О реберно регулярных графах, в которых каждая вершина лежит не более чем в одной хорошей паре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 53-67

УДК 519.17

О РЕБЕРНО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ, В КОТОРЫХ КАЖДАЯ ВЕРШИНА ЛЕЖИТ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ В ОДНОЙ ХОРОШЕЙ ПАРЕ1

А. А. Махнев, Н. В. Чуксина

Пусть Г является связным реберно регулярным графом с параметрами (у, к, X) и 61 = к — X — 1. Пара вершин {и, то} называется хорошей, если й(и, то) = 2 и и, то) = к — 261 + 1. Если к = 361 + 7, 7 ^ 561 /12 — 5, то каждая вершина лежит не более чем в одной хорошей паре.

Ключевые слова: реберно регулярный граф, ^-подграф, хорошая пара вершин.

Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь — вершины графа Г, то через ^(а, Ь) обозначается расстояние между а и 6, а через Гг(а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии I от вершины а. Подграф Г(а) = Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а], если граф Г фиксирован. Через а^ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г. Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (V, к, А), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро Г лежит в А треугольниках. Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (V, к, А, если Г реберно регулярен и подграф [а] П [Ь] содержит ^ вершин в случае ^(а, Ь) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [а] П [Ь] обозначим через А(а, Ь) (через ^(а,Ь)), если ^(а,Ь) = 1 (если ^(а, Ь) = 2), а соответствующий подграф назовем А-подграфом.

Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А) и Ь1 = к — А — 1. Пара вершин п, ад называется (почти) хорошей, если ^(п, ад) = 2 и ^(п, ад) равно к — 2Ь1 + 1 (равно к —2Ь1 +2). Тройка вершин (и; ад, г) называется (почти) хорошей, если ад, г £ Г2(п) и ^(п, ад) + ^(п, г) не больше 2к — 4Ь1 + 3 (равно 2к — 4Ь1 + 4).

Через Кт1 обозначим полный п-дольный граф, с долями порядков т1,... , тп. Если т1 = ... = тп = т, то соответствующий граф обозначается через Кпхт. Если т ^ 2, то граф К1;ТО называется т-лапой. Треугольным графом Т(т) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, |Х| = т и пары {а, Ь}, {с, смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вершин X х У называется т х п-решеткой, если |Х| = т, |У | = п и вершины

© 2008 Махнев А. А., Чуксина Н. В. 1 Работа выполнен; проект № 08-01-00009.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

(жъШ), (Ж2,У2) смежны тогда и только тогда, когда Х1 = Х2 или у1 = у2- Граф Клебша (граф Шлефли) — это единственный сильно регулярный граф с параметрами (16, 10, 6, 6) (с параметрами (27, 16, 10, 8)). Для подграфа А через |Д| обозначим число его вершин, а через X» (А) обозначим множество вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А.

Если вершины и, ад находятся на расстоянии г в Г, то через 6»(и, ад) (через с»(и, ад)) обозначим число вершин в пересечении Г»+1 (и) (пересечении Г»-1(и)) с [ад]. Заметим, что в реберно регулярном графе с параметрами (V, к, А) значение 61 (и, ад) не зависит от выбора ребра {и, ад} и равно к — А — 1.

В [1, предложение и лемма 1.9] доказано, что если Г — связный реберно регулярный граф диаметра 2 с параметрами (V, к, А) и к = 361+7, 7 ^ —2, то выполняются следующие утверждения:

(1) если Г содержит такую 3-коклику А, что любые ее две вершины образуют хорошие пары, то 7 ^ —1 и Г является шестиугольником, графом икосаэдра или реберным графом тривалентного графа без треугольников, имеющим диаметр больше 2;

(2) если некоторая вершина и графа Г лежит в хорошей паре, то либо 7 ^ 61 — 6, либо 61 =1 и Г — многоугольник, либо 61 =2 и Г — граф икосаэдра или граф с к =4 диаметра, большего 2;

(3) если 7 ^ 0 и для некоторой вершины и подграф Г2(и) содержит две вершины, образующие хорошие пары с и, то 7 < 61/2 — 2.

Уточнение утверждения (2) получено в [5]. В данной работе с помощью предложения о почти хороших тройках получено усиление утверждения (3).

Предложение 1. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А), к = 361 + 7 и 7 ^ 0. Если (и, ад, я) — почти хорошая тройка и 5 = | [и] П [ад] П [я] |, то выполняется одно из следующих утверждений:

(1) вершины ад, я не смежны и 5 = 0;

(2) вершины ад, я смежны и либо

(г) подграф [и] П [ад] П [я] является 2-кликой, 7 = 0, ^(и, ад) = ^(и, я) = 61 + 2,

Г2(и) П ([ад] и [я]) = {ад, я} и ([ад] П [я]) и 61 ^ 8, либо (гг) подграф [и] П [ад] П [я] является 3-кликой, 7 = 1, ^(и, ад) = ^(и, я) = 61 +3, 61 = 3

и Г — граф Клебша, либо (ггг) подграф [и] П [ад] П [я] является 4-кликой, 7 = 1, ^(и, ад) = ^(и, я) = 61 + 3, 61 =5 и Г — граф Шлефли.

Теорема. Пусть Г — связный неполный реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А) и к = 361 + 7, 7 ^ 0. Если 7 ^ 561/12 — 5, то каждая вершина графа Г лежит не более чем в одной хорошей паре.

Для конкретных параметров аналогичный результат можно получить при более слабых предположениях.

Предложение 2. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами к = 17 и 61 =6. Тогда V = 30, Г не содержит почти хороших пар, и каждая вершина графа Г лежит не более чем в одной хорошей паре.

§ 1. Предварительные результаты

В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные утверждения. Для вполне регулярного графа с параметрами (V, к, А, хорошо известно неравенство ^ ^ к — 261 +1 [2, теорема 1.2.3].

Лемма 1.1. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А) и 61 = к — А — 1. Если вершины и, ш находятся на расстоянии 2 в Г, то выполняются следующие утверждения:

(1) степень любой вершины в подграфе из Г не меньше к — 2Ъ\;

(2) вершина й имеет степень а в графе [и] П [ш] тогда и только тогда, когда [й] содержит точно а — (к — 2&1) вершин вне и^ и

(3) если ^(и, ш) = к — 261 + 1, то подграф [и] П [ш] является кликой и [й] С и^ и ш± для любой вершины й £ [и] П [ш];

(4) если Г — (и^ и ш^) содержит единственную вершину г, то ^(и, г) = ^(ш, г).

< Пусть й £ [и] П [ш]. Тогда | [й] — [и] | = | [й] — [ш] | = 61. Поэтому по крайней мере к — 261 вершин из [й] содержится в [и] П [ш]. Утверждение (1) доказано.

Пусть й £ [и] П [ш] и степень й в этом ^-подграфе равна а. Тогда к = а + 261 — | [й] — (и^ и ш^. Поэтому [й] содержит а — (к — 261) вершин вне и^ и ш^. Утверждение (2) доказано.

Утверждение (3) следует из (1), (2).

Пусть {г} = Г — (и^ и ш^). Так как число ребер между [и] — [ш] и [ш] — [и] равно 611 [и] — [ш] | — ^(и, г), то ^(и, г) = ^(ш, г). >

Лемма 1.2. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А), в котором 61 =2. Тогда Г является одним из следующих графов:

(1) тривалентный граф без треугольников;

(2) реберный граф тривалентного графа без треугольников;

(3) полный многодольный граф Кгхз;

(4) 3 х 3 решетка, треугольный граф Т (5) или граф Петерсена;

(5) граф икосаэдра.

< Это предложение 1 из [3]. >

Лемма 1.3. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А), в котором 61 = 3. Тогда Г является одним из следующих графов:

(1) четырехвалентный граф без треугольников;

(2) реберный граф четырехвалентного графа без треугольников (в том числе 4 х 4 решетка) ;

(3) локально шестиугольный граф (в том числе граф Пэли с параметрами (13, 6, 2, 3) и граф Шрикханде);

(4) полный многодольный граф

(5) треугольный граф Т(6) или граф Клебша.

< Это предложение 2 из [3]. >

Пусть ш,г £ Г2(и). Пару вершин (и, ш) назовем почти хорошей, если ^(и, ш) = к — 261 +2. Тройку вершин (и, ш, г) назовем (почти) хорошей, если ^(и, ш)+ ^(и, г) не больше 2к — 461 + 3 (равно 2к — 461 + 4). Свойства почти хороших троек вершин изучаются в следующих четырех леммах.

Лемма 1.4. Пусть Г — реберно регулярный граф с к ^ 361 — 3, ^(и, ш) + ^(и, г) = 2к — 461 +4 для двух вершин ш,г из Г2(и), А = [и] П [ш] П [г] и 5 = |Д|. Тогда выполняется одно из утверждений:

(1) вершины ш, г несмежны, 5 ^ 1 ив случае 5 = 1 имеем к = 361 — 3;

(2) А содержит две несмежные вершины, 5 = 2 и к ^ 361 — 1;

(3) вершины ш, г смежны, А является кликой и если 5 > 1, то либо

(г) подграф А содержит единственную вершину б, смежную с вершиной вне и^ и [ад] и [г], 5 ^ 2, к ^ 361 — 2 и для е £ А(б) подграф [б] и [е] содержит [ад] П [г] — [и], а [б] П [е] содержится в {и, ад, г} и ([и] П ([ад] и [г])) и ([ад] П [г] — [и]), либо

(гг) подграф А не содержит вершин, смежных с вершиной вне и^ и [ад] и [г], и для любых двух вершин б, е £ А подграф [б] П [е] содержит А — 1 + 7 вершин из {и, ад, г} и ([и] П ([ад] и [г])) и ([ад] П [г] — [и]), где 7 = |[ад] П [г] — ([б] и [е])|.

< Все утверждения леммы, кроме оценок для к, следуют из леммы 1.7 [1].

Пусть вершины ад, г смежны, и б — вершина из А, смежная с вершиной вне и^ и [ад] и [г]. Если 5 = 1, то |[и] П [б] | ^ 2(к — 261 + 1) и к = З61 — 3. Аналогичные рассуждения применимы к случаю, когда вершины ад, г несмежны, и б £ А.

Если 5 = 2, то | [и] П [б] | ^ 1 + 2(к — 261) и к ^ З61 — 2.

Пусть А содержит две несмежные вершины а, 6. Тогда 5 = 2, |[и] П [б]| ^ 2(к — 261) и к ^ 361 — 1. >

Лемма 1.5. Пусть Г — реберно регулярный граф. Тогда

(1) если Г содержит хорошую тройку (и; ад, г), то | [и] П [ад] П [г]| < 2;

(2) если к = 361 + 7, 7 ^ 0 и Г содержит хорошую пару {и, ад}, то ^(и, г) ^ 61 + 7 + 3 для любой вершины г £ [ад] — [и], и 61 ^ 8;

(3) если к ^ 361, 61 ^ 6 и Г содержит почти хорошую пару {и, ад}, то либо 61 = 1 и Г — граф КгаХ2, п ^ 3, либо 61 =3 и Г — граф Клебша, либо 61 =5 и Г — граф Шлефли.

< Утверждение (1) следует из лемм 4, 5 [4].

Пусть г £ [ад] — [и]. Если ^(и, г) = 61 + 7+1, то 7 = 0 и ввиду утверждения (1) подграф [и] П [ад] П [г] содержит единственную вершину а и [а] П [и] содержит по 61 + 7 вершин из [ад] — [г] и из [г] — [ад], противоречие с тем, что А = 261 + 7 — 1. Если ^(и, г) = 61 + 7 + 2, то по утверждению (1) имеем | [и] П [ад] П [г] | ^ 1, и [г] — ад^ содержит 61 + 7 + 1 вершин из [и], противоречие. Значит, ^(и, г) ^ 61 + 7 + 3 для любой вершины г £ [ад] — [и].

Ввиду леммы 1.8 из [1], если к ^ 361 и Г содержит хорошую пару и, ад, то к ^ 461 — 6. В случае 61 =6 имеем к = 18 и число ребер между [и] и [ад] — [и] не больше 101. Так как 11 ■ 10 = 110, то Г = и^ и ад^ и [ад] — [и] содержит либо 9 вершин г с ^(и, г) = 9 и 2 вершины у с ^(и, г) = 10, либо 10 вершин г с ^(и, г) = 9 и 1 вершину у с ^(и, г) = 11.

Пусть ^(и, г) = 9, [и] П [ад] П [г] = {а1,а2,а3}. Тогда [и] П [а»] содержит 6 вершин из [и] П [ад] и не менее 4 вершин из [и] П [г] — [ад], [а»] П [а^] содержит и, ад, г, 5 вершин из [и] П [ад], и не менее 2 вершин из [и] П [г] — [ад]. Положим ^ = {г £ [ад] — [и] | ^(и, г) = 9}. Тогда число ребер между [и] П [ад] и ^ не меньше 27, поэтому найдется вершина а £ [и] П [ад], смежная с 4 вершинами г» из Без ограничения общности, вершины г1,г2 смежны. Противоречие с тем, что [г1 ] П [г2] содержит не менее 10 вершин из [и] П а^ и не менее 8 вершин из ад^ — [и].

В случае 61 =7 имеем к = 22, А = 14 и V делится на 3. Отсюда V ^ 39, число ребер между [и] и Г2(и) равно 7■ 22, но не меньше 9+13■ 11 + 19, противоречие. Утверждение (2) доказано.

Пусть к = 361 + 7, 7 ^ 0 и Г содержит почти хорошую пару (и, ад). Заметим, что диаметр Г равен 2, и если Г — сильно регулярный граф, то он имеет собственное значение —2.

Если 61 = 1, то Г — многоугольник или граф КПХ2. В первом случае к = 261, а во втором каждая пара несмежных вершин является почти хорошей и п ^ 3.

Если 61 = 2, то ввиду леммы 1.3 Г — 3 х 3 решетка, треугольный граф Т(5) или граф Петерсена. В любом случае к < 361.

Если 61 = 3, то ввиду леммы 1.4 Г — граф Клебша.

Если 61 = 4 и к ^ 10, то по предложению 3 из [3] Г является полным многодольным графом КГХ5 или треугольным графом Т(7). В первом случае —2 не является собственным значением Г, а во втором к < З61.

Если 61 =5 и к ^ 15, то по теореме из [6] Г является полным многодольным графом Кг хб или графом Шлефли. Но в первом случае —2 не является собственным значением Г.

Пусть 61 =6 и к ^ 18. Если граф Г сильно регулярен, то он имеет собственное значение —2 и к < З61. Поэтому граф Г не является сильно регулярным и и ад^| = 30 + 7.

Допустим, что ^(п, г) = 8 + 7 для смежной с ад вершины г из Г2(и). Положим А = [и] П [ад] П [г] и Ь = |А|. Если Ь < 2, то 7 = 0, Г2(п) С {ад, г} и ([ад] П [г]) и |Г2(п)| = 11. Далее, число ребер между [и] и Г2(п) — {ад, г} равно 92. Положим [ад] П [г] = {а, 6}, £ = [а] — ([и] и {ад, г}), £2 = [6] — ([и] и {ад, г}). Пусть с £ £ь Если с± содержит £, то степень а в графе [и] П [с] равна 6, [и] П [с] содержит по 3 вершины из [и] П [ад] — [г], [п]П[г] —[ад] и из [и] —([ад] и [г]), поэтому ^(и, с) = 10. Если же с^ не содержит £1, то степень а в графе [и] П [с] равна 8, [и] П [с] содержит по 4 вершины из [и] П [ад] — [г], [и] П [г] — [ад] и 2 вершины из [и] — ([ад] и [г]), поэтому ^(и, с) = 11. В последнем случае подграф £1 является 3-лапой или объединением двух изолированных ребер, а £2 является 4-кликой. Если £1 является 3-лапой, то число ребер между Г2(и) — {ад, г} и [и] — ([ад] и [г]) не больше 23, противоречие с тем, что каждая из четырех вершин в [и] — ([ад] и [г]) смежна с 6 вершинами из Г2 (и) — {ад, г}. Если £1 является объединением двух изолированных ребер, то для вершины е из Г2(и) — (а^ и 6^) имеем ^(и, е) = 8, поэтому [е] содержит £1 и £2. Далее, [с] содержит 3 вершины из £2 для любой вершины с £ £1, противоречие с тем, что для й £ £2 подграф [й] содержит 2 вершины из £1.

Итак, £1, £2 являются кликами и ^(и, е) = 12 и [е] содержит [и] П [ад] — [г], [и] П [г] — [ад] и 4 вершины из £1 и £2. Поэтому ^(а, е) + ^(6, е) =28 и число ребер между [е] и Г2 (е) — {и, а, 6} равно 60, противоречие.

Пусть Ь ^ 3. Ввиду леммы 1.6 граф А является кликой. Положим £ = [ад] П [г] — [и].

Покажем, что Ь ^ 7 + 4. В противном случае |£| > 7, для любой вершины а» из А имеем |£ — [а»]| > 3 и для двух вершин а1,а2 из А — {а»} подграф [а1] П [а2] содержит более 6 + 7 вершин из [и] П ([ад] и [г]) и менее 2 вершин из £, противоречие. Так как |Г2(и)| ^ 9 + Ь — 7, то число ребер между [и] и Г2(и) равно 6(18 + 7), но не меньше 13(8 + 7). Отсюда 77 < 4, 7 = 0, Ь = 4 и |Г2(и)| = 13.

Положим А = {а1,..., а4}. Тогда [а»]П[а^] содержит не менее 9 вершин из [и]П([ад]и[г]) и не более 2 вершин из £.

Допустим, что [а1] содержит не более 3 вершин из £. Тогда |£ — [а1 ]| ^ 4, поэтому [а1] содержит точно 3 вершины из £. Если [а2] содержит 3 вершины из £, то [аз] П [а4] содержит не менее 3 вершин из £, противоречие. Значит, [а»] содержит 61 — 2 вершин из £ для любой вершины а» £ А — {а1}. Теперь число ребер между А и [и] — ([ад] и [г]) не меньше 7 и некоторая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна с 2 вершинами а», а^. Ясно, что | [а»] П £| = | [а^] П £| =4. Если |[аг] П £| = 3, то [аг] П [а»] или [аг] П [а^] содержит не менее 2 вершин из £, противоречие. Значит, |[а] П £| =4 для любой вершины а £ А и [аг] содержит по 2 вершины из £ — [а»] и из £ — [а^]. Далее, [и] — ([ад] и [г]) содержит вторую вершину, смежную с 2 вершинами из А, противоречие.

Пусть ^(и, г) > 8 + 7 для любой смежной с ад вершины г из Г2(и). В случае V = 30 + 7 подграф [и] П [ад] является полным многодольным с долями порядка 2, поэтому 7 четно. В этом случае вершина из Г2(и) — {ад} смежна в среднем с 10 + 7/2 вершинами из [и] и 8 + 7 ^ 10 + 7/2. Если 7 = 4, то граф Г является сильно регулярным, противоречие. Значит, 7 £ {0, 2}. Если 7 = 2, то ^(и, г) = 11 для любой вершины г £ [ад] — [и], и

подграфы [и] П [ад], [ад] — [и] изоморфны К5Х2. В этом случае для любой вершины х подграф Г2(х) содержит точно 10 вершин у с ^(х, у) = 11, поэтому х лежит в пяти 3-кокликах и число 3-коклик в Г равно 32 ■ 5/3, противоречие.

Пусть 7 = 0. Если ^(и, г) = 9 для некоторой вершины г £ [ад] — [и], то Г — (и^ и г^) содержит единственную вершину у и по лемме 1.1 имеем ^(и, у) = ^(у, г). Поэтому [у] содержит в вершин из [и] П [г] и ^(и, у) = (18+в)/2. Если в = 0, то [ад] С у^иг^ и степень ад в графе [у] П [г] равна 8, противоречие. Если в = 2, то для вершины а £ [и] П [у] П [г] подграф [а] — у^ содержит и, г и не менее 6 вершин из [и] П [г] — [у], противоречие. Если в = 4, то для вершины а £ [и] П [у] П [г] подграф [а] — у^ содержит и, г и 4 вершины из [и] П [г] — [у], поэтому [и] П [у] П [г] является кликой, и подграф [у] содержит [а] П ([и] — [г]) и [а] П ([г] — [и]). Положим [и] П [у] П [г] = {ах,..., а4}. Тогда [ах] П [а2] содержит и, у, г, не менее 5 вершин из [и] П [г] и не более 3 вершин из ([и] — [г]) и ([г] — [и]). Без ограничения общности можно считать, что [ах] П [а2] содержит 1 вершину из [и] — [г] и 2 вершины из [г] — [и]. Тогда [а3] П ([и] — [г]) содержит по 2 вершины из [ах] — [а2] и из [а2] — [ах]. Противоречие с тем, что [аз] П([г] — [и]) содержит 2 вершины из [ах] — [а2] или из [а2] — [ах].

Если в = 8, то ^(и, у) = ^(у, г) = 13, число ребер между [у] и Г2(у) — {и, г} равно 82 и ^(хг, у) = 9 для по крайней мере 6 вершин х» из Г2(у). Далее, [и] — [г] или [г] — [и], для определенности, [и] — [г] содержит не менее 3 таких вершин х». Противоречие с тем, что число ребер между [и] и Г2(и) — {у,хх,х2,хз} равно 108 — 13 — 3 ■ 12 = 59.

Значит, в = 6, ^(и, у) = ^(у, г) = 12, число ребер между [у] и Г2(у) — {и, г} равно 84 и ^(х»,у) = 9 для по крайней мере 4 вершин х» из Г2(у). Заметим, что ^(у, Ь) = 12 для не более чем одной вершины Ь £ Г2(у) — {и, г}. Если ^(у, Ь) = 12, то либо ^(у, с) = 9 для любой вершины с £ Г2(у) — {Ь, и, г}, либо ^(у, а) = 8, ^(у,^) = 10 и ^(у,с/) = 9 для 6 вершин с £ Г2(у). Заметим, что в случае ^(у, с) = 9 для с £ [г] — [и] имеем ^(и, с) = 12, поэтому каждый из подграфов [и] П [г], [и] — [г] и [г] — [и] содержит по 2 вершины с^ такие, что ^(у, Cj) = 9. Противоречие с тем, что тогда |Г2(у) — Ь^| ^ 3. Итак, ^(у, Ь) < 12 для любой вершины Ь £ Г2(у) — {и, г}. Если [и] — [г] содержит такую вершину х, что ^(у, х) = 9, то ^(х, г) = 12. Поэтому ^(у, а) = 8 для единственной вершины а £ Г2(у) и {х | ^(у,х) = 9} содержит вершину хх из [и] — [г], х2 из [г] — [и] и 2 вершины х3,х4 из [и] П [г]. Противоречие с тем, что ^(у, е) = 12 для е £ Г — (х^ и у^).

Таким образом, для любой вершины и найдется единственная вершина ад с ^(и, ад) = 8 и ^(и, г) = 10 для любой вершины г £ Г2(и) — {ад}. Положим Г — (и^ и г^) = {х, у}. Если вершины х, у не смежны, то [х] содержит по 7 вершин из [и] — [г], [г] — [и] и 4 вершины из [и] П [г] Если вершины х, у смежны, то [х] содержит по 6 вершин из [и] — [г], [г] — [и] и 5 вершин из [и] П [г]. В любом случае имеем противоречие с тем, что ^(и,х) = 11.

В случае V ^ 31 + 7 число ребер между [и] и Г2(и) равно 6(18 + 7), но не меньше 2(8 + 7) + 10(9 + 7), поэтому 67 ^ 2 и 7 = 0. Далее, V = 31 и Г — (и^ и ад^) содержит единственную вершину г. По лемме 1.1 имеем ^(и, г) = ^(ад,г), поэтому [г] содержит в вершин из [и] П [ад] и ^(и, г) = 9 + в/2. Если а £ [и] П [ад] П [г], то [а] — гх содержит и, ад и 8 — в вершин из [и] П [ад], поэтому в ^ 4. В случае в = 4 для любых двух вершин ах,а2 £ [и] П [ад] П [г] подграф [ах] П [а2] содержит и, ад, г, 6 вершин из [и] П [ад] и по одной вершине из ([и] — [ад]) П [г] и из ([ад] — [и]) П [г]. Противоречие с тем, что для а3 £ [и] П [ад] П [г] — {ах,а2} подграф [ах] П [а3] содержит и, ад, г, 6 вершин из [и] П [ад] и по 3 вершины из ([и] — [ад]) П [г] и из ([ад] — [и]) П [г]. Итак, если в > 0, то в ^ 6 и число ребер между [г] и Г2(г) — {и, ад} равно 84, противоречие.

Отсюда в = 0, [и] П [ад] — полный 4-дольный граф с долями порядка 2 и ^(и, г) = ^(ад, г) = 9. Итак, для любой вершины х либо ^(х, у) = 9 для любой вершины у £ Г2(х), либо Г2(х) содержит такие вершины а, Ь, что ^(а,х) = 8,^(Ь, х) = 10 и ^(х, у) = 9 для

любой вершины у £ Г2(ж) —{а, 6}. Пусть е — вершина из [ш] — ([и] и [г]). Тогда [е] содержит не менее 5 вершин из [и] П [г], не более 4 вершин из [и] П [ш] и не менее 7 вершин из [ш] П [г]. Противоречие с тем, что ^(е, у) ^ 12. >

Лемма 1.6. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (V, к, А), 61 = 7, к = 21+ 7 и 7 ^ 0. Тогда 7 нечетно, и Г не содержит почти хороших пар.

< Пусть 61 = 7, к = 21 + 7, 7 ^ 0 и Г содержит почти хорошую пару (и, ш). Заметим, что диаметр Г равен 2, и если Г — сильно регулярный граф, то он является графом в половинном случае или имеет собственное значение —2. В первом случае ^ = 61 = к — 261 + 2. В случае п х п-решетки имеем 61 = п — 1 и п = 8. В случае треугольного графа Т(т) имеем 61 = т — 3 и т = 10. В любом случае к < 361. Значит, Г не является сильно регулярным графом и |и^ и = 35 + 7.

Допустим, что ^(и, г) = 9 + 7 для смежной с ш вершины г из Г2(и). Положим А = [и] П [ш] П [г] и 5 = |Д|. Если 5 ^ 2, то 7 = 0, к = 21, А = 13, противоречие с тем, что кА четно.

Пусть 5 ^ 3. Ввиду леммы 1.4 граф А является кликой. Положим £ = [ш] П [г] — [и]. Тогда |£| = 13 + 7 — 5. Для двух вершин а1, а2 из А подграф [а1] П [а2] содержит и, ш, г, не менее 14 + 27 — 5 вершин из [и] П ([ш] и [г]) и не более 5 — 7 — 4 вершин из £.

Покажем, что 5 ^ 7 + 5. В противном случае 5 ^ 7 + 4, |£| ^ 9, для любой вершины а» из А имеем |£ — [а»]| ^ 4 и для двух вершин а1, а2 из А — {а»} подграф [а1] П [а2] содержит не менее 2 вершин из £ — [а»], противоречие. Так как |Г2(и)| ^ 11 + 5 — 7, то число ребер между [и] и Г2(и) равно 7(21 + 7), но не меньше 16(9 + 7). Отсюда 97 ^ 3, 7 = 0, к = 21, А = 13, противоречие с тем, что кА четно.

Итак, ^(и, г) > 9+7 для любой смежной с ш вершины г из [ш] — [и]. Теперь число ребер между [и] и Г2(и) равно 7(21 + 7), но не меньше 13(10 + 7) — 1. Отсюда 67 ^ 18. В случае 7 = 3 имеем V = 38, к = 24, А = 16, подграф [и] П [ш] является полным многодольным с долями порядка 2, и каждая вершина из Г2(и) — {ш} смежна с 13 вершинами из [и]. Пусть г £ Г2(и) — {ш}, Г — (их и гх) = {у}. По лемме 1.1 имеем ^(и, у) = ^(и, г) = 13. Поэтому [у] содержит 2 вершины из [и] П [г] и по 10 вершин из [и] — [г] и из [г] — [и]. Для вершины а £ [и] П [г] П [у] степень а в графе [и] П [г] равна 11. Противоречие с тем, что [а] — у^ содержит и, г и не менее 10 вершин из [и] П [г].

Значит, 7 = 1, к = 22, А = 14 и V делится на 3. Если V ^ 39, то число ребер между [и] и Г2 (и) равно 7 ■ 22, но не меньше 16 ■ 11, противоречие. Итак, V = 36 и Г = и^ и .

Пусть ^(и, г) = 11, Г — (и^ и г^) = {у} и [у] содержит I вершин из [и] П [г]. По лемме 1.1 имеем ^(и, у) = ^(и, г) = 11 + 1/2. Если I = 0, то [у] = ([и] — [г]) и ([г] — [и]). Поэтому [ш] содержит по 6 вершин из [и] П [г] и из [и] — [г], противоречие. Для вершины а £ [и] П [г] П [у] степень а в графе [и] П [г] равна 9. Если 0 <1 ^ 4, то [а] — у^ содержит и, г и 6 вершин из [и] П [ш], противоречие. Если I = 6, то [а] — у^ содержит и, г, не менее 4 вершин из [и] П [г] и не более 1 вершины из ([и] — [г]) и ([г] — [и]). Поэтому [а] содержит 9 вершин из 16-вершинного подграфа Ф = ([и] П [у] — [ш]) и ([ш] П [у] — [и]). Для попарно смежных вершин а, с, е £ [и] П [г] П [у] подграф [а] П [с] содержит и, ш, у, не менее 6 вершин из [и] П [ш] и не более 5 вершин из Ф, и [е] содержит по 3 вершины из Ф — [а] и из Ф — [с]. Отсюда подграф [и] П [г] П [у] является кликой и для подходящей вершины / £ [и] П [г] П [у] — {е} подграф [е] П [/] содержит 3 вершины из Ф — ([а] и [с]) и еще одну вершину из Ф, противоречие.

Если I = 10, то ^(и, у) = ^(и, г) = 16, число ребер между [у] и Г2(у) — {и, г} равно 122, поэтому найдется по крайней мере 8 вершин е» из Г2(у) — {и, г} с ^(у, е») = 11. Без ограничения общности, 4 из этих вершин попадают в [г] — [и]. Для е» £ [г] — [у] имеем Г — (е^~ и у^) = {и} и по лемме 1.1 имеем ^(и, е) = 16. Противоречие с тем, что число

ребер между [у] и Г2(п) — ({ад, у, г} и {в»}) равно 53. Если I = 8, то ^(п, у) = ^(п, г) = 15, число ребер между [у] и Г2(у) — {п, г} равно 124, поэтому найдется по крайней мере 6 вершин в» из Г2(у) — {п, г} с ^(у, в») = 11. Если 3 из этих вершин попадают в [г] — [п] или в [п] — [г], то мы получим противоречие как и выше. Значит, {в»} содержит по 2 вершины из [п] П [г], [г] — [п], [п] — [г] и число ребер между [у] и £ = Г2(п) — ({ад, у, г} и {в»}) равно 88. Поэтому [п] — ([у] и [г]) и [г] — ([у] и [п]) содержат по 2 вершины ж- с ^(ж,у) = 15. Противоречие с тем, что число ребер между [у] и Г2(у) — ({п, г} и {ж/}) равно 64.

Итак, Г2(п) не содержит вершин г с ^(п, г) = 11. Поэтому ^(п, у) = 12 для любой вершины у £ Г2(п) — {ад}. Положим Г — (п^ и у^) = {г, г'}. Если вершины г, г' смежны, то [г] содержит 3 вершины из [п] П [г] и по 9 вершин из [п] — [у], [у] — [п]. Если же вершины г, г' не смежны, то [г] содержит 2 вершины из [п] П [г] и по 10 вершин из [п] — [у], [у] — [п]. В любом случае для вершины а из [п] П [у] П [г] подграф [а] — г^ содержит п, у и не менее 7 вершин из [п] П [г], противоречие. >

§ 2. Почти хорошие тройки в графах с к ^ 3Ь1

В этом параграфе Г является связным реберно регулярным графом с к = 3Ь1 + 7, 7 ^ 0. Пусть Ь1 ^ 5. Тогда Г не содержит хороших пар, а если Г содержит почти хорошую пару, то по лемме 1.5 граф Г является графом Клебша или графом Шлефли и выполняется заключение предложения 1.

Лемма 2.1. Пусть Ь1 > 5, ^(п, ад) + ^(п, г) ^ 2Ь1 +27 + 4 для смежных вершин ад, г из Г2(п), А = [п] П [ад] П [г] и 5 = |Д|. Тогда подграф А является кликой и либо 7 = 0, ^(п, ад) = ^(п, г) = Ь1 +2, 5 = 2, Ь1 ^ 8 и |Г2 (п) | = 2Ь1 — 1, либо выполняются следующие утверждения:

(1) 5 ^ Ь1/2 + 7 + 2;

(2) если ^(п, ад) = ^(п, г) = Ь1 + 7+2, то для любой вершины у из [г] — (ад^ и [п]) имеем ^(п, у) ^ Ь1 + 7 + 3, а для любой вершины ж из [ад] П [г] — [п] имеем ^(п, ж) ^ Ь1 + 7 + 2;

(3) если ^(п, ад) = Ь1 + 7 + 1, ^(п, г) = Ь1 + 7 + 3, то для любой вершины у из [г] — (ад^ и [п]) имеем ^(п, у) ^ Ь1 + 7 + 2, а для любой вершины ж из [ад] — [п] имеем ^(п, ж) ^ Ь1 + 7 + 3.

< Если 5 ^ 2, то [г] — ад^ или [ад] — г^ содержит не менее Ь1 вершин из [п], поэтому 7 = 0, ^(п, ад) = ^(п, г) = Ь1 + 2 и 5 = 2. Если А содержит две несмежные вершины а, с, то [а] П [п] содержит по Ь1 вершин из [ад] и из [г], противоречие с тем, что А = 2Ь1 — 1. Значит, А является 2-кликой и ^(п, ад) = ^(п, г) = Ь1 + 2. Так как [ад] — г^ содержит Ь1 вершин из [п], то Г2(п) П ([ад] и [г]) = {ад, г} и ([ад] П [г]). Ввиду лемм 1.5, 1.6 имеем Ь1 ^ 8 и выполняется заключение леммы.

Пусть 3 ^ 5 < Ь1 /2 + 7 + 2. Ввиду леммы 1.4 граф А является кликой. Положим £ = [ад] П [г] — [п]. Тогда |£| = А — 5 > 3Ь1/2 — 3 и для двух вершин а1, а2 из А подграф [а1] П [а2] содержит п, ад, г, 5 — 2 вершин из А, не менее 2Ь1 + 27 — 25 вершин из ([п] — А) П ([ад] и [г]) и не более 5 — 7 — 2 вершин из £. Докажем сначала утверждение (а) 5 ^ Ь1/2 + 7 +1.

В противном случае | £ | > 3Ь1 /2 — 2, для любой вершины а» из А имеем | £ — [а»] | > Ь1 /2 и для двух вершин а1, а2 из А — {а»} подграф [а1 ] П [а2] содержит более 3Ь1 /2 + 7 — 3 вершин из [п] П ([ад] и [г]) и менее Ь1 /2 — 1 вершин из £. Отсюда Ь1 = 2£ +1, |£ — [а»] | = £ +1 и для двух вершин а1, а2 из А — {а»} подграф [а1] П [а2] содержит £ — 1 вершин из £ — [а»]. Отсюда |£ — [а»]| = £ + 1, |[а»] П £| =2£ — 1 и 5 = £ + 1 + 7. Если 5 > 3, то [а4] П £ содержит единственную вершину из [а»] П £ и £ — 1 = 1, противоречие. Если 5 = 3, то 7 = 0 и снова £ = 2, противоречие с леммой 1.5. Утверждение (а) доказано.

Предположим, что 61 =24 и 5 = 4 + 7 +1. Тогда |£| =34 — 2 и [01] П [02] содержит и, ад, я, не менее 34 + 7 — 3 вершин из [и] П ([ад] и [я]) и не более 4 — 1 вершин из £. Докажем утверждение

(6) каждая вершина из А смежна с 61 — 2 вершинами из £.

Допустим, что [01] содержит не более 61 — 3 вершин из £. Тогда |£ — [01 ]| ^ 4 + 1, поэтому [01] содержит точно 61 — 3 вершин из £. Если [02] содержит 61 — 3 вершин из £, то [аэ] П [04] содержит не менее 24 — 3 вершин из £ и 24 — 3 ^ 4 — 1, противоречие. Значит, [а»] содержит 61 — 2 вершин из £ для любой вершины £ А — {01}. Поэтому [02] и [03] содержит 24 — 4 вершин из [01] П £, [04] П £ содержит единственную вершину из [01] П £ и 4 — 2 = 1. Противоречие с леммой 1.5. Докажем утверждение

(с) каждая вершина из £ смежна не менее чем с 4 + 7 — 1 вершинами из А.

Предположим, что 3 вершины 01,02,03 из А не смежны с вершиной у из £. Ввиду леммы 1.6 для любых различных г,^ £ {1, 2, 3} подграф [0»] и [0/] содержит £ — {у}. Поэтому £ — {у} содержит по 4 — 1 вершин из £ — [0»] для г = 1, 2, 3. Для 04 £ А — {01, 02, 03} подграф [04] содержит у и не менее 3(4 — 2) вершин из £ — {у}. Отсюда 4 ^ 3, противоречие с леммой 1.5. Докажем утверждение

£ не содержится в [01 ] и [02] для любых 01, 02 £ А.

Пусть £ С [01] и [02]. Тогда £ содержит 4 — 2 вершин из [01] П [02] и по 4 вершин из

[01] — [02], [02] — [01 ]. Далее, £ П [03] содержит по 61/2 — 1 вершин из [01] — [02], [02] — [01] и не пересекает [01] П [02]. Но в этом случае вершина из £ П [01] П [02] не смежна ни с одной вершиной из А — {01, 02}, и по утверждению (с) имеем 4 = 3. Противоречие с леммой 1.5. Утверждение доказано.

Число пар вершин в А равно (*+2+1). Из утверждений (с, й) следует, что =

361/2 — 2. Отсюда 7 = 0 и 61 =8. Противоречие с тем, что некоторая вершина из [и] П [я] — [ад] не смежна с парой вершин 0», из А и [0»] П [0/] содержит и, ад, я, 10 вершин из [и] П ([ад] и [я]) и 3 вершины из £.

Предположим теперь, что 61 =24 +1 и 5 = 4 + 7 + 2. Тогда |£| =34 — 1 и [01] П [02] содержит и, ад, я, не менее 34 + 7 — 2 вершин из [и] П ([ад] и [я]) и не более 4 вершин из £. Докажем утверждение

(е) если вершина 01 из А смежна менее чем с 61 —2 вершинами из £, то | £П [01] | = 61 —3 и [0»] содержит 61 — 2 вершин из £ для любой вершины £ А — {01}.

Допустим, что [01] содержит 61 — 4 = 24 — 3 вершин из £. Тогда |£ — [01]| = 4 + 2, поэтому [0»] содержит 61 — 2 вершин из £ для любой вершины £ А — {01}. Поэтому

[02] П [03] содержит 24 — 4 вершин из [01] П £, [04] П £ содержит единственную вершину из [01] П £ и 4 — 2 = 1. Противоречие с леммой 1.6.

Допустим, что [01] содержит 61 — 3 = 24 — 2 вершин из £. Тогда |£ — [01]| = 4 + 1. Если [02] содержит 61 — 3 вершин из £, то [03] П [04] содержит не менее 24 — 3 вершин из £ и 24 — 3 ^ 4. Противоречие с леммой 1.6. Значит, [0»] содержит 61 — 2 вершин из £ для любой вершины £ А — {01}. Докажем утверждение

(/) каждая вершина из £ смежна не менее чем с 4 + 7 вершинами из А.

Предположим, что 3 вершины , из А не смежны с вершиной у из £. Ввиду леммы 1.4 объединение окрестностей любых двух вершин из {0», 0-/, } содержит £ — {у}. Поэтому £ — {у} содержит по 4 — 1 вершин из £ — [0»], £ — [0/] и 4 вершин из £ — [0;]. Для 0 £ А — {0», , } подграф [0] содержит у и не менее 34 — 5 вершин из £ — {у}. Отсюда 4 ^ 3, противоречие с леммой 1.6. Утверждение (/) доказано.

Теперь число ребер между £ и А не больше (4+7+2)(24—1), но не меньше (34—1)(4+7). Поэтому 42 + 47 ^ 44 — 2, противоречие с тем, что 4 ^ 4.

Итак, 5 ^ 61 /2 + 7 + 2. Так как 61 ^ 8, то 5 ^ 6 + 7. Утверждение (1) доказано.

Если ^(и, ад) = ^(и, г) = 61 + 7 + 2, то для любой вершины у из [г] — (ад^ и [и]) имеем ^(и, у) ^ 61 + 7 + 3. Иначе [и] П [у] не пересекает [ад] и содержит не более 61 /2 вершин из [г] — [ад], противоречие. Утверждение (2) доказано.

Пусть ^(и, ад) = 61 + 7 +1, ^(и, г) = 61 + 7 + 3. Тогда для любой вершины у из [г] — (ад^ и [и]) имеем ^(и, у) ^ 61 + 7 + 2. Иначе [и] П [у] содержит не более 61/2 вершин из [г]. А для любой вершины х из [ад] — [и] ввиду леммы 1.5 имеем ^(и, х) ^ 61 + 7 + 3. >

Лемма 2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.1, 5 > 2 и £ = [ад] П [г] — [и]. Тогда каждая вершина из А смежна по крайней мере с 5 — 7 — 4 вершинами из [и] — ([ад] и [г]) и выполняются следующие утверждения:

(1) если 7 = 0, то 61 ^ 12;

(2) каждая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна не более чем с 3 вершинами из А;

(3) 5 < 61 + 7 — 3 и 61 ^ 11;

(4) некоторая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна с 3 вершинами из А.

< Пусть 5 > 2, а £ А. Тогда [а] П [и] содержит не более 261 + 27 + 3 — 5 вершин из [ад] и [г] и не менее 5 — 7 — 4 вершин из [и] — ([ад] и [г]).

Пусть 7 = 0. Тогда 5 ^ 61/2+2, к = 361, А = 261 — 1 и 61 четно. Если ^(и, ад) = ^(и, г) = 61 +2, то число ребер между [и] и Г2 (и) не меньше (25 — 4)(61 + 3) + (261 + 1 — 5)(61 + 2). Поэтому 5(61 +4) ^ 62—61+10 и 61/2 ^ 7—30/(61 +4). Если ^(и,ад) = 61 + 1, ^(и,г) = 61+3, то число ребер между [и] и Г2 (и) не меньше (5 — 1)(61 + 2) + (261 — 3)(61 + 3). Поэтому 5(61 +2) ^ 61 — 261 + 11 и 61/2 ^ 6 — 19/(61 + 2). В любом случае 61 ^ 10.

Пусть 61 = 10. Тогда к = 30, А = 19, |£| = 12 и 5 = 7. Заметим, что каждая вершина из £ смежна не менее чем с 4 вершинами из А. Так как число ребер между А и £ не больше 56, то £ содержит 4 вершины у1,...,у4, смежные с четверками вершин из А. Пусть вершина у1 не смежна с вершинами а1,..., аз из А. Тогда [а»] П [а^] не пересекает [и] — ([ад] и [г]) и £ —[а» ] не пересекает £ —[а^ ] для различных г, £ {1, 2, 3}. Поэтому можно считать, что |£ — [а1]| = |£ — [а2]| =5 и |£ — [а3]| = 4. Отсюда подграф [и] — ([ад] и [г]) разбивается его пересечениями с [а»]. Противоречие с тем, что для подходящих а £ А — {а1,..., а3} и г £ {1, 2, 3} подграф [а] П [а»] содержит 2 вершины из [и] — ([ад] и [г]). Утверждение (1) доказано.

Пусть е — вершина из [и] — ([ад] и [г]), смежная с 4 вершинами а1,..., а4 из А. Тогда |£ — [а»]| ^ 61 + 1 + 7 — 5, [а4] содержит не меньше 3(61 + 1 + 7 — 5) вершин из (£ — [а1]) и (£ — [а2]) и (£ — [аз]) и 3(61 + 1 + 7 — 5) ^ 61 — 2. Поэтому 5 ^ (261 + 5)/3 + 7.

Так как 4(5 — 7 — 5) ^ 61 + 5 — 7 — 5, то (261 + 5)/3 + 7 ^ 5 ^ 61/3 + 7 + 5 и 61 ^ 9.

Пусть 61 = 8. Тогда 5 = 7 + 7, к = 24 + 7, А = 15 + 7. Далее, каждая вершина а» смежна с 6 вершинами из £ и число ребер между [и] — ([ад] и [г] и {е}) и {а1,..., а4} равно 16. Противоречие с тем, что |[и] — ([ад] и [г] и {е})| = 10.

Пусть 61 = 9. Тогда 5 = 8 + 7, к = 27 + 7, А = 17 + 7. Далее, либо каждая вершина а» смежна с 7 вершинами из £, либо одна вершина а» смежна с 6 вершинами из £, а остальные с 7. Поэтому число ребер между [и] — ([ад] и [г] и {е}) и {а1,..., а4} не меньше 19. Противоречие с тем, что |[и] — ([ад] и [г] и {е})| = 12. Утверждение (2) доказано.

Пусть 5 ^ 61 + 7 — 3. Если ^(и, ад) = ^(и, г) = 61 +2, то число ребер между [и] и Г2(и) не меньше (261 — 10)(6х + 7 + 3) + (61 +4)(61 + 7 + 2). Поэтому 2617 + 261 ^ 67 + 22, 7 = 0 и 61 ^ 11. Противоречие с утверждением (1). Если ^(и, ад) = 61 + 1, ^(и, г) = 61 +3, то число ребер между [и] и Г2(и) не меньше (61 — 4)(61 + 7 + 2) + (261 — 2)(61 + 7 + 3). Поэтому 2617 + 261 ^ 67 + 14, противоречие.

Итак, 61/2 + 7 + 2 <61 + 7 — 3 и 61 > 10. Утверждение (3) доказано.

Если каждая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна не более чем с 2 вершинами из А, то 2(61 + 5 — 7 — 4) ^ 5(5 — 7 — 4). Поэтому 2(61 — 7 — 4) ^ 5(5 — 7 — 6) ^ (61/2+7+2)(6х/2 — 4) и

61 + 61(27 — 12) — 87 + 8 ^ 0. В случае 7 = 0 имеем 61 ^ 11, противоречие с утверждением (1). Если 1 ^ 7 ^ 5, то 61 ^ 10, противоречие с утверждением (3). В случае 7 ^ 6 имеем 61 (61 + 7) — 1261 + 617 — 87 + 8 > 0, противоречие. >

Лемма 2.3. Пусть выполнены условия леммы 2.1, Ь > 2 и вершина е из [и] — ([ад] и [г]) смежна с тремя вершинами а1, а2, аз из А. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) Ь ^ (261 + 2)/3 + 7 и 61 ^ 14;

(2) 7 = 0, 61 = 14 и Ь = 10.

< Заметим, что |£ — [а»]| ^ 61 + 7 + 1 — Ь, поэтому для любой вершины а £ А — [е] подграф [а] содержит по 61+7—Ь вершин из £—[а»], 3(61+7—Ь) ^ 61—2 и Ь ^ (261+2)/3+7.

Теперь (261 +2)/3 + 7 ^ Ь < 61 + 7 — 3 и 61 ^ 14. Утверждение (1) доказано.

Так как каждая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна не более чем с 3 вершинами из А, то 3(61 + Ь — 7 — 4) ^ Ь(Ь — 7 — 4). Поэтому 3(61 — 7 — 4) ^ Ь(Ь — 7 — 7) ^ ((261 + 2)/3 + 7)((261 + 2)/3 — 7) и 462 + 6617 — 6161 — 307 + 70 ^ 0.

В случае 7 = 0 имеем 461 — 6161 + 70 ^ 0 и 61 ^ 14. В случае 7 =1 имеем 61 ^ 12. В случае 7 = 2 имеем 461 — 4961 + 10 ^ 0 и 61 ^ 12. В случае 7 = 3 имеем 61 ^ 11. В случаях 4 ^ 7 ^ 5 имеем 61 ^ 10. Наконец, если 7 ^ 6, то (461+ 3617 — 6161) + (3617 — 307) + 70 > 0, противоречие. >

Завершим доказательство предложения 1. Имеем 7 = 0, 61 = 14, к = 42, А = 27 и Ь = 10. Но в этом случае 462 — 6161 + 70 = 0, поэтому каждая вершина из [и] — ([ад] и [г]) смежна точно с 3 вершинами из А, и каждая вершина из А смежна точно с Ь — 7 — 4 = 6 вершинами из [и] —([ад] и [г]). Отсюда каждая вершина из А смежна точно с 10 вершинами из £.

Пусть вершина е из [и] — ([ад] и [г]) смежна с тремя вершинами а1, а2, аз из А. Тогда |£ — [а»]| = 7 и £ П [аз] содержит по 7 вершин из £ — [а1] и из £ — [а2], противоречие. >

§ 3. Реберно регулярный граф с к = 17, 61 =6

В этом параграфе Г является связным реберно регулярным графом с к = 17, 61 = 6. По следствию из [7] Г является графом диаметра 2 с не более чем 2к вершинами. Так как А = 10, число vk четно и vkА делится на 6, то V = 30.

Лемма 3.1. Пусть вершины и, ад несмежны и ^ = |[и] П [ад]|. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) ^ ^ 6 и Г = и± и w± в случае ^ = 6;

(2) Г не содержит почти хороших пар.

< Так как к — 261 + 1 = 6, то ^ ^ 6, причем в случае ^ = 6 получим Г = и^ и ад^. Утверждение (1) доказано.

Пусть ^ = 7, г £ Г — (и^ и ад^) и [г] содержит I вершин из [и] П [ад]. По лемме 1.1 имеем ^(и, г) = ^(ад, г) и 17 = 2^(и, г) — I, поэтому I нечетно и ^(и, г) = (17 + 1)/2.

Пусть X» — множество вершин из ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]), смежных точно с г вершинами из [и]П[ад], ж» = |Х»|. Заметим, что ж0 = 0, иначе для а £ Х0П([ад] —[и]) имеем А(ад, а) < 10. Если а £ Х1 П ([ад] — [и]), то либо [а] содержит г и 5 вершин из [и] — [ад], либо [а] содержит 6 вершин из [и] — [ад]. В любом случае I = 7. Иначе для вершины 6 £ [и] П [ад] П [а] подграф [6] — а^ содержит и и 6 вершин из [и] П [ад], противоречие.

Если I = 1, у £ [и] П [ад] П [г], то [у] — г^ содержит и, w и 6 вершин из [и] П [ад], противоречие.

Если I = 7, то ^ ж» = 20, ^ ¿ж» = 56, ^ (2)ж» = 42 и ж0 + ^ (г-1)ж» = 6. Отсюда ж» = 0 для г > 4, ж2 = 14 + 2ж4, ж3 =6 — 3ж4 и (28 + 4ж4) + (18 — 9ж4) + 4ж4 = 56, противоречие.

Пусть [и] П [ад] П [г] = {ух,..., уг}. Тогда [уг] П [yj] содержит и, ад, г, 5 вершин из [и] П [ад] и 2 вершины из ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]).

Пусть I = 3. Тогда [у»] — г^ содержит и, ад и 4 вершины из [и] П [ад], поэтому [у»] П ([ад] — [и]) С [г]. Отсюда [ух] П [у2] содержит по вершине из [и] — [ад] и из [ад] — [и]. Противоречие с тем, что [у3] П [и] — [ад] содержит не менее двух вершин из [ух] или из [у2].

Пусть I = 5, Ф = ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]). Тогда [у»] П [г] содержит 4 вершины из [и] П [ад] и 6 вершин из Ф. Если [ух] П [у2] содержит не более одной вершины из Ф, то [у3] П Ф содержит не менее трех вершин из [ух] или из [у2]. Значит, [у»] П [у/] содержит точно две вершины из Ф для любых различных г, £ {1,..., 5}. Далее, [у3 ] содержит обе вершины из Ф — ([ух] и [у2]) и не пересекает Ф П [ух] П [у2]. Противоречие с тем, что [у5] П Ф содержит обе вершины из [у3] П [у4]. >

До конца параграфа будем предполагать, что Г содержит хорошую пару вершин и, ад. Пусть А = [и] П [ад], X» — множество вершин из ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]), смежных точно с г вершинами из А, х» = |Х»|.

Лемма 3.2. Выполняются следующие утверждения:

(1) Е х» = 22, Е гх» = 60, Е (2)х» = 60;

(2) если г £ Х0 П ([ад] — [и]), то ^(и, г) = 6 и каждая вершина из [ад] П [г] смежна точно с тремя вершинами из [и] — ([ад] и [г]), из [и] П [ад] и из [и] П [г].

< Подсчитав число ребер между А и ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]), а также число 2-путей с началом и концом в А и средней вершиной в ([и] — [ад]) и ([ад] — [и]), получим равенства ^х» = 22, гх» = 60, (2)х» = 60. Утверждение (1) доказано.

Допустим, что [ад] — [и] содержит вершину г из Хо. Тогда Г = и^ и {ад, г} и ([ад] П [г]).

Допустим, что вершина Ь из [и] — [ад] смежна точно с 1 вершиной из [и] П [ад]. Тогда ^(Ь, г) = 7, противоречие с леммой 3.1.

Если вершина а из [ад] П [г] смежна точно с I вершинами из [и] — ([ад] и [г]), то [а] содержит ад, г, по 6 — I вершин из [и] П [ад], [и] П [г] и 3 +1 вершин из [ад] П [г]. По лемме 3.1 I ^ 4. В случае I = 4 подграф [а] содержит точно две вершины Ь, Ь' из [и] П [ад], точно две вершины с, с' из [и] П [г] и 7 вершин из [ад] П [г]. В этом случае [и] — ([а] и [ад] и [г]) содержит единственную вершину и', и [ад] П [г] содержит точно две вершины а', а'' вне а^. Положим Ф = [а] П [ад] П [г]. Рассмотрев почти хорошую тройку (и, ад, а), убедимся, что [Ь] П [Ь'] содержит и, ад, а, 4 вершины из [и] П [ад], не менее 2 вершин из [и] П [а] и не более одной вершины из Ф. Симметрично, [с] П [с'] содержит не более одной вершины из Ф.

Если Ь смежна с вершиной из {а', а''}, скажем с а', то [Ь] П [Ь'] содержит точно 3 вершины из [и] П [а] — [ад] и вершины а', а'' несмежны с Ь'. Кроме того, [Ь] П [г] содержит а', ад, 4 вершины из [а] П [ад] и по крайней мере одну вершину из {с, с'}. Так как ^(Ь, г) > 7, то Ь смежна с с, с' и тройка (г, и, Ь) является почти хорошей. Далее, вершины с, с' несмежны с вершиной ад из [Ь] П [г], поэтому [с] П [с'] содержит Ь, и, г, 4 вершины из [и] П [г] и 3 вершины из [Ь] П [г] (вершину а и 2 вершины из Ф), противоречие.

Итак, {Ь, Ь',с, с'} не пересекает [а'] и [а'']. Далее, [Ь] — а^ содержит и, 4 вершины из [и] П [ад] и не более одной вершины из [и] П [г] — {с, с'}. Поэтому [Ь] содержит по крайней мере одну вершину из {с, с'}.

Так как [а'] содержит не менее двух вершин из [и] — ([ад] и [г]), то [а] П [и] содержит вершину е, смежную с а', и |[е] П Ф| ^ 4. Далее, степень е в графах [а] П [и], [а] П [а'] не меньше 6, поэтому |[а] П [и] П [а']| ^ 3. Симметрично, |[а] П [и] П [а'']| ^ 3 и [а] П [и] содержит вершину I, смежную с а', а''. Тогда степень I в графе [а] П [и] не меньше 7, поэтому |[(] П Ф| = 3, и |[а] П [и] П [а']| = 4. Симметрично, |[а] П [и] П [а'']| = 4. Таким

образом, каждая вершина из {6, 6', с, с'} смежна с 4 вершинами из ([0] П [и]) — ([ад] и [я]). Противоречие с тем, что степень 6 в графе [0] П [и] равна 5.

Теперь каждая вершина из [ад]П[я] смежна не более чем с 3 вершинами из [и] — ([ад]П[я]) и по крайней мере с 3 вершинами из [и]П[ад]. Но число ребер между [и]П[ад] и [ад]П[я] равно 30, поэтому каждая вершина из [ад] П [я] смежна точно с 3 вершинами из [и] — ([ад] П [я]), из [и] П [ад] и из [и] П [я]. >

Лемма 3.3. Если Хо = 0, то выполняется одно из следующих утверждений:

(1) жо = 2,Х3 =20;

(2) ж0 = ж5 = 1, ж2 = 5, ж3 = 15;

(3) ж0 = 1, ж2 = 6, ж3 = 12, ж4 = 3.

< Пусть я £ Хо П ([ад] — [и]), X»' = X» П ([и] — [ад]), ж» = |Х»'|. По лемме 3.2 имеем [ад] П [я] С Х3([и] П [ад]) П Х3([и] П [я]) и ж0 + £ (г-1)ж» = 11.

Если 0 £ Х6, то жо ++ ж3 = 1 и [и] — [ад] содержит 9 вершин из Х1 и Х2. Теперь число ребер между [и] П [ад] и [и] — [ад] равно 30, но не больше 9 ■ 2 + 3 + 6, противоречие. Пусть 0 £ Х0. Если 0 £ [и] — [я], то 0 £ Х6([и] П [я]), противоречие. Если же 0 £ [и] П [я], то ^(0, ад) = 6 и Г — ад^ = {0, и}и ([0] П [и]). По лемме 3.2 каждая вершина из [0] П [и] смежна точно с 3 вершинами из [и] П [ад], поэтому ж3 = 10 и выполняется утверждение (1).

Если 0 £ Х5, то ж0 + ж3 =5 и [и] — [ад] содержит 5 вершин из Х1 и Х2. Теперь число ребер между [и] П [ад] и [и] — [ад] равно 30, но не больше 5 ■ 2 + 5 ■ 3 + 5, поэтому ж2> = ж3 = 5 и выполняется утверждение (2).

Если ж0 = ж'5 = 0, то ж'2 + ж3 + ж4 = 11, 2ж'2 + 3ж3 + 4ж4 = 30 и ж3 + 3ж4 = 11, поэтому ж2 — 6, ж3 — 2, ж4 — 3. ^

Хорошую пару (и, ад) назовем парой типа (г), если для нее выполнено утверждение (г) из заключения леммы 3.3.

Лемма 3.4. Граф Г не содержит пар типов (2 — 3).

< Пусть я £ Х0 П ([ад] — [и]). Допустим, что [и] П [я] содержит вершину е из Х2. Положим [е] П [и] П [ад] = {/, /'} и Г — (е^ и ад^) = {д, д'}. Тогда тройка (ад, и, е) является почти хорошей и [/] П [/'] содержит ад, и, е, 4 вершины из [и] П [ад] и 3 вершины из [ад] П [е] (так как подграф [ад] П [е] содержит вершину я, не принадлежащую [/] и [/']). Отсюда вершины /, /' не принадлежат [д] и [д'].

Пусть Ф» — множество вершин из [ад] П [е], смежных точно с г вершинами из {д,д'}, у» = |Ф»|. Тогда /,/',£ £ Ф0, у0 + у1 ^ 5 (так как Ф0 и Ф1 — {я} содержит вершину, несмежную с / и вершину, несмежную с /') и у0 + у2 четно. Отсюда у0 = у2 = 3. Для различных Л/, Л; из Ф2 подграф [Л/] П [Л;] содержит е, ад, д, д' и 6 вершин из [е] П [ад], поэтому подграф [е] — [ад] имеет разбиение на ([е] — [ад]) П [Л/], Л/ £ Ф2. Противоречие с тем, что и не смежна с вершинами из Ф2.

Значит, Х2 не пересекает [и] П [я]. Пусть (и, ад) — пара типа (2) или (3). Тогда Х2 = [и] — ([ад] и [я]) и (и, ад) — пара типа (2). Далее, число ребер между [и] П [я] и [и] П [ад] равно 20, поэтому некоторая вершина из [и] П [ад] смежна по крайней мере с 4 вершинами из [и] П [я] и (и, я) — пара типа (2) или (3). Снова Х2([и] П [я]) = [и] — ([ад] и [я]) и (и, я) — пара типа (2). Противоречие с тем, что для 0 £ [и] — ([ад] и [я]) подграф [и] П [0] содержит по две вершины из [и] П [ад], [и] П [я] и не более 4 вершин из [и] — ([ад] и [я]). >

Лемма 3.5. Параметр ж0 равен 0.

< Пусть ж0 = 0 и для определенности я £ Х0 П ([ад] — [и]). Из лемм 2.3, 2.4 следует, что ж0 = 2, ж3 =20 и Х0 П ([и] П [я]) содержит вершину у. По лемме 2.2 каждая вершина из [у] П [ад] — {я} смежна точно с 3 вершинами из [и] П [ад]. Поэтому некоторая вершина из

[и] П [ш] смежна точно с 2 вершинами из [у] и [ш]. С другой стороны, и £ Хо([у] П [ш]) и по лемме 2.4 имеем |Х П ([у] П [ш])| = 0, противоречие. Лемма и предложение 2 доказаны. >

§ 4. Хорошие пары в графах с к ^ 361

В этом параграфе Г является связным реберно регулярным графом с параметрами (V, к, А), к = 361 + 7 и 7 ^ 0. По лемме 1.4.2 из [2] Г является графом диаметра 2 с не более чем 2к — 2 вершинами. До конца параграфа будем предполагать, что для некоторой вершины и £ Г подграф Г2(и) содержит две вершины ш, г, образующие хорошие пары с и. Ввиду леммы 1.5 вершины ш, г не смежны. Положим ^ = ^(ш, г).

Лемма 4.1. Выполняются следующие утверждения:

(1) Г2(и) содержится в ш± и г±, |Г2(и)| = 461 — ^ и 7(61 + 1 — 7)(61 +1 + 7 — делится на 3;

(2) ^(и, у) ^ 61 + 7 + 4 для любой вершины у £ Г2(и) — {ш, г};

(3) 61 + 7 + 7 ^ ^ ^ 261 — 3 и 61 ^ 7 +10.

< Для а £ Г2(и) — иг±) подграф [а]П[и] не пересекает [ш]и[г] и ^(а,и) ^ 61 — 7 — 2, противоречие. Поэтому Г2(и) содержится в и г^. Далее, |[ш] — ([и] и [г])| = |[г] — ([и] и [ш])| = 261 — 1 —^ и |Г2(и)| = 461 — Так как vkА делится на 6, то 7(61 + 1 —7)(61 + 1+7— делится на 3. Утверждение (1) доказано.

Если [г] С [ш] и [и], то |Г — (их и шх)| = 1 и по лемме 1.1 имеем ^(и, г) = ^(ш,г), поэтому ^ = 261 — 1 = 61 + 7 +1, к = 461 — 2, и для вершины а £ [и] П [ш] имеем ^(а, г) = 261 — 2, противоречие. Если ^ = 61 + 7 + 1, то по предложению из [1] имеем 7 = —1, противоречие. Значит, ^ ^ 61 + 7 + 2.

Пусть ^(и, у) = 61 + 2 + 7 для у £ Г2(и). Если у £ [ш] — [г], то [и] П [у] не пересекает [г] и содержит не более одной вершины из [ш] и не более 61 — 2 — 7 вершин из [и] — ([ш] и [г]), противоречие. Если же у £ [ш]П[г], то [и]П[у] содержит не более одной вершины в каждом из графов [ш] и [г] и не более 61 — 2 — 7 вершин из [и] — ([ш] и [г]), снова противоречие.

Пусть ^(и, у) = 61 +3+7 для у £ Г2(и). Если у £ [ш]П[г], то по предложению 1 подграф [и] П [у] содержит не более двух вершин в каждом из графов [ш] и [г], и ^(и, у) ^ 61 — 7+2, противоречие. Если же у £ [ш] — [г], [и] П [у] не пересекает [г], содержит не более двух вершин из [ш] и ^(и, у) ^ 61 — 7. Утверждение (2) доказано.

Пусть ^ = 61 + 7 + в. Тогда число ребер между [и] и Г2(и) равно 361 + 617, но не меньше (361 — 7 — 5)(61 + 7 + 4) — 6. Поэтому в ^ (617 + 1261 — 47 — 6)/(61 + 7 + 4) и в ^ 7. Значит, ^ ^ 61 + 7 + 7.

Пусть ^ = 261 — 2. Тогда [ш] — ([и] и [г]) содержит единственную вершину г * и [г] — ([и] и [ш]) содержит единственную вершину ш*. Далее, [г*] — содержит быть может вершину ш* и не менее 61 — 1 вершин из [и] — ([ш] и [г]), противоречие. >

Лемма 4.2. Выполняются следующие утверждения:

(1) 7 + ^ < 261 — 3;

(2) если ^ ^ 361/2, то 7 ^ 61/3 — 6;

(3) если 361/2 < то 7 < 561/12 — 5.

< Заметим, что |[и] — ([ш] и [г]) + |[г] — ([и] и [ш])| = 361 — 7 — ^ — 3. Так как вершина из [ш] — ([и] и [г]) смежна с 61 вершинами из [и] и [г] — [ш], то 7 + ^ ^ 261 — 3. Утверждение (1) доказано.

Пусть ^ ^ 361/2. Тогда число ребер между [и] и Г2(и) равно 61 (361 + 7), но не меньше (461 — ^)(61 + 7 + 4) — 6. Поэтому (62 + 3617 + 1661 — 6)/(61 + 7 + 4) ^ ^ ^ 361/2 и

Y ^ 6i /3 - 6 - (2bi - 12)/(3bi). Так как 6i ^ 10, то 7 ^ 6i /3 - 6. Утверждение (2) доказано.

Пусть 7 = 6i/2 - 3 - s, s > 0. По утверждению (1) имеем ß ^ 36i/2 + s.

Пусть ß > 36i/2. Тогда 7 = 6i/2 - 3 - s, s > 0. Далее, число ребер между [u] и Г2(и) не меньше (46i -ß-2)(6i + 7 + 4) + 2(6i + 7 +1). Поэтому (6f + 36i7 +166i -6)/(6i + 7 + 4) ^ ß и 6i + 27 +(126i - 272 - 87- 6)/(6i + 7 + 4) < ß < 26i - 3 -7. Отсюда -6f/2 + 26is + 146i -s2 + 2s + 9 < (6 +3s - 6i/2)(36i/2 + 1 - s) и f (s) = &?/4 - 36is + 116i/2 + 2s2 + 5s + 3 < 0. Заметим, что функция f (s) убывает при s < (36i - 5)/4 и при s = 6i/12 + 2 имеем f (s) > 0. Таким образом, 7 < 56i/12 - 5. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны. >

Литература

1. Махнев А. А., Падучих Д. В. Новая оценка для числа вершин реберно регулярных графов // Сиб. мат. журн.—2007.—Т. 48.—C. 46-61.

2. Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs.—Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.— 495 c.

3. Махнев А. А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Изв. РАН. Сер. мат.—2004.—T. 68.—С. 159-172.

4. Махнев А. А., Веденев А. А., Кузнецов А. Н., Носов В. В. О хороших парах в реберно регулярных графах // Дискрет. мат.—2003.—Т. 15.—С. 77-97.

5. Махнев А. А., Омельченко А. С. О реберно регулярных графах, не содержащих хороших пар // Известия Гомельского госуниверситета.—2007.—Т. 10, № 23.—С. 103-118.

6. Казарина В. И., Махнев А. А. О реберно регулярных графах с b 1 =5 // Межд. конф. «Алгебра, логика и кибернетика». Тез. докл.—Иркутск, 2004.—С. 159-161.

7. Минакова И. М., Махнев А. А. Об одном классе реберно регулярных графов // Изв. Гомельского госуниверситета.—2000.—Т. 3, № 16.—С. 145-154.

Статья поступила 17 января 2008 г.

Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН Екатеринбург, 620219, РОССИЯ E-mail: makhnev@imm.uran.ru

Чуксина Наталья Владимировна Институт математики и механики УрО РАН Екатеринбург, 620219, РОССИЯ E-mail: natalia_1@e1.ru