Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 30-40

УДК 519.17+512.54

ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (396,135,30,54)1

М. М. Исакова, А. А. Махнев

В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54). Эти результаты будут полезны для изучения автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108) (в таком графе вторые окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (396,135,30,54)).

Ключевые слова: сильно регулярный граф, автоморфизм графа, подграф неподвижных точек автоморфизма.

Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а графа Г через Г»(а) обозначим подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии г от а. Подграф [а] = Г1(а) называется окрестностью вершины а.

Через ка обозначим степень вершины а, т. е. число вершин в [а]. Граф Г называется регулярным степени к, если ка = к для любой вершины а из Г. Граф Г называется сильно регулярным с параметрами (у, к, А, у), если Г — регулярный граф степени к на V вершинах, в котором каждое ребро лежит точно в А треугольниках и для любых двух несмежных вершин а, Ь верно равенство |[а] П [Ь]| =

Через Кпхто обозначим полный п-дольный граф с долями порядка т. Граф на множестве пар X х У называется р х д-решеткой, если |Х| = р, |У| = д, а пары (Х1,у1) и (ж2, У2) смежны тогда и только тогда, когда Х1 = Х2 или у1 = у2.

Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (640,243,66,108), а — вершина графа Г. Тогда Г имеет собственные значения к = 243, г = 3, в = -45 и достигается равенство во втором условии Крейна: (в + 1)(к + в + 2гв) ^ (к + в)(г + 1)2. Поэтому [а] является сильно регулярным графом с параметрами (243,66,9,21) и Г2(а) — сильно регулярный граф с параметрами (396,135,30,54) [1, теорема 8.15]. Таким образом, для исследования автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108) необходимо изучить автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами (243,66,9,21) и (396,135,30,54).

В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54).

© 2010 Исакова М. М., Махнев А. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальный исследований,

проект № 08-01-00009.

Теорема. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54), д — автоморфизм простого порядка р графа Г, П = Пх(д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) П — пустой граф, р £ {2, 3,11};

(2) П является п-кликой, и либо р = 5, п = 1 и а1(д) £ {15,165, 315}, либо р = 13, п = 6 и а1 (д) = 0, либо р = 2, п £ 4, 6 и а1 (д) — 3п — 12 делится на 60;

(3) П является 34-кокликой, р = 3, а1 (д) =94 + 90г + 42, г £ {0,1,..., 3} и 4 ^ 14;

(4) П — объединение I ^ 2 изолированных ребер, р = 2, 61 — а1(д) + 12 делится на 60, и I < 21;

(5) р = 13, либо |П| =32 и а1(д) = 78, либо |П| =45 и од(д) = 117, либо |П| =58 и а1(д) = 156, либо |П| = 71 и а1(д) = 195;

(6) р = 11, либо |П| =66 и а1(д) = 0, либо |П| = 77 и а1(д) = 33, либо |П| =88 и а1(д) = 66, либо |П| =99 и а1(д) = 99;

(7) р = 7 и либо

(г) |П| = 116 и а1(д) = 0, либо

(гг) |П| = 81, а1(д) = 105 и на Г — П имеются 45 семиугольных (д)-орбит, либо (ггг) |П| £ {74, 67, 60, 53, 39, 32} и а1(д) £ {84, 63, 42, 21,189,168} соответственно, либо (гг>) |П| =46 и а1(д) £ {0, 210}

(8) р = 5, |П| = 5г + 1, 4 ^ г ^ 19 и а1(д) + 15г + 15 делится на 150;

(9) р = 3, |п| = 34, а1(д)/18 — (4 + 3)/2 делится на 3 и 2 < 4 < 24 или 4 £ {27, 33};

(10) р = 2, |П| = 24, 4 ^ 3, (а1(д) — 12 — 64)/30 четно и либо 4 ^ 78, либо 4 = 88.

1. Предварительные результаты

В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты. Лемма 1.1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (V, к, А, А — индуцированный подграф с N вершинами, М ребрами и степенями вершин 61,..., бм • Тогда

(V — N) — (^ — 2М) + АМ+(2) — М) — Е й) = Х0 + Е О-1)ж» и (Е ¿ж»)2 < Е х Ег2х,

где х» — число вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А.

< Подсчитав число вершин в Г — А, число ребер между А и Г — А и число 2-путей с концами в А и средней вершиной в Г — А, получим равенства V — N = Е ж», — 2М =

е гх и ам + м(?) — м) — еN=1 (*) = е (2)х».

Вычитая второе равенство из суммы первого и третьего, получим равенство из заключения леммы.

Квадратный трехчлен Е (г — х)2х. = Е г2х« — 2х Е гх» + х2 Е ж» неотрицателен. Поэтому дискриминант квадратного трехчлена (Е гх»)2 — Е х» Е г2®» неположителен. >

Лемма 1.2. Пусть Г является сильно регулярным графом с целыми собственными значениями, д — автоморфизм графа Г простого порядка р и % — характер проекции мономиального представления на подпространство размерности ш собственных векторов матрицы смежности графа, отвечающих неглавному собственному значению. Тогда а» (д) = а»(дг) для любого I, не кратного р и ш — х(д) делится на р.

< Эта лемма следует из леммы 3 и предложения 2 [2], примененного к циклической группе (д). >

Лемма 1.3. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54). Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) если Г содержит регулярный подграф А степени б на V вершинах, то —15 ^ б — (66 — б)ад/(243 — ад) ^ 3, причем в случае равенства каждая вершина из Г — А смежна точно с (66 — б)ад/(243 — ад) вершинами из А;

(2) порядок коклики в Г не больше 44, порядок клики в Г не больше 6;

(3) значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ АШ;(Г) равно Х2(д) = (ао(д) — а1(д)/3)/10 + 22/5, и 44 — х2(д) делится на р.

< Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54) и собственными значениями 3, —27 кратностей 351, 44. Если Г содержит регулярный подграф А степени I на ад вершинах, то по лемме 1.2 из [3] имеем —27 ^ I — (135 — ()ад/(396 — ад) ^ 3.

Ввиду границы Цветковича [4, теорема 0.2] порядок коклики в Г не больше 44. Ввиду границы Хофмана порядок клики Ь в Г не больше 6, причем в случае равенства каждая вершина из Г — Ь смежна точно с 2 вершинами из Ь.

По лемме 2.7 из [3] значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ АШ;(Г) равно Х2(д) = (ао(д) — а1 (д) ■ 3)/10 + 22/5. По лемме 1.2 число 44 — х2(д) делится на р. >

Лемма 1.4. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54), и — трехвершинный подграф из Г, У» — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У»|. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) для двух вершин и, ад подграф Г2(и) П Г2(и9) содержит 178 вершин, если и, ад не смежны, 156 вершин, если и, ад смежны;

(2) число уо + уз равно 150, если и является кокликой, равно 81, если и является кликой;

(3) число уо + уз равно 105, если и является 2-путем, равно 128, если и является объединением изолированной вершины и ребра.

< Для двух несмежных вершин и, ад граф Г содержит 54 вершины из [и] П [ад], по 81 вершин из [и] — [ад], [ад] — [и] и 178 вершин из Г2(и) П Г2(и9). Для смежных вершин и, ад граф Г содержит 30 вершин из [и] П [ад], по 104 вершин из [и] — ад^, [ад] — и^ и 156 вершин из Г2(и) П Г2(и®).

Если и является 3-кокликой, то Г содержит 3(54 — уз) вершин из У2, 3(27 + уз) вершин из У1 и 150 — уз вершин из Уо, поэтому уо + уз = 150. Аналогично доказывается, что уо + уз = 81, если и является кликой.

Если и является геодезическим 2-путем и1и2из, то У2 содержит 53 — уз вершин из [и1] П [из], и по 30 — уз вершин из [и1] П [и2], [и2] П [из], У1 содержит 73 + уз вершин из [и2], и по 51 + уз вершин из [и1], [из], Уо содержит 105 — уз вершин, поэтому уо + уз = 105.

Если и является объединением изолированной вершины и1 и ребра {и2,из}, то У2 содержит 30 — уз вершин из [и2] П [из], и по 54 — уз вершин из [и1] П [и2], [и1] П [из], У1 содержит 27 + уз вершин из [и1], и по 50 + уз вершин из [и2], [из], Уо содержит 128 — уз вершин, поэтому уо + уз = 128. >

Лемма 1.5. Пусть А является графом с р вершинами, допускающим автоморфизм д порядка р. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) если р = 13 и степень графа А равна 4, то А содержит 4-коклику;

(2) если р = 11, степень графа А равна 4 и А не содержит 3-клик, то можно считать, что вершина и из А смежна с и9 и с и9 или с и9 .

< Пусть р =13 и степень графа А равна 4. Без ограничения общности можно считать, что вершина и из А смежна с и9 и с и9 для некоторого г £ {2, 3,..., 6}. В каждом из этих случаев А содержит 4-коклику.

Второе утверждение леммы получается простыми вычислениями. >

2. Автоморфизмы графа с параметрами (396,135, 30, 54)

До конца работы будем предполагать, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135,30,54). Пусть д — автоморфизм простого порядка р графа Г и П = Нх(д).

Лемма 2.1. Выполняются следующие утверждения:

(1) если П — пустой граф, то либо р = 11 и а1(д) = 132, либо р = 3 и а1(д) £ {72,162, 252, 342}, либо р = 2 и а1 (д) £ {12, 72,132,192, 252, 312, 372};

(2) если П является п-кликой, то либо р = 5, п = 1 и а (д) £ {15,165, 315}, либо р = 13, п = 6 и а1 (д) = 0, либо р = 2, п £ 4, 6 и а1 (д) — 3п — 12 делится на 60;

(3) если П является т-кокликой, т ^ 2, то р = 3, т = 34, а1(д) =94 + 90г + 42, г £ {0,1,..., 3} и 4 < 14;

(4) если П — объединение I ^ 2 изолированных клик порядков щ ^ п2 ^ ... ^ пг, но П не является кокликой, то р = 2, щ = ... = п =2, 61 — а (д) + 12 делится на 60, и I < 21.

< Пусть П — пустой граф. Так как 396 = 4 ■ 9 ■ 11, то р £ {2, 3,11}.

Если р = 11, то по целочисленности Х2(д) число а1(д)/11 — 12 делится на 30, поэтому а1(д) = 132.

Если р = 3, то Х2(д) = —а1(д)/30 + 22/5, и по лемме 1.3 число 44 — Х2(д) делится на 3, поэтому а1(д) + 18 делится на 90 и а1(д) £ {72,162, 252, 342}.

Если р = 2, то по лемме 1.3 число а1(д) = 60г + 12, поэтому а1(д) £ {12, 72,132,192, 252, 312, 372}. Утверждение (1) доказано.

Пусть X» — множество вершин из Г — П, смежных точно с г вершинами из П, х» = |Х»|.

Пусть П является п-кликой. Ввиду границы Хофмана для клик имеем п ^ 6. Если п = 1, то р делит 135 и 260, поэтому р = 5. По лемме 1.3 число а1(д) — 15 делится на 150, поэтому ш(д) £ {15,165, 315}.

Если п ^ 2, то р делит 104, 156 и 32 — п, поэтому р = 2 или р = 13. Если р = 13, то п = 6 и Х2(д) = 5 — а1(д)/30, поэтому а1(д) £ {0, 390}. Но в последнем случае каждая (д)-орбита длины 13 является кликой, противоречие. Если р = 2, то п £ {4, 6}, каждая вершина из Г — П смежна с четным числом вершин из П и а (д) — 3п — 12 делится на 60. Утверждение (2) доказано.

Пусть П является т-кокликой, т ^ 2. Ввиду границы Цветковича для коклик имеем т ^ 44. Далее, р делит 54, 135 и 180 — т, поэтому р = 3 и т = 34. Так как А и ^ делятся на 3, то для любой вершины и £ Г — П число |[и] П П| делится на 3. По лемме 1.3 число 94 — а1(д) + 42 делится на 90, поэтому а1(д) = 94 + 90г + 42, г £ {0,1,..., 3} и 4 ^ 14. Утверждение (3) доказано.

Пусть П содержит ребро и является объединением I изолированных клик порядков щ ^ п2 ^ ... ^ пг, I ^ 2. Тогда р делит 54. Если а, Ь — смежные вершины из П, то д действует без неподвижных точек на [а] — Ь^, поэтому р делит 104. Отсюда р = 2 и п» £ {2,4}. По лемме 1.3 число 3ао(д) — а1(д) + 12 делится на 60.

Пусть А является 4-кликой из П, у» = х»(А). По лемме 1.1 имеем ^ у» = 392, 2у2 + 4у4 = 528, у2 + 6у4 =6 ■ 28 = 168, противоречие.

Значит, щ = 2, по лемме 1.3 имеем 751 ^ 396 ■ 4, поэтому I ^ 21. >

В леммах 2.2-2.4 предполагается, что П содержит геодезический 2-путь аЬс.

Лемма 2.2. Выполняются следующие утверждения:

(1) Г не содержит собственных сильно регулярных подграфов с А = 30, ^ = 54 и |П| не больше 178 (не больше 156, если а1(д) = 0);

(2) если р > 2 и |П| > 105, то а1(д) = 0;

(3) если а1 (д) = 0, то ао(д) + 4 делится на 10, и ао (д) — 9 ■ 44 делится на 10р;

(4) если а £ П и [а] содержится в П, то П = а^ и р £ {2,13}.

< Пусть Г содержит собственный сильно регулярный подграф А с параметрами (V7, к', 30, 54). Тогда 4(к' — 54) + 242 = п2 для некоторого натурального числа п. Отсюда п = 24, 28 и к' = 54, 106 соответственно. Но во втором случае 54 не делит к'(к' — 31), а в первом А — полный многодольный граф, противоречие. Теперь утверждение (1) следует из леммы 1.4.

Пусть и — трехвершинный подграф из и^, У — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У |. Из леммы 1.4 следует, что |П| ^ 105, если и^ содержит геодезический 2-путь. В случае |П| ^ 106 подграф и^ не содержит геодезических 2-путей и является кокликой. Утверждение (2) доказано.

Пусть а1(д) = 0. Тогда по целочисленности Х2(д) число ао(д) +4 делится на 10, а по лемме 1.3 число ао(д) — 9 ■ 44 делится на 10р. Утверждение (3) доказано.

Пусть для некоторой вершины а £ П имеем [а] С П. Тогда для и £ Г — П получим |[и] П П| = 54, и^ является кокликой, поэтому а1(д) = 0. Для Ь £ П — а^ подграф [6] не пересекает Г — П, поэтому [и] П [Ь] содержится в П и совпадает с [а] П [и] = [а] П [Ь]. Противоречие с тем, что любые две вершины из [и] П (Г — П) смежны с и и с 54 вершинами из [а] П [Ь].

Значит, а^ = П, р делит 260 и 104, поэтому р £ {2,13}. >

Лемма 2.3. Если р ^ 3, то |П| ^ 153 — р. Далее, р ^ 29.

< Если р > 53, то П — сильно регулярный подграф с параметрами (V', к', 30, 54), противоречие с леммой 2.2. Если р > 29, то П — подграф с Ап = 30.

Пусть р ^ 3. Если |П| > 105, то по лемме 2.2 любая орбита и^ является кокликой. Поэтому для любой 3-коклики и из и^ подграф Хо(и) и Хз(и) содержит П и р — 3 вершин из и^ — и. Значит, |П| ^ 150 — (р — 3).

Пусть р = 53. Тогда число |П| сравнимо с 25 по модулю 53, поэтому |П| £ {25, 78}. Далее, степень вершины в графе П равна 29 или 82. Поэтому П — регулярный граф степени 29 на 78 вершинах, противоречие с тем, что Ап = 30.

Пусть р = 47. Тогда |П| сравнимо с 20 по модулю 47, поэтому |П| = 67. Далее, степень вершины в графе П равна 41, противоречие.

Пусть р = 43. Тогда |П| сравнимо с 9 по модулю 43, поэтому |П| £ {52, 95}. Далее, степень вершины в графе П равна 49 или 92. Поэтому П — регулярный граф степени 49 на 95 вершинах, противоречие.

Пусть р = 41. Тогда |П| сравнимо с 27 по модулю 41, поэтому |П| £ {27, 68}. Далее, степень вершины в графе П равна 53. Поэтому П — реберно регулярный граф с параметрами (68,53,30), противоречие.

Пусть р = 37. Тогда |П| сравнимо с 26 по модулю 37, поэтому |П| £ {63, 100}. Далее, степень вершины в графе П равна 61 или 98. Поэтому П — реберно регулярный граф с параметрами (100,61,30). Для а £ П число ребер между П(а) и П — а^ равно 61 ■ 30 = 17х + 54(38 — х), поэтому х = 6, противоречие с тем, что вершина из П — а^, смежная с 17 вершинами из П(а), смежна с 44 вершинами из П — а^.

Пусть р = 31. Тогда |П| сравнимо с 24 по модулю 31, поэтому |П| £ {55, 86,117}. Далее, степень вершины в графе П равна 42 или 73. Поэтому П — реберно регулярный граф с параметрами (86,42,30) или (117,42,30). Пусть а £ П.

В первом случае число ребер между П(а) и П — а^ равно 42 ■ 11 = 23х + 54(43 — х), поэтому х = 60, противоречие. Во втором случае число ребер между П(а) и П — а^ равно 42 ■ 11 = 23х + 54(43 — х), поэтому х = 114, противоречие. >

Лемма 2.4. Число р не больше 13.

< Пусть р = 29. Тогда |П| сравнимо с 19 по модулю 29, поэтому |П| £ {19,48, 77,106}. Далее, степень вершины в графе П равна 19 или 48. Для двух несмежных вершин а, Ь £ П имеем |П(а)П[Ь] | £ {25, 54}. Если |П| = 77, то П —сильно регулярный граф с параметрами (77, 48, 30, 25), противоречие.

Значит, П — кореберно регулярный граф с параметрами (106,48,25), Для а £ П число ребер между П(а) и П — а^ равно 57■ 25 = 17х + 46(48 — х), поэтому х = 27, противоречие с тем, что П(а) содержит 21 вершин степени 1.

Пусть р = 23. Тогда |П| сравнимо с 15 по модулю 23, поэтому |П| £ {15, 38, 61, 84,107,130}. Но в случаях |П| £ {107,130} имеем а1(д) = 0, противоречие с тем, что ао (д) +4 делится на 10. Далее, степень вершины в графе П равна 20 или 43. Для двух вершин а, Ь £ П число |П(а) П [Ь]| принадлежит {7, 30}, если а, Ь смежны, принадлежит {8, 31}, если а, Ь не смежны.

Пусть П содержит вершину а степени 20. Тогда число ребер между П(а) и П — а^ равно 20 ■ 12 = 8(|П| — 21), противоречие. Итак, П — регулярный граф степени 43 на 84 вершинах. Поэтому Ап = 30 и для а £ П число ребер между П(а) и П — а^ равно 43 ■ 12 = 8х + 31(40 — х), следовательно, х = 28. Теперь вершина из П — а^, смежная с 8 вершинами из П(а), смежна с 35 вершинами из П — а^. Противоречие с тем, что вершины из П — а^, смежные с 8 вершинами из П(а), образуют 28-клику.

Пусть р = 19. Тогда |П| сравнимо с 16 по модулю 23, поэтому |П| £ {16, 35, 54, 73, 92,111,130}. Но в случаях |П| = 111 и |П| = 130 имеем а1(д) = 0, противоречие с тем, что ао (д) + 4 делится на 10. Далее, степень вершины в графе П равна 2, 21, 40 или 59. Для двух вершин а,Ь £ П число |П(а) П [Ь]| принадлежит {11, 30}, если а, Ь смежны, принадлежит {16, 35, 54}, если а, Ь не смежны. Если П содержит вершину а степени 21, то число ребер между П(а) и П — а^ равно 21 ■ 9 = 16(|П| — 22), противоречие.

Пусть П содержит вершину а степени 59, и Ф — множество вершин из П —а^, смежных с 54 вершинами из П(а). Тогда число ребер между П(а) и П — а^ равно 59 ■ 28, поэтому |Ф| ^ 28. Далее, Ф является кокликой, противоречие с тем, что вершина из Ф смежна с 5 вершинами из П — а^.

Значит, П — регулярный граф степени 40. Тогда число троек (а, {и, Ш}), где а £ П, и, Ш — различные (д)-орбиты на [а] — П, равно |П| ■ 10, но не больше 16 ■ 15/2 = 120, противоречие.

Пусть р = 17. Тогда |П| сравнимо с 5 по модулю 17, поэтому |П| £ {5, 22, 39, 56, 73, 90,107,124}. Но в случаях |П| £ {107,124} имеем а1(д) = 0, противоречие с тем, что ао (д) + 4 делится на 10.

Далее, степень вершины в графе П равна 16, 33 или 50. Для двух вершин а, Ь £ П число |П(а) П [Ь]| принадлежит {13, 30}, если а, Ь смежны, принадлежит {3, 20, 37}, если а, Ь не смежны. Если П содержит вершину а степени 16, то число ребер между П(а) и П — а^ равно 16 ■ 2 = 3(|П| — 17), противоречие.

Пусть |П| = 90. По лемме 1.3 имеем Х2(д) = 57/5 — а1(д)/30, поэтому а1(д) — 18 делится на 30, и а1(д) = 390, противоречие.

Пусть П содержит вершину а степени 50, и Ф — множество вершин из П—а^, смежных с 37 вершинами из П(а). Тогда число ребер между П(а) и П — а^ не меньше 50 ■ 19. В случае |П| = 73 указанное число ребер не больше 22 ■ 37, противоречие.

Итак, П — регулярный граф степени 33 на 56 вершинах. Пусть е £ П, М» — множество вершин из П(е), смежных с 2 + 17г вершинами из П — а^, ш» = |М»|. Тогда число ребер между П(а) и П — а^ равно 20■ 22 = 2шо + 19ш1, поэтому шо = 11, Ш1 = 22. Противоречие с тем, что Мо является 11-кликой. >

Лемма 2.5. Если р = 13, то либо |П| =32 и а1(д) = 78, либо |П| =45 и а1(д) = 117, либо |П| =58 и а1(д) = 156, либо |П| = 71 и а1(д) = 195.

< Пусть р = 13. Тогда |П| £ {6,19, 32,45, 58, 71, 84, 97,110,123,136}. Если |П| > 105, то по лемме 2.2 любая орбита и^ является кокликой.

Если а1(д) = 0, то ао(д) +4 делится на 10, и |П| £ {6,136}. В случае |П| = 6 подграф П является кликой, противоречие.

Степень вершины в графе П сравнима с 5 по модулю 13. Для двух вершин а, Ь £ П число |П(а) П [Ь] | сравнимо с 4 по модулю 13, если а, Ь смежны, сравнимо с 2 по модулю 13, если а, Ь не смежны.

Пусть |П| = 19 и По состоит из вершин степени 18 в П. Если |По| = 5, то П — По является кокликой, противоречие. Если |По | = 3, то П — По — граф степени 2, противоречие. Значит, |По| = 1, и П — По — сильно регулярный граф с параметрами (18,4,3,1), противоречие.

Пусть |П| = 136, и £ Г — П. Тогда для любого 3-вершинного подграфа и из и^ подграф Хо(и) и Хз(и) содержит 136 вершин из П, 10 вершин из и^ и 4 вершины из Г — (П и и<9>).

Пусть т £ Г — (П и и<9>) и [т] П и<9>| = г. Тогда г ^ 2 ив случае г = 2 для и £ [т] П [т9] имеем |и — ([т] и [т9] и [т9 ])| ^ 8, противоречие. В случае г = 3 можно считать, что и £ [т] П [т9] П [т9*] и для Ш = {т, т9, т9*} подграф Хо(Ш) и Хз(Ш) содержит 7 вершин из и, противоречие. Значит, г ^ 4. Пусть х — число (д)-орбит длины 13, вершины которых смежны точно с 4 вершинами из и^. Тогда число 3-лап с концевыми вершинами в и<9> и центральной вершиной в Г — (П и и^) не меньше 4 ■ 13х + 10 ■ 13(19 — х), но не больше 13 ■ 22 ■ 7, поэтому х ^ 6, противоречие.

Пусть |П| =97 и вершины и, и9 смежны. Тогда |Г — П| =23 ■ 13, Х2(д) = (141 — а1(д)/3)/10 и а1(д) = 273. Далее, и^ не содержит треугольников и степень графа и^ равна 2 или 4. Противоречие с тем, что имеются (д)-орбита, являющаяся графом степени по крайней мере 6.

Пусть |П| = 84, и £ Г — П и вершины и, и9 смежны. Тогда |Г — П| =24 ■ 13, Х2(д) = (128 — а1(д)/3)/10,и а1(д) = 156 и для любого г £ {1,..., 6} имеются двенадцать (д)-ор-бит, в которых вершина т смежна с т9 .

Пусть и<9> содержит треугольник и. Тогда Хо(и) и Хз(и) = П, поэтому и^ не содержит 4-клик, и каждая вершина из и^ смежна с некоторой вершиной из и. Отсюда степень графа и^ равна 6 или 8.

Если некоторая (д)-орбита является графом степени 8, то ввиду леммы 1.5 она содержит 4-клику, противоречие.

Значит, на Г нет (д)-орбит степени 8, и каждая (д)-орбита длины 13 является регулярным графом степени 6. В этом случае вершина из Г — (П и и^) смежна по крайней мере с 5 вершинами из степень и в графе Г — П не меньше 6 + 5 ■ 23 и |[и] П П| ^ 14. Поэтому вершина из П смежна в среднем с 52 вершинами из Г — П и П является 84-кликой, противоречие.

Пусть |П| = 71. Тогда |Г — П| = 13 ■ 25. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 195.

Пусть |П| = 58. Тогда |Г — П| = 13 ■ 26. По целочисленности Х2(д) имеем ш(д) = 156.

Пусть |П| = 45. Тогда |Г — П| = 13 ■ 27. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 117.

Пусть |П| = 32. Тогда |Г — П| = 13 ■ 28. По целочисленности Х2(д) имеем а (д) = 78. >

Лемма 2.6. Если р = 11, то либо |П| =66 и а1(д) = 0, либо |П| = 77 и а1(д) = 33, либо |П| =88 и а1(д) = 66, либо |П| =99 и а1(д) = 99.

< Пусть р = 11. Тогда |П| £ {11, 22, 33,44, 55, 66, 77, 88, 99,110,121,132,143}. Если |П| > 105, то по лемме 2.2 любая орбита и^ является кокликой.

Если а1 (д) = 0, то ао(д)+4 делится на 10, и |П| = 66. Если |П| = 66, то а1 (д) £ {0, 330}. Но в случае а1 (д) = 330, каждая (д)-орбита длины 11 является кликой, противоречие.

Степень вершины в графе П сравнима с 3 по модулю 11. Для двух вершин а, Ь £ П число |П(а)П [Ь] | сравнимо с 8 по модулю 11, если а, Ь смежны, сравнимо с 10 по модулю 11, если а, Ь не смежны.

Пусть |П| = 99. Тогда |Г — П| = 11 ■ 27 и любая (д)-орбита длины 11 не содержит треугольников. По целочисленности Х2(д) имеем а1 (д) = 99.

Пусть |П| = 88. Тогда |Г — П| = 11 ■ 28. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 66.

Пусть |П| = 77. Тогда |Г — П| = 11 ■ 29. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 33.

Пусть |П| = 55. Тогда |Г — П| = 11 ■ 31. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 297. Противоречие с тем, что на Г — П имеется кликовая (д)-орбита длины 11.

Пусть |П| = 44. Тогда |Г — П| = 11 ■ 32. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 264. Пусть в — число кокликовых (д)-орбит длины 11. Тогда на Г — П имеется по крайней мере 24 + 3в орбит и^ длины 11 и степени 8. Каждая такая орбита содержит 5-клику Ь и вершину вне Ь, смежную с 4 вершинами из Ь. Поэтому указанная орбита не попадает в окрестность никакой вершины из П. Теперь число ребер между П и Г — П, деленное на 11 не меньше 9 ■ 44, но не больше 54в + 30(8 — 4в), противоречие.

Пусть |П| = 22. Тогда П — сильно регулярный граф с параметрами (22,14,8,10), противоречие.

Пусть |П| = 33. Тогда |Г — П| = 11 ■ 33 и степень вершины в П равна 14 или 25. Если П содержит вершину а степени 25, то число ребер между П(а) и П — а^ равно 33 ■ 5, но не больше 7 ■ 21. Значит, П — сильно регулярный граф с параметрами (33,14,8,10), противоречие. >

3. Автоморфизмы малых порядков

В этом параграфе предполагается, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135,30,54), д — автоморфизм простого порядка р ^ 7 графа Г и подграф П = Пх(д) содержит геодезический 2-путь.

Лемма 3.1. Пусть р = 7. Тогда верно одно из утверждений:

(1) |П| = 116 и а1(д) = 0;

(2) |П| = 81, а1(д) = 105 и на Г — П имеется 45 семиугольных (д)-орбит;

(3) |п| £ {74, 67, 60, 53, 39, 32} и а1(д) £ {84, 63,42, 21,189,168} соответственно;

(4) |п| =46 и а1(д) £ {0, 210}.

< Пусть р =7. Тогда |П| сравнимо с 4 по модулю 7. Далее, степень вершины в графе П сравнима с 2 по модулю 7, Ап £ {2, 9,..., 30} и ^п £ {5,12,..., 54}. Если П содержит вершину а степени |П| — 2, то для Ь £ П — а^ имеем П(Ь) = П(Ь) П [а], противоречие.

Если |П| = 18, то П — сильно регулярный граф с параметрами (18,9,2,5), противоречие.

Пусть |П| = 25. Тогда степени вершин в П равны 9 или 16. Если П содержит вершину а степени 9, то число ребер между П(а) и П — а^ равно 75 = 6х + 13(9 — х), поэтому х = 6. Теперь для трех вершин Ь1, Ь2, Ьз £ П(а) степени 16 в П подграф П — а^ содержит 9 вершин из [Ь1 П [Ь2] П [Ьз] и по 2 вершины, смежные с парами вершин из из {Ь1, Ь2, Ьз}, противоречие с тем, что некоторая вершина из П(а) П [Ь»] смежна с а и по крайней мере с 3 вершинами из П(Ь1) П [Ь2] П [Ьз].

Теперь П — регулярный граф степени 16, поэтому П — сильно регулярный граф с параметрами (25,16,9,12), противоречие.

Если |П| > 105, то каждая (д)-орбита длины 7 является кокликой. Если а1(д) = 0, то по лемме 2.2 имеем |П| £ {46,116}.

Пусть |П| = 102. Тогда |Г — П| = 7■ 42. По целочисленности Х2(д) имеем а1(д) = 168 = 7 ■ 24. Поэтому некоторая орбита и^ имеет степень 4 и содержит 3-клику, противоречие.

Пусть |П| = 95. Тогда |Г — П| = 7 ■ 43. Из целочисленности Х2(д) получим а1(д) = 147. Поэтому некоторая орбита и^ имеет степень 4 и содержит 3-клику, противоречие.

Пусть |П| = 88. Тогда |Г — П| = 7 ■ 44. Из целочисленности Х2(д) получим а1(д) = 126. Поэтому некоторая орбита и^ имеет степень 4 и содержит 3-клику, противоречие.

Пусть |П| = 81. Тогда |Г — П| = 7 ■ 45. Из целочисленности Х2(д) получим а1(д) = 105. Поэтому либо на Г — П имеется 45 семиугольных (д)-орбит, либо имеется орбита и^ степени 4. В последнем случае для 3-клики и из и^ подграф Хо(и) и Хз(и) содержит 81 вершин из П. Поэтому каждая вершина из Г — (П и и^) смежна по крайней мере с 3 вершинами из и | [и] | ^ 4 + 3 ■ 44, противоречие.

Если |П| £ {74, 67, 60, 53}, то а1 (д) £ {84, 63, 42, 21} соответственно (в случае |П| = 53 и а (д) = 231 найдется кликовая (д)-орбита длины 7).

Если |П| =46, то а1(д) £ {0, 210}.

Если |П| £ {39, 32}, то а1(д) £ {189,168} соответственно. >

Лемма 3.2. Если р = 5, то |П| = 5г + 1, 4 ^ г ^ 19 и а1 (д) + 15г + 15 делится на 150.

< Пусть р = 5. Тогда |П| сравнимо с 1 по модулю 5. Далее, степень вершины в графе П делится на 5, А^ £ {0, 5,..., 30} и ^ £ {4, 9,..., 54}. Если П содержит вершину а степени |П| — 1, то для Ь £ П(а) имеем П(Ь) = П(Ь) П а^, противоречие.

Если |П| = 11, то П — сильно регулярный граф с параметрами (11,5,0,4), противоречие. Пусть |П| = 16. Тогда степени вершин в графе П равны 5 и 10. Для вершины а степени 5 в П число ребер между П(а) и П — а^ равно 10 ■ 4 = 4х + 9(5 — х), поэтому х = 1. Пусть вершина Ь из П(а) имеет степень 5 в П. Тогда каждая вершина из П — ([а] и [Ь]) смежна с 8 вершинами из П(а) иП(Ь), поэтому П — ([а] и [Ь]) — регулярный граф степени 2 на 6 вершинах, противоречие.

Пусть и £ Г — П, У» — множество вершин из Г — смежных точно с г вершинами из и<9> и у» = |У»|. Если и<9> — пятиугольник, то £ у» = 391, Е гу» = 665, Е (2)у» = 150 + 265 = 415, поэтому уо + Е у» = 141. Если и<9> — коклика, то Е у» = 391, Е гу» = 675, Е (2)у» = 540, поэтому уо + Е Оа^ = 256.

Если |П| > 105, то а1(д) = 0. Если а1 (д) = 0, то ао(д) = 10г + 6 и Х2(д) = г + 5. Так как 44 — Х2(д) делится на 5, то |П| £ {46, 96,146}. Допустим, что |П| = 146. Пусть и £ Г — П и и является 3-кокликой из и^. Тогда Хо(и) и Хз(и) содержит 146 вершин из П, 2 вершины из и^ и еще две вершины. Если т £ У1, то т^ содержит 2 вершины из Хо(и). Если т £ У4, то т^ содержит 2 вершины из Хз(и). Поэтому уо + у5 = 146 и у1 + у4 ^ 5. Если т £ У2, то каждая вершина из т^ не смежна с тройкой вершин из и^. Поэтому у2 ^ 20. Если т £ Уз, то каждая вершина из т^ смежна с тройкой вершин из и<9>. Поэтому уз ^ 20, противоречие с тем, что Е у» ^ 146 + 5 + 40.

Если |П| ^ 81, то нет кликовых орбит и^ длины 5, иначе для 3-клики и из и^ подграф Хо (и) и Хз(и) содержит не менее 81 вершин из П и 2 вершины из и.

Пусть |П| = 101. Тогда 44 — Х2(д) = 65/2 + а (д)/30, поэтому а (д) — нечетное число, делящееся на 75. В этом случае имеются 30 пятиугольных (д)-орбит и 29 кокликовых. Пусть и £ Г — П и и является 2-путем из и^. Тогда Хо (и) иХз(и) содержит 101 вершину из П и еще 4 вершины. Если т £ У1, то т^ содержит 2 вершины из Хо(и). Если т £ У4,

то w^ содержит 2 вершины из X3(U). Поэтому yl + y4 ^ 10. Если w G Y2, то вершина из w^ не смежна либо с 2-путем из либо с изолированной вершиной и ребром.

Если w G Y3, то вершина из w^ смежна либо с 2-путем из либо с изолированной вершиной и ребром. Теперь y2 + уз ^ 2В0, причем Y2 U Y3 содержит не более 4 вершин из Xo(U) U X3(U) для любого 2-пути U из u^. Противоречие с тем, что Y2 U Y3 содержит не менее 52 вершин из Xo(U) U X3(U) для любого подграфа U из являющегося

объединением изолированной вершины и ребра.

Пусть 21 ^ IОI = Бг + 1 ^ 9б. Тогда 44 — %2(g) = (1Бг + 1Б + a1(g))/30, поэтому al (g) + 1Бг + 1Б делится на 1Б0. >

Лемма 3.3. Если p = 3, то |О| = 3t, a1(g)/3 — 3t — 4 делится на 10 и 2 ^ t ^ 2Т или t G {32, 42}.

< Пусть p = 3 и |О| = 3t. Тогда степень вершины в графе О равна 3i, любое ребро графа О лежит в 3j треугольниках из О, а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в О имеем |О^) П [b]| = 31.

Пусть U = u<ö> — орбита длины 3, Y — множество вершин из Г — U, смежных точно с i вершинами из U, уг = |Y¿|. Если U — клика, то у2 = 24 — Зуз, yl = 144 + Зуз, поэтому уз ^ В. Если U — коклика, то у2 = бЗ — Зуз, у1 = Т2 + Зуз, поэтому уз ^ 21.

Пусть t > 2Т. Тогда al (g) = 0. Если al (g) = 0, то |О| G {Зб, бб, 9б, 12б}.

Пусть 2 ^ t ^ 2Т. Тогда X2(g) = (3t + 44 — al (g)/3)/l0, поэтому al(g)/3 — 3t — 4 делится на 10. >

Лемма 3.4. Пусть p = 2. Тогда |О| = 2t, t ^ 3, (a1(g) — 12 — б^/З0 четно и либо t ^ ТВ, либо t = ВВ.

< Пусть p = 2 и |О| = 2t. Тогда степень вершины в графе О равна 2i + 1, любое ребро графа О лежит в 2j треугольниках из О, а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в О имеем |О^) П [b]| = 21. Заметим, что любая вершина из Г — О смежна с четным числом вершин из О, поэтому t > 1. Если t = 2, то О — объединение двух изолированных ребер, жo + Ж2 + Ж4 = 392, 2ж2 + 4ж4 = БЗб, Ж2 + бж4 = 2Тб, поэтому Ж4 = 2, ж2 = 2Т4/б, противоречие.

Пусть a1(g) = 0. Тогда 44 — %2(g) = (19В — t)^, поэтому t = lOr — 2, 1 ^ r ^ 9.

Пусть вершины u, ug смежны. Тогда 3 ^ t ^ ТВ и число (al(g) + 12 — б^/З0 четно. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны. >

Литература

1. Cameron P., Van Lint J. Designs, graphs, codes and their links.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1981.—240 p.—(London Math. Soc. Student Texts 22.)

2. Macay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra and its Appl.— 2009.—Vol. 432.—P. 2381-2398.

3. Журтов А. Х., Махнев А. А., Нирова М. С. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов // Труды Института математики и механики УрО РАН.—2010.—Т. 16, № 3.—С. 78-86.

4. Махнев А. А. Частичные геометрии и их расширения // Успехи мат. наук.—1999.—Т. 54, № 5.— C. 21-72.

Статья поступила 7 апреля 2010 г.

Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, заведующий отделом алгебры и топологии

РОССИЯ, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev@imm.uran.ru

Исакова Мариана Малиловна

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, старший препод. каф. геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: isakova2206@mail.ru

ON AUTOMORPHISMS OF STRONGLY REGULAR GRAPH WITH PARAMETERS (396,135,30,54)

Isakova M. M., Makhnev A. A.

We found the possible orders and the structures of subgraphs of the fixed points of automorphisms of strongly regular graph with parameters (396,135,30,54). These results can be used to study automorphisms of strongly regular graph with parameters (640,243,66,108) (in such a graph the second neighborhood of vertices are strongly regular with parameters (396,135,30,54)).

Key words: strongly regular graph, automorphisms of graph, subgraphs of the fixed points of automorphisms.