CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 1, С. 29-42
УДК 519.14
О РЕБЕРНО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ С 61 = 51 В. И. Казарина, А. А. Махнев
Неориентированный и-вершинный граф, в котором степени всех вершин равны к, а каждое ребро принадлежит точно Л треугольникам, называется реберно регулярным с параметрами (и, к, Л). Положим 61 = к — Л — 1. В книге Броувера, Коэна и Ноймайера «Дистанционно регулярные графы» доказано, что связный реберно регулярный граф с 61 = 1 является многоугольником или полным многодольным с долями порядка 2. Махневым А. А. получено описание реберно регулярных графов с 61 ^ 3 и с 61 =4, к ^ 10. В данной работе классифицированы связные реберно регулярные графы с 61 = 5 с одним из дополнительных условий: граф сильно регулярен или к ^ 14.
Ключевые слова: реберно регулярный граф, треугольный граф, граф Клейна.
Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, 6 — вершины графа Г, то через ^(а, 6) обозначается расстояние между а и 6, а через Г»(а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии I в Г от вершины а. Подграф Г(а) = Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а^ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а. Под собственными значениями графа понимаются собственные значения его матрицы смежности. В дальнейшем слово «подграф» будет означать индуцированный подграф. Пусть & — семейство графов. Граф Г называется локально & графом, если [а] € & для любой вершины а £ Г.
Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г. Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (V, к, А), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к и каждое ребро графа Г лежит точно в А треугольниках. Граф Г называется кореберно регулярным графом с параметрами (V, к,^), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к и подграф [а] П [6] содержит точно ^ вершин для любых несмежных вершин а, 6. Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (V, к, А, если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [6] содержит ^ вершин для вершин а, 6 с ^(а, 6) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [а] П [6] обозначим через А(а, 6) (через ^(а, 6)), если ^(а, 6) = 1 (если ^(а, 6) = 2), а соответствующий подграф назовем А-подграфом (^-подграфом). Подграф
© 2009 Казарина В. И., Махнев А. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальный исследований, проект № 08-01-00009, РФФИ-БРФФИ, проект № 08-01-90006 и РФФИ-ГФЕН Китая, проект № 08-0192200.
X графа Г назовем ^-замкнутым, если [а] П [b] С £ для любых вершин а, b Е S, находящихся на расстоянии 2 в Г. Для подграфа А графа Г через Xj(A) обозначим множество всех вершин из Г — А, смежных точно с i вершинами из А, и положим ж»(А) = |Xj(A)|.
Через Kmit...tmn обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков mi,... , mn. Если mi = ... = mn = m, то соответствующий граф обозначается через Knxm. Граф Ki m называется m-лапой. Треугольным графом T(m) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, |X| = m и пары {a,b}, {c, d} смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вершин X х Y называется m х n решеткой, если |X| = m, |Y| = n и вершины (xi,yi), (Ж2, У2) смежны тогда и только тогда, когда xi = Ж2 или yi = y2. Граф Пэ-ли P(q) в качестве вершин имеет элементы поля Fq, q = 1 (mod 4), и две вершины а, b смежны, только если b — а является ненулевым квадратом в Fq. Граф Петерсена — это дополнительный граф для треугольного графа T(5) (он имеет параметры (10,3,0,1)). Граф Клебша (Шлефли) — это единственный сильно регулярный граф с параметрами (16,10,6,6) (с параметрами (27,16,10,8)). Граф Шрикханде — это единственный сильно регулярный локально шестиугольный граф с параметрами (16,6,2,2). Имеется точно 3 сильно регулярных графа, имеющих параметры графа T(8), но не изоморфных T(8). Эти графы называются графами Чанга.
Полный (вполне несвязный) подграф данного графа называется кликой (кокликой). Под кликовым (кокликовым) а-расширением графа Г будем понимать граф, полученный заменой каждой вершины а из Г на клику (коклику) (а), содержащую а вершин, при этом указанные клики (коклики) попарно не пересекаются, а вершины из (а) и (b) смежны тогда и только тогда, когда а и b смежны в Г.
Если вершины u, w находятся на расстоянии i в Г, то через bj(u, w) (через Ci(u, w)) обозначим число вершин в пересечении Г^+^и) (пересечении Г»_!(и)) с [w]. Заметим, что в реберно регулярном графе с параметрами (v, k, А) значение bi = bi(u, w) не зависит от выбора ребра {u, w} и равно k — А — 1. Дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {bo,..., bd_i; ci,..., Cd} называется граф диаметра d, в котором значения bi(u, w) и Ci(u, w) не зависят от выбора вершин u, w. Граф диаметра d называется ан-типодальным, если отношение — совпадать или находиться на расстоянии d — является отношением эквивалентности на множестве вершин графа. Антиподальным частным Г' называется факторграф антиподального графа Г, вершинами которого являются указанные классы эквивалентности и два класса смежны, если некоторая вершина одного класса смежна с вершиной другого. Если все классы эквивалентности состоят из r вершин, то Г называется r-накрытием графа Г'.
В следствии 1.1.6 из [1] доказано, что если Г — связный реберно регулярный граф с bi = 1, то Г — многоугольник или полный многодольный граф Knx2. Реберно регулярные графы с 2 ^ bi ^ 4 изучались в работе [2].
В данной работе рассматриваются графы с bi = 5.
Теорема. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, А) и bi =5. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) если Г сильно регулярен, то он является одним из следующих графов: полный многодольный граф Krx6, 6 х 6 решетка, граф Шлефли, треугольный граф T(8) или один из трех графов Чанга;
(2) если k ^ 14, то либо Г сильно регулярен, либо верно одно из утверждений:
(i) множество вершин графа Г разбивается тремя ^-замкнутыми K4Х2-подграфами Фъ Ф2 и Ф3, можно считать, что смежные вершины c, d из Ф3 смежны с вершинами а!,..., а4 из и с вершинами bi,..., b4 из Ф2, а смежные вершины e f из Ф3 — {c, d, c*, d*}
смежны с вершинами а1, а2, а*, а| и с вершинами 61, 62, 63, 6*, где для ж £ Ф» вершина ж* является антиподом ж в Ф», можно считать, что а1 смежна с 61, 63, 62, 64, а2 смежна с 62, 64, 6*, 6*, а3 смежна с 61, 62, 6*, 64, а4 смежна с 6\, 62, 63, 6* и граф Г однозначно восстанавливается,
(п) Г является дополнительным графом для ^1,3, где ^ — граф Клейна (единственный дистанционно регулярный локально семиугольный граф диаметра 3 на 24 вершинах, являющийся 3-накрытием 8-клики).
Если ^ — граф диаметра, большего 2, то ^1,3 — граф на множестве вершин графа в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда расстояние между ними в ^ равно 1 или 3.
1. Предварительные результаты
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А) и 61 = к — А — 1. Если вершины и, ш находятся на расстоянии 2 в Г, то выполняются следующие утверждения:
(1) степень любой вершины в графе [и] П [ш] из Г не меньше к — 261;
(2) вершина й имеет степень к — 261 + а в графе [и] П [ш] тогда и только тогда, когда [й] содержит точно а вершин вне и^ и ш±;
(3) если ^(и, ш) = к — 261 + 1, то подграф [и] П [ш] является кликой и [й] С и^ и ш± для любой вершины й £ [и] П [ш];
(4) если Г — (и^ и ш^) содержит единственную вершину г, то ^(и, г) = ^(ш, г).
< Пусть й £ [и] П [ш]. Тогда |[й] — [и]| = |[й] — [ш]| = 61. Поэтому по крайней мере к — 261 вершин из [й] содержится в [и] П [ш]. Утверждение (1) доказано.
Пусть й £ [и] П [ш] и степень й в этом ^-подграфе равна к — 261 + а. Тогда к = (к — 261 + а) + 261 + |[й] — (и^ и Поэтому [й] содержит а вершин вне и^ и ш^. Верно и обратное. Утверждение (2) доказано.
Утверждение (3) следует из (1), (2).
Пусть {г} = Г — (и^ и ш^). Так как число ребер между [и] — [ш] и [ш] — [и] равно 611[и] — [ш]| — ^(и, г), то ^(и, г) = ^(ш, г). >
Из леммы 1.1 следует, что в реберно регулярном графе для любых вершин и, ш, находящихся на расстоянии 2, выполняется неравенство ^(и, ш) ^ к — 261 + 1. Пару вершин (и, ш) с й(и, ш) = 2 назовем хорошей, если ^(и, ш) = к — 261 + 1. Если любая пара несмежных вершин графа Г является хорошей, то Г оказывается графом Тервиллигера без 3-лап и по теореме 1.2.3 [1] получим, что Г — реберный граф регулярного графа без треугольников или граф икосаэдра.
Пусть до конца параграфа Г — реберно регулярный граф с параметрами ^,к,А). Число ребер в Г (в окрестности вершины из Г) равно vk/2 (равно кА/2), поэтому vk и кА четны. Число треугольников в Г равно vkА/6, поэтому vkА делится на 3.
Лемма 1.2. Пусть (и, ш) — хорошая пара и ^(и, г) ^ к — 261 + 2 для вершины г из Г2(и) — {ш}. Тогда |[и] П [ш] П [г]| < 2.
< Утверждение следует из лемм 4, 5 работы [3]. >
Лемма 1.3. Пусть и £ Г и ш, г — несмежные вершины из Г2(и) с ^(и, ш) = ^(и, г) = к — 261 + 2. Если к ^ З61 — 3, то |[и] П [ш] П [г]| < 2.
< См. теорему 1 из [4]. >
Лемма 1.4. Пусть Г — сильно регулярный граф, имеющий параметры (v,k, А, д). Тогда либо k = 2д, А = д — 1 (так называемый половинный случай) и v является суммой квадратов двух целых чисел, либо неглавные собственные значения n—m, —m графа Г — целые числа, где n2 = (А—д)2+4(k—д), n—А+д = 2m и кратность собственного значения n—m равна • Далее, если m — целое число, большее 1, то m—1 делит k — А—1 и
k — А — 1 k — А — 1
д = А + 2 + (m — 1)--, n = m — 1+--.
m — 1 m — 1
< Это лемма 3.1 из [5]. >
Сильно регулярные графы с собственным значением —2 были классифицированы Зейделем (теорема 3.12.4 [1]). Любой Зейделев граф — это либо полный многодольный граф Krx2, либо решетчатый или треугольный граф, либо один из графов Шрикханде, Чанга, Петерсена, Клебша или Шлефли.
Лемма 1.5. Пусть Г — сильно регулярный граф, имеющий целочисленные собственные значения, и bi = k — А — 1 . Тогда
(1) если bi — простое число, то Г является полным многодольным графом Krx(b1+i) или Зейделевым графом;
(2) если bi = 2p, p — простое число, то Г либо является полным многодольным графом, либо имеет собственное значение —2 или —3, либо является дополнительным к Зейделеву графу;
(3) если bi =4, то Г является полным многодольным графом Krx5, 5 х 5 решеткой, треугольным графом T (7) или дополнительным графом к 4 х 4 решетке, треугольному графу T(6) или графу Клебша (заметим, что в половинном случае параметры графа равны (17, 8, 3, 4) и он является графом Пэли).
< См. лемму 7 из [3]. >
Лемма 1.6. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, А). Если А ^ k + 1/2 — V2k + 2 (равносильно k ^ (b2 + 3bi )/2 + 1), то Г — дополнительный граф для сильно регулярного графа А и либо д(А) ^ 1, либо А(Д) = 0 и д(А) = 2.
< Это уточнение теоремы 1.4.3 из [1], следующее из ее доказательства. >
Лемма 1.7. Пусть Г — реберно регулярный граф диаметра 2 с параметрами (v, k, А). Тогда для Д = v—2k+А = (v—k — 1)—bi иА = min{v — |ux Uwx| : d(u, w) = 2} выполняется неравенство
k/2 ^ (bi + /i)(bi + Д — 1 — A).
< По условию граф Г является кореберно регулярным с вышеуказанным Д. По предложению 1.4.1 [1], примененному к Г, имеем v — k — 1 ^ k(k — 1 — А)/Д. Так как k = bi + Д, то kU ^ (bi + ik)(bi + Д — 1 — А). >
Лемма 1.8. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (v, k, А, д), А — индуцированный подграф с N вершинами, М ребрами и степенями вершин di,..., d^N и Xi — число вершин из Г — А, смежных точно с i вершинами из А. Тогда
(1) (v — N) — (kN — 2M) + АМ + Д((N) — M) — £ (d) = xo + £ (i-i)Xi и
(2) если Xi,..., xm — вещественные числа, то (£ ixi)2 ^ £ Xi £ i2Xi, причем равенство достигается, только если Xi = 0 для любого i, отличного от io = £ ixi/ £ Xi.
< Подсчитав число вершин в Г — А, число ребер между А и Г — А и число 2-путей с концами в А и средней вершиной в Г — А, получим равенства v — N = £ Xi, kN — 2М = £iXi и АМ + u((N) — М) — £N=i С§) = £ (2)xi
Вычитая второе равенство из суммы первого и третьего, получим утверждение (1).
Так как квадратный трехчлен ^(г — ж)2ж» = ^ г2ж» — 2ж^гж» + ж2 ^ ж» неотрицателен, то его дискриминант (^ гж»)2 — ^ ж» ^ г2ж» неположителен. В случае равенства (^ гж»)2 = г2ж» квадратный трехчлен ^(г — ж)2ж» имеет единственный корень
ж = ^ ¿жг/^ж» (кратности 2), поэтому ж» = 0 для г = ^ ¿ж»/^ж». >
2. Реберно регулярные графы больших степеней с Ьх = 5
В этом параграфе предполагется, что Г — реберно регулярный граф с 61 =5. Заметим, что А = к — 6, поэтому к четно. Если к не делится на 3, то V делится на 3.
Лемма 2.1. Если Г — сильно регулярный граф с 61 = 5, то Г является одним из следующих графов:
(1) полный многодольный граф КГХ^;
(2) 6 х 6 решетка;
(3) треугольный граф Т (8) или один из трех графов Чанга;
(4) граф Шлефли с параметрами (27,16,10, 8).
< Ввиду леммы 1.5 Г — граф в половинном случае, полный многодольный граф КГХ6 или граф Зейделя. Если параметры графа равны (4/ + 1, 2/, / — 1, /), то / = 5 и V = 21 не является суммой двух квадратов целых чисел. Поэтому половинный случай невозможен.
Пусть Г — граф Зейделя. Если Г = КГХ2, то 61 = 1. Если Г имеет параметры п х п решетки (п2, 2п — 2, п — 2, 2), то 61 = п — 1 и п = 6. Если Г имеет параметры треугольного графа Т(п), то 61 = п — 3 и п = 8. Поэтому Г является треугольным графом Т(8) или одним из трех графов Чанга.
Граф Петерсена имеет 61 = 2. Граф Клебша с параметрами (16,10,6,6) имеет 61 = 3. Наконец, граф Шлефли имеет параметры (27,16,10,8) и 61 =5. >
Лемма 2.2. Если к ^ 22, то Г — сильно регулярный граф.
< Если к ^ 22, то по лемме 1.6 граф Г сильно регулярен. >
До конца параграфа будем предполагать, что Г не является сильно регулярным графом. Напомним, что если к ^ 361 — 2, то по следствию из [2] либо 61 ^ 3, либо диаметр графа не больше 2.
Лемма 2.3. Параметр к меньше 20.
< Пусть к = 20. Тогда граф Г является кореберно регулярным с / = V — 2к + А = (V — к — 1) — 61 = V — 26 и по лемме 1.7 выполняется неравенство 20/2 ^ (/2 + 5)(/2 + 4). Отсюда Д2 — 11/2 + 20 ^ 0 и 2 ^ Д ^ 8. Так как V = 26 + /2 делится на 3, то Д = 4 или 7 и
V = 30 или 33. Далее, для вершины и число ребер между [и] и Г2(и) равно к61 = 100.
Если V = 33, то |Г2(и)| = 12, к — 261 + 1 = 11 и указанное число не меньше 12 ■ 11, противоречие. Если V = 30, то 100 < 12 ■ 9 и некоторая вершина ш £ Г2(и) образует хорошую пару с и. Противоречие с тем, что тогда и^ и содержит 31 вершин. >
Лемма 2.4. Если к = 18, то V = 26 и для любой вершины и £ Г имеем д(и, ш») = 12 для трех вершин ш1,ш2,ш3 £ Г2(и), д(и, у») = 13 для двух вершин у1,у2 £ Г2(и) и д(и, г^) = 14 для двух вершин г1, г2 £ Г2(и).
< Пусть к = 18. Тогда граф Г является кореберно регулярным с /2 = (V — к — 1) — 61 =
V — 24 и V ^ 26. Для вершины и число ребер между [и] и Г2 (и) равно к61 = 90. Так как к — 261 + 1 = 9, то | Г2 (и) | ^ 10 ив случае равенства каждая вершина ш £ Г2(и) образует хорошую пару с и. Противоречие с тем, что тогда Г — пятиугольник или граф икосаэдра.
Если V = 28, то либо д(и, ад) = 10 для любой вершины ад £ Г2(и), либо вершина и образует хорошую пару с некоторой вершиной ад £ Г2(и). Но в первом случае граф Г сильно регулярен, а во втором и^ и ад^ содержит 29 вершин. В обоих случаях имеем противоречие.
Если V = 27, то д(и, ад) ^ 11 для любой вершины ад £ Г2(и), поэтому Г2(и) содержит точно две вершины ¿^¿2 с д(и, = 12 и д(и, ад) = 11 для любой вершины ад £ Г2(и) — {¿1, ¿2}. Ввиду утверждения (4) леммы 1.1 имеем ) = 12 и д(у^2) = 11 для
у £ Г2(¿2) — {и, ¿1}, в частности, ^(¿2) С ух.
Положим А = [и] П [¿1 ]. Ввиду леммы 1.1 степень любой вершины из А — [¿2] в графе А равна 8, причем д(х, ¿2) = 11 для х £ А — [¿2] и подграф А — [¿2] является 6-кликой. Таким образом, число ребер между А — [¿2] и А П [¿2] равно 18. Поэтому некоторая вершина у из А П [¿2] смежна не более чем с 3 вершинами из А — [¿2] и степень у в графе А не больше 8. Противоречие с тем, что по лемме 1.1 степень каждой вершины из А П [¿2] в графе А равна 9.
Значит, V = 26. Тогда д(и, ад) ^ 12 для любой вершины ад £ Г2(и) и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) д(и, ад) = 13 для любой вершины ад £ Г2(и);
(2) д(и, ад) = 14 для любой вершины ад £ Г2(и);
(3) д(и, у») = 13 для двух вершин у1,у2 £ Г2(и) и д(и, ) = 14 для двух вершин ¿1, ¿2 £ Г2 (и).
В случае (1) Г2(и) содержит точно три вершины ¿1, ¿2, ¿3 с д(и, = 14 и д(и, ад) = 12 для любой вершины ад £ Г2(и) — {¿1, ¿2, ¿3}. Положим А = {и, ¿1,..., ¿3}, X = X(А), х» = |Х»|. Тогда Х3 является объединением четырех 4-клик, состоящих из вершин, каждая из которых несмежна с единственной вершиной из А, и Х4 = 6. Пусть х £ Х3 — [и] и [х] содержит в вершин из Х4. Так как степень х в графе [¿1] П [¿2] равна 9, то [х] содержит 3 вершины из Х3 — [и] и 6 — в вершин из Х3 — [¿3]. Теперь [х] П [¿1] содержит точно в + 3 + 2(6 — в) вершин, поэтому в = 3. Покажем, что каждая вершина из Х4 смежна точно с двумя вершинами из Х3 — [и]. Допустим, что разные вершины х1, х2 из Х3 — [и] смежны с общей тройкой из Х3 — [¿»]. Тогда [х1] П [х2] содержит 5 вершин из Г2(и), 7 вершин из Х3 П [и] и не пересекает Х4. Противоречие с тем, что для у £ Х3 — ([и] и {х1, х2}) подграф [х»] П [у] содержит не менее 2 вершин из Х4, 5 вершин из Г2(и) и не менее 6 вершин из Х3 П [и].
Поэтому разные вершины из Х3 — [и] смежны с разными тройками из Х3 — [¿»] и для двух вершин х, х' £ Х3 — [и] подграф [х] П [х'] содержит 5 вершин из Г2(и), 6 вершин из Х3 П [и] и единственную вершину из Х4. Теперь любые две пары вершин из Х3 — [и] смежны с разными парами вершин из Х3 — [¿3]. Далее, для у £ Х4 П [х] подграф [х] П [у] содержит ¿1, ¿2, ¿3, не более 2 вершин в каждом из подграфов Х3 — [¿»], единственную вершину из Х3 — [и] и не более 2 вершин из Х4. Так как А = 12, то [у] П Х3 является 8-кликой и [х] П Х4 является 3-кликой. Если у, у' — смежные вершины из Х4, то [у] П [у'] содержит и, ¿1, ¿2, ¿3, не более 1 вершины в каждом из подграфов Х3 — [¿»], Х3 — [и] и не более 4 вершин из Х4. Итак, Х4 является кликой и для вершин у, у' £ Х4, смежных с непересекающимися 2-подмножествами из Х3 — [и], получим А(у, у') ^ 11, противоречие.
В случае (2) Г2(и) содержит единственную вершину ад с д(и, ад) = 12 и д(и, = 13 для любой вершины г £ Г2(и) — {ад}. В этом случае подграф Г2(и) — {ад} является октаэдром. Пусть — антиподальные вершины в этом октаэдре, А = {и, z'}, X» = X»(А), х» = |Х»|. Тогда х3 =8, х2 = 15 и Х2 является объединением трех подграфов, отвечающих парам вершин из А, причем Х2 — [и] состоит из четырехугольника и вершины ад, смежной со всеми вершинами этого четырехугольника (такой подграф назовем пирами-
дой). Заметим, что [ш] содержит по 4 вершины из Х2 — [г] и из Х2 — [г'], поэтому [ш] содержит 3 вершины из Х3. Пусть ж £ Х2 — ([и] и {ш}). Тогда [ж] содержит по 4 вершины из Х2 — [г], Х2 — [г'] и 5 вершин из Х3. Далее, если ж, ж' — две несмежные вершины из Х2 — [и], то [ж] П [ж'] содержит по 3 вершины из Х2 — [г], Х2 — [г'] и 2 вершины из Х3. Аналогично, [ш] П [ж] содержит по 3 вершины из Х2 — [г], Х2 — [г'] и 2 вершины из Х3. Так как степень вершины ш в графе [ж] П [ж'] равна 8, то [ж] П [ж'] П [г] содержит 4 вершины из Г2(и) и по 2 вершины Х2 — [г], Х2 — [г']. Для а £ Х3 подграф [а] содержит и, г, г' и по 3 вершины в каждом из подграфов Х2 — [г], Х2 — [и] и Х2 — [г']. Поэтому Х3 — регулярный граф степени 6 и этот граф изоморфен К4Х2. Ввиду симметричности октаэдра, подграф Х3({и,ж,ж'}) также изоморфен К4Х2 и содержит 2 вершины а, 6 из Х3. Если вершины а, 6 несмежны, то [а] П [6] содержит и, г, г', ж, ж' и по 6 вершин из Х3 и из Х3({и, ж, ж'}). Противоречие с тем, что тогда /(а, 6) ^ 17. Если же вершины а, 6 смежны, то [а] П [6] содержит и, г, г', ж, ж' и по 4 вершины из Х3 и из Х3({и, ж, ж'}). Противоречие с тем, что тогда А(а,6) ^ 13.
Итак, для любой вершины и £ Г выполняется случай (3). >
Лемма 2.5. Если к = 18, то V = 26.
< Пусть к = 18, V = 26 и и £ Г. По лемме 2.4 подграф Г2(и) содержит 3 вершины ш1, ш2, ш3 с /(и, ш») = 12. Так как Г2(и) С ш., то можно считать, что Г2(и) — г.-1 = {г3—, у3—} для ] = 1, 2. Очевидно, вершины у1, у2 смежны. Заметим, что /(у1,г2) = 14, иначе и — единственная вершина вне у. и г. и по утверждению (4) леммы 1.1 получим /(и, у1) = /(и, г2), противоречие.
Положим А = {и, у1, У2}, Х» = Х»(А), ж» = |Х»|. Тогда [^1] П [У2] содержит 3 вершины из Г2(и) и 9 из [и], поэтому ж3 =9 и [и] содержит по 4 вершины из Х2 — [У1] и из Х2 — [У2] и единственную вершину о из Х1. Подграф [у1 ] П [ш»] содержит 4 вершины из Г2(и) и 8 из [и], поэтому |[ш»] П ([и] — [у1])| = 4. Далее, [ш1] П [ш2] содержит 5 вершин из Г2(и) и 7 из [и]. Так как вершины у1, у2 несмежны с о, то [о] — и^ содержит ш, ш2, ш3, г1, г2. Теперь каждая вершина ш» смежна с 5 вершинами из Х3 и [ш^ П [^2] содержит вершину из Х3 и не менее 5 вершин из [и] — Х3. Значит, Х3 содержит либо одну вершину из [ш^ П [ш] и по 4 вершины из [и! — [^2] и из [^2] — [^1], либо две вершины из [ш1] П [ш2], по 3 вершины из [ш1] — [ш2] и из [ш2] — [ш1] и вершину вне [ш1] и [ш2]. Далее, [^3] П [ш»] содержит не менее 5 вершин из [и] — Х3 и не менее 2 вершин из Х3 для подходящего г £ {1, 2}. Таким образом, разные вершины из {ш1,ш,^3} смежны с различными тройками из Х2 — [У2] и Х2 — [У2] = {ш0,..., ш3}, где ш' — единственная вершина из Х2 — [У2], несмежная с ш». Симметрично, Х2 — [У1] = {ш0',..., ш3'}, где ш'' — единственная вершина из Х2 — [у1 ], несмежная с ш». Теперь подграф Х3 не пересекает Х3({ш1, ш2, ^3}) и содержит по 2 вершины, смежные с парами вершин из {^1,^2,^3}. Положим = Х1({ш1, ш2, ш3}) П Х3, где ш* смежна с ш».
Заметим, что [и]П[г1 ] содержит 9 вершин из [у1 ] и 10 из [у2], поэтому [и]П[г1] содержит 6 вершин из Х3, 4 из У] — Х3 и 3 из [У1] — Х3. Симметрично, [и] П [г2] содержит 6 вершин из Х3, 4 из [у1] — Х3 и 3 из [у2] — Х3. Отсюда [г1] П [г2] содержит ш1, ш2 ш3, о по 3 вершины из Х2 — [У1] и из Х2 — [У2] и 3 вершины из Х3, в частности, [г1] и [г2] содержит Х3. Если /(о, у») =13 и /(о, у3-») = 14, то Г2(о) содержит единственную вершину вне У. и у., противоречие. Значит, /(о, У1) = /(о, У2) = 13 и [о] П [и] содержит по 3 вершины из Х2 — [У1] и из Х2 — [У2] и 6 вершины из Х3.
С одной стороны, [г1] П [г2] = {о, ш1,..., ш3, ш1,..., ш3, ш'/,..., ш3', ш*,..., ш*}, причем ш» несмежна с единственной вершиной и вне г. и г.. Поэтому ш» смежна с 5 вершинами из {ш',..., ш3, ш'',..., ш3', ш*,..., ш*}. С другой стороны, [ш0] П [ш0'] =
{и, и>1,..., од, ,..., и>3, ..., ^3', ..., причем ад» смежна с единственной вершиной о вне (ад0и (ад0')^. Поэтому степень ад» в графе [ад0] П [ад0'] равна 9 и ад» смежна с 7 вершинами из {ад',..., ад3, ад'',..., ад3', ад^,..., ад|}, противоречие. >
Лемма 2.6. Если к = 16, то либо V = 27 и Г совпадает с графом Шлефли, либо V = 24 и для и £ Г выполняется одно из утверждений:
(1) д(и, ад») = 13 для двух вершин ад 1, ад2 £ Г2(и) и либо (г) д(и, ¿з) = 12 для двух вершин ¿1, ¿2 £ Г2(и), либо
(гг) д(и, ¿) = 12 для единственной вершины z £ Г2(и) и д(и, уз-) = 11 для двух вершин у1, у2 £ Г2(и);
(2) д(и, ад) = 13 для единственной вершины ад £ Г2(и), д(и, ) = 12 для трех вершин ¿1, ¿2, ¿3 £ Г2(и) П Г2(ад) и д(и, у) = 11 для единственной вершины у £ Г2(и);
(3) либо
(г) д(и, ад») = 12 для пяти вершин ад1,...,ад5 £ Г2(и) и д(и, уз-) = 10 для двух вершин у1, у2 £ Г2 (и), либо
(гг) д(и, ад») = 12 для четырех вершин ад1,..., ад4 £ Г2(и) и д(и, ) = 11 для двух вершин ¿1, ¿2 £ Г2(и), либо
(ш) д(и, ад») = 12 для трех вершин ад1,..., ад3 £ Г2(и) и д(и, ) = 11 для четырех вершин ¿1,..., ¿4 £ Г2 (и).
< Пусть к = 16 и и £ Г. Тогда V делится на 3 и число ребер между [и] и Г2(и) равно к&1 = 80. Если V ^ 30, то некоторая вершина из Г2(и) смежна с 6 вершинами из [и]. Противоречие с тем, что к — 261 + 1 = 7.
Пусть V = 27. Тогда либо д(и, ад) = 8 для любой вершины ад из Г2(и), либо (и, ад) — хорошая пара для некоторой вершины ад из Г2(и). Заметим, что ввиду [3] число вершин, образующих хорошие пары с и не больше 2. Если (и, №1), (и, ад2) — две хорошие пары, то ввиду леммы 1.2 имеем д(и, ¿) ^ к — 261 +3 = 9 для любой вершины z из Г2(и) — {ад1, №2}, противоречие.
Пусть д(и, ад) = 7 для единственной вершины ад из Г2(и). Тогда д(и, ¿) = 9 также для единственной вершины z из Г2 (и) и д(и, у) = 8 для любой вершины у из Г2(и) — {ад^}. Пусть Г2(и) — = {у1,у2}. Тогда по утверждению (4) леммы 1.1 имеем д(и, ¿) = ^(¿^1) = 9, противоречие. Итак, в случае V = 27 граф Г сильно регулярен (и совпадает с графом Шлефли).
Пусть V = 24. Для любых двух несмежных вершин и, ад верно нестрогое неравенство д(и, ад) ^ 10, причем в случае равенства имеем Г = и^ и ад^. Если д(и, ад) = 15, то Г2 (и) — ад^ содержит 5 вершин и число ребер между [и] и Г2(и) не меньше 15 + 5 ■ 11 + 10. Для вершины у £ Г2(и) с д(и, у) = 11 имеем {ад} = Г — (и^ и у^) и по утверждению (4) леммы 1.1 получим д(ад,и) = д(ад,у) = 15, противоречие.
Пусть д(и, ад) = 14. Если д(и, у) = 14 еще для одной вершины у £ Г2(и), то для |Г2(и) — (ад^ и ух)| = г число ребер между [и] и Г2(и) не меньше 14 ■ 2 + 12г + 11(8 — 2г) + 10(г — 3) = 86, противоречие. Если Г2(и) П Г2(ад) содержит вершину у с д(и, у) = 11, то {ад} = Г — (и^ и у^) и по утверждению (4) леммы 1.1 получим д(ад,и) = д(ад, у) = 14, противоречие. Значит, д(и, у) ^ 12 для у £ Г2(и) П Г2 (ад) и число ребер между [и] и Г2(и) не меньше 14 + 4 ■ 12 + 2 ■ 10 = 82, противоречие.
Итак, д(и, ад) ^ 13. Допустим сначала, что д(и, ад») = 13 для двух вершин ад1, ад2 £ Г2 (и). Если вершины ад1, ад2 смежны, то [№1] П [№2] содержит не менее 10 вершин из [и] и число ребер между [и] и Г2(и) не меньше 2 ■ 13 + 12 + 4 ■ 11 = 82, противоречие. Значит, вершины ад!, ад2 несмежны. Так как вершина у £ Г2(и) с д(и, у) = 11 несмежна не более чем с одной вершиной из {ад1,ад2}, то либо д(и, ) = 12 для двух вершин ¿1,
г2 £ Г2(и), либо /(и, г) = 12 для единственной вершины г £ Г2(и) и /(и, у^-) = 11 для двух вершин У1, У2 £ Г2(и), либо /(и, уг) = 11 для четырех вершин У1,...,У4 £ Г2(и). Но в последнем для У», у^- £ [^2] ввиду леммы 1.1 имеем /(ш^у») = /(ш^у^-) = 13, противоречие. Таким образом, если /(и, ш») = 13 для двух вершин ш1, ш £ Г2(и), то выполняется утверждение (1).
Пусть /(и, ш) = 13 для единственной вершины ш £ Г2(и). Как и выше Г2(и) П ^(ш) не содержит вершин У с /(и, у) = 11. Поэтому /(и, г^) = 12 для трех вершин г1,г2,г3 £ Г2(и) П Г2(ш) и /(и, у) = 11 для единственной вершины у £ Г2(и). В этом случае выполняется утверждение (2).
Пусть /(и, ш) ^ 12 для любой вершины ш £ Г2(и). Тогда либо /(и, ш») = 12 для пяти вершин ш1,...,ш5 £ Г2(и) и /(и, у^) = 10 для двух вершин у1, у2 £ Г2 (и), либо /(и, ш») = 12 для четырех вершин ш1,...,ш4 £ Г2(и) и /(и, г^) = 11 для двух вершин г1, г2 £ Г2(и), либо /(и, ш») = 12 для трех вершин ш1,..., ш3 £ Г2(и) и /(и, г^) = 11 для четырех вершин г1, г2 £ Г2(и). В этом случае выполняется утверждение (3). >
Лемма 2.7. Если к = 16 и V = 24, то для и £ Г выполняются следующие утверждения:
(1) любые две вершины г1, г2 £ Г2(и) с /(и, г») = 11 смежны (в частности, случай (3ш) невозможен);
(2) если /(и, г) = 11, то /(и, ш) = 12, /(ш, г) = 11 для ш £ Г2(и) П Г2(г) (в частности, случай (1гг) невозможен);
(3) случай (1г) невозможен.
< Допустим, что /(и, г») = 11 для двух несмежных вершин г1,г2 £ Г2(и). Положим А = {и, г1, г2}, Х» = Х»(А), ж» = |Х»|. Тогда ж3 = 6, ж2 = 15 и ввиду леммы 2.6 подграф Х2 — [и] является двудольным графом ^2,3 или суммой одновершинного графа и 2К (как обычно, пКт является обьединением п изолированных т-клик). В последнем случае каждое ребро из Х2 — [и] попадает в окрестности г1, г2, единственной вершины из Х2 — [и], трех вершин из Х2 — [г1], трех из Х2 — [г2] и одной вершины из Х3. Отсюда число треугольников с основанием в Х2 — [и] и вершиной в Х3 равно 6. Противоречие с тем, что каждая вершина из Х3 смежна точно с 3 вершинами из Х2 — [и] и число вышеуказанных треугольников не меньше 7.
Значит, каждый из подграфов Х2 — [и], Х2 — [г1] и Х2 — [г2] совпадает с ^2,3 и каждое ребро из Х2 — [и] попадает в окрестности точно двух вершин из Х3. Отсюда число треугольников с основанием в Х2 — [и] и вершиной в Х3 равно 12. Поэтому 3-валентные вершины из Х2 — [и] смежны с непересекающимися тройками из Х3, а 2-валентные вершины из Х2 — [и] смежны с парами вершин в указанных тройках. С другой стороны, Х3 — это октаэдр и число треугольников с основанием в Х3 и вершиной в Х2 равно 60.
Если 3-валентная вершина из Х2 — [и] смежна с треугольником из Х3, то число треугольников с основанием в Х3 и вершиной в Х2 — [и] равно 18. Если же 3-валентная вершина из Х2 — [и] смежна с 2-путем из Х3, то число треугольников с основанием в Х3 и вершиной в Х2 — [и] не больше 19. В любом случае число треугольников с основанием в Х3 и вершиной в Х2 меньше 60. Утверждение (1) доказано.
Пусть /(и, г) = 11 и /(и, ш) = 13 для единственной вершины ш £ Г2(и) П Г2(г). Тогда выполняется заключение (1) леммы 2.6 с заменой тройки и, ш1, ш на ш, и, г. В этом случае ^(ш) — (и^ и г. содержит 1 или 2 вершины. Противоречие с тем, что /(и, г) = 11. Если выполняется заключение (1гг) леммы 2.6, то вершина ш несмежна с вершиной г £ Г2(и), имеющей /(и, г) = 11, противоречие. Утверждение (2) доказано.
Допустим, что /(и, ш») = 13 для двух вершин ш1, ш £ Г2(и). Положим А = {и, ш1,ш2}, Х» = Х»(А), ж» = |Х»|. Тогда ж3 = 10, ж2 = 9 и ж0 = 2, причем подграф Х2 — [и] является треугольником, а Хо является ребром {У1,У2}. Далее, [у»] содержит
У3_», все 9 вершин из Х2 и 6 вершин из Х3. Противоречие с тем, что [У1] П [У2] содержит
9 вершин из Х2 и не менее 2 вершин из Х3. >
Из лемм 2.6, 2.7 следует, что при к = 16, V = 24 вторая окрестность любой вершины графа Г изоморфна одному из трех графов:
(г) прямой сумме К2 и 5-вершинного графа, содержащего четырехугольник и вершину, смежную с единственной вершиной четырехугольника;
(гг) прямой сумме К2 и пятиугольника;
(ш) прямой сумме К и 6-вершинного графа, содержащего 3-путь и ребро, каждая вершина которого несмежна с единственной неконцевой вершиной 3-пути.
Лемма 2.8. Если к = 16, V = 24, то /(и, у) = 10 не более чем для одной вершины У £ Г2(и), в частности, для любой вершины и подграф Г2(и) имеет тип (ш).
< Пусть /(и, у») = 10 для двух вершин уь У2 £ Г2(и), {а} = [и] — ([У1] и [У2]). Выберем вершину 6 из ([и] П [у1]) — [у2]. Тогда [6] содержит 4 вершины из ([и] П [у2]) — [у1], если 6 несмежна с а, 3 вершины, в противном случае. Отсюда число смежных с а вершин в подграфах ([и] П [у1]) — [у2] и ([и] П [у2]) — [у1] одно и то же. Поэтому [а] содержит либо
(а) 2 вершины из [и] П [У1] П [У2] и по 4 вершины из ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [У2]) — [У1], либо
(б) 4 вершины из [и] П [У1] П [У2] и по 3 вершины из ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [У2]) — [У1], либо
(в) 0 вершин из [и] П [У1] П [у2] и по 5 вершин из ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [у2]) — [У1].
Пусть ё £ [и] П [у1] П [у2]. Тогда [ё] содержит по 3 вершины из ([и] П [у1]) — [у2],
([и] П [У2]) — [У1] и из [и] П [У1] П [У2], если ё смежна с а, содержит по 4 вершины из ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [У2]) — [У1] и 2 из [и] П [У1] П [У2], если ё несмежна с а.
В случае (а) имеем /(а,у1) = /(а, у2) = 11 и [и] П [у1] П [у2] содержит вершину е с /(е, а) = 10. Далее, [е] П [а] содержит и, не пересекает [и] П [у1] П [у2] и содержит по 3 вершины в каждом из подграфов ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [У2]) — Ы, (Ы П [У2]) — [и]. С другой стороны, для смежной с а вершины ё £ [и] П [У1] П [У2] подграф [ё] П [а] содержит и, по 3 вершины из [и] П [у1 ] П [У2] и из ([у1 ] П [У2]) — [и] и не менее 2 вершин в каждом из подграфов ([и] П [у1]) — [у2], ([и] П [у2]) — [у1]. Противоречие с тем, что А(а, ё) ^ 11.
В случае (б) имеем /(а,у1) = /(а,у2) = 12 и для несмежной с а вершины ё из [и] П [у1] П [у2] по строению Г2(а) получим /(а,ё) = 10. С другой стороны, подграф [ё] П [а] содержит и, 2 вершины из [и] П [У1] П [У2] и по крайней мере по 3 вершины в каждом из подграфов ([и] П [У1]) — [У2], ([и] П [У2]) — Ы, (Ы П [У2]) — [и]. Противоречие с тем, что /(а, ё) = 10.
В случае (в) подграф Г2(а) содержит ребро {У1,У2}, лежащее в пересечении окрестностей 5 вершин из [и] П [у1] П [у2], Отсюда /(а, у1) = /(а, у2) = 10 и [и] П [у1] П [у2] является пятиугольником. Теперь для ё £ [и] П [У1] П [У2] подграф [ё] содержит и, У1, У2, 2 вершины из [и] П [у1] П [у2] и по 3 вершины в каждом из подграфов ([и] П [у1]) — [у2], ([и] П [у2]) — [у1], ([У1] П [У2]) — [и]. Противоречие с тем, что |[ё]| = 16. >
Лемма 2.9. Если к = 16, то V = 24.
< Пусть V = 24. По лемме 2.8 для любой вершины и найдется единственная вершина и* с /(и, и*) = 10. Поэтому множество вершин графа Г разбивается 2-кокликами С1,..., С12 вида {ж, ж*}. Так как каждая вершина из С» смежна по крайней мере с одной
вершиной в каждой коклике С/ для г = ], то вершина из С» смежна с 2 вершинами в пяти кокликах и с 1 вершиной в шести.
Пусть д(и, ¿1) = д(и, ¿2) = 11, А = {и, X» = Х»(А), х» = |Х»|. Тогда Г2(и) П
([¿1 ] и [¿2]) является прямой суммой {и*} и 3-пути ад3ад1ад2ад4, где ад3,ад4 £ Х2 — [и], №1 £ [¿2] — [¿1], №2 £ [¿1] — [¿2]. Отсюда х3 = 7, Х2 — [¿1] и Х2 — [¿2] содержат по 4 вершины, поэтому Х1 П [и] содержит единственную вершину у. Каждая вершина из Х2 — ([¿1] и [¿2]) смежна с 4 вершинами из {и*, №1,..., №4}. Далее, [и*] — содержит у, №1 и 6 вершин из Х2 П [и]. Аналогично, [№3], [№4] содержат по 7 вершин из Х2 П [и] и по 4 вершины из Х3; [^1], [^2] содержат по 6 вершин из Х2 П [и] и по 5 вершин из Х3. Противоречие с тем, что [ад^ П [^2] содержит и*, у, ¿1, ¿2, не менее 4 вершин из Х2 П [и] и по крайней мере 3 вершины из Х3. >
3. Графы с Ьх = 5 степени 14
В леммах 3.1-3.3 предполагается, что Г — связный реберно регулярный граф с 61 =5 степени 14. Ввиду следствия из [2] связный граф Г с к = 361 — 1 либо является многоугольником или графом икосаэдра, либо имеет диаметр 2 и не более 2к вершин. Далее, дополнительный граф Г является кореберно регулярным с параметрами где
к = V — к — 1, Д = V — к — 1 — 61 = V — 20. Если Д = 0, то граф Г является полным многодольным. Если Д = 1, то по лемме 1.1.3 из [1] граф Г сильно регулярен. Ввиду леммы 2.1 можно считать, что граф Г не сильно регулярен, поэтому Д ^ 2 и V ^ 22. Так как к = 14, А = 8 и vkА делится на 6, то V делится на 3.
Лемма 3.1. Граф Г имеет V = 24 вершин и выполняется следующие утверждения:
(1) если д(и, у) = 6 для двух несмежных вершин и, у £ Г, то Г = и^ и у±, [у] П [и] — октаэдр и [и] П [у] П [¿] — треугольник для любой вершины z £ Г2(и) — {у}, в частности, Д(и, ¿) = 8;
(2) д(и, ад) ^ 10 для любых несмежных вершин и, № £ Г;
(3) если д(и, ад) = 10 для ад £ Г2(и), то д(и, ¿) < 10 для любой вершины z из Г2(и) — {ад}.
< Так как 22 ^ V ^ 28, то V = 24 или 27. Пусть и £ Г. Тогда число ребер между [и] и Г2 (и) равно к61 = 70. Если V = 27, то по крайней мере 2 вершины из Г2(и) смежны с 5 вершинами из [и]. Противоречие с утверждением (3) следствия 1 из [3].
Итак, V = 24. Для любых двух несмежных вершин и, у верно нестрогое неравенство д(и, у) ^ 6, причем в случае равенства имеем Г = и^ и у^. Далее, каждая вершина из [и] П [у] смежна с 4 вершинами из [и] — [у] и из [у] — [и], поэтому подграф [и] П [у] является регулярным графом степени 4, т. е. октаэдром. Через Ь» обозначим множество вершин из ([и] — [у]) и ([у] — [и]), смежных точно с г вершинами из [и] П [у], и положим 1» = |£»|. Тогда £ 1» = 16, £ Иг = 6 ■ 8 и £ (2) 1» ^ 12 ■ 4 (равенство достигается, если каждая вершина из ([и] — [у]) и ([у] — [и]), смежных с кликой из [и] П [у]). Отсюда £г21» ^ 144 и £ 1» £ г21» ^ К г1»)2. Ввиду леммы 1.8 £ £ ¿21» = (£ г1»)2 и каждая вершина из ([и] — [у]) и ([у] — [и]) смежна с треугольником из [и] П [у]. Так как [¿] — у^ содержит 5 вершин из [и] для z £ Г2(и) — {у}, то д(и, ¿) = 8. Утверждение (1) доказано.
Ввиду утверждения (1), если д(и, ад) > 8 для некоторой вершины ад £ Г2(и), то д(и, у) = 6 для любой вершины у £ Г2(и).
Допустим, что Г2(и) содержит две вершины ад, z с д(и, ад) = д(и, ¿) ^ 11. Тогда число ребер между [и] и Г2(и) — {ад, ¿} не больше 48, противоречие с тем, что указанное число ребер не меньше 49.
Пусть /(и, ш) ^ 11. Если Г2 (и) — содержит вершину г с /(и, г) = 7, то ввиду леммы 1.1 получим /(и, ш) = /(ш,г), противоречие. Значит, Г2(и) — не содержит вершин, смежных точно с 7 вершинами из [и] и число ребер между [и] и Г2 (и) не меньше 11 + 5 ■ 8 + 3 ■ 7, противоречие. Утверждение (2) доказано.
Пусть /(и,ж») = 7 для двух вершин ж1,ж2 £ Г2(и) — Ввиду леммы 1.1 имеем /(и, ш) = /(ж1,ш) = /(ж2, ш) = 10. Противоречие с тем, что число ребер между вершинами из Г2(ш) — {и, ж1,ж2} и [ш] не меньше 42.
Пусть /(и, ш) = /(и, г) = 10 для двух вершин ш, г из Г2(и) и [ш] П [г] содержит в вершин из Г2 (и). Если вершины ш, г смежны, то [ш] П [г] содержит не менее 6 вершин из [и] и в ^ 1. Далее, |Г2(и) — и гх)| = в + 1 и число ребер между [и] и Г2(и) — {ш, г} не меньше 8(в + 1) + 7 ■ (6 — 2в) + 7 ■ в = 50 + в, противоречие.
Пусть вершины ш, г несмежны. Так как каждый из подграфов Г2(и) —и Г2(и) — г^ содержит не более 1 вершины ж с /(и, ж) = 7, то число ребер между [и] и Г2(и) — {ш,г} не меньше 8(в — 1) + 8(6 — 2в) + 7(в + 2) = 54 — в. Поэтому в ^ 4. Если в = 4, то число ребер между [и] и Г2(и) — {ш, г} равно 8 ■ 3 + 7 ■ 4, противоречие. >
Лемма 3.2. Для любой вершины и подграф Г2(и) содержит либо
(1) две вершины ж1, ж2 с /(и, ж1) = /(и, ж2) = 7, /(и, ш) = 8 для ш £ Г2(и) — {ж1, ж2} и каждый из подграфов [и] П [ж1], [и] П [ж2] и [ж1 ] П [ж2] является дополнительным графом к семиугольнику, либо
(2) вершину у с /(и, у) = 6 и Г2(и) — {у} является дополнительным графом к восьмиугольнику или к объединению двух четырехугольников, причем [и] П [у] П [г] — треугольник для любой вершины г £ Г2(и) — {у} и Г2(у) — {и} также является дополнительным графом к восьмиугольнику или к объединению двух четырехугольников.
< Допустим, что /(и, ш) = 10. По лемме 3.1 получим /(и, г) < 10 для г из Г2(и) —{ш}, поэтому /(и, ж) = 7 для ж из Г2 (и) — ад. и число ребер между [и] и Г2(и) — {ш} не меньше 8 ■ 8, противоречие. Значит, /(и, г) < 10 для любой вершины г из Г2(и).
Пусть ж1, ж2 £ Г2(и) и /(ж1,ж2) = 7. Покажем, что тогда /(и, ж») =7 и каждый из подграфов [и] П [ж1 ], [и] П [ж2] и [ж1] П [ж2] является дополнительным графом к семиугольнику. По лемме 1.1 имеем /(и, ж1) = /(и, ж2). Если /(и, ж1) = 7, то [и] содержит по 7 вершин из [ж1] — [ж2] и из [ж2] — [ж1] и не пересекает [ж1 ] П [ж2]. В этом случае окрестность каждой вершины из [ж1] П [ж2] содержат по 4 вершины из [ж1] — [ж2], [ж2] — [ж1] и из [ж1 П [ж2]. Поэтому дополнительный граф для [ж1 ] П [ж2] является семиугольником или объединением треугольника и четырехугольника. В последнем случае [ж1 ] П [ж2] содержит такую 3-коклику {ш1,ш,^3}, что [ш^ П [^2] П [ш] содержит пару изолированных ребер из [ж1] П [ж2]. Противоречие с тем, что /(ш», VJj) ^ 10 для некоторых г, ] £ {1, 2, 3}. Итак, в случае /(и, ж1) = 7 каждый из подграфов [и] П [ж1], [и] П [ж2] и [ж1] П [ж2] является дополнительным графом к семиугольнику.
Пусть /(и, ж1) = 8. Тогда [и] содержит по 6 вершин из [ж1] — [ж2] и из [ж2] — [ж1] и 2 вершины р, д из [ж1] П [ж2]. По лемме 1.1 степень каждой из вершин р, д в графе [ж1] П [ж2] равна 5. Если вершины р, д несмежны, то [р] П [д] содержит и, ж1, ж2, 5 вершин из [ж1] П [ж2] и не менее 4 вершин из [и], поэтому /(р, д) ^ 12, противоречие. Значит, вершины р, д смежны. Снова по лемме 1.1 степень р в графе [и] П [ж1] равна 5. Противоречие с тем, что [р] — ж. содержит и, ж1 и 4 вершины из [и] П [ж1].
Пусть /(и, ж1) = 9. Тогда [и] содержит по 5 вершин из [ж1] — [ж2] и из [ж2] — [ж1] и 4 вершины из [ж1] П [ж2]. Пусть а — вершина степени а в графе [и] П [ж1] П [ж2]. Тогда [а] содержит 5 — а вершин из [ж1] П [ж2] — [и] и по крайней мере по 5 — а вершин из [и] П [ж1] — [ж2] и из [и] П [ж2] — [ж1 ]. Так как |[а] П [и]| = 8, то а ^ 2. Если а = 2, то [а]
содержит все 3 вершины из [х1] П [х2] — [и], если же а = 3, то [а] содержит 2 вершины из [х1 П [х2] — [и]. В любом случае [х1] П [х2] П [и] содержит 2 несмежных вершины р, д степени 2, причем [р] П [д] содержит и, х1, х2, 5 вершин из [х1] П [х2] П [и] и по вершине из [и] П [х1] — [х2] и из [и] П [х2] — [х1]. Противоречие с тем, что д(р, д) ^ 10.
Пусть и £ Г. Если Г2 (и) содержит вершину х с д(и, х) = 7, то выполняется утверждение (1). Если же Г2(и) не содержит вершин, смежных точно с 7 вершинами из [и], то число ребер между [и] и Г2(и) равно 6 + 8 ■ 8. В этом случае по лемме 3.1 выполняется утверждение (2). >
Лемма 3.3. Если для вершины и подграф Г2(и) содержит вершину у с д(и, у) = 6, то выполняются следующие утверждения:
(1) множество вершин графа Г разбивается тремя К 4Х2-подграфами Ф1, Ф2 и Ф3;
(2) можно считать, что смежные вершины с, б из Ф3 смежны с вершинами а1,..., а4 из Ф1 и с вершинами 61,..., 64 из Ф2, а смежные вершины е, / из Ф3 — {с, б, с*, б*} смежны с вершинами а1, а2, а*, а4 и с вершинами 61, 62, 6*, 6*, где для х £ Ф» вершина х* является антиподом х в Ф»;
(3) можно считать, что а1 смежна с 61, 63, 6*, 64, а2 смежна с 62, 64, 61, 6*, а3 смежна с 61, 6*, 6*, 64, а4 смежна с 6*, 62, 63, 64 и граф Г однозначно восстанавливается.
< Допустим, что Г2 (и) содержит вершину у с д(и, у) = 6. Ввиду леммы 3.2 для любых несмежных вершин а, а* из [и] П [у] подграф [а] П [а*] не пересекает [и] — [у] и [у] — [и], поэтому д(а, а*) =6 и Г содержит К4Х2-подграф, содержащий д-подграфы своих пар несмежных вершин.
Если ^(ад) содержит вершину z с д(ад^) = 7, то по лемме 3.2 в Г2(и) П ^(ад) найдется единственная вершина х с д(ад,х) = д^,х) =7 и коклика {^¿,х} однозначно восстанавливается по любой своей вершине.
Так как 16 и 8 не делятся на 3, то множество вершин графа Г разбивается тремя К4Х2-подграфами Ф1, Ф2 и Ф3. Подсчитаем двумя способами число четверок {а, 6, с, б}, где а £ Ф1, 6 £ Ф2 и [а] П [6] содержит ребро {с, б} из Ф3. С одной стороны, для любых и £ Ф1, ад £ Ф2 подграф [и] П [ад] содержит по треугольнику из Ф1, Ф2 и ребро из Ф3, поэтому указанное число четверок равно 64. С другой стороны, число ребер в Ф3 равно 24 и для ребра {с, б} из Ф3 подграф [с] П [б] содержит 4 вершины из Ф3 и либо
(а) по 2 вершины из Ф1, Ф2, либо
(б) 3 вершины из Ф1 и одну из Ф2, либо
(б') 3 вершины из Ф2 и одну из Ф1, либо
(в) 4 вершины из Ф1 и ни одной из Ф2, либо
(в') 4 вершины из Ф2 и ни одной из Ф1.
Заметим, что если ребро {с, б} типа (в), то ребра {с, б*} и {с*, б} типа (в'), а ребро {с*, б*} типа (в), где х* — антипод вершиных в Ф3. Аналогично, если ребро {с, б} типа (б), то ребра {с, б*} и {с*, б} типа (б'), а ребро {с*, б*} типа (б).
Пусть {с, б} — ребро типа (в). Если [с] П [б] содержит вершины а1,...,а4 из Ф1 и [с] П [б*] содержит вершины 61,..., 64 из Ф2, то [с*] П [б*] содержит вершины а*,..., а4 из Ф1 и [с*] П [б] содержит вершины 6*,..., 64 из Ф2. Пусть е £ Ф3 — {с, б, с*, б*}. Если [е] содержит а1,..., а4, то подграфы [е] П [с*] и [е] П [б*] не пересекают Ф1. Поэтому [е] П [с*] и [е] П [б*] содержат по 4 вершины из Ф2, противоречие с тем, что [с*] П [б*] не пересекает Ф2. Если [е] содержит а1,..., а3, а*, то подграфы [е] П [с*] и [е] П [б*] содержат единственную вершину из Ф1. Поэтому [е] П [с*] и [е] П [б*] содержат по 3 вершины из Ф2 (две из которых попадают в [с*] П [б*]). Снова противоречие с тем, что [с*] П [б*] не пересекает Ф2. Итак, можно считать, что [е] содержит а1, а2, а*, а4 и 61, 62, 6*, 64.
Пусть f € Ф3 — {с, d, с*, d*, e, e*}. Если {e, f} ребро типа (в), то число ребер типов (б,б') равно 0, число ребер типов (в,в') равно 8 и число ребер типа (а) равно 16. Заметим, что [c] — [с*] содержит точно 2 вершины вне а^. Если 63, 64 несмежны с ai, то в графе [e] — [e*] вершины 63, 64 несмежны с а, противоречие. Аналогично, если 61, 62 несмежны с ai, то в графе [e] — [e*] вершины 6*, 6* смежны с ai, снова противоречие. Без ограничения общности, вершина ai смежна с 61, 63, 62, 64. Так как [ai] П [а2] содержит с, d, e, f, то а2 смежна с 62, 64, 6', 6*. Аналогично, [a3] П [a4] содержит с, d, e*, f*, поэтому можно считать, что a3 смежна с 6i, 62, 63, 64 и a4 смежна с 6*, 62, 63, 64. В этом случае граф Г однозначно восстанавливается.
Если {e, f} ребро типа (б), скажем, вершины ai, a2, a*, a4 смежны с f, то число ребер типов (б,б') равно 12, число ребер типов (в,в') равно 4 и число ребер типа (а) равно 8. Противоречие с тем, что тогда вышеуказанное число четверок равно 8 ■ 4 + 12 ■ 3.
Если {e, f} ребро типа (а), то можно считать, что f смежна с ai, a*, a3, a*. В этом случае число ребер типов (б,б') равно 0, число ребер типов (в,в') равно 4 и число ребер типа (а) равно 20, противоречие с тем, что тогда вышеуказанное число четверок равно 20 ■ 4. >
Ввиду леммы 3.3 можно считать, что для любой вершины u подграф Г2(и) не содержит вершин у с д(и, у) = 6. Поэтому множесто вершин графа Г разбивается восемью 3-кокликами Ci,..., Cs, причем для различных каждая вершина из C» смежна с 2 вершинами в Cj, любые 2 вершины из С» смежны точно с 1 вершиной в Cj. Рассмотрим граф Q на множестве вершин графа Г, в котором вершины a, 6 смежны, только если они лежат в разных кокликах C», Cj и несмежны в Г. Тогда Q — локально семиугольный граф, являющийся антиподальным 3-накрытием 8-клики. В [1, с. 386] отмечено, что существует единственный граф Q с этими свойствами — граф Клейна. Наш граф Г является дополнительным графом к графу ^,3 (где две вершины u, w смежны в графе fii,3, только если dn(u, w) = 1 или 3). Итак, в случае 6i =5, k = 14 выполняется утверждение (2) из заключения теоремы.
Литература
1. Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs.—Berlin etc: Springer, 1989.—495 p.
2. Махнев А. А., Минакова И. М. Об одном классе реберно регулярных графов // Изв. Гомельского гос. ун-та.—2000.—Т. 3.—C. 145-154.
3. Махнев А. А., Веденев А. А., Кузнецов А. Н., Носов В. В. О хороших парах в реберно регулярных графах // Дискр. матем.—2003.—Т. 15.—С. 77-97.
4. Дрожевский А. В., Ищенко П. В., Махнев А. А., Паметов П. Ю. О почти хороших парах вершин в реберно регулярных графах // Тр. 34 Региональной молод. конф. ИММ УрО РАН «Проблемы теор. и приклад. матем.».—Екатеринбург, 2003.—С. 31-32.
5. Махнев А. А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые ^-подграфы // Дискр. анализ и исслед. операций.—1996.—Т. 3, № 3.—С. 71-83.
Статья поступила 21 ноября 2008 г. казарина вероника игоревна
Уральский государственный технический университет, радиотехнический факультет, доцент РОССИЯ, 620066, Екатеринбург, ул. Мира 32
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отд. алгебры и топологии
РОССИЯ, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev@imm.uran.ru
