CC BY
0ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика, физика, техника. 2022, №1 МАТЕМАТИКА
УДК 517. 928
Б01: 10.52754/16947452_2022_1_5
БИРИНЧИ ТАРТИПТЕГИ СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН СЫЗЫКТУУ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН АСИМПТОТИКАСЫ
Абдилазизова Акбермет Абдижалиловна.
abdilazizovaa@mail.ru. Ош мамлекеттик университети.
Ош, Кыргызстан.
Аннотация: Бул жумушта сингулярдык козголгон сызыктуу дифференциалдык тецдеме каралган. Туруктуулук шарты бузулган учурдагы тецдемелерди изилдвв боюнча ЖYргYЗYлгвн дээрлик бардык эмгектерде аралыктын учтарын туташтырган децгээл сызыктын бутактары (кесилишYYЧY) жашаганучурлар каралган. Булучурларда чексиз областтарда кароонун зарылдыгы болгон эмес. Каралып жаткан кесиндинин оц жакучун туташтыруучу децгээл сызыктар чексиз алыстатылган чекитте кесилишет, бул чекит чексиз тартиптеги ашуу чекити болот. Чечимге кесиндинин оц жак учуна жакын чекиттерде асимптотикалык баалоону алуу YЧYн чексиз областтарды кароого туура келет. Маселе интегралдык тецдемеге келтирип, удаалаш жакындашуулар методунун жардамында чыгарылган.
Ачкыч свздвр: тецдеме, чектелбеген аймак, баштапкы шарт, , ашуу чекити, чечим, асимптотикалык баа.
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Абдилазизова Акбермет Абдижалиловна.
_ abdilazizovaa@mail.ru. Ошский государственный университет.
Ош, Кыргызстан
Аннотация: В этой работе рассматривается сингулярно возмущенное линейное уравнение. Во всех работах посвященных исследованию уравнений, где нарушается условие устойчивости, рассмотрен случай, когда существуют ветви (пересекающие) линии уровня соединяющие концы отрезка. В этих случаях не было необходимости расматривать бесконечную область. Линии уровня соединяющие концы рассматриваемых отрезков пересекаются в бесконечно удаленной точке, которая является точкой перевала бесконечного порядка. Для получения асимптотической оценки вблизи на правых концах отрезка приходится рассмотреть бесконечную область. Задача приводится к интегральному уравнению, решается с помощью метода последовательных приближений.
Ключевые слова: уравнение, бесконечную область, начальное условие, точка перевала, решение, асимптотическая оценка.
ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF A SINGULARLY PERTURBED FIRST ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION
Abdilazizova Akbermet Abdijalilovna.
abdilazizovaa@mail.ru.
Osh state university Osh, Kyrgyzstan.
Abstract: In this paper, we consider a singularly perturbed linear equation. In all works devoted to the study of equations where the stability condition is violated, the case is considered when there are branches (intersecting) level lines connecting the ends of the segment. In these cases, it was not necessary to consider an infinite region. Level lines connecting the ends of the segments under consideration intersect at an infinitely distant point, which is a pass point of infinite order. To obtain an asymptotic estimate near at the right ends of the segment, one has to consider an infinite domain. The problem is reduced to an integral equation and solved using the method of successive approximations.
Keywords: equation, infinite domain, initial condition, saddle point, solution, asymptotic estimate.
Киришуу. Ашуу чекитинин тартиби чектуу тартипте болгон учурлар жана чектелген аймакта изилдее [1-5] эмгектерде каралган. Бул учурларда чексиз аймактарда кароонун зарылдыгы болгон эмес. Бул жумушта чектелбеген аймакта изилдее жYргYЗYлет.
Маселенин коюлушу. Теменде^ сингулярдык козголгон сызыктуу тецдемени карайбыз:
sх '(t ) = ü(t ) х^ ) + sh(t ), (1)
тецдеме
х(to,s) = х0^Х (2)
бaштaпкы шaрты менен берилсин, мындa х^, s) - белгисиз функция. (1)-(2) мaселе
Ho ={t G С, to < ti < To, -да < t2 <+да},
aймaгындa изилденет.
TeMe^Y шaрттaр aткaрылсын:
Ш 1. {t0 < ^ < а л -да < t2 < +да} тилкеде Re а {t ) < О, {t = а л -да < t2 < +да} TY3 сызыгындa Re а {t ) = О, {а < ^ < T л -да < t2 < +да} тилкеде Re а {t ) > О болсун. Ш 2. Vt0 g H, а(г),h(t) g Ф(Н0) л Imа(t) > О.
Ш 3. t ^ да болгондо h(t) = j1,к > 1.
(1)-(2) мaселенин чечиминин a^MnroraKanbiK eзгeрYШYн H0
aймaгындa изилдee мaселесин кaрaйлы.
t
t = ti + it2 болгон yчyрдa J а( s)ds функциясынын чыныгы бeлYГYH
to
t
u (tx, t2 ) = Re J a(s)ds,
to
тYPдe белгилейбиз.
TeмeнкYдeй aныктaмaлaрды келтиребиз:
1-аныктама. f {t ) функциясы YЧYн t0 чекитиндеги функциянын
тyyндyлaры f{to) = О,f"{t,) = О,...,f{n\t,) = О,)*О болсо, aндa to чекити «^pram^m aшyy чекити деп aтaлaт.
2-аныктама. Эгерде да чекитте Re F(t) жана функциянын чексиз
сандагы децгээл сызыктары кесилишсе, анда бул чекит чексиз тартиптеги ашуу чекити деп аталат.
Каралып жаткан тендеменин чектелбеген аймакта кароо зарылчылыгын мисалдар аркылуу беребиз.
1-мисал. (1) тендемеде a(t) = 2(t + i), t e C болсун.
A(t ) функциясын тeмeндeгYдeй аныктайбыз:
t
A(t ) = 2 J (t + i)dr = ( t + i )2.
—i
Re A(t) = tf —(t2 +1)2 = с денгээл сызыктарды алалы. Re A(t) = 0 денгээл сызык (0, — 1) чекитинде бутактанат жана тегиздикти терт бeлYккe
белет. Бул учурда (—1,0), (1,0) чекиттерин туташтырган бир гана денгээл
сызыктын бутактары (0, -1) чекитинен eтYШY маанилYY жана чексиз аймакты кароонун зарылчылыгы жок. Чокулары (-1, 0), (1,0), (0, -1) болгон YH бурчтукту кароо жетиштYY.
Бул мисалда t = —i чекити экинчи тартиптеги ашуу чекити болот.
2-мисал. (1) тендемеде a(t) функциясы a(t) = —e~a тYPYндe
берилсин. a (t) = — cos t + i sin t, 0 < t < т аралыкты карайлы.
(1) тендеменин тен салмактуулук абалынын туруктуулук шарты [0,т] аралыгында eзгeрeт:
т т Т
0 < t <т : Rea(t) < 0, t = ^ : Rea(t) = 0, t < т : Rea(t) > 0.
t 1
Бул учурда A(t) = —Je~1TdT = -(e~d +1) тYPYндe аныкталат. Мындан
0 1
t = tj + it2 болгондо Re A(t) = —e~'2 s intx = u(tx, t2 ).
u(tx,t2) = ReA(t) функциясынын децгээл сызыктарын колдонуу
менен изилдeeлeрдY жYргYЗYY y^h, H = {tG C, 0 < ^ < n, - да < t2 < +да} чексиз тилкесинде кароого туура келет.
3-мисал. (1) тендемеде a(t) функциясы a(t) = -ert болсун. Анда
a
(t) = - cos t - i sin t ээ болобуз. 0 < t <n аралыгында Re a(t) ез белгисин
терстен онго езгертет жана
Re a
f
n
= 0
v 2
a
u(tx, t2 ) = -e~Í2 s intx болот.
4-мисал. (1) тендемеде a (t) функциясы a(t) = ert болсун. (t ) = cos t + i sin t болгондуктан, t нын чыныгы маанилери [n,2n]
аралыгында Re a(t) ез белгисин езгертет.
Биз жогоруда караган 2-4 мисалдарда туруктуулук шарт аткарылбаган кесиндинин учтары аркылуу еткен денгээл сызыктын
бутактары чексиздикте кесилишет жана бул чекит u(t ,t ) функциясы
Y4YH чексиз тартиптеги ашуу чекити (точка перевала) болот.
Чечим YЧYн кесиндинин он жак учуна жакын чекиттерде асимптотикалык баалоону алуу YЧYн чексиз областарды кароого туура келет.
(1)-(2) маселе темен^ интегралдык тендеме менен тен кYчтYY болот:
t
x(t,s) = E(t,t0,s)x0(s) + JE(t,z,s)h(V)dr, (3)
мында E(t, t0, s) = exp
r t \ , t
—Ja(s)ds , E(t,T,s) = exp — Ja(s)ds
s
v t0
vsV
í2 = ф(tx) функциясы u(tx,t2) = atx + b тендеменин чечими катары
c — c c t — c T аныкталат, мында a = —--, b = -— ([21 эмгектин 4-леммасы).
t - T t - t
0
i2 =ф(^ ) функциясы менен аныкталган ийрини K деп белгилейбиз.
K ийриси q = slns, с2 = 2s\ns болгон денгээл сызыктар менен
аныкталган аймакты Нх с Н0 деп белгилейли. H чектелбеген аймак болот.
С =—1 S, c2 = —S, мында S — const, 0 <S<< 1 болсун. Бул учурда
аймакты Н2 с Н0 деп кабыл алабыз. Н2 аймагы да чектелбеген болот.
Турактуулар c1 = —1 s, c2 = —1 sp болсун, мында 0 < p < 1. Аймакты Н3 e Н0 тYPYндe белгилеп алабыз. Н3 аймагы да чектелбеген болот.
К = АиК болсун, мында Л = : ^о -Ч -^тЛ = •
Эгерде (^, t2 ) eA (t = ^, t2 = 0) болсо, анда l жолу ( t0,0) ,
M) (t0 < t1 < t01) чекиттерин туташтырган сызык болот. Бул учурда Re a(t) < —a, a > 0 — const.
( tj, t2 ) чекиттери K ийрисинде жатканда интегралдоо жолун
3
темендегудей аныктайбыз: / = U 4 , мында i\~{t0,0) , (/(1|,0) чекиттерин туташтырган кесинди болот,
/2 - (/0i>0)> (^Л = )) чекиттер аркылуу етуучу сызык,
h — ( t1, t2 ) жана (tx, t2 ) чекиттерин туташтырат. Бул жерде
( ^, t2 )e K болсо, ^ YчYн ( ^, t* =^( ^ )) болгон жалгыз гана чекит жашайт.
(3) тендеменин чечимине баалоолорду Ш 2-Ш 3 шарттарды эске алуу менен жYргYзeбYЗ.
ЭсептeeлeрдYн негизинде тeмeндeгYдeй теоремалар далилденет:
1-теорема. Ш 1-Ш.З шарттары аткарылсын, анда К = Аи Иi аймагында (1) - (2) маселенин жалгыз чечими жашайт жана
|x(t, е)\ < са>{е)~-,
1 -
баалоосу орун алат, мында S0(s) = т—, т(е) = , с — const.
2-теорема. Ш 1-Ш 3 шарттар аткарылсын, анда ¿ = АиЯ2 аймагында (1) - (2) маселенин жалгыз чечими жашайт жана |x(t,£)| < ca(s) баалоосу орун алат.
3-теорема. Ш 1-Ш 3 шарттар аткарылса, анда К = АиН3 аймагында
(1) - (2) маселенин жалгыз чечими жашайт жана |x(t,^)| < csx~р баалоосу орун алат.
Корутунду. Чектелбеген аймакта козголгон жана козголбогон тендеменин чечиминин асимптотикалык жакындыгы кeрсeтYлдY.
Литература
1. Акматов, А.А. Исследование решений синглярно возмущенной задачи [Текст] / А.А. Акматов - Вестник ОшГУ. 0ш,2021. С 21-27.
2. Алыбаев, К.С. Метод линия уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости[Текст] / К.С. Алыбаев - Дисс. ... д-ра физ. - мат. наук: 01.01.02. - Бишкек, 2001. - 204 с.
3. Каримов, С.К. Равномерное приближение решения сингулярно возмущенной задачи в особо критическом случае[Текст] / С.К. Каримов - Ош, 2019, - 203 с.
4. Каримов, С. Асимптотические оценки решений сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в особо критическом случае[Текст] / С. Каримов, А.А. Абдилазизова.// Наука и новые технологии. Бишкек, 2019, № 6. С. 9-16.
5. Каримов, С. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в случае смены устойчивости[Текст] / С. Каримов, А.А. Абдилазизова.// Москва, 2007. №4. С. 13-16.
