ВЛИЯНИЕ ВЫЧЕТЫ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_47

СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛУУГА ЭЭ БОЛГОН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕВДЕМЕЛЕРДИН ЧЕЧИМИН

изилдееде чегериштердин таасири

Акматов Абдилазиз Алиевич, улук окутуучу abdilaziz_akmatov@mail.ru Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Аннотация: Жумушта сингулярдуу козголууга ээ болгон маселенин бир тектYY эмес бвлYгY кг эселYY полюска ээ болгон учур каралат. Маселенин взгвчвлYгY болуп, тецдеменин бир тектYY эмес бвлYгYHYн бвлYMY нвлгв ээ болуусу эсептелет. Козголгон жана ага дал келYYчY козголбогон маселелердин чечимдерин изилдввдв чегериштерди колдономун. Абалкы жумуштарда мындай учур каралган эмес. Жыйынтыгында баалоолор алынып, козголгон жана козголбогон маселелердин чечимдеринин асимптотикалык жакындыгы далилденген.

Сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдеменин чечиминин козголууга ээ болбогон тецдеменин чечимине умтулуусунун ылдамдыгына матрица функциянын вздYк маанилеринин взгвчв чекиттери тYздвн тYЗ таасир этет. Мына ошол себептYY чегериштерди эсептвв зарылдыгы келип чыгат.

Ачкыч свздвр: уюлдар, дифференциалдык тецдеме, чегериш, взгвчв чекит, бисингулярдык козголуу, асимптотика, туруктуулук, Коши маселеси.

ВЛИЯНИЕ ВЫЧЕТЫ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Акматов Абдилазиз Алиевич, старший преподователь

abdilaziz_akmatov@,mail. ги Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В работе рассматривается задача когда неоднородная часть сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения имели кг кратные полюсы. Особенностью данной задачи является наличие нулей при знаменателя неоднородной части уравнения. В этом случае применим вычеты для решения возмущенной и невозмущенной задачи. В ранее рассматриваемые работы не рассмотрено этот случай. Получена оценка и доказана асимптотические близость решений возмущенной и невозмущенной задачи.

Близость решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и невозмущенных уравнений зависеть от особых точек собственных значений матрицы функций. Поэтому появиться необходимости вычисления вычеты собственных значений матрицы функций.

Ключевые слова: Полюсы, дифференциальные уравнения, вычеты, особые точки, бисингулярные возмущения, асимптотика, устойчивость, задача Коши.

INFLUENCE OF RESIDUES IN THE STUDY OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL EQUATIONS

Akmatov Abdilaziz Alievich, senior lecturer abdilaziz_akmatov@mail.ru Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The paper considers the problem when the inhomogeneous part of the singularly perturbed differential equations к are multiple poles. A feature of this problem is the presence of the inhomogeneous part of the equation. In this case, we apply the residues for solving the perturbed and unperturbed problems. This case was not considered in the previously considered works. An estimate is obtained and the asymptotic closeness of solutions to the perturbed and unperturbed problems is proved.

The proximity of solutions to singularly perturbed differential equations and unperturbed equations depends on the singular points of the eigenvalues of the matrix of functions. Therefore, it becomes necessary to deduct the values of function parameters.

Keywords: poles, differential equations, deductions, special points, bisingular perturbations, asymptotic, stability, Cauchy problem.

Киришуу. Белгилуу болгондой сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдемелердин чечимдеринин баалоосуна 6^TeKTYY эмес бeлYктYн таасири бар экендиги белгилYY. Ушул багыттагы жумушта [12] бир тектYY эмес бeлYГY к эселYY нелдерге ээ болгон учурда изилдее

48

жYргYЗYЛYп баалоолор алынган. Ошодой эле [6, 7, 9, 10, 12] жумуштарда да аналогиялуу учурлар каралып, бирок ал жерде бир TeKTYY эмес бeлYккe абсалюттук чоцдуу боюнча кандайдыр бир турактуудан кичине болуу шартын коюшкан. Бул шарт ез учурунда каралуучу маселенин чечимин

баалоону жецилдетет. Абалкы каралган жумуштардын баарында D(t) ф о

шарты алынган. Бул жумушта болсо, D(t) = о , болгон учурду карайбыз.

Ошону менен бирге чегериштерди [3] колдонуу менен баалоо алабыз. Мындай учур езгече, себеби [4] белгилYY болгондой козголбогон маселенин чечиминин бeлYMY нелге тецделиши жалпыланган

функцияларга келип калат. Жумушта D(t) матрица-функциясы эки

эселYY eздYк маанилерге ээ болгон учур каралып, чечим комплекстик аймакта изилденет. Жумушта баалоону чыныгы аймакта жYргYЗYY мYмкYн эмес. Эгерде маселени мейкиндиктин формасын eзгeртYY менен карасак, анда чыныгы аймакта регуляризациялоо усулун[4] колдонуу менен алууга болор эле.

Маселенин коюлушу. ТeмeнкYдeй маселени карайлы

S (t, S) = D(t)y(t, S) + [f (t) + EB(t)y(t, S)], (1)

y(to,z) = y0, (2)

мында D(t) = diag(Л (t), Л2 (t), Л3 (t), Л4 (t)), матрицанын eздYк маанилери

À(t) = À(t) = (t+if, À2(t) = Л4(t) = (t-i)k2,

y(t,s) = colon(y1 (t,s),y2(t,s),y3(t,s),y4(t,s)),t eDcC, 0 <E - кичине параметр, f(t) = colon ((t + if, (t - if2, (t + if, (t - if ) k1, k2 e N, kl + k2 = k, k e N, k1 > 1, [t0, T] - чыныгы октогу кесинди, 10 < T, B(t) = (bm] (t))4, m, j = 1,4, y0 -

турактуу сан, Q(Q) - аналитикалык функциялардын мейкиндиги, мында

C - комплекстик тегиздик.

Эгерде формалдуу тYPдe е = 0 деп алсак:

D(t)~(t,0) = f(t). (3)

Анда г = ±г чекиттериндеги чечими

у (г) = о.

Темен^ теоремага ээ болобуз.

Теорема 1. Козголбогон (3) маселе г = ±г , чекиттеринде (4) керунуштегу чечимге ээ болот.

Далилдее. Каралуучу (1), (2) маселедеги ) матрица функциясы Я1(г) = Л3 (г) = (г + г)к2, Л2 (г) = Л4 (г) = (г - г)2 жана бир тек^ эмес белYГY болгон

/(г) Л(г) = /з(г) = * к , /2(г) = /4(г) = \к . Мындан керYнгендей

(г + г)к (г - г)к

козголбогон маселенин вектордук формада жазылган чечими,

/(г) 1

у (г)

, к = к* + к2. Чечим г = ±г чекиттеринде к - эселYY уюлга

Дг) (г ± г)к

ээ болот. Козголбогон (3) системаны скалярдык керYHYште жазалы

(г +1) к2у,(г) -

(г - г)к2у2 (г) -

(г +г) к2~з(г) -

(г - г)к2~з(г) -

1

(г + г) к1 1

(г - г)к1

(г + г) к1

(г - г)к1

= о,

= о,

= о,

= 0.

(5)

Акыркы (5) системанын чечими Л (г) = ~3(г) = (г + г)

■\-к

у2(г) = у(г) = (г - г) к . Аныкталган (5) системанын г = ±г чекиттериндеги чечимдери к эселYY нелге ээ болот. Ал чекиттердеги ,у1(г), у2(г), у3(г), уу4(г) функцияларынын чегериштерин эсептейли. Анда у^) = у3(г), жана

у2 (г) = у4 (г) экендигин эске алуу менен

7 к-1

Яе 5 у(г) = -—— Нт -—-

t=- (к -1)! йгк 1

1 йк-х

Яе 5 ~ (г) =-Нт ——

г=г 2 (к -1)! ^г Жк-1

1 X (г + г) к

(г + г) 1

(г-г)к

X (г-г)к

= о.

= о.

(6) (7)

1

1

Демек, (6), (7) барабардыктар (4) кeрYHYштeгY чечимдин жашоосун далилдейт. Теорема далилденди.

Мейли TeMeHKY шарттар аткарылсын:

A-(t) g Q(q), X2(t) g Q(q), Vt g Q(Am(t) * 0, m = 1,2),

f (t ) = colon ((t + i) k,(t - i)k2). БелгилeeлeрдY кийирели:

(8)

Q = {(t-,t2):um(t-,t2) < 0, m = 1,2}. (9)

мында ит,t2) = Re j\(s)ds , (m = 1,2) , ti,12 G R , П с C -комплекстик

тегиздик.

Теорема орун алат.

Теорема 2. Мейли (8) шарт аткарылсын. Анда (1), (2) маселе жалгыз чечимге ээ болуп, ал чечим YЧYн

\\y(t,s)\\ <CS(s) (10)

баалоосу орун алат. Мында s(s) ^ 0, s ^ 0, t g C, C - турактуу сан.

Далилдее. Каралуучу (1), (2) маселени ага тец кYчтYY болгон

маселеге алмаштыралы:

t

y(t, s) = y0 E (t, to,s) + J E (t, r, s)

t

- f (r) + B(t ) y(r,s) s

dr, (11)

Л t

мында E(t,r,s) = exp

- jD(s)ds

Алынган (11) тецдемеге удаалаш жакындашуу усулун колдонобуз:

y i0)(t,s) = 0,

1 1

y(1) ) (t, s) = y0 E (t, to,s) + - j E(t, r, s)f (r)dr, (12)

s t

y{n) (t, s) = y(1) (t, s) + j E(t, r, s) B(r) y(n-1) (r, s)dr.

fl t

бул жерде E (t, t0 ,s) = exp - j D(s)ds |, n g N.

s '

v t0

0

Каалаган п жакындашуу YчYн (г0 ,о) чекитин (г1; г2) чекити менен

туташтыруучу 1п, ~, (п е N), интегралдоо жолдорун тандап алабыз. Ар

бир жакындашууда интегралдоо жолдору 1и = Гп, (/ = 1, п) кесиндилеринен

турат. Ошондой эле ~ интегралдоо жолу 1п интегралдоо жолуна

симметриялуу тандалат.

Демек, [11] белгаг^ болгондой к1(т) функциясы о аймагында

т = -г чекитинен башка бардык чекиттеринде, ошондой эле аналитикалык болбогон чекитти курчап турган 1 - чек арасында да аналитикалык болот. Оц багыт боюнча ориентирленген туюк интеграл {\ Т)йт = 2т Яе (т),

J т=-г

1

И1(т) = Е(г,т,£)х/1(т). Калган И2(т), И3(т), И4(т) функциялары YЧYH да бул

туюк интеграл орун алат.

Интегралдоо жолдорун эске алуу менен удаалаш жакындашууларды

баалайлы. Биринчи жакындашуу у(1)(г,е) = у0Е(г,го,е) +1 [Е(г,т,е)/{т)йт .

81

11

Каралуучу (1), (2) маселенин чечиминин баалоосу ||у(1)(г,е)| < С5(е), мында

С -кандайдыр бир турактуу сан. Экинчи жакындашуу YЧYн баалоо

||у(2)(г,а)\\ < С3(е) + ^(е)) мында С -кандайдыр бир турактуу сан. Каалаган

жакындашуу YЧYн баалоонунун тууралыгын божомолдойлу

||у(п)(г,£)| <С3(£) + (С8(е))2 +... + (С5(е))п, С - кандайдыр бир турактуу сан,

п е N. Демек, (10) баалоонун тууралыгы далилденди.

Кийинки кадамда удаалаш жакындашуулардын жыйналуучулугун

далилдейли. Анда ||у(1) (г, е)| < С5(е) < 1 , ||у(2) (г, е) - у(1) (г, е)| < (£58)) < 1 .

Демек, мындан ||у(п-1) (г, е) - у(п-2) (г, е)| < (£¿(8))"1 < 1 барабарсыздыгынын аткарылышын божомолдойлу. Айырма катары жазылган

у{п)(г,е)- у(п баалоонун тууралыгын далилдейли. Бул жерде

\\у(п)(г,е)- у(п-1)(?,£)| < (сё(а))п < 1. Катар тYзeлY

±{/к)М-/к-1\ие)). (13)

к=1

Эгерде (13) катар бир калыпта жыйналса, анда {у {п)(1,е)\

удаалаштыгы да бир калыпта жыйналат.

Акыркы (13) катардын бир калыпта жыйналуучулугун далилдейли.

Анда

со

(у(к) ($ ,е)-у{к-1

к=1

^(у(к) ($ ,а)-у(к-^е)))<^\у(к Ч,*)-у(к-^МН у (1)Ы-у(0 ^ ,8)]\ +

к=1

+ || у (2)(г ,а)-у (1)(г ,е)\ +... + || у(п ^ ,а)-у{п-1) «,е)\ +... = С8(е) + Ст) +

+... + (сб(8))п +... = Сд(е) х

Л чУ+Л

1 -

(С3(а)!

ч 1 -(сад) ^ Л >+л

Каралуучу аймакта у(п)((,е)\ < Сд(е)

IX

1 -

(ст)п

болуп, жана

1 - Сё(£)

п умтулганда ||у(^£)|| < С8(е) алабыз. Теорема далилденди.

Корутунду. Жыйынтыгында {у{п)(1,е)\ удаалаштыгы кандайдыр бир

(1), (2) маселенин чечими болуп саналган у^,е) функциясына бир калыпта жыйналат деп айта алабыз. Козголбогон маселенин чечими нелге барабар болгон учур мурда каралган, бирок ал жумуштарда О(г) ф 0

шарты бар болчу. Бул учурда Б(г) = 0 болуп, чегериштердин тийгизген

таасиринин негизинде козголбогон маселенин чечими нелге барабар болуп калды. Ал учур далилденген теорема 1 ден кер^ртуп турат. Изилдееден керунгендей эгерде аналитикалык функцияга кичине параметр катышпаса, анда ал функциянын мааниси анын езгече чекиттеринин таасиринде гана аныкталат. Тактап айтканда аналитикалык функциянынын чыныгы бeлYГY терс же он, болуусу мааниге ээ эмес. Кичине параметр катышса анда терс болгон бeлYГY чечимдин асимптотикасын аныктап калат. Чыныгы бeлYктYн тендеш нелге барабар болуусу езгече учур катары сыпатталат.

Бирок [1, 2] жумуштарда комплекстик тегиздикке kö4yy менен бул учурда да баалоо алуу мYмкYнчYЛYГY келип чыккан. ЭздYк маанилер жалан гана жорума бeлYктeн турса, анда ал прикладдык [5, 8] мааниге ээ болот. Чегериштердин тийгизген таасири астында (1), (2) жана (3) маселелердин чечимдеринин асимптотикалык жакындыгы бир байламталуу комплекстик q аймагында далилденген.

Адабияттар

1. Акматов, А.А. Асимптотическое представление интегралов Френеля в комплексной плоскости [Текст] / А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2021. - С. 21-27.

2. Акматов, А.А. Исследование решений сингулярно возмущенной задачи [Текст] / А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2021. - С. 28-35.

3. Акматов, А.А. Применение вычеты при исследовании решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [Текст] / А.А. Акматов // Журнал Евразийское научное объединение. №1. - Москва. 2022. - С. 1-3.

4. Акматов, А.А. Метод регуляризации решений бисингулярно возмущенной задачи в пространстве обобщенных функций [Текст] / А.А. Акматов // Журнал Бюллетень науки и практики. №2. - Москва. 2022. - С. 10-17. https://doi.org/10.33619/2414-2948/75/01

5. Акматов, А.А., , Применение метода возмущений в теории оптики [Текст] / А.А. Акматов, Н. Замирбек кызы, К.К. Шакиров // Вестник Жалал-Абадского государственного университета 2021. №3 (48). - С. 205-210.

6. Алыбаев, К.С. Метод линии уровня исследования сингулярно-возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости [Текст] / К.С. Алыбаев // Дисс. ...докт. физ.-мат. наук: 01.02.02. - Жалал-Абад. 2001. - 376 с.

7. Каримов, С. Исследование решений системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений имеющих условную устойчивость [Текст] / С. Каримов, А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2021. - С. 61-69.

8. Мурзабаева, А.Б. Исследование диффракции света в ближной зоне с помощью математического моделирование [Текст] / А.Б. Мурзабаева, А.А. Акматов // Вестник Жалал-Абадского государственного университета 2021. №2 (47). - С. 35-43.

9. Каримов, С. Более точные оценки решения сингулярно возмущенной задачи [Текст] / С. Каримов, Г.М. Анарбаева, А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2015. - С. 133-138.

10. Каримов, С. Поведения решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в случае смены устойчивости [Текст] / С. Каримов, А.А. Акматов // II. Естественные и технические науки №2. Москва. 2006. - С. 14-18.

11. Маркушевич, А.И. Введение в теорию аналитических функций [Текст] / А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич // Просвещение. - Москва. 1977. - С. 202-211.

12. Турсунов, Т.А. Асимптотика решения бисингулярно возмущенных обыкновенных и эллиптических дифференциальных уравнений [Текст] / Т.А. Турсунов // Дисс. ...докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ош. 2013. - С. 9-92.