Вполне регулярные графы с b1 = 6 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

Вполне регулярные графы с bi = 6

Константин С.Ефимов Александр А.Махнев*

Институт математики и механики УрО РАН, С.Ковалевской 16, Екатеринбург, 620219

Россия

Получена 10.09.2008, окончательный вариант 15.12.2008, принята к печати 15.01.2009 Неориентированный v-вершинный граф, в котором степени всех вершин 'равны k, а каждое ребро принадлежит точно Л треугольникам, называется реберно регулярным с параметрами (v,k, А). Положим bi = k — Л — 1. В монографии Броувера, Коэна и Ноймайера доказано, что связный реберно регулярный граф с bi = 1 является многоугольником или полным многодольным с долями порядка 2. Кроме того, ранее исследовались реберно регулярные графы с bi < 5. В данной работе изучаются вполне регулярные графы с bi = 6.

Ключевые слова: неориентированный граф, вполне регулярный граф.

Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, b — вершины графа Г, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через ГДа) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в Г от вершины а. Подграф Г(а) = Гх(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а^ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а. Под собственными значениями графа понимаются собственные значения его матрицы смежности. В дальнейшем слово "подграф" будет означать индуцированный подграф. Пусть F — семейство графов. Граф Г называется локально F графом, если [а] G F для любой вершины а G Г.

Граф Г называется регулярным графом степени k, если [а] содержит точно k вершин для любой вершины а из Г. Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, А), если Г содержит v вершин, является регулярным степени k и каждое ребро графа Г лежит точно в А треугольниках. Граф Г называется кореберно регулярным графом с параметрами (v, k,^,), если Г содержит v вершин, является регулярным степени k и подграф [а] П [b] содержит точно ^ вершин для любых несмежных вершин а, b. Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k, А, если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [b] содержит ^ вершин в случае ¿(а, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [а] П [b] обозначим через А(а, b) (через ^(а, b)), если ¿(а, b) = 1 (если ¿(а, b) = 2), а соответствующий подграф назовем (^-подграфом) А-подграфом. Для подграфа Д графа Г через Xi (Д) обозначим множество всех вершин из Г — Д, смежных точно с i вершинами из Д, и положим жДД) = |Xi(Д) |.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Через Кт1,...,тп обозначим полный п-дольный граф, с долями порядков шх, ...,ш„. Если Ш1 = ... = шп = ш, то соответствующий граф обозначается через Кпхт. Граф К\т называется ш-лапой. Треугольным графом Т(ш) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, |Х| = ш и пары {а, 6}, {с, ¿} смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вершин X х У называется ш х п решеткой, если |Х| = ш, |У| = п и вершины (ж^ух), (ж2,у2) смежны тогда и только тогда, когда х = Ж2 или у\ = у2. Граф Пэли Р(д) в качестве вершин имеет элементы поля ^, д = 1 (шс^ 4), и две вершины а, 6 смежны, только если 6 — а является ненулевым квадратом в ^. Граф Клебша (Шлефли) — это единственный сильно регулярный граф с параметрами (16,10, 6, 6) (с параметрами (27,16,10, 8)). Граф Шрикханде — это единственный сильно регулярный локально шестиугольный граф с параметрами (16, 6, 2, 2).

Граф Тервиллигера — это неполный граф Г такой, что для любых двух вершин а, 6 на расстоянии 2 подграф [а] П [6] является кликой порядка ^ для некоторого фиксированного ^ > 0.

Полный (вполне несвязный) подграф данного графа называется кликой (кокликой). Под кликовым (кокликовым) а-расширением графа Г будем понимать граф, полученный заменой каждой вершины а из Г на клику (коклику) (а), содержащую а вершин, при этом указанные клики (коклики) попарно не пересекаются, а вершины из (а) и (6) смежны тогда и только тогда, когда а и 6 смежны в Г.

Если вершины и, ад находятся на расстоянии г в Г, то через 6i(и, ад) (через сДм, ад)) обозначим число вершин в пересечении Г^1(м) (пересечении Г^1(м)) с [ад]. Заметим, что в ре-берно регулярном графе с параметрами (V, к, А) значение 61 = 61 (и, ад) не зависит от выбора ребра {и, ад} и равно к — А — 1. Дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {60,..., сх,..., с^} называется граф диаметра й, в котором значения 6Дм, ад) и сДм, ад) не зависят от выбора вершин и, ад. Граф диаметра ^ называется антиподальным, если отношение — совпадать или находиться на расстоянии й — является отношением эквивалентности на множестве вершин графа. Антиподальным частным Г' называется факторграф антипо-дального графа Г, вершинами которого являются указанные классы эквивалентности и два класса смежны, если некоторая вершина одного класса смежна с вершиной другого. Если все классы эквивалентности состоят из г вершин, то Г называется г-накрытием графа Г'.

В следствии 1.1.6 из [1] доказано, что если Г — связный реберно регулярный граф с 61 = 1, то Г — многоугольник или полный многодольный граф Кпх2. Реберно регулярные графы с 2 ^ 61 ^ 4 изучались в работе [2]. Реберно регулярные графы с 61 =5 исследовались

в[3].

Следующий класс графов введен А.А.Махневым и Д.В.Падучих [4]. Для четного натурального числа ш через МР(ш) обозначим класс реберно регулярных графов Г с параметрами 61 = 3ш/2 — 3, к = ш2 — 3ш/2, А = ш2 — 3ш + 2, V = ш2, содержащими пару непересекающихся подграфов О и О', изоморфных Кшхш/2, причем любая вершина из О (из О') не смежна с единственной вершиной в каждой доле из О' (из О) и для любого ребра {й, е} из О подграф Г — (^ и е^) является ребром из О'. Любой граф из МР(2) состоит из двух изолированных ребер, а граф из МР(4) совпадает с графом Клебша, имеющим параметры (16,10, 6, 6). Существование графов из МР(ш) с ш ^ 8 неизвестно. Пример графа с ш = 6 построен Д.В.Падучих с использованием компьютерных вычислений (см.[2]).

В данной работе рассматриваются вполне регулярные графы с 61 = 6. Теорема 1. Пусть Г — связный вполне регулярный граф с параметрами (V, к, А, и 61 =

6. Тогда Г является одним из следующих графов:

(1) полный многодольный граф КГХ7, граф с параметрами (25, 12, 5, 6), 7 х 7-решетка, треугольный граф Т(9), дополнительный граф к 5 х 5-решетке или к треугольному графу Т(7), граф Хофмана-Синглтона или его дополнение, граф с параметрами (26, 10, 3, 4) или его дополнение;

(2) полный двудольный граф К%,8 с удаленным максимальным паросочетанием, граф Тэйлора с параметрами (28,13,6, 6), в котором окрестности вершин изоморфны графу Пэли Р(13), или граф Тэйлора с параметрами (32, 15, 8, 6), в котором окрестности вершин изоморфны треугольному графу Т(6);

(3) ц = 4, к = 12, сз(и, у) ^ 6 для любых вершин и, у с ¿(и, у) = 3 и диаметр Г равен 3;

(4) ц = 3 и либо

(г) Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8, 6, 1; 1, 3, 8}, либо

(гг) Г — локально девятиугольный граф диаметра 3, каждый подграф является 3-кокликой или объединением изолированной вершины и ребра, 62 (и, х) ^ 3 для любых вершин и,х с ](и, х) = 2 и |Гз (и) | ^ 10, либо (ггг) к = 10, либо

(гу) к = 11, Г является графом диаметра 3 и сз(и, у) ^ 5 для любых вершин и, у с ¿(и, у) = 3;

(5) ц = 2 и либо

(г) Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6, 1;1, 2, 9}, граф Конвея-Смит или граф Доро, либо

(гг) Г является ректаграфом с V ^ 27 и диаметра, не большего 7 (в случае V = 27 или ¿(Г) = 7 граф Г является 7-кубом), либо

(ггг) окрестность каждой вершины в Г является объединением четырех изолированных ребер;

(6) ц =1 и окрестность каждой вершины является 7-кокликой, или объединением изолированных п-клик для п = 2, 3 или 6.

1. Предварительные результаты

В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты.

Лемма 1.1. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (у, к, А) и 61 = к — А — 1. Если вершины и, и) находятся на расстоянии 2 в Г, то выполняются следующее утверждения:

(1) степень любой вершины в графе [и] П [и] из Г не меньше к — 2Ь\;

(2) вершина ] имеет степень а в графе [и] П [и] тогда и только тогда, когда []] содержит точно а — (к — 2Ь\) вершин вне и^ и и^;

(3) если ^(и, и) = к — 261 + 1, то подграф [и] П [и] является кликой и []] С и^ и и^ для любой вершины ] € [и] П [и];

(4) если Г — (и^ и и^) содержит единственную вершину г, то ^(и, г) = ^(и, г).

Доказательство. Пусть ] € [и] П [и]. Тогда | []] — [и] | = | []] — [и] | = 61. Поэтому по крайней мере к — 261 вершин из []] содержится в [и] П [и]. Утверждение (1) доказано.

Пусть ! € [и] П [ад] и степень ! в этом («-подграфе равна а. Тогда к = а + 261 — | [!] — (и^ и ад^)|. Поэтому [!] содержит а — (к — 261) вершин вне и^ и ад^. Верно и обратное. Утверждение (2) доказано.

Утверждение (3) следует из (1), (2).

Пусть {,г} = Г — (м^ и ад^). Так как число ребер между [и] — [ад] и [ад] — [и] равно 1[и] — [ад]| — ^(и, г), то ^(и, г) = ^(ад, г). □

Из леммы 1.1 следует, что в реберно регулярном графе для любых вершин и, ад, находящихся на расстоянии 2, выполняется неравенство ^(и, ад) ^ к — 2&1 + 1. Пару вершин (и, ад) с !(и, ад) = 2 назовем хорошей, если ^(и, ад) = к — 2&1 + 1. Если любая пара несмежных вершин графа Г является хорошей, то Г оказывается графом Тервиллигера без 3-лап и по теореме 1.2.3 из [1] получим, что Г — граф прямых некоторого реберно регулярного графа Д с кд = 2(Л^ + 1) или граф икосаэдра.

Пусть до конца параграфа Г — реберно регулярный граф с параметрами («, к, Л). Число ребер в Г (в окрестности вершины из Г) равно «к/2 (равно кЛ/2), поэтому «к и кЛ четны. Число треугольников в Г равно «кЛ/6, поэтому «кЛ делится на 3.

Лемма 1.2. Пусть (и, ад) — хорошая пара и ^(и, г) ^ к — 261 +2 для смежной с ад вершины г из Г2(и). Тогда |[и] П [ад] П [г]| < 2.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 1.6 работы [5]. □

Лемма 1.3. Пусть и € Г и ад, г — несмежные вершины из Г2(и) с ^(и,ад) = ^(и, г) = к — 261 + 2. Если к > 361 — 3, то |[и] П [ад] П [г]| < 2.

Доказательство. Утверждение следует из лемм 4, 5 работы [3]. □

Лемма 1.4. Пусть Г — реберно регулярный граф с к ^ З61 —3, ^(и, ад)+^(и, г) = 2к — 4&1+4 для смежных вершин ад, г из Г2(и), Д = [и] П [ад] П [г] и 6 = |Д|. Тогда выполняется одно из утверждений:

(1) Д содержит две несмежные вершины и 6 = 2;

(2) вершины ад, г смежны, Д является кликой и если 6 > 1, то либо

(г) подграф Д содержит единственную вершину !, смежную с вершиной вне и^ и [ад] и [г], 6 = 2 и для е € Д(!) подграф [!] и [е] содержит [ад] П [г] — [и], а [!] П [е] содержится в {и, ад, г} и ([и] П ([ад] и [г])) и ([ад] П [г] — [и]), либо

(гг) подграф Д не содержит вершин, смежных с вершиной вне и^ и [ад] и [г], и для любых двух вершин е € Д подграф [!] П [е] содержит Л — 1 + 7 вершин из {и, ад, и ([и] П ([ад] и [г])) и ([ад] П [г] — [и]), где 7 = |Д — ([!] и [е])|.

Доказательство. Это лемма 1.7 из [5]. □

Сильно регулярные графы с собственным значением —2 были классифицированы Зей-делем (теорема 3.12.4 [1]). Любой Зейделев граф — это либо полный многодольный граф КГХ2, либо решетчатый или треугольный граф, либо один из графов Шрикханде, Чанга, Петерсена, Клебша или Шлефли.

Лемма 1.5. Пусть Г — сильно регулярный граф, имеющий целочисленные собственные значения, и 61 = к — Л — 1. Тогда

(1) если 61 — простое число, то Г является полным многодольным графом КгХ(ь1 + 1) или Зейделевым графом;

(2) если bi = 2p, p — простое число, то Г либо является полным многодольным графом, либо имеет собственное значение —2 или -3, либо является дополнительным к Зейделеву графу;

(3) если bi = 6, то Г является полным многодольным графом KrX7, графом с параметрами (25, 12, 5, 6), 7 х 7-решеткой, треугольным графом T(9), дополнительным графом к 5 х 5-решетке или к треугольному графу T(7), графом Хофмана-Синглтона или его дополнением, графом с параметрами (26,10, 3, 4) или его дополнением.

Доказательство. Утверждения (1-2) следуют из леммы 4 работы [2]. Пусть bi = 6. Если Г является Зейделевым графом или дополнительным к Зейделеву графу, то заключение леммы выполняется. Пусть Г имеет собственное значение —3. Тогда bi = 6 = 2(n — 2), n = 5, k = A + 7 и y = A +1. Из прямоугольного соотношения и условия целочисленности следует, что A + 1 делит 6(A + 7) и 5(A + 1) делит 2(A + 7)(A +10). Отсюда A G {0, 3, 5, 8, 35}. В случае A = 0 граф Г является графом Хофмана-Синглтона. В случае A = 3 граф Г является графом Пэли с параметрами (26,10, 3,4). В случае A = 5 граф Г имеет параметры (25,12, 5, 6). В случае A = 8 граф Г является дополнительным к графу с параметрами (26,10, 3,4). Наконец, в случае A = 35 граф Г является дополнительным к графу Хофмана-Синглтона. □

Лемма 1.6. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, A) и bi = 6. Если k ^ 25, то либо граф Г сильно регулярен, либо Г принадлежит MP(6).

Доказательство. Пусть Г — неполный связный реберно регулярный граф с параметрами (v,k, A), не являющийся сильно регулярным. Ввиду теоремы 1.4.3 из [1] имеем k < (bi + 3bi +2)/2 и v < 1 + k + kbi/(k — 2bi + 1). В случае bi = 6 имеем k < 27 и v < 1 + k + 6k/(k —11).

Если k ^ 25, то ввиду следствия из [5] либо граф Г принадлежит MP(6), либо для графа Д = Г выполняется одно из следующих утверждений:

(г) граф Д разбивается дополнительными графами для 4-трапов Мебиуса Ф1, ..., Фг, где r = v/8 и граф Д* на множестве вершин {Ф1,..., Фг}, в котором вершины Ф^ и Ф^- смежны, если некоторая вершина из Ф^ смежна с вершиной из Ф^- в графе Д, является сильно регулярным с параметрами (v/8, t2 — 9, 6,16) и t =12 или 36;

(гг) граф Д разбивается 3 х 3 решетками Qi,..., Qs, где s = v/9 и граф Д° на множестве вершин {Qi,..., Qs}, в котором вершины Qj и Qj смежны, если некоторая вершина из Qj смежна с вершиной из Qj в графе Д, является сильно регулярным с параметрами (v/9,t2 — 7, 8,18) и t = 7,14 или 28;

(ггг) граф Л на множестве вершин графа Д, в котором вершины u, w смежны, если они смежны в Д и |Д(и) П Д^)| =0, — дистанционно регулярный граф диаметра 4 либо имеющий массив пересечений {136,135, 6,1; 1, 2,135,136} и являющийся антиподальным 4-накрытием сильно регулярного графа с параметрами (2432,136,0, 8), либо имеющий массив пересечений {x, x — 1, 4,1; 1, 2, x — 1, x} и являющийся антиподальным 3-накрытием сильно регулярного графа с параметрами ((x + 2)(ж + 3)/6, x, 0, 6).

Так как v ^ 38, то граф Г принадлежит MP(6). □

Лемма 1.7. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (v, k, A). Если k ^ 3bi, то диаметр Г не больше 2.

Доказательство. Это лемма 1.4.1 из [1]. □

Лемма 1.8. Пусть Г — связный вполне регулярный граф с параметрами A ^ « = 1. Если d(u, w) = г, г ^ 2 и x G [w] П Г$_1(и), то Cj(u, w) ^ Cj_i(u, x) + 1 и Cj(u, w) ^ y — 2 + i.

Доказательство. Доказательство леммы следует из доказательства предложения 1.9.1 [1]. □

2. Графы с Ъ1 = 6, д-подграфы большие или кокликовые

В этом параграфе Г - связный вполне регулярный граф с параметрами (V, к, А, диаметра, большего 2 и 61 = 6. В этом случае ^ ^ 61. Если ^ ^ к — 261 + 2, то либо ^ = к — 261 + 1 = к — 11 и Г — граф с ^ = 1, в котором окрестность любой вершины — объединение двух изолированных 6-клик, либо ^ = к — 261 +2 и, по следствию из [6], либо диаметр Г равен 2, либо к = 3. Поэтому можно считать, что ^ ^ к — 261 + 3. Пусть ииху — геодезический путь, сз(и,у) = ¿, [и] П Г2(у) = {иь..., аде} и [у] П ^(и) = {жь ...,ж4}.

Лемма 2.1. Если ^ = 6, то Г является либо полным двудольным графом с удален-

ным максимальным паросочетанием, либо графом Тэйлора с параметрами (28,13, 6, 6), в котором окрестности вершин изоморфны графу Пэли Р(13), либо графом Тэйлора с параметрами (32,15, 8, 6), в котором окрестности вершин изоморфны треугольному графу Т (6).

Доказательство. Пусть ^ = 6. По теореме 1.5.5 из [1] граф Г является многоугольником или графом Тэйлора. По теореме 1.5.3 из [1] окрестности вершин в Г являются коклика-ми или сильно регулярными графами с параметрами (V', к', А', и к' = 2^'. В первом случае к = 7 и Г является полным двудольным графом Кэ^ с удаленным максимальным паросочетанием.

Во втором случае к' = А и V' = к. Если = 2, то к' = 4 и V' = к = 9. Противоречие с тем, что в этом случае 61 = 4. Если = 3, то к' = 6 и V' = к = 13. В этом случае 18 = 6(5 — А'), поэтому А' = 2 и окрестности вершин в Г изоморфны графу Пэли Р (13).

Если = 4, то к' = 8 и к = 15. В этом случае окрестность каждой вершины в Г изоморфна треугольному графу Т(6). □

Лемма 2.2. Параметр ц не равен 5.

Доказательство. Пусть ^ = 5. По прямоугольному соотношению к61 = к2^ параметр к делится на 5 и по лемме 1.7 имеем к ^ 15. Если к = 15, то ^ = к — 261 + 2, противоречие.

Пусть к = 10. Тогда |Г2 (и) | = 12 и по лемме 1.8 имеем £ ^ 6. В случае £ = 6 каждая вершина из {и^,..., ие} смежна с 5 вершинами из {х1, ...,же}, поэтому [и^] П [wj] содержит и и не менее 4 вершин из {х1, ...,Ж(}. В частности, {и1,..., ие} является кокликой. Теперь число ребер между [и1] П {х1, ...,хе} и [и1] — [у] равно 15, поэтому некоторая вершина из [и1] — ({и} и [у]) смежна с 4 вершинами из [и1] П {х1, ...,хе}, противоречие.

В случае £ = 7 подграф П ^] содержит и и не менее 3 вершин из {х1, ...,^7}. В частности, {и1,..., и7} является кокликой. Противоречие как и выше. Итак, сз(и, у) ^ 8 для любой вершины у € Гз(и). Если у, г — различные вершины из Гз(и), то [у] П [г] содержит не менее 4 вершин из Г2(и). Отсюда Гз(и) состоит из вершин, расстояние между которыми равно 2, и сз(и,у) = 10. Поэтому |Гз(и)| = 1, |Г2(и) П Г2(у)| = 2 и Г2Н П Г2Ы = {р,?}. Далее, каждая вершина из [и] и [у] смежна с единственной вершиной из {р, ?} и каждая из вершин р, ? смежна с 10 вершинами из [и] и [у]. Поэтому ¿(р, ?) = 3, и подграф {и,у,р, ?} однозначно восстанавливается по любой его вершине. Таким образом, множество вершин графа Г разбивается шестью 4-кокликами С1,...,Се, где С = {и, у,р, ?}. Если а € С, то вершина а смежна точно с 2 вершинами из С.

Для вершины а € [и] П [р] ее антипод а* принадлежит [д] П [у]. Противоречие с тем, что [р] П [у] содержит не менее 4 вершин, не лежащих в [а] и [а*]. □

Лемма 2.3. Если ц = 4, то к = 12, сз(и,у) ^ 6 и диаметр Г равен 3.

Доказательство. Пусть ^ = 4. По прямоугольному соотношению к четно и V — к — 1 делится на 3. Если Г — граф с к ^ 36х — 2, то, по следствию из [7], либо 61 ^ 2, либо диаметр Г равен 2. Отсюда к ^ 15, причем в случае к = 14 имеем ^ = к — 261 + 2.

Пусть к = 8. Тогда окрестность любой вершины в Г является объединением 4 изолированных ребер и диаметр Г равен 2.

Пусть к = 10. Тогда А = 3, |Г2 (и) | = 15 и по лемме 1.8 имеем £ ^ 5. В случае £ = 5 каждая вершина из |и>1,..., №5} смежна с 4 вершинами из {Ж1,...,Ж5}, поэтому [и^] П [wj] содержит и и не менее 3 вершин из {ж1,..., Ж5}. В частности, {и1,..., и5} является кокликой. Теперь {и1,..., и5} П [Ж1] содержит 6 пар вершин, каждая из которых лежит в пересечении окрестностей 2 вершин из Г — {и, Ж1}. С другой стороны, каждая из вершин {ж2,...,Ж5} смежна с 3 вершинами из {и1,..., и5} П [Ж1], поэтому каждая вершина из [Ж1] — [и] смежна не более чем с одной вершиной из {и1,..., и5} П [Ж1]. Противоречие с тем, что число ребер между {и1,..., и5} П [Ж1] и [ж] — [и] равно 4А и не больше А + 2.

В случае £ = 6 каждая вершина из {и1,..., ив} смежна с 4 вершинами из {ж1, ..., Же}, поэтому для смежных вершин Wj подграф [wi]П[wj] содержит и и 2 вершины из {ж1, ..., же}. В частности, [и$] и [wj] содержит {ж1, ..., Жб} и {и1,..., ив} не содержит треугольников. Если и1и2из является 2-путем, то [wl] П ^3] содержит и, W2 и 2 вершины из {ж1, ...,же}.

Пусть г € [у] П Гз(и). Тогда [и] П Г2(у) П Г2(г) содержит 2 вершины wi, Wj. Далее, содержит по 4 вершины из [у], [г] и не менее 2 вершин из [у] П [г]. Без ограничения общности, Ж1,Ж2 € П [у] П [г]. Тогда [Ж1] П [Ж2] содержит у, г и 2 из {wl, ..., Wб}, поэтому [Ж1] и [Ж2] содержит {wl, ...,Wб} и {wl, ..., Wб} = [и]ПГ2(г). Теперь можно считать, что [у] П [г] ПГ2(и) = {Ж1, Ж2, жз}, [Ж1] П [Ж2] — {у, г} = W2}, [Ж1] П [жз] — {у, г} = {wз, W4} и [Ж2] П [жз] — {у, г} = {w5, Wб}. Противоречие с тем, что ^^П^] содержит и, Ж1, Ж2 и по вершине из [у]ПГ2(и) —[г] и из [г] П Г2(и) — [у].

Значит, [у] П Г4(и) является 4-кликой и [у] П Гз(и) — призма или полный двудольный граф Кз з. Противоречие с тем, что [у] П Г2(и) не содержит четырехугольников.

Пусть £ = 7, г € [у] П Гз(и). Тогда [и] П Г2(у) П Г2(г) содержит 4 вершины и число ребер между ^1, ..., W7} ПГ2(г) и {ж1, ..., Ж7} П [г] не меньше 8. Если | [г] П {ж1, ..., Ж7}| = 2, то | [и] ПГ2(г) | =4 и для различных вершин а, е € [г] П {ж1, ..., Ж7} подграф [а] П [е] содержит у, г и 4 вершины из [и] ПГ2(г), противоречие. Если |[г] П {ж1, ..., Ж7}| = 3, то снова |[и] ПГ2(г) | = 7 и некоторая вершина из [г]П{ж1,..., Ж7} смежна с 5 вершинами из ^1,..., W7}, противоречие.

Пусть £ = 8, г € [у] П Гз(и). Тогда [и] П Г2(у) П Г2(г) содержит 6 вершин и число ребер между ^1, ..., wg} П Г2(г) и {ж1, ..., Ж8} П [г] не меньше 12. Поэтому |[г] П {ж1, ..., Ж7}| =3 и каждая вершина из Г — ({у, г^и^!, ...^8^Г2(г)) смежна не более чем с одной вершиной из [г]П{ж1, ..., Ж7}. Для отличной от г вершины г' из [у]ПГз(и) подграф [г'] ПГ2(и) содержит 2 вершины вне [у] и [г] и по 3 вершины из [у] — [г] и из [г] — [у]. Поэтому для отличной от у вершины у' из [г] П Гз(и) подграф [у'] П [г'] П Г2(и) содержит 2 вершины вне [у] и [г] и по вершине из [у] — [г] и из [г] — [у]. Далее, ^1,...^8} П Г2(г) П Г2(у') П Г2(г') содержит 2 вершины Wj, Wj и [wj] П [wj] содержит и и 4 вершины из {ж1, ...,жэ} П ([г] и ([у'] П [г'])), противоречие.

Как и ранее доказывается, что сз(и, у) = 9. Поэтому сз(и, у) = 10, |Гз(и)| = 1 и |Г2(и) П Г2(у)| = 5. Так как для любой вершины р € Г2(и) П Г2(у) подграф [р] содержит по 4

вершины из [и], [у] и 2 вершины из Г2(и) ПГ2(у), то Г2(и) ПГ2(у) является пятиугольником. Противоречие с тем, что для каждой вершины и найдется единственный антипод и*, а число вершин V нечетно.

Пусть к = 12. Тогда А = 5 и |Г2(и) | = 18. В случае £ = 4 каждая вершина из {и1, ...,и4} смежна с 4 вершинами из {х1,...,х4}, поэтому [и] П [и^-] содержит и и 4 вершины из {х1, ...,х4}. Поэтому {и1, ..., и4} является кликой. Противоречие с тем, что [и1] П [и2] содержит и, из, и4 и 4 вершины из {х1, ...,х4}.

В случае £ = 5 каждая вершина из {и1,...,иб} смежна с 4 вершинами из {х1,...,хб}, поэтому [и^]П[и^] содержит и и не менее 3 вершин из {х1,..., х5}. Без ограничения общности, вершина и^ не смежна с х$. Пусть степень вершины и1 в графе {и1,..., и5} равна а. Если а = 4, то степень вершины и^ в графе {и2,..., и5} не больше 1 и число ребер между {и2,..., и5} и [и] — Г2 (у) не меньше 12. Противоречие с тем, что [и] — Г2(у) содержит не менее 5 вершин, смежных с парами вершин из {и2, ...,и5}.

Если а = 3 и вершина и5 не смежна с и1, то вершина и1 изолирована в графе {и1,..., и5} и число ребер между {и1, ...,и4} и [и] — (Г2(у) и [и5]) не меньше 11, противоречие.

Если а = 2 и если вершины и4, и5 не смежны с и1, то [и4] П [и5] содержит и, 3 вершины из {х1, ...,х5} и вершину из [и] — {и1, ...,и5}. В этом случае [и] — {и1, ...,и5} содержится в [и4] и [и5], противоречие с тем, что [и2] содержит не менее 3 вершин из [и] — {и1, ...,и4}.

Если а =1 и вершины из, ...,и5 не смежны с и1, то можно считать, что вершина и5 изолирована в графе {и1, ...,и5} и число ребер между {и1, ...,и4} и [и] — (Г2(у) и [и5]) не меньше 16, противоречие.

Значит, подграф {и1, ...,и5} является кокликой и [и] П [и^- ] содержит и и 3 вершины из {х1, ...,х5}. Противоречие с тем, что число ребер между {и1, ...,и5} и [и] — Г2(у) равно 25.

В случае £ = 6 каждая вершина из {и1,...,ив} смежна с 4 вершинами из {х1,...,хв}. Для вершин € {и1, ...,ив} — [хв] подграф [и] П [и^-] содержит и и не менее 3 вершин

из {х1, ...,х5}.

Покажем, что подграф [и] П [х$] получается удалением из 4-клики не менее двух ребер. Без ограничения общности, [и] П [х$] = {и1,...,и4}. Если {и1, ...,и4} является кликой, то [и1] П [и2] содержит и, х^,из,и и не более одной вершины из [у] П Г2(и) — {х^}. Поэтому [и1] и [и2] содержит [у] П Г2(и). Противоречие с тем, что [из] П [и4] содержит и, х^, и1, и2 и 2 вершины из [у] ПГ2 (и) — [и1]. Пусть подграф [и] П [х$] получается удалением из 4-клики ребра {и1,и2}. Тогда [и1]П[и2] содержит и, х4,из,и4 и вершину из [у]ПГ2(и) — {х4}, противоречие.

Заметим теперь, что диаметр Г равен 3. В противном случае для геодезического пути иихуг число ребер между ([и] П [х]) и ([х] П [г]) и [х] — ([и] и [г]) не меньше 24 и некоторая вершина из [х] — ([и] и [г]) смежна с 6 вершинами из ([и] П [х]) и ([х] П [г]), противоречие. □

В леммах 2.4-2.6 предполагается, что каждый ^-подграф является кокликой. Тогда окрестность любой вершины является объединением изолированных клик и А +1 делит 6. Если окрестность каждой вершины в Г является объединением двух изолированных 6-клик, то ц =1.

Лемма 2.4. Если Г является регулярным графом без треугольников, то либо ц = 1, либо ^ = 2, граф Г является ректаграфом с V ^ 2 7 и диаметра, не большего 7 (в случае V = 27 или ](Г) = 7 граф Г является 7-кубом).

Доказательство. Если А = 0, то ц € {1, 2, 3}. В случае ц = 2 граф Г является ректаграфом, по предложению 1.13.1 из [1] имеем V ^ 27 ив случае V = 27 граф Г является 7-кубом. По теореме 1.13.2 из [1] диаметр Г не больше 7 и в случае ](Г) = 7 граф Г является 7-кубом.

Если диаметр Г равен 6 и р^иаджу^ — геодезический путь в Г, то сз(р, ад) + сз(г, ад) ^ 7, поэтому можно считать, что сз(р, ад) = 3.

В случае ^ = 3 по предложению 1.9.1 из [1] имеем сДе, /) ^ 1 + г для вершин е, / с

!(е /) = г

Пусть сз(и,у) = 4 = 4. Тогда [ад^] П [ад^-] содержит и и 2 вершины из [у] П Г2(и). Если г € [у] П Г4(и), то [ж] П [г] содержит различные вершины у, у'. В этом случае {ад>1, ...,адз} = [и] П [ж] содержится в Г2(у) П Г2(у'). Поэтому [у'] П Г2(и) — {ж} содержит по 2 вершины из [ад^] для г = 1, 2, 3. Отсюда |[у'] П Г2(и)| ^ 7, противоречие.

Положим {у1,у2,уз} = [у] ПГз(и). Тогда [и] П Г2(у1) содержит единственную вершину из Г2(у), в частности, сз(и,у^) = 4. Аналогично, [и] П Г2(у2) содержит единственную вершину из Г2 (у) и Г2 (у1) П Г2 (у2) П Г2 (уз) содержит [и] — Г2(у). Противоречие с тем, что для двух вершин ад5,адб € [и] — Г2(у) подграф [ад5] П [адд] содержит 2 вершины из [у1] П [у2].

Пусть 4 = 5. Тогда для wi, Wj € [и]ПГ2(у) —[Ж1] подграф [ад^]П[ад^] содержит и и 2 вершины из [у] П Г2(и). Если г € [у] П Г4(и), то [ж] П [г] содержит 3 вершины у, у', у''. Если [у] П [у'] содержит 2 вершины ж, ж', то [ж] П [ж'] содержит у, у' и вершину из [и] П Г2(у). В этом случае [и] П Г2 (у) = [и] П Г2 (у') и для wi, Wj € [ж] подграф П [wj] содержит и, ж' и по вершине из Г2(и) — [у] и из Г2(и) — [у'], противоречие. Значит, [у] П [у'] содержит единственную вершину из Г2(и). Противоречие с тем, что для w € [и] П [ж] подграф П Г2(и) — {ж} содержит по 2 вершины из [у], [у'] и из [у''].

Положим {у1,у2} = [у] П Гз(и). Тогда [и] П Г2(у1) содержит не менее 3 вершин из Г2(у). Отсюда [и] П Г2 (у) содержит вершину w из Г2(у1) П Г2(у2). Подграф [w] П Г2(и) содержит по 3 вершины из [у] и из [у1] П [у2], противоречие.

Пусть 4 = 7. Если Гз(и) П Гз(у) содержит вершину г, то Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {7, 6,1; 1, 3, 7}. Противоречие с тем, что некоторое собственное значение графа имеет не целочисленную кратность.

Положим Д = Г2(и) П Г2(у). Если р € Д, то [р] содержит по 3 вершины из [и], [у] и вершину из Д и Гз(и) и Гз(у). Далее, для любой вершины ж € [у] подграф [ж] содержит у и по 3 вершины из [и] и из Д. Так как |Д| = 7, то можно считать, что [р] содержит вершину г из Гз(и) П Г2 (у). В этом случае [г] содержит 3 вершины из [у] и 3 или 4 вершины из Д, противоречие.

Итак, Г — граф с сз = 6. Если г € [у] П Гз(и), то [и] П Г2(у) П Г2(г) содержит не менее 5 вершин, каждая из которых смежна с 3 вершинами из [у] и с 3 из [г]. Для вершины ц € Г2(и) — ([у] и [г]) подграф [ц] содержит не более 2 вершин из [и], противоречие. Итак, в случае Л = 0 выполняется заключение леммы. □

Лемма 2.5. Если окрестность каждой вершины в Г является объединением четырех изолированных ребер, то либо Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8, 6,1; 1, 3, 8}, либо ^ < 2.

Доказательство. Пусть Г — граф с Л =1. Если ц = 2, то по предложению 1.9.1 из [1] имеем сДе, /) ^ г и диаметр Г не больше 7.

Пусть ц = 3. Тогда |Г2(и) | = 16 и сз(и, у) ^ 4. Далее, любая вершина из Г2(и) смежна с единственной вершиной или с ребром из Гз(и). Если сз(и, у) = 4 = 4, то ^] П [ж^] содержит у и 2 вершины из Г2(у)П [и], поэтому подграф [и]ПГ2(у) является кокликой. Для г € Гз(и)П[у] подграф [и] П Г2(г) содержит 3 вершины wl,w2,wз из [и] П [ж], где ж € [у] П [г]. Так как

П [wj] содержит и и 2 вершины из [у] ПГ2(и), то [г] ПГ2(и) — {ж} содержит по 2 вершины из ^1], ^2], [wз] и сз(и, г) = 7.

Для х' € Гз(и) П [у] — {х} подграф [и] П Г2(х') содержит 3 вершины и^, и>2, и из [и] П [ж'], где ж' € [у] П [х], причем [х'] П Г2(и) — {ж'} содержит 2 вершины из [и^] и |[и1 П Г2(и)| ^ 7, противоречие.

Значит, 4 ^ 5 и [у] П Г2(и) содержит ребро {ж1, ж2} и 4 ^ 6.

Допустим, что Гз(и) содержит 2 несмежные вершины у, х. Если й(у, х) = 2, то [у] П [х] С Гз(и) и Г4(и), противоречие с тем, что сз(и, у) ^ 6. Значит, й(у, х) ^ 3 и диаметр Г равен 3 (иначе для о € [у] П Г4(и) подграф [о] П Гз(и) содержит несмежную с у вершину у', противоречие). Далее, сз(и, у) = 8. В противном случае для о € [у] П Гз(и) подграф Г2(и) содержит не менее 11 вершин из [о] П [у] и не менее 6 вершин из [х]. Таким образом, Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8, 6,1;1, 3, 8}, и выполняется заключение леммы.

Пусть Гз(и) является кликой. Если |Гз(и)| = 1, то V = 26, противоречие с тем, что vkА делится на 3. Если Гз(и) = {у, х}, то сз = 7 и |[и] П Г2(у) П Г2(х) ^ 6. Противоречие с тем, что для вершины о из Г2(и) — ([у] и [х]) получим |[и] П [о]| ^ 2. □

Замечание. Каждый дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8,6,1; 1, 3,8} отвечает спреду обобщенного четырехугольника С^(2,4) и С^(2,4) с точностью до изоморфизма имеет 2 спреда.

Лемма 2.6. Если окрестность каждой вершины в Г является объединением трех изолированных треугольников, то либо Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9}, либо ц =1.

Доказательство. Пусть Г — граф с А = 2 и ц = 2. Тогда диаметр Г равен 3, |Г2 (и) | = 27, и любая вершина из Г2(и) смежна с п-кликой из Гз(и), п ^ 3. По лемме 1.8 имеем сз(/, д) ^ 3 для любых вершин /, д с й(/, д) = 3.

Покажем, что Г2(и) П [у] содержит 3-коклику. Если сз (и, у) = 4 = 3, то [ж^ П [ж^] содержит у и вершину из Г2(у) П [и], поэтому подграф [и] П Г2(у) является кокликой. Симметрично, подграф [у] П Г2(и) является кокликой. Если 4 ^ 5, то [у] П Г2(и) содержит 3-коклику. Пусть 4 = 4 и подграф [у] П Г2(и) содержит изолированные ребра {ж1,ж2} и {жз,ж4}. Так как подграфы [и] П [ж1] = {^1,^2} и [и] П [ж2] = {из,и>4} являются непересекающимися 2-кокликами, то можно считать, что вершина и>1 смежна с вершиной из и подграф [и] П Г2(у) является объединением изолированного ребра {и>1, из} и подграфа {и>2, №4}. Повторив рассуждения для ребра {жз,ж4}, убедимся, что единственная пара вершин из {и>1, ...,и>4}, попадающая в окрестность вершины из Г — (м^ и {ж1,..., ж4}), — это {и2, №4} (при условии, что вершины и>2,и>4 не смежны). Пусть {х1,х2,хз} = [у] П Гз(и), Д состоит из вершин в Гз(и) — {у, х1, х2, хз}, смежных с вершиной из {у, х1, х2, хз}. Тогда |Д| = 8 и Д имеет 12 ребер. Пусть Я состоит из вершин в Г2(и), не смежных с вершинами из {у, х1, х2, хз}. Тогда |Я| = 11, сз(и, х) ^ 5 для х € Д и число ребер между Я и Д не меньше 24. Пусть Yi — число вершин из Я, смежных точно с г вершинами из Д. Тогда ^ Yi = 11, ^ ^ ^ 24. Так как Yi = 0 для г > 3 и 7з ^ 3, то либо 7з = 3,72 = 7 и 71 = 1, либо 7з = 2 и 72 = 9. В любом случае число ребер в Д больше 12, противоречие.

Допустим, что Гз(и) содержит 3-клику {у1, ...,уз}. Тогда {у1, ...,уз} С [ж] для некоторой вершины ж € Г2(и), и 4 ^ сз(и, yi) ^ 7. Положим {^1,^2} = [и] П [ж]. Тогда [и>1] содержит по треугольнику из и^, ж^ и еще один треугольник {г1,г2,гз} из Г2(и). Аналогично [и2 содержит треугольник {в1, в2, вз} из Г2(и) — ж^. Далее, [^1] П [yi] содержит ж и вершину из {г1,г2,гз}. Без ограничения общности, вершина yi смежна с гi и с

Заметим, что треугольник [и! Пж^ изолирован от {г1, Г2, гз} и от {в1, в2, вз} (например,

[гг] П [ж] = {и1,у}). Более того, вершины не смежны для различных € {1, 2, 3}

(например, Г] П [^2] = {г2, У1} и вершины Г1, в2 не смежны). Положим [и] П = {и>3, и>4}. Если вершины Г1, в1 смежны, то [и^] П [в^ содержит вершину из {и>з,и>4}. Если вершины гг, смежны для всех г, то одна из вершин в {и>з, иц} смежна с 2 вершинами из {в1, в2, вз}, противоречие. Пусть, для определенности, вершины Г1, в1 не смежны. Заметим, что [^з] П[ж] содержит и>1 и вершину из треугольника [^2] П ж2, поэтому треугольник [и] — (и^ и ад^) попадает в Г3 (ж).

Допустим, что [^1] П Гз(и) содержит вершину 21. Тогда [ж] П [21] содержит у1 и вершину о из [ж] П ([^1] и [и^]). Без ограничения общности, о € [и^] и [и! П [21] содержит о и вершину из {г1,г2,гз}. Так как для г > 1 подграф [У1] П [гг] содержит Г1,у, то 21 € [Г1]. Более того, для любого г вершины гг, не смежны.

Для г > 1 подграф [у] П [21] содержит у1 и вершину 2г € Гз(и). Так как вершины 22,23 не попадают в Пу^) и (2^ Пг^), то 22, 23 € [о], вершина 22 смежна с Г2 и 23 смежна с Г3. Значит, клика {2 1, 22,23} содержится в [о] и [и]П[о] = {и, и 1}. Напомним, что [и] — (и 1 Хиш}) содержится в Г3(ж), поэтому и € [и^]. Отсюда [и] — (и 1 ±и и^) содержится в Г3(ж) П Г3(о).

Заметим, что [и^] не пересекает {Г1,Г2,Г3}, иначе € {Г1,Г2,Г3} для некоторого г € {1, 2, 3}. Положим [и] П и>2~ = {и2, и, и'}. Так как [и] П [гг] содержит вершину из {и>2, и, и'}, то Г1,Г2,Г3 € [и'], противоречие.

Итак, треугольник {у1,у2,у3} изолирован в Щи), |Г2(и) П (и»[уг])| = 19 и С3(и, уг) = 7. Если Г3(и) — {у1,у2,У3} содержит вершину 2, то ¿(у, 2) = 3 и ^(и) = {у1 ,У2,У3,2}, противоречие с тем, что [2] пересекает Г2(и) П (иг[уг]). Таким образом, Г3(и) = {у1,у2, У3}. Положим Я = [ж] П Г2(и), Я' = Г2(и) — ((иг[у]) и [ж]). Тогда |Я| = |Я'| = 4, для любой вершины р € Я подграф [р] П Я' является ребром, и для любой вершины ц € Я' подграф [ц] содержит по 2 вершины из [и], Я и четное число вершин из Г2(и) П (иг[уг]). Поэтому Я' является 4-кликой. Противоречие с тем, что каждая вершина из Я' смежна с 2 вершинами из [и] — [ж], и некоторая вершина из [и] — [ж] смежна с 2 вершинами из Я'.

Мы доказали, что для любой вершины и подграф Г3(и) не содержит треугольников. Поэтому, в частности, С3(и, у) ^ 2. Допустим, что Г3(и) содержит 2-путь. Тогда связная компонента Д графа Г3(и), содержащая этот путь, является ректаграфом степени, не большей 3. Отсюда Д — четырехугольник или куб. Если же Г3(и) не содержит 2-путей, то Г3(и) является объединением изолированных вершин и ребер.

Если Д — куб, то число ребер между Д и Г2(и) равно 48, причем каждая вершина из Д смежна с 3 изолированными ребрами из Г2(и). Поэтому Г2(и) содержит ровно 3 вершины Р1 ,р2,р3, не смежные с вершинами из Д и Г3(и) = Д. Если ц, ц* — антиподы графа Г3(и), то Г3(ц) — куб, антиподами в котором являются и, ц*. Поэтому Р1,Р2,Р3 лежат в Г2(ц) для любой вершины ц из Г3(и). Противоречие с тем, что [р1] содержит не менее 8 вершин из Г2(и).

Через Р(и) обозначим множество вершин из Г2(и), не смежных с вершинами из Г3(и). Тогда для любой вершины р € Р(и) подграф р2 содержит единственную 4-клику из Г2(и), причем каждая вершина из этой 4-клики принадлежит Р(и). Поэтому Р(и) имеет разбиение 4-кликами, и |Р(и)| делится на 4.

Если Д является 4-циклом у1, у2, У3, У4, то число ребер между Д и Г2(и) равно 28, причем каждая вершина у из Д смежна в Г2(и) с 2 изолированными ребрами и треугольником. Поэтому Г2(и) содержит 7-вершиный подграф Р(и) = {р1, ...,р7}, противоречие.

Если |Г3(и) | = 1, то |Р(и)| = 18, противоречие.

Пусть |Г3(и)| = 2. Если Г3(и) является кокликой, то |Р(и)| = 9, а если Г3(и) является

кликой, то |Р(и)| = 13. В любом случае имеем противоречие.

Пусть |Гз(и)| = 3. Если Гз(и) является кокликой для любой вершины и, то Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9} и выполняется заключение леммы. Если Гз(и) является объединением ребра {у, у'} и изолированной вершины г, то |Р(и)| = 4. В этом случае Гз(г) = {и, у, у'} и |[и] П Г2 (у) | = |[г] П Г2 (у)| = 8, противоречие.

Пусть |Гз(и)| = 4. Если Гз(и) является кокликой, то |Г2(и)| ^ 36. Значит, Гз(и) содержит ребро {у, у'}. Число ребер между Г2(и) и {у, у'} равно 14. Если Гз(и) — {у, у'} является кокликой, то |Г2(и)| ^ 32, а если Гз(и) — {у, у'} является ребром, то |Г2 (и) | ^ 28. В любом случае имеем противоречие. □

Замечание. Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений

{9, 6,1; 1, 2, 9} существует. Он получается удалением спреда из обобщенного четырехугольника С^(3, 3).

3. Графы с Ъ1 = 6, д-подграфы малые, но не все кокликовые

До конца работы будем предполагать, что некоторый ^-подграф не является кокликой. Зафиксируем геодезический путь ииху и положим [и] П Г2(у) = {и1,..., [у] П Г2(и) = {х1, ...,ж4}. В случае £ = 4 либо {и1,..., и4} является кокликой, либо для смежных вершин wi,wj подграф П [wj] содержит и и не менее двух вершин из {ж1, ...,^4}. В последнем случае А ^ 3 и к ^ 10.

Пусть ^ = 2. Так как к — 261 +2 ^ 2, то к ^ 12. В случае к =12 имеем ^ = к — 261 + 2 и, по следствию из [9], Г является графом Зейделя. Если к ^ 8, то каждый ^-подграф является кокликой. Поэтому 9 ^ к ^ 11.

Лемма 3.1. Если ц = 2 и к ^ 10, то Г — граф Конвея-Смит или граф Доро.

Доказательство. Пусть ^ = 2 и к = 9. Тогда окрестность каждой вершины является одним из графов:

(г) девятиугольником;

(гг) объединением треугольника и шестиугольника; (ггг) объединением четырехугольника и пятиугольника.

Пусть [а] содержит треугольник {61, 62, 6з} и 6-цикл с1с2...се. Тогда Г2(а) имеет разбиение на 3 шестивершинных подграфа {[с] — а^ | г = 1, 3, 5}. Противоречие с тем, что Г2(а) П [с2] содержит по вершине из [с1], [сз] и не более 2 вершин из [сб].

Если [а] содержит 4-цикл 6162...64, то ^(61, 6з) = 3, противоречие.

Итак, в случае к = 9 граф Г является локально девятиугольным. Пусть [а] содержит 9-цикл 6162...69. Положим В = [6^] — а^. Тогда Вз не пересекает В1,Вб и |В1 П Вб| ^ 1. Противоречие с тем, что В2 содержит по вершине из В1, Вз и не более 2 вершин из В5.

Пусть ^ = 2 и к = 10. Тогда окрестность каждой вершины является регулярным графом степени 3 на 10 вершинах. Ввиду теоремы 1.16.3 из [1] граф Г является локально Петерсеновским графом Тервиллигера, поэтому Г — граф Конвея-Смит или граф Доро. □

Лемма 3.2. Если ц = 2, то к = 11.

Доказательство. Пусть ^ = 2 и к = 11. Тогда окрестность Я вершины а является регулярным графом степени 4 на 11 вершинах с ^ = 1.

Если Я содержит 5-клику К, то Я — К является октаэдром, противоречие. Если Я содержит 4-клику Ь = {61, ...,64}, то Я — Ь содержит 4 вершины С1,..., С4, такие, что с смежна с 6. Для несмежной с С1 вершины 6 € Ь получим [6] П [С1] = {а, 61}, поэтому ЬП [с] = {6}. Если вершины С1, С2 смежны, то [62] П [С1] содержит вершину С2, противоречие. Поэтому подграф {с1,..., С4} является кокликой, и [С1] П [С2] содержит 3 вершины из Я — {61,..., 64, С1,..., С4}, противоречие.

Заметим, что число ребер между Я(6) и Я2(6) не больше 6. Так как р^ = 1, то Я(6) является объединением изолированных клик порядка, не большего 2. Противоречие с тем, что число ребер между Я(6) и Я2(6) не меньше 8. □

Пусть р = 3. Так как к — 261 + 2 ^ 3, то к ^ 13. В случае к = 13 имеем р = к — 261 + 2 и, по следствию из [9], Г является графом Зейделя. Если к ^ 8, то каждый р-подграф является кокликой. Поэтому 9 ^ к ^ 12.

Лемма 3.3. Если р = 3 и к = 9, то Г является локально девятиугольным графом диаметра 3, каждый р-подграф является 3-кокликой или объединением изолированной вершины и ребра, 62(и, х) ^ 3 для любых вершин и, х с ](и, х) = 2 и |Гз(и)| ^ 10.

Доказательство. Пусть к = 9. Тогда окрестность каждой вершины является одним из графов:

(г) девятиугольником;

(гг) объединением треугольника и шестиугольника;

(ггг) объединением четырехугольника и пятиугольника.

Пусть [а] содержит треугольник {61, 62, 6з} и 6-цикл С1С2...С6. Тогда Г2(а) имеет разбиение на 3 шестиугольника {[6^] — а^ | г = 1, 2, 3}. Для любой вершины е из Г2(а) П [61] подграф [е] содержит 3 вершины из [а], и по 2 вершины из [6^] — а^ для г = 1, 2, 3}. Противоречие с тем, что тогда |Гз(а)| = 0.

Пусть [а] содержит 4-цикл 6162...64 и 5-цикл С1С2...С5. Тогда Г2(а) содержит 4 вершины, смежные с ребрами из {61,..., 64}, и 16 вершин, каждая из которых смежна с единственной вершиной из {61, ...,64}, противоречие.

Итак, в случае к = 9 граф Г является локально девятиугольным. Если попарные расстояния между вершинами из [и] П [у] в графе [у] равны 3, то |[у] П Гз(и)| = 0. Заметим, что [и] П [х] = {и1,и2,из} не является 2-путем. В противном случае подграф {и1,и2,из} содержит вершину и степени 2. Тогда [и] содержит 2-путь из и^ и 5-путь из Г2(и), противоречие с тем, что [х] П Г2(и) не пересекает [и]. Таким образом, любой р-подграф является 3-кокликой или объединением изолированной вершины и ребра. Отсюда 62 (и, х) ^ 3 и |Гз(и)| < 10.

Заметим, что диаметр графа Г равен 3. Иначе для геодезического пути иихуг подграф [х] содержит два изолированных 3-вершинных подграфа [и] П [х] и [х] П [г]. Противоречие с тем, что число ребер между ([и] П [х]) и ([х] П [г]) и [х] — ([и] и [г]) не меньше 8. □

Случаю р = 3 и к =10 будет посвящена специальная статья.

Лемма 3.4. Если р = 3 и к = 11, то Г является графом диаметра 3 и Сз(и, у) ^ 5 для любых вершин и, у с ¿(и, у) = 3.

Доказательство. Пусть р = 3 и к = 11. Тогда окрестность любой вершины является регулярным графом степени 4 на 11 вершинах, и |Г2(и) | = 22. Если [и] содержит 5-клику Ь, то [и] — Ь является октаэдром, противоречие.

В случае £ = 3 имеем П [у] = {ж1,ж2,жз} и Ж] П [и] = {wl,w2,wз}, поэтому подграфы {ж1,ж2,жз} и {wl,w2,wз} являются кликами и [wl] П [w2] содержит и, wз, Ж1, Ж2, Жз, противоречие.

Покажем, что диаметр Г равен 3. Пусть uwжyz — геодезический путь в Г, Л = [ж] — ([и] и [г]). Тогда |Л| = 5. Если [и] П [ж] содержит изолированную вершину w, то для р € [и] П [ж] — подграф П [р] содержит и, ж и не менее 2 вершин из Л. Если [и] П [ж] содержит геодезический 2-путь pwq, то [р] П [д] содержит и, w,ж и вершину из Л. Таким образом, [и] П [ж] и [ж] П [г] являются 3-кликами. Если вершина ж' из Л смежна с 2 вершинами р, д из [и] П [ж], то [р] П [д] содержит и, ж, ж' и вершину из [и] П [ж]. Если ¿(ж',г) = 2, то по доказанному [и] П [ж'] является 3-кликой, противоречие. Значит, ¿(ж', г) = 3 и Л содержит 2 вершины Ж1 ,Ж2, смежные с парами вершин из [ж] П [г]. Как и ранее, ¿(и, Ж1) = ¿(и, Ж2) = 3. Теперь любая вершина ж' из Л — {ж1, Ж2} смежна с 2 вершинами из [и] П [ж]. Противоречие с тем, что Ж1,Ж2 смежны с тройками вершин из [ж] П [г].

Пусть £ = 4. Тогда можно считать, что вершины w¿,ж¿ не смежны для любого г € {1,...,4}. Если ^1] содержит w2,wз, то ^2] П [wз] содержит u,Wl,Жl,Ж4, поэтому вершины w2,wз смежны. В этом случае вершины wl,w2,wз не смежны с W4, иначе ^^...^4} является кликой и ^2] П [wз] содержит и, Wl, W4, Ж1, Ж4, противоречие. Заметим, что число ребер между ^1,..., W4} и [и] — ^1, ...,W4} равно 4 + 3 • 2, поэтому некоторая вершина из [и] — ^1, ...^4} смежна с 2 вершинами w¿, Wj из {wl,..., W4}. Противоречие с тем, что П [wj] содержится в {и} и {wl,..., W4} и {ж1, ...,Ж4}. Итак, степень каждой вершины в графе {wl, ...^4} не больше 1. Теперь число ребер между [и] — ^1, ...^4} и {wl,..., W4} не меньше 12. Если г € [и] — ^1,..., W4} и вершина г смежна с 2 вершинами wi, Wj, то П [wj] содержит и, г и 2 вершины из {ж1, ...,Ж4}, поэтому вершины Wj, Wj смежны. Противоречие с тем, что [и] — } содержит не менее 5 вершин, смежных с парами вершин из

^1, ...^4}, а число ребер в ^1, ...,W4} не больше 2. Итак, £ ^ 5. □

Лемма 3.5. Если ц = 3, то к = 12.

Доказательство. Пусть ^ = 3 и к = 12. Тогда окрестность вершины и является регулярным графом степени 5 на 12 вершинах, причем пересечение окрестностей двух несмежных вершин в графе [и] содержит не более 2 вершин.

Пусть ¿(и, ж) = 2. Если [и] П [ж] содержит изолированную вершину w, то для г, г' € [и] П [ж] — подграф П [г] содержит не менее 3 вершин в каждом из подграфов [ж] — [и] и из [и] — [ж]. Противоречие с тем, что [г] П [г'] содержит и, ж и по 2 вершины из [ж] — [и] и из [и] — [ж].

Если [и] П [ж] содержит геодезический путь WlW2Wз, то ^1] и ^з] содержит 8 из 9 вершин в [ж] — [и]. Далее, ^2] содержит 2 вершины р,р' вне и^ и ж^ и 2 вершины д, д' вне w¡¡L и w¡.

Если {р,р'} не пересекает {д, д'}, то ^2] содержит по 1 вершине, смежной с ребрами четырехугольника {и, ж, Wl, wз}, и можно считать, что р смежна с Wl, д смежна с и. Заметим, что [р] П [и] содержит Wl, W2 и еще не более одной вершины. Симметрично, [р] П [ж] содержит Wl,W2 и еще не более одной вершины. Противоречие с тем, что степень р в графе ^2] не больше 4.

Пусть {р,р'} пересекает {д, д'} точно по 1 вершине, скажем, р = д. Без ограничения общности, р' смежна с Wl, д' смежна с и. Повторив рассуждения из предыдущего абзаца, убедимся, что степень р' в графе ^2] не больше 4.

Если {р,р'} = {д, д'}, то ^2^^] содержит 3 вершины из ([ж] —[и])и([и] —[ж]) для г = 1, 3, для определенности, [и] П ^1] и [ж] П ^з] содержат по 2 вершины из ^2]. Далее, вершины

p,p' смежны (иначе [p] П [p'] содержит W2 и не менее 4 вершин из [W2] — {p,p', u, x, wi, w3}). Положим Ф = [W2] — {p,p', u, x, wi, W3} и [p] П [p'] — = {zi, Z2}. Тогда число ребер между Ф и [W2] — Ф равно 20, поэтому Ф является 6-кокликой. Для w' G Ф — [p] подграф [w'] П [p] содержит w2,p и вершину из {zi, Z2}. Поэтому число ребер между Ф — ([zi] П [Z2]) и {zi, Z2} равно 4, можно считать, что zi смежна с 2 вершинами из Ф — ([zi] П [z2]) и ^(w2,zi) ^ 4, противоречие.

Таким образом, любой ^-подграф является 3-кликой и Г — граф Тервиллигера. Поэтому Д = [u] — регулярный граф Тервиллигера диаметра 2, степени 5 на 12 вершинах с ^д = 2. Так как Д^) — граф на 5 вершинах с ^,(Д^)) = 1, то Д^) является 4-лапой или пятиугольником. Так как Д — граф Тервиллигера, то Д — локально пятиугольный граф и Д — граф икосаэдра. Противоречие с тем, что диаметр Д равен 2. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-01-00009) и РФФИ-БРФФИ (грант 08-01-90006).

Список литературы

[1] A.E.Brouwer, A.M.Cohen, A.Neumaier, Distance-regular graphs, Berlin etc, Springer-Verlag, 1989.

[2] А.А.Махнев, О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов, Известия РАН. Сер. матем, 68(2004), №6, 159-172.

[3] В.И.Казарина, А.А.Махнев, О реберно регулярных графах с bi = 5, Межд. конф. "Алгебра, логика и кибернетика". Тез. докл. Иркутск, 2004, 159-161.

[4] А.А.Махнев, Д.В.Падучих, Об одном классе кореберно регулярных графов, Известия РАН. Сер. матем, 69(2005), №6, 95-114.

[5] А.А.Махнев, Д.В.Падучих, Новая оценка для числа вершин реберно регулярных графов, Сиб. матем. журн, 48(2007), №4, 817-832.

[6] И.Н.Белоусов, А.А.Махнев, О почти хороших парах вершин в реберно регулярных графах, Известия Уральского госуниверситета, 36(2005), №7, 35-48.

[7] А.А.Махнев, И.М.Минакова, Об одном классе реберно регулярных графов, Известия Гомельского госуниверситета. Вопросы алгебры, 3(2000), №16, 145-154.

Amply Regular Graphs with bi = 6

Konstantin S.Efimov Alexander A.Makhnev

The unnoriented graph with v verteces of valency k, such that every edge belongs to A triangles, is called an edge regular graph with the parameters (v, k, A). Let b1 = k — A — 1. In [1] it is proved that a connected edge regular graph with b1 = 1 is either a polygon or a complete multipart graph all of whose parts have order 2. Edge regular graphs with b1 < 5 have been studied in previous work. In the present paper we investigate amply regular graphs with b1 = 6.

Keywords: amply regular graph, unoriented graph.