CC BY
35
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 154, кн. 2 Физико-математические пауки
2012
УДК 519.14
О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ С к = 11, Л = 4
К. С. Ефимов, А. А. Махи,ев
Аннотация
Хорошо известно, что если Г - связный реберно регулярный граф С Ь1 = 1, то Г -многоугольник или полный многодольный граф К„Х2 ■ В работах А.А. Махнева и его учеников были изучены вполне регулярные графы с 2 < Ь1 < 5. В ранней статье авторов изучение вполне регулярных графов с Ь1 = 6 было редуцировано к исследованию графов с к €{10,11,12}. Авторы и М.С. Нирова рассмотрели случай Ь1 = 6, к = 10. В настоящей работе изучены вполне регулярные графы с Ь1 =6 и к = 11.
Ключевые слова: граф, вполне регулярный граф.
Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь - вершины графа Г т0 через 3(а, Ь) обозначается расстояние между а и Ь, а через Г*(а) - подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а. Подграф Г(а) = Гх(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а^ обозначается пода
графа понимаются собственные значения его матрицы смежности. В дальнейшем слово «подграф» будет означать индуцированный подграф.
Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г. Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (у, к, Л), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к и каждое ребро графа Г лежит точно в Л треугольниках. Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (у,к, Л, л), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [Ь] содерж пт л вершин в случае 3(а,Ь) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регуляр 11ым графом..
Через Кт1,...,тп обозначим полный п-дольный граф с долями порядков ш 1,..., шп. Есл и ш\ = ••• = шп = ш, то соответствующий граф обозначается через Кпхт. Граф К1,т называется т-лапой. Треугольным графом Т(ш) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вер шип, |Х | = ш и пары {а, Ь}, {с, смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный
общий элемент. Граф на множестве вершин X х У называется ш х п решеткой, если |Х| = ш, |У| = п и вершины (х1,у1), (ж2,у2) смежны тогда и только тогда, когда x1 = x2 или у1 = у2 .
Полный (вполне несвязный) подграф данного графа называется кликой (кокли-кой).
Если вершины п, ад та расстоянии ^ ^ ^^^^^^ртом графе Г, то через
Ьг(ч, ад) (через с*(п, ад)) обозначим вершин в пересечении Г*+1(п) (пересе-
чении Г*_1(п^ с [ад]. Положим а*(п,ад) = к — Ь*(п, ад) — с*(п,ад). Заметим, что в реберно регулярном графе с параметрами (у, к, Л) значение Ь1 = Ь1(п,ад) не зависит от выбора ребра {п, ад} и равно к — Л — 1. Граф Г диаметра 3 называется
дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {Ь0,..., Ь^_1; с1,..., с^}, если для любого г € {0,..., 3} и любых вер шин п, ад, находящихся на расстоянии г в Г, имеем Ь*(п,ад) = Ь* и с*(п,ад) = с*.
Г
граф сЬ1 = 1, то Г - многоугольник или полный многодольный граф Кпх2. В работах А.А. Махнева и его учеников [2 4] были изучены вполне регулярные графы с 2 < Ь1 < Ъ. В статье [5] изучение вполне регулярных графов с Ь1 = 6 было редуцировано к исследованию графов с к € {10,11,12}. В [6] рассмотрен Ь1 = 6 к = 10 Ь1 = 6 к = 11
Г
(у, 11,4,л)- Тогда л = 3, диаметр Г равен 3, V = 36 и Г3(п) является 2-кликой
п
1. Предварительные результаты
Приведем некоторые вспомогательные результаты, необходимые для доказательства теоремы.
Лемма 1. Пусть Г - сильно регулярный граф с параметрами (у, к, Л, л) • Тогда
либо к = 2л, Л = л — 1 (так называемый половинный случай), либо неглавные
собственные значения п—ш, — ш графа Г - целые числа, где п2 = (Л—л)2 +4(к—л),
к(ш - 1)(к + ш)
п—Л+^= 2т и кратность собственного значения п — т равна ---------------------.
Далее, если ш - целое число, большее 1, то ш — 1 делит к — Л — 1 и
к — Л — 1 к — Л — 1
ц = А + 2 + (т — 1)-------------------, п = т — 1 Н-.
ш — 1 ш — 1
Доказательство. Это лемма 3.1 из [7]. □
Г
подальным г-накрытием п-клики. Тогда п — 2 — Л = (г — 1)л и Г имеет новые собственные значения виг, являющиеся корнями квадратного уравнения х2 — (Л — л)х — (п — 1), и кратноеть в равна
п(п — 1)(г — 1)
1 + 02 •
Доказательство. См. [1. следствие 4.2.6]. □
Лемма 3. Пусть Г - вполне регулярный граф с Ь1 =6 и к = 11. Тогда л = 3
Г2 Г
(у, 11, 4, л)- Тогда л € {1, 2, 3, 6}. В случае л =1 окрестность любой вершины является объединением изолированных клик, противоречие с тем, что Л + 1 = Ъ не делит к = 11.
Пусть л = 6. Тогда к2 = 11. Если диаметр Г равен двум, то V = 23, противоре-ук Г
ГГ
гулярным графом с параметрами (11, 4, Л', 2) и Л' = 0, противоречие с тем, что
(11, 4, 0, 2)
Г 2 Г
метрами (34,11, 4, 3) или (4Ъ, 11,4, 2). Но в первом случае укЛ те делится на 3, а во втором случае ук нечетно, противоречие.
Пусть л = 2. Покажем сначала, что Г - граф Тервиллигера. В противном случае Г содержит 4-цикл п, ад, х,у. Положим X* = Х*({п,ад,х, у}), х* = |Х*|. Тогда Х2 содержит то 4 вершины, смежных с концами ребер из {п, ад, х, у}, х2 = 16. Далее, Х1 содержит то 1 вершине, смежной с в ершиной из {п, ад, х, у}. Теперь для г € Х1 П [п] подграф [п] П [г] содержит то менее 2 вершин из [ад] или из [у], это противоречит тому, что | [ад] П [г] | > 3 или | [у] П [г] | > 3.
Зафиксируем вершину п из Г и пусть Д - связно компонента графа [п]. Тогда Д - регулярный граф степени 4 диаметра 2 с лд = 1- По теореме 1.17.1 из [1] граф Д сильно регулярен с параметрами (у', 4, Л', 1). Так как у' < 11, то Л' = 2,
Д
3-клик. □
2. Случай ^ = 3, РеДУкЦия к с л учаю к3 =8
Г
метрами (у, 11,4, 3). По лемме 3 диаметр Г больше 2. Зафиксируем обозначения: п, ад, х, у - геодезический 3-путь в Г Ф = [п] П Г2 (у), Ф = [у] П Г2 (п) и к* = |Г*(п) |. к2 = 22
Лемма 4. Выполняются следующие утверждения:
(1) для любых двух вершин а, е с 3(а, е) = 2 подграф [а] П [е] не является кокликой, и если [а] П [е] - объединение изолированной вершины и ребра, то Ь2(а, е) + Ь2(е, а) = 0;
(2) если 3(а, е) = 2 и [а] П [е] является геодезическим 2-путем, то Ь2(а, е) < 2;
(3) если х, х' € Г2(п) и подграфы [п] П [х], [п] П [х'] являются кликами, то либо | [п] П [х] П [х'] | < 1, либо [п] П [х] = [п] П [х'];
(4) верны неравенства с3(п, у) > Ъ и Ь2(п,х) < 4.
Доказательство. Пусть 3(а, е) = 2. Тогда |([а] — [е]) и ([е] — [а])| = 16.
Если [а] П [е] является кокликой, то число ребер между [а] П [е] и ([а] — [е])и и ([е] — [а]) равно 24. Если некоторая вершина из ([а] — [е]) и ([е] — [а]) смежна с тремя вершинами из [а] П [е], то каждая го оставшихся вершин в ([а] — [е]) и ([е] — [а])
[а] П [е] [а] П [е]
и ([а] — [е]) и ([е] — [а]) то больше 18. Противоречие. Значит, ([а] — [е]) и ([е] — [а]) содержит три вершины, смежные с парами вершин из [а] П [е], и число ребер между [а] П [е] и ([а] — [е]) и ([е] — [а]) не больше 19. Противоречие.
Если [а] П [е] является объединением изолированной вершины и ребра, то число ребер между [а] П [е] и ([а] — [е]) и ([е] — [а]) равно 20. Если некоторая вершина из ([а] — [е]) и ([е] — [а]) смежна с тремя вершинами из [а] П [е], то ([а] — [е]) и ([е] — [а])
[а] П [е]
число ребер между [а] П [е] и ([а] — [е]) и ([е] — [а]) не больше 19. Противоречие. [а] — [е] [е] — [а]
[а] П [е] [а] П [е]
Ь2(а, е) + Ь2(е, а) = 0. Утверждение (1) доказано.
Пусть 3(а, е) = 2 и подграф [а] П [е] является геодезическим 2-путем ад1, ад2, адз-Тогда [ад1] П [ад3] = {п, ад2, х}, поэтому [е] П ([ад1 ] и [ад3]) содержит 6 вершин из Г2(а) Ь2 (а, е) < 2
Пусть х, х' € Г2(п) и подграфы [п]П[х], [п]П[х'] являются кликами. Тогда либо | [п] П [х] П [х'] | < 1, либо [п] П [х] = [п] П [х']. В противном случае | [п] П [х] П [х'] | = 2
и для двух вершин ад, ад' € [п] П [х] П [х'] подграф [ад] П [ад'] содержит п, х, х' и по вершине из [п] П [х] и из [п] П [х']. Противоречие. Утверждение (3) доказано.
Пусть с3(п, у) = 3. Тогда каждая вершина из Ф смежна с каждой вершиной из Ф. Для двух несмежных вершин ад, ад' из Ф подграф [ад] П [ад'] содержит п и три вершины из Ф, противоречие. Значит, подграф Ф и Ф является 6-кликой, противоречие с тем, что Л-подграф двух вершин из Ф содержит у и четыре вершины ФиФ
Пусть с3(п, у) = 4. Тогда Ф = {ад1,..., ад4}, Ф = {х1,..., х4} и можно считать что вершина ад* те смежна с вер шиной х*. Заметим, что подграф Ф не содержит геодезических 2-путей {ад*,ад^-, ад;}, иначе |[ад*] П [ад^-]| > 4, противоречие. Поэтому Ф Ф Ф Ф
ляются кликами. Если Ф содержит треугольник {ад*,ад^-, ад;}, то подграф [ад1 ]П [ад2] содержит п, ад3, х3, х4, а подграф [ад1] П [ад4] - п,х2,х3. Поэтому каждая вершина
[п] — Ф Ф
[п] — Ф Ф 10 Ф
[п] — Ф Ф 12
двух вершин из [п] — Ф смежны с парами вершин из Ф. Таким образ ом, сз(п, у) > Ъ.
Пусть Ь2(п, х) = 6. Тогда [х] П Г2(п) = {х1,х2}, причем каждая вершина из [х] П [п] смежна с х1, х2. Отсюда ([п] П х^) и{х1,х2} является 6-кликой, противоречие с тем, что Л-подграф двух вершин из [х] П [п] содержит п и четыре вершины из ([п] П х^) и {х1, х2 }.
Пусть Ь2(п, х) = Ъ, [х] П Гз(п) = {у1,..., уб} и [х] П Г2(п) = {хь х2, хз}. Тогда число ребер между ([ад] П Г2(п)) — {х} и {у1,..., у5} равно 10. Далее, каждая вершина из [х] П [п] смежна те крайней мере с двумя вершинами из {х1,х2 ,хз}. По утверждению (2) подграф [п] П [х] = {ад1,ад>2,адз} является 3-кликой и можно считать, что вершина ад* те смежна с х*. Если {х1,х2,хз} является 3-кликой, то подграф {ад1, ад2, ад3, х1, х2, х3} является октаэдром, а х П Г3(п) является 6-кликой. Противоречие с тем, что некоторая вершина из ([ад] ПГ2(п)) — {х} смежна с двумя вершинами из {у1,..., у5}.
Если вершина х' из ([ад] П Г2(п)) — {х} смежна с тремя вершинами из {у1,..., у5}, то х' смежна с х, поэтому х = х* для некоторого г € {1, 2, 3} и [х]П[х* ] содержит две вершины из {ад1,ад2, ад3} и три вершины из {у1,..., у5}. Противоречие. Поэтому каждая вершина из ([ад] П Г2(п)) — {х} смежна ровно с двумя вершинами из {у1,..., у5}. В частности, {х1, х2, х3} является кокликой.
Положим Ш* = [ад*] П Г2(п) — {х, х1, х2, х3}. Так как число ребер между Ш и {у1,..., у5} равно 6, то некоторая вершина у* смежна с 2 вершинами из "1, с 0 вершин из {х, х1, х2, х3}, с 4 вершинами из {у1,..., у5} и с 2 вершинами в каждом из подграфов Ш2, Ш3. Если еще одна вер шина у^- смежна с 2 вершинами из Ш, то [у*] П у] содержпт х, 3 вершины из {у1,..., у5} и вершину из Ш. Противоречие. Значит, каждая вершина из {у1,... , уб} — {у*} смежна с единственной вершиной в каждом из подграфов "1, "2 , Шз. Снова противоречие. Утверждение
(4) доказано. □
Г3
Доказательство. Пусть г € [у] П Г4(п). Так как [х] П [г] содержит три вершины из Гз(п), то ввиду леммы 4 подграф [п] П [х] является кликой. В силу симметрии [х] П [,г] является кликой. Теперь |[х] — ([у] и [^])| = Ъ и число ребер между ([п] П [х]) и ([х] П [г]) и [х] — ([у] и [г]) равно 12. Поэтому [х] — ([у] и [г]) содержит вер-х1 [п] П [х] х2
вершинами из [х] П [^]. Для любых двух вершин ад, ад' € [п] П [х] подграф [ад] П [ад'] содержит п, х, х1 и вершину из [п] П [х]. Далее, каждая отличная от х1, х2 вершина
из [х] — ([у] и [г]) смежна не более чем с одной вершиной в любом из подграфов [п] П [х] и [х] П [г]. Положим [п] П [х] = {и>1, и>2, из} • Ввиду леммы 4 для вершины у € [х] П [г] — [х1] подграф [ад*] П [у] содержит вершину из [х]. Противоречие с тем. что [ж] П [у\ содержит точно по две вершины из [ж] П [^] и из [ж] — ([у] и [г]). □
Лемма 6. Выполняются следующие утверждения:
(1) сз(п,у) > 6;
(2) кз €{2, 8};
(3) кз = 2 п € Г
Гз(п) 1 3 Г
Доказательство. Пусть с3(п, у) = Ъ. Если Ф содержит две вершины х1, х2. смежные с общей тройкой вершин адз, адц, ад>Б из ^^^^щшины ад1, ад>2 из Ф — [х1] смежны с общей тройкой вершин хз, х4, хб из Ф, и пары {х1,х2 }, {^1,^2} яв~ ляются ребрами. Ввиду леммы 4 подграф [ад*] П [у] является 3-кликой или 2-путем, поэтому каждая вершина из {хз, х4, хб} смежна с единственной вершиной из {х1, х2}. Без ограничения общности можно считать, что вершины хз,х4 смежны с х1. В силу симметрии две вер шины из {адз, ад4, и^} смежны с верш иной ад* из {ад1, ад2}. Противоречие с тем, что |[х1] П [ад*]| > 4.
ФФ Пусть вершина ад^ из Ф смежна с тройкой вершин хз, х4, хб из Ф. Без ограничения общности можно считать, что ад1, ад2, адз € [х1], ад2, адз, ад4 € [х2], х4, хб € [иц] и [хз] содержит ад>1 и вершину из {ад2, адз}- Для определенности предположим, что адз € [хз], ад1 € [х4], ад2 € [хБ]. Тогда подграф [у] П Г2(п) содержит 5-цикл х1, х2, хБ, х4, хз, а подграф [п] П Г2(у) содержит 5-цикл ад1, адз, ад2, ад4, адБ.
Если [х*] П [х^- ] содержит две вер шины ад;, адт, то подгр аф {ад;, адт} является кликой, иначе [ад;] П [ит] содержит п, х*, х^-, а также то вершине из [п] П [х*] и [п] П [х.,]. Противоречие. Далее, ввиду леммы 4 по крайней мере один из подграфов [п] П [х*], [п] П [х^-] является геодезическим 2-путем. Пусть, для определенности, [п] П [х1] является геодезическим 2-путем. Тогда [у] П [х1] содержит не более одной вершины из [у] П Гз (п) и не менее трех вершин из {х2,..., хб }. Без ограничения общности можно предположить, что х1 € [х4]. Так как [х1 ] П [хБ] содержит вершины ад2, х2, х4, у, то вершины х1,хб смежны. В силу симметрии вершины х2, х4 смежны. Противоречие с тем, что [х1] П [х2] содержит ад2, адз, х4, хБ, у.
(1)
По лемме 4 число ребер между Г2(п) и Гз (п) не больше 22 • 4 но не меньше 6кз, поэтому кз < 14. Так как число вершпн V графа Г делится на 6, то кз € {2, 8,14}. Если кз = 14, то Г2(п) содержит 18-вершинный подграф X, каждая вершина которого смежна с четырьмя вершинами из Гз(п). Теперь число треугольников с основанием в [п] и вершиной в X равно 54, поэтому некоторое ребро {ад, ад'} из [п] попадает в пересечение трех вершин х1, х2, хз € X. По лемме 4 имеем равенство [п] П [х1] = [п] П [х2] = [п] П [хз]. Противоречие с тем, что [ад] П [ад'] содержит п, х1, х2, хз и вершину из [п] П [х1]. Утверждение (2) доказано.
Пусть кз = 2, Гз(п) = {у,у'}, Гз(у) = {п, е}, Гз(у') = {п,е'}. Через X* = X*(п) обозначим множество вершин из ^(п), смежных точно с г вершинами из Гз(п).
Допустим, что 3(у, у') = 2. Тогда Г2(п) содержит 3 вершины из X2, 16 вершин из X! и 3 вершины £1, 22, гз из X0. Для вершины г* € XI] подграф [г*] содержит по 3 вершины из [п], [у], [у'] и 2 вершины из X0. Отсюда е € [у'] — [у], е' € [у] — — [у'], а значит, подграф [е] содержит 3 вершины из [п], у', 4 вершины из [у'] — [у] и 3 вершины из X0. Теперь подграфы X0 = [е] П [е'], X0(y) = [у'] — ([у] и еьо£) и X2 (у) = [п] П [е] являются 3-кликами.
Положим Гз(е) = {у, и}, Гз(е') = {у', и'}. Тогда и, и' € [п], X0 не пересекает
[и], [и']. Далее, [п] содержит две 3-клики X0(e), [е] П [п] = X2(y) и 5 вершин из иьо£. Допустим, что и' € X0(e). Тогда [п] П (и')^ содержит 3 вершины из X0(e) и две вершины из [е]. Поэтому [п] П Xo(e') содержит единственную вершину из [е] и не содержит и. Противоречие с тем, что е, и', п, и - геодезический 3-путь, но вершина п изолирована в [и] П [и'].
Допустим, что и' € [и]. Тогда [и'] не пересекает [п] П [е]. Противоречие с тем, что [е] П [п] содержит те более одной вершины в каждом из подграфов [е'], X0(e') и пересекает (и')^.
Значит, и' € [е] и и € [е']. В этом случае [п] П [и'] содержит две вершины из [е], не менее одной вершины из иьо£ и те более одной вершины из Xo(e). Противоречие с тем, что ^с^е) П X0(e')| > 2.
Итак, в случае кз = 2 для любой вершины п € Г расстояние между двумя Гз(п) 1 3 Г
будет 3-накрытием 12-клики, противоречие с леммой 2. Утверждение (3) доказано.
□
3. Случай ^ = 3, к3 = 8 Г
с параметрами (у, 11,4,3) и для некоторой вершины п € Г имеем кз = 8, где к* = |Г*(п)|. Фиксируем геодезический 3-путь п, и, х, у в Г.
Лемма 7. Выполняются следующие утверждения:
(1) есл и Ь2(п, х) = 4 для некоторой вер шины х € Г2(п), то либо [х] П Г2(п) -коклика и [х] ПГз(п) является 3-путем, либо [х] ПГ2(п) содержит, две изолиро-
[х] П Гз(п)
(2) для любой вершины х € Г2(п) подграф [х] П Гз(п) не является четырехугольником;
(3) Ь2(п, х) < 3 для любой верш ины х € Г2(п).
Доказательство. Пусть Ь2(п, х) = 4. Положим [п] П [х] = {и1,и2,из},
[х] П Г2(п) = {е1,..., е4} и [х] П Гз(п) = {у1,... ,у4}. Тогда {иь и, из} являет-
ся кликой. Без ограничения общности можно предположить, что верно одно из утверждений:
а) е4 смежна с и1, и2, из и каждая вершина из {е1,..., ез} смежна точно с одной вершиной из {и1, и2, из}, для определенности, е* смежна с и*;
б) е4 те смежна ни с одной из вершин и>1, и>2, из и каждая вершина из {е1,..., ез} смежна точно с двумя вершинами из {и1, и2, из}, для определенности, е* не смежна с и*;
в) е1 смежна с и1, и2, е2 - с и2, из, ез - с и1 и е4 - с из.
Так как п € [и*] П Гз(у^- ), то [и*] П [у,] является 2-путем или 3-кликой. Тогда
[у,] содержит вершину из {е1,..., е4}.
Пусть выполняется случай а) и у1,..., уз те смежны с е4. Тогда [и*] П [у1] е* у1 , . . . , уз е1 , . . . , ез
{е1,..., ез} - коклика и [е1] П [е2] содержит х, у1,..., уз. Противоречие.
Пусть выполняется случай б). Тогда [у,] содержит не менее двух вершин из {е1,..., ез}, иначе в случае е1, е2 / [у,-] вершина х изолирована в [из] П [у,]. Противоречие. Поэтому число ребер между {е1,...,ез} и {у1,...,у4} не меньше 8. Противоречие с тем, что некоторая вершина из {е1,..., ез} смежна с 2 вершинами из {иьи2,из} и с 3 из {у1,... ,у4}.
Пусть выполняется случай в). Заметим, что [у,] содержит вершину из {е1, е2}, иначе вершина х изолирован а в [и2] П у ]. Противоречие. Если у, те смежн а с е1,
то она смежна с ез, иначе верш ина х изолирован а в [и1 ] П [у^- ]. В силу симметрии если у^ те смежна с е^^^^^^межна с е4. Поэтому число ребер между {е1,..., ез} и {у1,..., у4} те меньше 8 и каждая из вершин {е1, е2} смежна точно с двумя вершинами из {у1,..., у4} и изолирована в {е1,..., е4}. Без ограничения общности можем считать, что у1, у2 € [е1] — [е2], уз, у4 € [е2] — [е1]. Как показано выше, у1, у2 € [е4], уз, у4 € [ез]. Теперь либо вер шины ез, е4 смежны и {у1,...,у4} -четырехугольник, либо вершины ез, е4 те смежны и, для определенности, у1 € [ез], уз € [е4] и у1, у2, у4, уз является 3-путем. Утверждение (1) доказано.
Пусть х € Г2(п) и подграф [х] П Гз(п) является 4-циклом г1,...,г4. Тогда [г1] П [гз] = {х, г2, г4} и [г2] П [г4] = {х, г1, гз}. Поэтому любая вершина из Гз(п) — [х] смежна с единственной вершиной из {^1, гз} и с единственной вершиной из {г2, г4}. Положим [х] П Г2 (п) = {у1,..., у4} и [х] П [п] = {и1, и2, из}. Тогда любая вершина из Гз(п) — [х] смежна с единственной вер шиной из {у1,... ,у4}, вершина г* смежна точно с 2 верши нами из {у1,... ,у4} и вершина из 3-клики {и1, и2, из} смежна точно с 2 вершинами из {у1,..., у4}. Без ограничения общ-
у1 , у2
{и1, и2, из} и каждая из вершин уз,у4 смежна с единственной вершиной из {и1, и2, из }. В виду утверждения (3) леммы 4 подграф [п]П[у1 не является кликой, поэтому вершина у 1 те смежна с вершинами из Гз(п) — [х]. Значит, вершины уз, у4
Гз(п)
граф [уз] П Гз(п) является 4-циклом. Для определенности считаем, что г1, г2 € € [уз]. Аналогично, [у4] П Гз(п) является 4-циклом, содержащим по 2 вершины из Гз(п) — ([х] и [уз]), Гз(п) П [х] и Гз(п) П [уз]. Значит, € [у4]. Противоре-
чие с тем, что [у1] П [у2] содержит х, вершину из {и1, и2, из} и вершины гз, 34. Утверждение (2) доказано.
Пусть Ь2(п, х) = 4. Положим [п] П [х] = {и1, и2, из}, [х] П Г2 (п) = {е1,..., е4} и [х]ПГз(п) = {у1,..., у4}. Из утверждений (1) и (2) следует, что е1 смежна с и1, и2 , е2 смежна с и2, из, ез смежна с и1 и е4 смежна с из. Далее, у1, у2 € [е1] — [е2], уз, у4 € [е2] — Ы, у1, у2 € Ы, уз, у4 € [ез], вершины ез, е4 те смежны, у1 € [ез], уз € [е4] и у1, у2, у4, уз является 3-путем. Теперь [п]ПГ2(х) содержит по 2 вершины из [ез] — [х], [е4] — [х]. Тогда |[п] П Г2(х)| > 7. Противоречие с тем , что число ребер между [ы] ПГ2(х) и [х] П Г2(ы) равно 3|[ы] П Г2(х)| — 6 = 31 [х] П Г2(ы)| — 6. □
Лемма 8. Для любой вершины у € Гз(п) имеем сз (п, у) > 7.
Доказательство. Пусть з(п,у) = 6. Положим [п] П Г2(у) = {и1,...,иб}, [у] П Г2(п) = {хь ... ,хв}, [у] П Гз(п) = {гь ..., 2б} и [п] П Гз (у) = {еь ... ,еБ}. Тогда любой подграф [и*] П [у] является кликой или геодезическим 2-путем. По лемме 7 каждая вершина и* смежна те более чем с двумя вер шинами из {е1,..., еБ}, поэтому степень каждой вершины в графе {и1,..., ив} не меньше 2.
Предположим, что подграфы [п] П [х1^ [п] П [х2] являются кликами. Если
{и1, и2, из} = [п] П [х1] = [п] П [х2], то для любого г € {1, 2, 3} подграф [и*] П [у] яв-
ляется 2-путем и можно считать, что [и1] содержит путь х2, х1, хз, [и2] содержит
х2 , х1 , х4
(а) [из] содержит путь х2 ,х1, хБ, либо
(б) [из] содержит путь х1, х2, хБ.
В любом случае для г € {3,4, Ъ} подграф [п] П [х*] является 2-путем, поэтому [х*] содержит те более одной вер шины из {г1,..., гБ}. Так как в случае (а) имеем [х2] П [х*] = {х1, у, и*-2}, то хз,х4,хБ / [х6] и |[х6] П Гз(п)| = 4. Противоречие. В случае (б) имеем хз,х4 / [хБ] и [хБ] содержит х6 и 2 вершины из {21,...,2Б}, противоречие.
Итак, ввиду леммы 4 имеем |[п] П [х1] П [х2]| < 1. В случае |[п] П [х1] П [х2]| = 1 можно считать, что {и1, и2, из} = [п] П [х1^ {из, и4, иБ} = [п] П [х2], [из] П [у] = = {х1, х2, хз} и либо [хз] П [п] = {и2, из, иБ}, либо [хз] П [п] = {из, иБ, и6}. В любом случае [ив]П [из] содержит п и те более двух вершин из {и1, и2, и4, иБ}, поэтому [ив] содержит по 2 вершины из {и1, и2, и4, иБ} и из {е1,..., еБ}, в частности, [ив] П [у] = {х4, хб, хв} является кликой. Ввиду леммы 4 для любого ] € € {4, Ъ, 6} подграф [п] П[х^-] является 2-путем. Если ив - вершина степени 2 в этом пути, то («-подграф концевых вершин этого пути содержит п, из, ив, х^-. Проти-
[х4]
и4, иБ, ив и [хБ] содержит п уть и1, иБ, ив. В этом случае вер шипы и2, иБ смежны с ив и [и2] П [иБ] содержит п, и1, из, ив, поэтому вершины и2, иБ смежны и степень иБ в графе [п] не меньше 5. Противоречие.
В случае |[п] П [х1] П [х2]| = 0 можно считать, что {и1, и2, из} = [п] П [х1], {и4, иБ, иб} = [п] П [х2]. По доказанному [п] П [х*] является 2-путем для любого г € {3,..., 6}. Каждый из этих путей содержит ребро, соединяющее указанные 3-клики. Поэтому два из этих путей инцидентны общей вершине из {и1, и2, из}, скажем и2, и два го этих путей инцидентны общей вершине из {и4, иБ, ив}. Без ограничения общности можно предположить, что {и2, и4}, {и2, ив} и {из, ив} -
из, и4
[из] П [и4] п, и2, ив [из] П [у]
х1, хз, х4 и [и4] П [у] содержит х2, хБ, хв. Отсюда ребро {и2, ив} не попадает ни в один из рассмотренных 2-путей. Противоречие.
Итак, не менее пяти подграфов [п] П [х*] являются 2-путями. Допустим, что {и1, и2, из} = [п] П [х1_] - клика. Тогда оставшиеся подграфы [п] П [х*] являются 2-путями. Так как для ] € {1, 2, 3} подграф [и^] П [у] содержит 2 вершины из {х2,..., хБ}, то можно считать, что [и1] П [и2] содержит х2 . Если второе ребро {и2, из} попадает в окрестность вершины хз, то {х1, х2, хз} не является кликой, иначе {и1, и2, из} и {х1, х2, хз} - октаэдр. Противоречие. Теперь х2, х1, хз индуцирует путь, иначе для несмежных вершин х1, х2 подграф [х1] П [х2] содержит и1, и2, хз, у, противоречие. Далее, [х2] П [хз] содержит и2, х1, у и вершину из {х4, хБ, хв}, противоречие. Значит, {хз,..., хв} не содержит вершин, смежных с ребрами из {и1, и2, из}. Без ограничения общности можно считать, что хз € [и1 ], х4 € [и2] и хб , хв € [из]. Заметим, что вер шины х1,х2 смежны, иначе [х1] П [х2] содержит и1, и2, хз, х4. Каждая из вер шин хз,..., хв смежна с двумя вершинами из {и4, иБ, ив}, поэтому вершпны хБ, хв смежны, иначе [хБ] П [хв] содержит из,х1,у и вершину из {и4, иБ, ив}. Пусть, для определенности, хБ,хв € [и4], хз,х4 € [иБ]. Далее, точно одна из вершин и4, иБ, ив смежна с х2 . Заметим, что ив / [хБ] П [хв], иначе [п] П [хб] = [п] П [хв] является кликой, противоречие. Поэтому можно считать, что иБ € [хБ], ив € [хв]. Если из, иБ, и4 является 2-путем, то [из] П [и4] содержит п, иБ, хб, хв. Противоречие. Итак, в ершины из,и4 смежны и из, и4, иБ или и4, из, иБ является 2-путем. Во втором случае [и4]П[иБ] = {п, из, хБ} и и4 € [х2]. Так как [п] П [х2] — путь, то [и4] содержит единственную вершину и* из {и1, и2} и [и4] П [из-*] содержит п,из,и*, х2. Противоречие. Значит, из,и4,иБ является 2-путем и [из] П [иБ] = {п, и4, хБ}, поэтому и1,и2 / [иБ].
Теперь х2 € [ив], иначе хз, х4 € [ив], подграфы [п] П [хз] = {и1, ив, иБ} и [п] П [х4] = {и2, ив, иБ} являются 2-путями. Противоречие с тем, что [и1] П [и2] содержит п, из, ив, х1, х2. Отсюда [ив] содержит те одной вер шине из {и1, и2} и {из, и4}. Если ив € [хз], то [п]П [хз] = {и1, ив, иБ} — путь, [и2]П [ив] = {п, и1, х2} и из / [ив]. Противоречие с тем, что [из ] П [ив ] содерж пт п, и1, и4, хв. Если ив € [х4], то [п] П [х4] = {и2, ив, иБ} — путь, [и1] П [ив] = {п, и2, х2} и из / [ив].
[из] П [ив] п, и2, и4, хв
Таким образом, все подграфы [п] П [х*] и [и^] П [у] являются 2-путями. Теперь степени вершин графа {х1_,..., хв} равны 3 или 4. Но если степень х1 в графе {х1,..., хв} равна 4, то для х* / {х1} и [х1] подграф [х1] П [х*] содержит у и
3 вершины из {х1,...,хв}, противоречие. Так как регулярный граф степени 3 на 6 вершинах является полным двудольным графом Кз з или 3-призмой, то {х1,...,хв} является 3-призмой. Без ограничения общности, подграфы {х1, х2, хз} и {х4, хБ, хв} являются кликами и вершина х* смежна с х*+з. Тогда [ж2] П [ж4] = {у, XI, ж5}, [ж2] П [ж6] = {у, х3, ж5}, поэтому [ж4] П [ж6] содержит у,х5 и 3 вершины из {и>1,..., юв} ■ противоречие. Лемма доказана. □
Через £* обозначим множество вершин из Г2(п), смежных точно с г вершинами
Гз(п)
Лемма 9. Выполняются следующие утверждения:
(1) |5з| > 12;
(2) если у € Бз и [п] П [у] = {и1, и2, из}, то [у] П Г2 (п) содержит, вершину у', смежную с двумя верши нами из {и1, и2, из} и подграф [п] П [у'] является
2
(3) если у € £з, то Г2(п) не содержит таких вершин у'', что [п] П [у] = = [п] П [у''].
Доказательство. Ввиду леммы 8 число ребер между Г2(п) и Гз(п) не меньше 56, поэтому |£з| > 12. Утверждение (1) доказано.
Пусть у € £з и [п] П [у] = {и1, и2, из}. Тогда [у] содержит 3 вершины г1, г2, гз из Гз(п) и 5 вершин из ^(п). Далее, вершина и* смежна с двумя вершинами из [у] П Г2(п), поэтому можно считать, что вершина у' из [у] П Г2(п) смежна с и1, и2. Если [п] П [у'] является кликой, то [п] П [у] = [п] П [у'] и у' смежна не более чем с одной вершиной из {г1, г2, гз}. Допустим, что гз € [у']. Тогда [г*] П [у] содержит 3 вершины из [и1] и [и2] и [из] для любого г € {1, 2}, поэтом у [г1] П [г2] П [у] содержит по крайней мере 2 вершины из [и1] и [и2] и [из]. Если [г^] П [^2] П [у] содержит 3 вершины у1, у2, уз, у* € [и*], то вершины г1, 32 смежны, [у] П [гз] = {у', у1, у2, уз}, поэтому {у1,у2,уз} является коклпкой. Противоречие с тем, что |[у1] П [у2]| > 4. Значит, [г1] П [г2] П [у] содержит точно 2 вершины у1, у2, у* € [и*]. В этом случае [у] П [из] содержит вершину уз € [г1], и вершину уз € [г2], противоречие с тем, что |[у] П [из]| > Ъ.
Итак, если [п] П [у'] является кликой, то у' не смежна ни с одной вершиной из {г1, г2, гз}. Поэтому [г*] П [у] содержит 3 вершины из [и1] и [и2] и [из] для любого г € {1, 2, 3} и можно считать, что [г1] П [г2] П [гз] содержит вершину у1 из [и1]. Оставшиеся 3 вершины из [у] — {у', у1} попадают в [и2] и [из]. Противоречие с тем, что одна из этих вершин принадлежит [и2] П [из]. Утверждение (2) доказано.
Пусть у € £з, у'' € Г2(п) и [п] П [у] = [п] П [у'']. Противоречие с тем, что по утверждению (2) некоторая вершина у' из [у] П^(п) смежна с 2 вершинами и*, и^ из [г/.] П [у\ и [ш;,] П [го,-] содержит и, у, у', у" и вершину из [г/.] П [у\. □
Завершим рассмотрение случая кз = 8. Так как между [п] и йз не менее 36 ребер, то некоторая вершина и € [п] смежна с 4 вершинами у1, у2, уз, у4 из йз. Далее, степень и в графе [п] П [у*] равна 2, поэтому некоторая вершина и' из [п] П [и] смежна с двумя вершинами из {у1, у2, уз, у4}- Противоречие с леммой 9. Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00012), программы отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и с НАН Беларусии.
Summary
K.S. Efimov, A.A. Makhnev. On Completely Regular Graphs with k = 11, A = 4.
It is well known that if Г is a connected edge-regular graph with b1 = 1, then Г is a polygon or a complete multipartite graph KnX2 . A.A. Makhnev and his students have studied completely regular graphs with 2 < b1 < 5. In our earlier article, the study of completely
regular graphs with b1 = 6 was reduced to the investigation of graphs with k G {10,11,12}.
Together with M.S. Nirova, we considered the case b1 = 6, k = 10. This paper deals with
b1 = 6 k = 11
Key words: graph, completely regular graph.
Литература
1. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin: Springer-
Verlag, 1989. 495 p.
2. Maxi tee A.A. О сильпой регулярности некоторых реберпо регулярных графов // Изв. РАН. Серия матом. 2004. Т. 68. С. 159 182.
b1 = 4
гос. ун-та. 2006. 4 (37). С. 101 108.
b1 = 5
матом, журнал. 2009. Т. 11, Л'! 1. С. 29 42.
b1 = 6
ун-та. 2009. Т. 2, Л» 1. С. 63 77.
6. Ефимов К.С., Махнев А.А., Нирова М.С. О вполне регулярных графах с k = 10, A = 3 // Труды Ин-та матом, и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 75-90.
7. Махнев А.А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые ^-под-графы // Дискр. анализ и исслед. операций. 1996. Т. 3, .V 3. С. 71 83.
Поступила в редакцию 16.01.12
Ефимов Константин Сергеевич кандидат физико-математических паук, главный программист отдела алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург.
Махнев Александр Алексеевич доктор физико-математических паук, профессор, чл.-корр. РАН, заведующий отделом алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург.
Е-шаП: makhneveimm.uran.ru
