix об'емь Це положення, тдтверджене теоретичними та експериментальними дослщження-ми [1-4], отримало подальший розвиток у роботах, присвячених проблемi теxнологiчноi мщносл деревини та шших пгроскошчних матерiалiв [3, 4]. Воно покладено в основi деяких сучасних критерив трiщиноутворення. Зокрема, у працях [1, 5], за критерш трщиноутворення для згаданих матерiалiв зi змiнним вологовмiстом прийнято безрозмiрну величину, яка дорiвнюе вщ-ношенню рiзницi середнього i локального вологовмю^в до початкового во-логовмiсту. У зв'язку з цим, для вдосконалення цих критерив та побудови но-вих важливе значення мають задачi визначення динамiки розподiлу волопс-них полiв в об,емi висушуваноi деревини. Сьогодш цi задачi вирiшенi, в ос-

новному, для недеформованих матерiалiв, але в умовах riдротермiчноl оброб-ки вони перебувають у деформованому станi. Тому, актуальними е дослщ-ження впливу полiв деформацiй та напружень на процеси вологоперенесення з метою !х подальшого врахування в розробках критерив технолопчно! мщ-ностi для висушуваних пиломатерiалiв.

Для !х проведення виходитимемо iз закону збереження маси та основ-них положень кiнематики суцшьного середовища. Необхiднiсть та доцшь-шсть використання закону збереження маси в штегральнш та диференщаль-нiй формах запису обгрунтовуеться роботами [1], де проведено аналопчш дослiдження для недеформованих пгроскошчних матерiалiв. Застосування законiв кшематики пояснюеться змiною геометричних властивостей дереви-ни у процесi сушiння.

Кшематика гiгроскопiчних суцiльних середовищ змшноУ маси. До-вiльно виберемо деяку Декартову систему координат з одиничними базовими векторами 11, /2, /3 та розглянемо у нш рух суцiльного середовища дереви-ни. Тодi мiсцезнаходження будь-яко!, довiльно вибрано! точки середовища у початковий момент часу гiдротермiчноl обробки матерiалу т = т0 е визначе-ним, i описуеться координатами хок. Цiй точцi можна поставити у вщповщ-нiсть радiус-вектор:

Х0 = Х01/1 + х02/2 + Х03/3 . (1)

Пiсля зневоднення або зволоження ця точка характеризуватиметься, очевидно, шшими координатами, якi у подальшому позначатимемо символами Хк. 1х значення у загальному випадку для рiзних точок хок е рiзними, тому що зволоження чи зневоднення поверхневих i внутрiшнiх шарiв матерiалу вiдрiзняеться у часi. У внутршшх шарах цi процеси вщбуваються з деяким запiзненням Ат, а у поверхневих - навпаки [3, 4]. Це означае, що координати хк е функщями координат х0к та часу т, тобто:

Х1 = Х1(Х0Ь Х03,т) ; Х2 = Х2(х01, Х03,т) ; Х3 = xз(x01, x02, Х03,т) • (2)

Вiдповiдно, радiус-вектор точки хк визначатиметься спiввiдношеннями

Х = Х1(Х01,Х02,Х03,т)/1 + Х2 (Х01,Х02,Х03,т)/2 + Хз(Х01,Х02,Х03,т)/3 . (3)

Перехiд (перетворення) точок х0к у точки хк е свiдченням того, що внаслщок зневоднення (або зволоження) елементи об'ему dV (т0) = dV0 та по-

верхнi dS(т0) = dS0 повиннi перетворюватися в елементи dV(т) = V та dS(т) = dS вiдповiдно• Для обгрунтування цього припущення розглянемо нес-кiнченно малу векторну величину dx, яку, зпдно з (3), подамо у виглядi

dx ■■

г дХ]^ дХ]^ дх1 л г шо +--dxо2 +--dxоз

^дХ01 дХ02 дХ0з у

/1 +

дХ2 7 дХ2 7

-ш;01 +--dx02 +

^дХ01 дХ02

дХ2 7 ^ ^ (дХ3 дХ3 дХ3 л

dxоз

дХ,

/2 +

03 у

dxоl +--dxо2 +--dxоз

удХ01 дХ02 дХ03 у

/3. (4)

Звщси, пiсля деяких математичних перетворень, отримаемо

dx

дх1 V дх01

д.2

дх

3

\

Il + 12 + I з

дх01 дх01 J

г

dxQl +

дх1 r дх2 r дхз r

1 Il + ^ Ii + I з

V дх02

дх(

02

дх(

dxQ2 + (5)

02 J

+

дх1 r дх2 r дхз r

1 Il Ii I з

dxi

03 •

V дх03 дх03 дх03 J

Анaлiз oтpимaнoï фopмyли свiдчить, щo dxQ1, dxQ2, dxQ3 e кoopдинaтaми paдiyс-вектopa dX y ^ereMi кoopдинaт, визнaченiй масштабними вектopaми:

дх

дхо1 дх(

дх1 r дх2 r дхз r

1 Il + 12 + Iз;

дх

01

дх01 дх

дх01 дх1

дхо2 дх

дх1 r дх2 r дхз r 1 Il 12 + Iзi

02

дх

02

дх

(б)

02

r д.2 r дхз r

Il + ^ 12 13

дхоз дхоз дхоз дхоз

Звiдси, згiднo з гeoмeтpичнoю iнтepпpeтaцieю мiшaнoгo дoбyткy тpьo-x не кoмплaнapниx вeктopiв [б], o6^m eлeмeнтapнoгo пapaлeлeпiпeдa, пoбyдo-

дх дх дх вашго на вeктopax-dxQ1,-dxQ2,-dxQ3, мoжнa пoдaти y виглядi

дх

01

дх02 дх03

dV (т) = J (т) dVo

де dVo = dxoldxo2dxQ3, J(xm) = det дxk

^ x1,Q1 x2,Q1 х3,оЛ

x1,Q2 x2,Q2 x3,02 V x1,Q3 x2,Q3 x3,Q3 J

(V)

- якoбiaн гpaдieнтiв pyxy

XkQQk

дх

Qk

Фopмyлa (V) oписye зaкoн змiни oб,eмy dV гiгpoскoпiчнoгo мaтepiaлy y пpoцeсi гiдpoтepмiчнoï o6po6^. З нeï випливае, щo y paзi вiдсyтнoстi тpiщинo-yтвopeнь та кopoблeння якoбiaн пepeтвopeнь пoвинeн зaдoвoльняти yмoвy

J = det {Xk,ok 0. (8)

В iншoмy випaдкy dV=Q, щo сyпepeчить oснoвнiй aксioмi мexaнiки cy-цiльнoгo cepeдoвищa - aкcioмi нeпepepвнocтi [V]. Це oзнaчae, щo Функщям (2) вiдпoвiдaють oбepнeнi фyнкцiï:

х01 = xQ 1 (x1, x2, х3,т) ; xQ2 = x02(xb x2, х3,т); xQ3 = x03(xb x2, x3, т), (9)

(10)

для якж викoнyютьcя piвнocтi

XkQQk = XQk,l = Ski, XkQQl = Xoi,k = Ski,

[ 1, якщо k = i 0, якщо k Ф i

Змiнy величини dS залежи вiд вoлoгoвмicтy poзглянeмo на пpиклaдi

дх

визначення dSQ пapaлeлoгpaмa, пoбyдoвaнoгo на вeктopax -dxQ2 та

де S

ki

дх

дх дх

02

dxQ3. Для цьoгo cкopиcтaeмocя гeoмeтpичнoю iнтepпpeтaцieю вeктopнoгo

дoбУткy цж вeктopiв [б], згiднo з ягаю

/1 / 2 /

dSl — дх1 А ихо2 дхо2 дх2 й ихо2 дхо2 дх3 дхо2

дх1 dx03 дхо3 дх2 й dx03 дхо3 дх3 дхо3

3

03

+

дх1 дх2

дхо2 дхо2

дх1 дх3

дх03 дх03

Звщси, оскiльки вектори

1з

дх

дх2 дх3 дх1 дх3

дхо2 дхо2 /1 - —х02 —х02

дх2 дх3 дх1 дх3

дх03 дх03 дх03 дх03

* dx02dx03.

/2 + (11)

дх

та

01

дх01 дх дх1 дхо1

колiнеарнi, а вектор

дхо1 дх

дх1 дх01

згiдно з (6) та (10) е одиничним, то

dSl — dSl

С®1

дх01 дх

дх1 дх01

дх

01

дх1

dSl

дх

дх

01 у

чч

дх2 дх3

дхо2 дхо2

дх2 дх3

дхо3 дхо3

/1 -

дх1 дх3

дх02 дх1

дх02 дхз

дх0з /

дх

03

/ 2 +

г дх1 г дх2 г дх1 г л

1 /1 + /2 +—- / 3

чдх01

дх

01

дх.

01 У

дх.

01

дх1

^х02^х03 —

дх2 дх3 дх1 дх3 дх1 дх2

дх02 дх02 дх1 дх02 дх02 дх2 —-+ дх01 дх02 дх02

дх2 дх3 дх01 дх1 дх3 дх1 дх3

дх03 дх03 дх03 дх03 дх03 дх03

дх3

дх

01

дх,

01

дх1

dxо2dxоз

— J-dxо2dxоз.

дх1

Отже, dS — J. Або, у загальному випадку

дх1

dSk — J —~0kdSоk. дхк

(12)

Закон збереження маси. Визначення густини деформовано1 дере-вини. Важливою характеристикою будь-якого тша е його маса. Для матерь алiв, якi складаються з декшькох компонентiв, вона дорiвнюе сумi мас кож-но! з них, зокрема, для пгроскотчних матерiалiв

ш = шст+ шв(}Л, (13)

де: ш, шс.т - маси зволоженого та абсолютно сухого тша вщповщно; швол. -маса вологи.

Розподiл кожно! iз зазначених величин в об,емi V вологого тша е не-рiвномiрним i, у загальному випадку, визначаеться густинами р, рст. та рвол вiдповiдно. Звiдси, оскiльки кожна з величин шв.т., шс.т. та швол. е залежною вiд густин р, рс.т. та рвож i визначаеться сшввщношеннями:

ш = {р(,т)йУ; ш,т. = | рс.т.(хк,г^Ус.т.; швол.= { Рвол.(Хк^Увол.;

V Ус.т. Увол

то \р( Хк ТУ = | Рс.т.( Хк ,т)^Ус.т. + |рвол.( Хк ,т)$У . (14)

У Ус.т. У

Замшимо у формулi (14) iнтегрування по об'емах У та Ус.т. на штегру-вання по Уо. Для цього скористаемося сшввщношенням (7) та законом усадки [1], зпдно з яким

Уо = Уст. (1 + ) , (15)

де и0 - вологовмют матерiалу у початковий момент часу т = то. У результат! от-римаемо

|р(хк,т)(т)Уо = { рвк;ТТ^Уо + |рвол.(Хк,т)(т)й?Уо. (16)

Уо Уо 1 + РУи о Уо

1

/ л

Звiдси, р = ^~ Рс™' + JРвол. . (17)

3 \ 1 + вио ^

Величина рвол не е практичною характеристикою вологiсного стану матерiалу. У технологи riдротермiчноl обробки волопсний стан пгроскошч-них тш прийнято описувати функцiею розподiлу вологовмюту и (хь х2, х3,т),

тому виразимо рвл через и. Для цього скористаемося визначенням:

ш

и = —. (18)

шс

1сш.

та, очевидними, сшввщношеннями:

швол = |Рвол.(ХкТ(т)dУо; шст = Уо . (19)

Уо Уо 1 + вио

Тодi, поставивши (19) у (18) та подавши отриманий результат у ло-кальнш формi запису, отримаемо

и (Х1, Х2, Хз,т) = (1 + вУио) 3 рт-. (2о)

рв.т.

Звщси, Рвол = ^-и Т Ч г Рст. , (21)

(1 + вио )

а формула зв'язку величин р та рст, згiдно з (17) та (21), мае такий вигляд

1 + и (22)

Р = Ъ-птт\т Рст • (22)

(1 + ßvUо )J

З отриманих залежностей (21) та (7) випливае, що густина вологи у деревит е обернено пропорцiйна якобiану градiентiв руху, вiдношенню об,емiв деформованого та недеформованого тша. Це означае, що у випадку всебiчного стику густина вологи у матерiалi зростае, а в умовах розтягу -зменшуеться. Якщо лiнiйнi розмiри матерiалу у процесi деформування е ста-лими, не змiнюються з часом, то з (22) отримаемо формулу, аналопчну за-лежностi, наведенiй у робот [2], яка описуе розподш маси вологи у недефор-мованш деревинi•

Рiвняння вологоперенесення для деформованоУ деревини. Для ви-

ведення рiвняння вологоперенесення висушувано!', деформовано! деревини використаемо методику отримання аналогiчного рiвняння для недеформова-них матерiалiв (V = const) зi змiнним вологовмютом, наведену у роботах [1,

2]. Зпдно з цiею методикою, виходитимемо iз закону збереження маси, який в штегральнш формi запису мае такий вигляд

d-\p(xkt)V = |f] Jeon.(xk,r)dS, (23)

UT v s

де: jвол. - густина потоку вологи; S - площа поверхт матерiалу• Але на вщмь ну вiд авторiв дослiджень [1, 2] вважатимемо, що об'ем матерiалу V е змтною величиною, залежною вiд часу протшання процесiв riдротермiчноl обробки.

Рiвняння (23) не описуе закономiрностей перемiщення вологи всере-динi матерiалу, у рiзних частинах його об'ему. Воно визначае швидюсть змь ни маси всього тша. Тому, для опису руху вологи всередиш деревини необ-хщно подати його у диференцiальнiй формi запису. Для цього перетворимо обидвi частини рiвностi (23). Для перетворень право! частини скористаемося теоремою Гауса-Остроградського [8], зпдно з якою

[Ü J вол. (Xk ,т) dS = J divjeondV. (24)

S V

У лiвiй частит оператор диференцшвання внесемо пiд знак штегралу [6], використавши визначення похщно! по часу

d 1 Г ^

dr\p(xk,t)UV = lim — J p(xk,т + Ar)dV - J p(xbr)dV . (25)

dT V Ar^0 At[kV(r+Ar) V(т) у

Тод^ оскiльки, згiдно з рис. 1, де зображено двi нескшченно близькi просто-ровi областi AV(r + Ar) i AV(г), AV(r + Ar) = V3 + V2, а AV(т) = V1 + V2, то

J p(xk,r + Ar)dV =J p(xk,r + Ar)dV +J p(xk,r + Ar)dV, (26)

V (r+Ar) V2 V3

J p(xk,t)UV =Jp(xk,t)UV + J p(xk,t)UV . (27)

V(T) V V2

Звiдси,

| р(хьт + Ат)йУр(хк,т)^¥ = | [р(хк,т + Ат)-р(хк,т)]йУ + (28)

У(т+Ат) У(т) У2

+| р(Хк,т + Ат)йУ р(Хк,т)йУ •

Уз У

Рис. 1. ЗмШа умовно видтеноХ, у висушуванш деревиш просторово'1 областi А У (т) у просторi та чаы

АУ(т+Ат) АУ(т)

В областях У1 i У2 виразимо елементи об'емiв через елементи поверхнi, яка 1х роздшяе на дiлянках £1-2 та 52-3:

йУз = (Пш)АтйК2-з; йУ1 = -(Яц})Атй^1-2, (29)

де: и - швидюсть руху матерiальних точок суцiльного середовища; п - оди-ничний вектор, напрямлений вздовж нормал до поверхш просторово! областi• Тодi, пiдставляючи (28) у (25), з врахуванням (29) i переходячи до ш-тегрування по поверхнях £1-2 та £2-3, отримуемо

~~т~тр(хк,т)У = Атт А"т 1 [р(хк,т + Ат) -р(хк,т))йУ + й т

+ Нт <

Ат^О

Ат^О Ат

У2

I р(хк,т + Ат)(иЛ)й^2-з + | р(хк,т)(ип)&1_2

Sl-2

(30)

Оскшьки Нт У2 = У(т) та Нт ($2-3 + 2) = $(т) (£(т) - поверхня,

Ат^О ' Ат^О ' 4 '

яка обмежуе об'ем У(т)), то (30) можна записати у виглядi

тр(хь,т)У = I дрт,т)йУ + I р(хкт){бп) • £

дт

(31)

У У(т) $ (т)

Звiдси, зпдно з теоремою Гауса-Остроградського, отримаемо

— ¡р(хкт)У = | др(хк,т) йУ + | р(хк,т)йШсУ • (32)

йтУ У (т) дт У (т)

Отже, закон збереження маси (23) з врахуванням формул (24) та (32) у диференщальнш формi запису мае такий вигляд

— + рсНуи = йщвол • (33)

дт

Отримане рiвняння називають рiвнянням нерозривностi або рiвнянням суцiльностi [7] Якщо у нього шдставимо формулу (22), то отримаемо таке сшввщношення

рс

1 + РуПо дт

дГ 1 + и Л (1 + и)рст ,.и Й.г

+ ^--—^— ту и = шу]в

V

J

у

(1 + вио)

яке, п1сля деяких математичних перетворень, запишеться у такому вигляд!

Рс

Г1 ди 1 + и дJл

(1 + и ) Рс.т

1 ви г д т2 д + (л-р и \ Т = • (34)

1 + руио ^т дт т2 дт) (1 + руио)Т

Для визначення невщомо! величини —¡уи продиференцдаемо прош-тегроване р1вняння (7). Тод1, оскшьки початковий об'ем висушувано! дереви-ни з часом не змшюеться (уо=еопв1;), то (7) запишеться у вигляд1

—у(т)=|Т^о. (35)

ат у (т) уо ат

Л1ва частина р1вност1 (35) формально зводиться до л1во! частини р1в-няння (32), для цього достатньо припустити, що р( хк ,т) = 1. Це означае, що

— | —у(т)= | ашау. (36)

—т V(т) V(т)

Звщси, поставивши отриманий результат у (35), матимемо

I —¡уи—у (т) = | аТт)—Уо. (37)

V (т) Уо —т

Або, з врахуванням формули (7), отримаемо

| Т (т—уи—Уо = | —Тт)—Уо. (38)

Уо Уо —т

Отже, швидюсть змши вщносного об'ему матер1ально! точки прямоп-ропорцшна —¡уи з коефщентом пропорцшност1, який дор1внюе вщноснш змш1 об'ему

—¡уи = -Т. (39)

Т —т

Звщси, поставивши (49) у (34), отримуемо р1вняння вологоперенесен-ня для деформованих матер1ал1в з1 змшним вологовмютом

ди -

Рст. — = (1 + руио) • (4о)

дт

Потж вологи ]вол визначаеться за формулою

]вол = %таи + %тат + ^та—Р, (41)

1 - ¡и 1 - ¡и 1 - и

де: ат, атт, ат - коефщ1енти волого-, термоволого- та молярного перенесення; и - коефщент фазового переходу вологи з рщкого стану у газопод1бний; Т та Р - функци розподшв температури та тиску у матер1ал1.

Висновок. Пор1вняльний анал1з р1вняння (4о) з аналопчними р1внян-нями, наведених у роботах [1, 2], показав, що швидюсть змши вологовмюту у будь-якш точщ деформованого матер1алу у I раз1в е бшьшою, тж у недефор-мованому. У випадку всеб1чного стиску процеси перемщення вологи спо-

вiльнюються (/> 1), а у випадку розтягу (J < 1) - прискорюються^ Це озна-чае, що у деформованш деревинi перенесення вологи обумовлене не тшьки силами дифузи (grad и) та термодифузп (grad Т), але i дiею полiв деформацiй•

Лггература

1. Лыков А.В. Теория сушки - М^: Энергия, 1968^ - 472 а

2. Серговский П.С., Расев А.И. Гидротермическая обработка и консервирование древесины: Учебник для вузов^ - 4-е изд^, перераб^ и доп - М^: Лесн пром-сть, 1987^ - 360 а

3. Соколовський Я.1. Деформативнють деревини й деревностружкових плит з1 змшни-ми потенщалами тепломасоперенесення: Автореф.. .• д^ т наук - Льв1в: Св1т, 2001 - 34 а

4. Поберейко Б.П. ¡дентифжащя напружено-деформ1вного стану деревини 1з змшним во-логовм1стом^ - Дис... • канд^ тех^ наук: 05^05^07 - Машини та процеси лю1вничого комплексу •

5. Шостак В.В., Ацбергер Й.Л. Копинець ЗП Вплив режиму сушшня на трщиноут-ворення деревини// Наук вюник УкрДЛТУ: Зб^ наук-техн праць - Льв1в: УкрДЛТУ^ -2005, вип 15А

6. Шкшь М.1. та Вища математика: Пщручник: У 3 кк: Кн1 Анал1тична геометр1я з елементами алгебри Вступ до математичного анал1зу^ - К: Либщь, 1994^ - 280 с

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т II - М^: Наука, 1973^ - 584 с

8. Сеньк1в М.Т. Векторний 1 тензорний анашз: Текст лек^й - Льв1в: Ред^-вид^ вщдш Льв1в^ ун-ту, 1990^ - 146 с _

УДК 674.02:621.923 Проф. В.М. Голубець, д-р техн. наук;

1.В. Петришак - НЛТУ УкраТни

ШЛ1ФУВАННЯ ПРОФ1ЛЬНИХ ДЕТАЛЕЙ ЖОРСТКО-ПРУЖНИМ АБРАЗИВНИМ 1НСТРУМЕНТОМ

Запропоновано схему шлiфування профiльних деталей, виготовлених з масив-но! деревини, жорстко-пружними абразивними шструментами та наведено результата 1х виробничих випробувань на Прикарпатському МК.

Ключов1 слова: жорстко-пружний абразивний шструмент, абразивний сегмент, чистове шлiфування, масивна деревина, шорсткють поверхнi, глибина шлiфування.

Prof. V.M. Holubets; eng. I.V. Petrishak-NUFTof Ukraine Grinding profile adjustments of rigid-elastic abrasive instrument

The scheme of the profile details, manufactured from massive wood by rigid-elastic abrasive instrument have been proposed and also the results of its testing on Pricarpatskiy furniture factory are presented.

Keywords: rigid-elastic abrasive instrument, abrasive segment, grinding process, massive wood, roughness of wood surface, depth of grinding.

Пщвищення якост меблевих та столярних вироб1в на сучасному еташ розвитку меблево! й деревообробно! промисловост може бути виршене шляхом вдосконалення юнуючих та створення нових технологш, високопродук-тивного обладнання та шструменлв, використання природних матер1ал1в. З щею метою, у раз1 виготовлення як окремих вузл1в i деталей мебл1в, так i у раз1 оздоблення !х фасадних i робочих поверхонь декоративними елементами, використовують масивну деревину, переважно щнних твердолистяних порiд, а саме - дуба, бука, граба, ясена, що зумовлене задовшьними фiзико-мехашчними та естетичними !х властивостями [1].