CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 5-11
УДК 519.17+514.52
АВТОМОРФИЗМЫ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (1197,156,15,21)
В. В. Биткина, А. К. Гутнова, А. А. Махнев
К 60-летию
Владимира Амурхаповича Койбаева
Пусть 3-(У, К, Л) схем а Е = (X, В) является расширением симметричной 2-схемы. Тогда либо Е является адамаровой 3-(4Л + 4, 2Л + 2, Л) схемой, либо V = (Л + 1)(Л2 +5Л + 5) и К = (Л+ 1)(Л + 2), либо V = 496, К = 40 и Л = 3. Дополнительный граф к блочному графу 3(496, 40, 3) схемы сильно регулярен с параметрами (6138, 1197, 156, 252) и имеет сильно регулярные окрестности вершин с параметрами (1197, 156, 15, 21). В работе найдены автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1197, 156, 15, 21). Доказано, что указанный граф не является реберно симметричным.
Ключевые слова: сильно регулярный граф, реберно симметричный граф, группа автоморфизмов графа.
1. Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь — вершины графа Г т0 через ^(а, Ь) обозначается расстояние между а и Ь, а через Гг(а) — подграф графа Г индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии г от вершины а. Подграф Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а^ обозначается подграф {а} и [а], являющийся шаром а
Граф Г называется сильно регулярным графом с параметрами (ь,к, X, если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, каждое ребро Г лежит точно в X треугольниках и для любых двух несмежных вершин а, Ь подграф [а] П [Ь] содержит точно ц вершин.
Система инцидентности (X, В) с множеством точек X и множеством блоков В называется Ь-(У,К, Л) схемой, если |Х| = V, каждый блок содержит ровно К точек и любые Ь точки лежат ровно в Л блоках. Любая 2-ехема является (V, В, Я, К, Л) схемой, где В — число блоков, жз^т точка, инци^дснтн^ Я блокам, и имеют место равенства VR = ВК, (V — 1)Л = Я(К — 1). Схема называется симметричной, если В = V. Схема называется квазисимметричной, если для любых двух блоков В, С £ В имеем |В П С| £ {х, у}. Числа х У называются числами пересечений квазисимметричной схемы, и предполагается, что х < у.
© 2015 Биткина В. В., Гутнова А. К., Махнев А. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект 14-11-00061 (теорема), и соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом, соглашение № 02.А03.21.0006 от 27.08.2013 (следствие).
Блочный граф квазисимметричной схемы (X, В) в качестве вершин имеет блоки схемы и два блока В, С £ В смежны, еели |В П С| = у.
Предложение 1. Блочный граф квазисимметричной (V, В, Я, К, Л) схемы сильно регулярен с собственными значениями к = ((Я — 1)К — хВ + х)/(у — х) кратности 1, к = (Я — К — Л + х)/(у — х) кратности V — 1 и к = —(К — х)/(у — х) кратности В — V.
Производной схемой для (V,К, Л) схемы & = (X, В) в точке х £ X называется схема с множеством точек Хх = X — {х} и множеством блоков Вх = {В — {х} : х £ В £ В}. Схема Е называется расширением схемы & если производная схемы Е в каждой точке изоморфна &. Вычетом схемы & в блоке В называется схема &в с множеством точек Xв = X — {х} и множеством блоков Вв = {С £ В} : |В П С| = 0}. Хорошо известно, что проективная плоскость расширяема, только если ее порядок равен 2 или 4. П. Камерон [1, теорема 1.35] описал расширения симметричных 2-ехем.
Предложение 2. Пусть 3-(У, К, Л) схема Е = (X, В) является расширением симметричной 2-схемы. Тоща верно одно из утверждений:
(1) Е является адамаровой 3-(4Л + 4,2Л + 2, Л) схемой;
(2) V = (Л + 1)(Л2 + 5Л + 5) и К = (Л + 1)(Л + 2);
(3) V = 496, К = 40 и Л = 3.
В случае (3) имеем Я = V — 1 = 495, В = VЯ/K = 496 ■ 495/40 = 6138 и дополнительный граф к блочному графу схемы имеет параметры (6138,1197,156, 252) и спектр 11971, 95642, —105495. Отсюда максимальный порядок коклики не больше уш/(к + т) = 6138 ■ 105/1302 = 495. В частности, граница Хофмана для коклик совпадает с границей
3 (496, 40, 3)
назовем монстром Камерона. В [2] доказано
Предложение 3. Для монстра Камерона Г выполняются следующие утверждения:
(1) окрестность любой вершины в графе Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15, 21) и спектром 1561, 9741, —15455, причем порядок коклики в этом графе не больше 105;
(2) множество блоков Сх, содержащих точку х схемы Е, является 495-кокликой гра-
Г
(3) подграф Г — Сх сильно регулярен с параметрами (5643,1092,141, 228) и спектром 10921, 95148, —96494;
(4) для различных точек х, у схемы Е имеем |Сх П Су| = 39, причем для коклики Сх — Су графа Г — Су достигается равенство в границе Хофмана.
В данной работе найдены автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1197, 156, 15, 21)
Теорема. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15, 21) О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О и ^ = Тогда |П| ^ 171 п(О) С
{2, 3, 5, 7,11,13,19} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) П — пустой граф, либо
(^ р = 3 и а1 (д) = 721, либо (м) р = 7 и а1(д) = 1681 — 21, либо (ш) р =19 и а1(д) = 4561 + 171;
(2) П является н-кликой, либо
(^ р = 13 н = 1 и а1(д) = 3121 + 156, либо
(м) р = 2 п = 9 и а1(д) = 481 + 12 или н = 11 ж а1(д) = 321 — 12, либо (ш) р = 5 н = 2 и а1 (д) = 1201 + 45 или н = 7 и а1 (д) = 1201 — 30;
(3) П является 3t + 1-кокликой, р = 3 и а1 (д) = 721 + 12 — 45^;
(4) ^ содержит геодезический 2-путь и р ^ 13.
(1197, 156, 15, 21)
реберно симметричным.
(1197, 156, 15, 21)
Приведем некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (V, к, X, у) и неглавными собственными значениями г, в, в < 0. Если О — индуцированный регулярный подграф из Г степени (I на V) вершинах, то
ад(к — I)
5 ^ (1----- ^ Г,
V — V
причем одно из равенств достигается тогда и только тогда, когда каждая вершина из Г — О смежна точно с ш(к — — V) вершинами из О.
< Это утверждение хорошо известно (см., например, [3, §2|). >
Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (1197,156,15, 21) и спектром 1561, 9741, —15455. Если О — индуцированный регулярный подграф из Г степени I па V вершинах, то I — 9 ^ ад(156 — I)/(1197 — V) ^ I +15. Поэтому число вершин в
СГ Г — С С
Г
метрами (V, к, X, у) и собственными значениями к, т, —т. Если д — автоморфизм Г и ^ = Пх(д), то |П| ^ V ■ тах{Х, у}/(к — т).
В случае сильно регулярного графа с параметрами (1197,156,15, 21) получим |П| ^ 1197/7 = 171.
Доказательство теорем опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [5|. При этом графу Г отвечает симметричная схема отношений (X, {Яо, Я1, Я2}), где X — множество вершин графа, Яо — отношение равенства на X, Я1 — отношение смежности в Г, Я2 — отношение смежности в дополните льном графе Г. Есл и Риф — первая и вторая
матрицы собственных значений схемы, то
( 1 11 '
Р = к т в
\ V — к — 1 —т — 1 —в — 1
Рф = фР = V/. Здесь V — число вершин, к, т, в — собственные значения графа Г кратноетей 1, /, V — / — 1 соответственно (указанные кратности образуют первый столбец матрицы ф).
Подстановочное представление группы О = Аи^Г) на вершинах графа Г обычным образом дает мономиальное матричное представление ^группы О в ОЬ^, С). Пространство С является ортогональной прямой суммой собственных ^(О)-инвариантных подпространств ^о, 11 матрицы смежности графа Г. Пусть Хг — характер представления Тогда для любого д £ О получим равенство
2
Хг(д) = ^^ а (g), ¿=0
где а^ (д) — число то чек х из X таких, что !(х,хд) =
Лемма 3. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15,21), О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О и Х1 — характер, полученный при проектировании ф(О) на подпространство размерности 741. Тогда
для любого 1, не кратного р, и 741 — Х1(д) делится на р.
< Рассмотрим сильно регулярный граф Г с параметрами (1197,156,15, 21). Тогда
и значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности 741 равно х1(д) = (13ао (д) + 3а1(д)/4 — а2(д))/8)/21. Подставляя в эту формулу значение а2(д) = V — ао (д) — а1 (д), иолучаем Х1(д) = (5ао (д) + а1(д)/3 — 57)/8.
Два последних утверждения леммы следуют из [6, лемма 1|. >
Г
(1197,156,15, 21) О = Аи1(Г), д — элемент простого порядка р из О и Х1 — характер, полученный при проектировании ^(О) на подпространство размерности 741.
Лемма 4. Выполняются следующие утверждения:
(1) П
(г) р = 3 и а1 (д) = 721, либо (и) р = 7 и а1(д) = 1681 — 21, либо (ш) р = 19 и а1(д) = 4561 + 171;
(2) П н
(г) р = 13 н = 1 и а1(д) = 3121 + 156, либо
(и) р = 2, н = 9 и а1(д) = 481 + 12 или н = 11 и а1(д) = 321 — 12, либо (ш) р = 5, н = 2 и а1 (д) = 1201 + 45 или н = 7 и а1 (д) = 1201 — 30;
(3) если П является т-кокликой, то р = 3 т = 34 + 1 и а1 (д) = 721 + 12 — 454;
(4) если П является объединением т (т ^ 2) изолированных клик, то р = 3 и П — коклика.
< Пусть П — пустой граф, а^(д) = рад». Так как 1197 = 9 ■ 7 ■ 19, то р £ {3, 7,19}.
Пусть р = 3. Тогда Х1(д) = (ад1 — 57)/8 и а1(д) = 721.
Пусть р = 7 Тогд а Х1(д) = (7^1 /3 — 57)/8 и а1 (д) = 1681 — 21.
Пусть р = 19. Тогд а Х1(д) = 19(ад1 /3 — 3)/8 и а1 (д) = 4561 + 171. Утверждение (1) доказано.
Пусть П является н-кликой. Если н = 1 и П = {а}, то р делит 156 и 1040, поэтому р = 2,13. В случае р = 2 для и £ Г — П подграф [и] П [и®] содержит 15 или 21 вершин, поэтому [и] содержит вершину из П, противоречие.
В случае р = 13 имеем Х1(д) = (5 + 13ад1 /3 — 57)/8 и а1(д) = 3121 + 156.
Пусть н ^ 2 ж а, 6 £ П. Так как д действует полурегулярно па [а] — 6^, то р делит 140, 900 и 17 — ни р = 2, 5. В случ ае р = 2 каждая вершина из Г — П смежна с нечетным числом вершин из П, то н = 9,11 В случ ае н = 9 имее м Х1(д) = (45 + 2^/3 — 57)/8 и а1(д) = 481 + 12. В случ ае н = 11 имее м Х1 (д) = (55 + 2ад1 /3 — 57)/8 и а1(д) = 321 — 12. В случае р = 5 получим н = 2 и а1 (д) = 1201 + 45 или н = 7 и а1 (д) = 1201 — 30.
Пусть П является т-кокликой, 0 <4 ^ 34. Если а, 6 £ П, то д действует полурегулярно на [а] П [6], [а] — [6], поэтому р делит 21 и 135. Отсюда р = 3 т = 34 + 1, Х1 (д) = (154 + 5 + ш1 — 57)/8 и а1 (д) = 721 + 12 — 454.
Х1 (д) = (5ао (д) + а1(д)/3 — 57)/8, а*(д) = а*(дг)
Пусть О является объединением т (т ^ 2) изолированных клик. Если а, с — несмежные вершины из О, то д действует иолурегулярно на [а] П [с] и р делит 21.
Пусть а Ь — смежные вершины из клики, лежащей в О. Так как д действует полурегулярно на [а] — Ь^, то р делит 140. Отсюда р = 7 и порядки изолированных клик в О равны 3 или 10. Противоречие с тем, что 7 не делит 900 — 3 >
Лемма 5. Если О содержит геодезический путь Ь, а, с, то выполняются следующие утверждения:
(1) Г не содержит собственных сильно регулярных подграфов О с Хв = 15 и у в = 21;
(2) если О содержит [а] для некоторой вершины а £ О, то р = 2, 5, О = а^ и а (д) = 0;
(3) р < 13.
< Пуст ь Г содержит собственный сильно регуляр ный подграф О с Хв = 15 и ув = 21. Тогда 36 + 4(кв — 21) = 4в2, кв = в2 +12 О имеет неглавные собственные значения в — 3, — (в + 3) и кратноеть в — 3 равна (в + 2)(в2 + 12)(в2 + в + 15)/42в. Отсюда в = 4,10 и нарушается прямоугольное соотношение.
Если О содержит [а] для некоторой вер шины а £ О, то р = 2, 5,13 О = а^ и а (д) = 0. Так как вершина из Г — О смежна не более чем с одной вершиной в любой орбите п^9' длины р, то р = 13.
Если р ^ 23, то О — сильно регулярный подграф с Хп = 15 и уп = 21, противоречие.
Если р = 19, то Хп = 15 и уп = 2, 21. Далее, |О| = 19, 38,... , 171 и степень вершины в О равна 42, 80,.. .Пусть О2(а) содержит у вершин, смежных с 21 вершинами из О(а). Если степень вершины а в графе О не меньше 80, то число ребер между О(а) и О2 (а) не меньше 80 ■ 26, но не больше 90 ■ 21, противоречие. Итак, О — регулярный граф степени 42. По лемме 1 имеем 33 ^ 114|О|/(1197 — |О|) ^ 57 и 1881 ^ 7|О|, противоречие.
Если р = 17, то Хп = 15 и уп = 4,21 |О| = 24,41,..., 160, степени вершин в О равны 20, 54, 88. Пусть у — число вершин в О2(а), смежных с 21 вершиной из О(а), к2 = |О2(а)|. Пусть О — регулярный подграф из Г степени 15 на V вершинах. По лемме 1 имеем 43 ^ V ^ 210. Поэтому в О нет вершин степени 20.
Если а — вершина степени 88 в О, то число ребер между О(а) и О2(а) не меньше 38 ■ 88, но не больше 21 к^ противоречие с тем, что к2 ^ 71.
Значит, О — регулярный граф степени 54. По лемме 1 имеем неравенства 45 ^ 102|О|/(1197 — |О|) < 69 и 2565 < 7|О|, противоречие. >
3. Доказательство следствия
Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1197,156,15, 21) и О = АШ;(Г)
Г
п(О) С {2, 3, 5, 7,11,13,19} Далее, для смежных вершин а, Ь имеем |О : Оа| =63 ■ 19 и |О0 : Оа,ь | = 156.
Лемма 6. Пусть / — элемент порядка 19 из Од — элемент простого порядка р < 19 из Со (/)• Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) р = 3 О — пустой граф и а1 (д) = 627;
(2) р = 7 |О| = 133 и а1 (д) =0;
(3) р = 5 |О| = 57 и а1(д) = 1140 или |О| = 152 и а1(д) = 1201 + 75;
(3) р = 3 |О| =57 и а1(д) = 456в + 228 или |О| = 114 и а1(д) = 456в + 57 или |О| = 171 и а1 (д) = 456в + 342;
(4) р = 2 |О| = 38 и а1(д) = 912в + 57 или |О| = 57 и а1(д) = 798 или |О| = 95 и а1(д) = 684, или |О| = 133 и а1(д) = 114 или |О| = 171 и а1 (д) = 228.
< Пусть g — элемент простого порядка p < 19 из Cg(/)■ Тогда либо p = 3, fi — пустой граф и ai (g) = 0, либо |fi| = 19t t ^ 9 и Р делит 63 — t. Далее, Xi (g) = (95t + a1(g)/3 — 57)/8 Тогда p = 13 и если p = 11, то |fi| = 152 и a1(g) = 2641 + 99 делится на 19. Отсюда 1 = 2 и ai (g) = 627.
Если p = 7, то |fi| = 133 и ai (g) = 1681 делится на 19. Отсюда ai (g) = 0. Если p = 5, то t = 3, 8. В первом случае |fi| = 57 и 228 + ai(g)/3 делится на 8. Отсюда ai (g) = 1201 + 60 делится на 19 и ai (g) = 1140. Во втором случае |fi| = 152 и 703 + ai(g)/3 делится на 8. От сюда ai (g) = 1201 + 75 делится на 19, противоречие.
Если p = 3, то t = 3, 6, 9. В первом случае |fi| = 57 и 228 + ai(g)/3 делится на 8. Отсюда ai (g) = 241 + 12 делится на 19 и ai (g) = 456s + 228. Во втором елучае |fi| = 114 и ai(g)/3 — 3 делится на 8. От сюда ai (g) = 241 + 9 делится на 19 и ai (g) = 456s + 57. В третьем случае |fi| = 171 и ai(g)/3 — 2 делится на 8. Отсюда ai (g) = 241 + 6 делится на 19 и ai (g) = 456s + 342.
Если p = 2, то t = 1, 3, 5, 7, 9. В первом случае |fi| = 38 и число (3013 + ai(g)/3)/8 нечетно. Отсюда ai (g) = 481 — 3 делится на 19 и ai (g) = 912s + 57. Во втором случае |fi| = 57 и число (5358 + ai (g)/3)/8 нечетно. Отсюда ai (g) = 481 — 18 делится на 19 и ai (g) = 798. В третьем случае |fi| = 95 и число (8968 + ai(g)/3)/8 нечетно. Отсюда ai (g) = 481 делится на 19 и ai (g) = 912. В четвертом случае |fi| = 133 и число (12578 + ai (g)/3)/8 нечетно. Отсюда ai (g) = 481 + 18 делится на 19 и ai (g) = 114. В пятом случае |fi| = 171 и число (16188 + ai (g)/3)/8 нечетно. Отсюда ai (g) = 481 — 12 делится на 19 и ai(g) = 228. >
Лемма 7. Выполняются следующие утверждения:
(1) S(G) = Oa,7(G); _
(2) цоколь T группы G = G/S (G) изоморф ен L3(7), U3 (8) L4(7), U4(8), HN.
< Пусть |S (G) | делится на 19nR — силовская 19-подгруппа из S (G). Тогд a |Ng(R)|
делится на 13, противоречие с леммой 6.
Пусть T — цоколь гру ппы G = G/S (G). Из действия элемента порядка 19 на минимальной нормальной подгруппе N из T следует, что 19 делит |N | и T — простая неабелева группа.
Из [7, таблица 1] следует, что группа T изоморф на L3 (7) U3 (8) £4(7), ^4(8), HN. > Завершим доказательство следствия. Группы Цз(8), £4(7), ^4(8), HN не содержат максимальных подгрупп индекса, делящего 19 ■ 63. Если группа T изоморф на £з(7), то
|T: Ta| =57, Ta = 72 : SL2(7) : 2,
либо
|S (G): S(G)a | = 7, |G : T| = 3, Ga = 72 : SL2 (7) : 2,
либо
|S(G) : S(G)a| =21. | G| >
Литература
1. Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1981.-240 p.—(London Math. Soc. Student Texts, № 22).
2. Махнев A. A. Расширения симметричных 2-схем // Тез. докл. междунар. конф. «Мальцевские чтения».—Новосибирск, 2015.—С. 112.
3. Brouwer А. Е., Haemers W. Н. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb.-1993.-Vol. 14.-P. 397-407.
4. Bebhahani M., Lam C. Strongly regular graphs with non-trivial automorphisms // Discrete Math.— 2011.—Vol. 311, № 2-3.—P. 132-144.
5. Cameron P. J. Permutation Groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.—(London Math. Soc. Student Texts, № 45).
6. Гаврилюк А. Л., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56, 45,1; 1, 9, 56} // Докл. АН.-2010.-Т. 432, № 5.-С. 512-515.
7. Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. electr. Math. Reports.— 2009.—Vol. 6.-P. 1-12.
Статья поступила 23 апреля 2015 г. Биткина Виктория Васильевна
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ассистент кафедры прикладной математики РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]
Гутиова Алина Казвековна
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
AUTOMORPHISMS OF A STRONGLY REGULAR GRAPH WITH PARAMETERS (1197,156,15,21)
Bitkina V. V., Gutnova A. K., Makhnev A. A.
Let a 3-(V, K, A) scheme E = (X, B) is m extension of a symmetric 2-scheme. Then either E is Hadamard 3-(4A + 4, 2A + 2, A) scheme, or V = (A + 1)(A2 + 5A + 5) and K = (A + 1)(A + 2), or V = 496, K = 40 and A = 3. The complementary graph of a block graph of 3(496, 40, 3) scheme is strongly regular with parameters (6138, 1197, 156, 252) and the neighborhoods of its vertices are strongly regular with parameters (1197, 156, 15, 21). In this paper automorphisms of strongly regular graph with parameters (1197, 156,15, 21) are studied. We yet introduce the structure of automorphism groups of abovementioned graph in vetrex symmetric case.
Key words: strongly regular graph, vertex symmetric graph, automorphism groups of graph.
