БУРУЛУУ ЧЕКИТИНЕ ЭЭ БОЛГОН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ ҮЧҮН КОШИ МАСЕЛЕСИНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928.2

БУРУЛУУ ЧЕКИТИНЕ ЭЭ БОЛГОН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ YЧYН КОШИ МАСЕЛЕСИНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович, ф.-м.и.д., профессор,

dtursunov@oshsu. kg Ош мамлекеттик университети, Зулпукаров Алтынбек Зулпукарович, ф.-м.и.к, доцент, Б.Сыдыков атындагы Кыргыз-Озбек Эл аралыкуниверситети,

Садиева Акбермет Сайиповна, аспирант Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Аннотация. Макалада Волфранг Ричард Вазовдун (25.07.1909-11.09.1993) бир тектYY эмес тецдемеси YЧYн баштапкы маселенин асимптотикалык чыгарылышын тургузуу маселеси каралган. В. Вазовдун бир тектYY эмес тецдемелер системасы сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тецдемелердин классына таандык. Изилденип жаткан маселенин взгвчвлYктврY: 1) баштапкы чекитте негизги матрицанын тескериси жашабайт; 2) кичине параметр туундуунун астында катышат; баштапкы чекиттен башка чекиттерде негизги матрица биринчи даражадагы эки элементардык бвлYYчYгв, ал эми баштапкы чекитте экинчи даражадагы бир элементардык бвлYYчYгв ээ. Мындан сырткары Вазовдун тецдемесинин спектри туруксуз болот. Коюлган маселенин бир калыптагы асимптотикалык ажыралмасы жалпыланган чектик функциялар методунун жардамында тургузулат.

Ачкыч свздвр: туруксуз спектр, В. Вазовдун тецдемелер системасы, бурулуу чекити, сингулярдык козголгон Кошинин маселеси, кичине параметр, чектик функциялар.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТОЧКОЙ

ПОВОРОТА

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович, д.ф.-м.н., профессор,

dtursunov@oshsu. kg,

Ошский государственный университет Зулпукаров Алтынбек Зулпукарович, к.ф.-м.н., доцент, Кыргызско-Узбекский Международный университет имени Б.Сыдыкова,

Садиева Акбермет Сайиповна, аспирант Ошский государственный университет, Ош, Кыргызстан

Аннотация. В статье рассматривается задача построения асимптотического решения начальной задачи для неоднородного уравнения Волфранга Ричарда Вазова (25.07.1909-11.09.1993). Неоднородная система уравнений В. Вазова относится к классу сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенности исследуемой задачи: 1) в начальной точке основная матрица необратима; 2) перед производной присутствует малый параметр; в точках, отличных от начальной точки, главная матрица имеет два элементарных делителя первой степени и один элементарный делитель второй степени в начальной точки. Кроме того, спектр уравнения Вазова неустойчива. Асимптотическое разложение поставленной задачи строится методом обобщенных пограничных функций.

Ключевые слова: нестабильный спектр, система уравнений В.Вазова, точка поворота, сингулярно возмущенная задача Коши, малый параметр, пограничные функций.

ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH

A TURNING POINT

Tursunov Dilmurat Abdillazhanovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor,

Osh state university, [email protected] Zulpukarov Altynbek Zulpukarovich, сandidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Kyrgyz-Uzbek International University named after B. Sydykov, Sadieva Akbermet Sayipovna, postgraduate student Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

Abstract. The article deals with the problem of constructing an asymptotic solution of the initial problem for the inhomogeneous Wolfgang Richard Wasow (25.07.1909-11.09.1993) equation. The inhomogeneous system of equations of V. Vazov belongs to the class of singularly perturbed ordinary differential equations. Features of the problem under study: 1) at the initial point, the main matrix is irreversible; 2) there is a small

parameter before the derivative; at points other than the starting point, the main matrix has two elementary divisors of the first degree and one elementary divisor of the second degree at the starting point. In addition, the spectrum of the Vazov equation is unstable. The asymptotic expansion of the formulated problem is constructed by the method of generalized boundary functions.

Keywords: unstable spectrum, V. Vazov's system of equations, turning point, singularly perturbed Cauchy problem, small parameter, boundary functions.

Маселенин коюлушу. Сингулярдык козголгон, бир TeKTYY эмес, сызыктуу, биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тецдемелердин системасы YЧYн Кошинин маселесин изилдейбиз:

'ey'(х) = z( х) + х),

sz'(х) = - х • y( х) + f2( х), y(0) = y0, z(0) = z0,

х е (0,1],

(1)

(2)

мында 0<s<<1, f, f2 е Cт [0,1] , y0, z0 - const, у(х), z(x) белгисиз

функциялар.

Эгерде тeмeнкYдeй белгилее кийирип алсак:

'У (х )Л

Vz(х)у

анда (1)-(2) маселе тeмeнкY кeрYHYшкe келет:

sW'(х) = А(х)Ж(х) + F(х), х е (0,1], W(0) = W0

W (х) =

A( х) =

0 1

V х 0 у

, F(х) =

71( х) f2( х )

(3)

Белгилеп кетYY керек, s W'(х) = А(х^(х) бир тектYY система

Вазовдун [1]-[5] эмгектеринде х^0 болгон учурда изилденген. Себеби х^0 болгондо А(х) матрицасы биринчи даражадагы эки элементардык бeлYYчYгe, ал эми х=0 болгондо экинчи даражадагы бир элементардык

бeлYYчYгe ээ. Ошондой болсо дагы к2 - х эки мYчeсY каалаган х тер YЧYн

турактуу сандан айрымаланган жалгыз инварианттык кeбeйтYYЧY болот [1, 182-бет].

Биз х е [0,1] кесиндиде (1)-(2) маселенин чыгарылышынын кичине

параметр нелге умтулгандагы бир калыптагы асимптотикалык ажыралмасын тургузабыз.

Маселенин чыгарылышы. Алгач тышкы чыгарылышты тургузабыз, анткени ал бизге ички чыгарылышты тургузууда кандай езгертYп тYЗYY керектигин аныктап берет. Кичине параметр методун колдонуп, тышкы чыгарылышты темен^ катарлар керYHYште издейбиз [6]:

У(х) = Уо (х) + еУ1 (х) + е2 У 2 (х) + ••• ^

2( х) = 20 (х) + (х) + е2 (х) +...

ушул (4)- катарларды (1)- системага коюуп у(х) жана ¿¿(х) лерди аныктап, закон ченемдYYЛYктY таап алабыз:

е( У' 0( х) + еУ\( х) + е2 2( х) + •••) = ^0( х) + х) + е22( х) + ••• + /1( х) е( *' 0(х) + ^ ' 1(х) + е 2 2(х) + •••) = -х • ( Уо( х) + еУ1(х) + е 22( х) + •••) + Л( х)

мындан, кичине параметр методунун негизги мацызы боюнча, кичине параметрдин бирдей даражаларынын коэффициенттерин барабарлайбыз:

^(х)+/1(х) =0 ^ ^(х) = -/1(х); - хУ0(х)+/2( х) =0 ^ У0(х) = х ~Х/2(х);

гк(х) = у ' к -(х) к ; Ук(х) = - } к -(х\ к е м •

Аныкталган белгисиз у(х) жана ^(х) функциялардын езгечелYктерYн керсетYп жазабыз:

(х) = У О (х) = х_2^1 (хХ Л (х) = 'о (х) = Х~1У\ (х\

¿2 (х) = У \ (х) = (хХ У 2 (х) = -х-1г\(х) = х~4у2 (х),

¿2к (х) = У 2*-1 (х) = х~2~Ъ{к~1)г2к (хХ У2к (х) = \к-1 (х) = (хХ

22к+1 (х) = У 2 к (Х) = Х"2_3^2^1 (ХХ У2к+1 (Х) = ~Х~1г\к (х) = (ХХ к ^ М-

Табылган у(х) жана ^(х) функциялардын езгечелYктерYн эске алуу менен (4)- катарга алып барып коебуз:

у(х) = х~1/2(х) + ех'у^х) + 8 2х~4у2(х) + е3х~4у3(х) + ... +

+ (е V3)"*-1 (у2к{х) + еу2Ш (х)) +... г(х) = -/¡(х) + Бх^г^х) + &2х~2г2(х) + &3х~5гъ(х) + Е4х~5г4(х) +... +

+ ех~2(е2х~3)к (г2Ш(х) + ег2к+2(х)) + ...

Тургузулган тышкы чыгарылыш баштапкы шартты канааттандырбайт жана баштапкы чекиттин чеке белинде асимптотикалык мYнeзYн жоготот. Бирок тышкы чыгарылыштан биз ички чыгарылыш кандай езгерулме боюнча ажыралышы керек деген маалыматты алабыз:

2 -3

е2х

х = ц2г, ц3 = е=ц6(ц203 = г

.6/..2о, -3 --3

(1)-(2)- маселенин бир калыптагы толук асимптотикалык ажыралмасын жалпыланган чектик функциялар методун колдонуп тургузабыз [7], [8]. Асимптотикалык чыгарылышты теменку кeрYHYштe издейбиз:

да ^ да да ^ да

У(х) = £е7'уу(х) + -т£ц77); 2(х) = ЁеЧ'(х)+1 Ё^ЧО, (5)

7=0 ц 7=0 7=0 Цу=0

мында у. (х) жана 2} (х) - жылма тышкы чыгарылыштын мYчeлeрY;

п. (г) жана w■ (г) - чектик функциялар, г = -х, ц = -^ё.

ц

(5)- катарларды (1)- тецдемеге алып барып коюуп тeмeнкY системаны алабыз:

да 1 да 1 да да

^ у 'Д х) + ) = ) + (х) + ¿( х)

7=0 Ц 7=0 Ц 7=0 ;=0

(6)

да да да да да да

£ е7+121 7 (х) + £ ц7 w' 7 (г) = - £ (г) - х£ е7у (х) + f2 (х) - £ екИк + £ е %

7=0 7=0 7=0 7=0 к=0 к=0

(5)- катарларды (2)- баштапкы шартта алып барып коюуп темен^ катыштарды алабыз:

пзк (0) = пзк+-(0) = 0, к = 0,1,...;

П2(0) = У0 - У0(0),Пзк+2(0) = -Ук(0),к = 1,2,...;

Wзk(0) = Wзk+2(0) = 0,к = 0,1,...; ( )

^(0) = 20 - 20(0),Wзk+l(0) = -2к(0), к = 1,2,...

(6)- системадан жылма тышкы чыгарылыштын мYчeлeрYн аныктап алабыз:

z0(x) = -fx{x\ y0(x) = Ш K = y0(x), к = Л(0);

X

^{x) = y\{x), yl{x) = -^^-íb- = yl{x), \ = -z'0(0); ^

zÁx) = y\-i(x),keN,

yk(x) = (*) + ** = h(xl K = _z.¿ i(0), k e TV;

Эми чектик фyнкциялapды Typry3yyra киришебиз. (6)- системaдaн TeMeHKY системaны бeлYп aлaбыз:

œ œ

Хцj я' j (t ) = ХЦ W (t ),

j=0 j=0 (9)

œ œ œ

Хц ' j (t) = -tХцj^ (t) + Xskhk

j=0 j=0 k=0

мындaн (7)- бaштaпкы шapттapды эске anbm, тeмeнкY системaлapды aлaбыз:

Я'3k(t) = w3k(t), t g [0,ц-2], ^3k(0) = 0,

w '3k (t ) = -t^3k (t ) + h, W3k (0) = 0;

я'3k+l(t) = W3k+l(t), t G[0,Ц-2], ^3k+l(0) = 0

w'3k+l(t) = -tK3k+l(t), Wl(0) = z0 - Z0(0), W3k+l(0) = -Zk(0);

Я '3k+2(t) = W3k+2(t), t G [0,ц-2], Я2(0) = y0 - y,(0),*3k+2(0) = - Jk (0),

W ] 3k+2 (t ) = -^3k+2(t ), W3k+2(0) = 0;

(10), (11) жaнa (12)- Кошинин мaселелеринин системaлaрынын чыгaрылыштaрынын жaшaшын жaнa жвлгыздыгын дaлилдeeчY леммaны келтиребиз.

Лемма. TeMe^Y бaштaпкы мaселенин чыгaрылышы жaшaйт жaнa жвлгыз:

¡v\t) = u(t), t g [0,ц-2], v(0) = a, u ' (t ) = -tv(t ) + h, u (0) = ß, a,ß, h = const.

Далилдее. Системанын биринчи тендемесинен туунду aлaбыз:

v '(t ) = u (t ) ^ v''(t ) = u ' (t ) ,

a^ip^i бaрaбaрдыкты системaнын экинчи тендемесине коюуп жaнa бaштaпкы шapттapды эске aлып, тeмeнкY мaселени aлaбыз:

v "(t) = -tv(t) + h, v(0) = a, v '(0) = ß.

Бизге белгилYY болгоидой [6], v "(t) = -tv(t) + h бир тектYY эмес

тецдемеиии ж^пы чыгaрылыmыи тeмeнкY кeрYИYmтe жaзyyгa болот:

t

v(t) = ^(t) + C2v2(t) + hy(t), y(t) = nJ(v2(t)v1(T) - v2(T)v1(t))dт,

да

мыидa v (t) = >JtJ/3 (2t3/2 / 3), v (t) = =3 (2t3/2 / 3).

Бул эки фуикцияиыи иегизги кaсиеттерии белгилеп кетебиз:

v 2(t) = O(t"1/4), t ^ да; v(0) = 0, v\(0) * 0; v(0) * 0, v'2(0) = 0.

Бул тасиеттерди эске anbm ж^пы чыгaрылыштaгы эрктYY тyрaктyyлaрдыи мaaиилерии aиыктaп aлaбыз:

C2v2(0) = а- hy(0) _a-hy(0). _ß- h у '(0).

qv\(0) = ß- hy '(0) ^ C2 = v 2(0) ' Cl = v\(0) '

Демек,

v(t ) = v1(t ) + v2(t ) + hy(t ),

v1(0) v2(0)

и(t) = v xr ) = P^P v ■ (t) + i^y01 v2 '(<) + hy '(t).

v1(0) v2(0)

Ушул леммaиыи иегизииде (10), (11) жaнa (12)- системaлaрдыи чыгaрылыштaрынын жamamы жaиa жвлгыздыгы келип чыгат жaиa бул чыгaрылыmтaр чек aрaлык кaтмaрдыи ичииде гaиa мaaиилYY болуп чек aрaлык кaтмaрдыи сыртыидa кичиие пaрaметр иeлгe yмтyлгaидa мaaиилYY болбой кaлaт. Оmоидyктaи бул фyикциялaрды чектик фyнкциялaр деп aтamaт:

^ m hУ '(0)wA hУ(0)у га , и шгл

пзк(t ) =--rr^v1(t )--TT^v2(t ) + "'У(г ),

v1(0) v2(0)

^ ) = -"ку^ v \(t ) - M V(t ) + hy '(г );

v1(0) v2(0)

Пзк+1 (t ) = ^^ v1(t ), ^(t ) = ^^ v\(t ), (13)

v1(0) v1(0)

49

W) = ^^v2(t), ^3k+2(t) = v'2(t),

v2(0) v2(0)

Натыйжада биз темен^ теореманы далилдедик

Теорема. (1)-(2) - Коши маселесинин чыгарылышы y4Yh кичине

параметр нелге умтулганда, x е [0,1] кесиндиде тeмeнкY формалдуу асимптотикалык ажыралма орун алат:

да ^ да да ^ да

y(x)=ZsJyj(x)+—пj(t);z(x)=Zs zj(x)+1Z jJ(t^

j=0 ^ j=0 j=0 Ц j=0

мында y.(x) жана z.(x) функциялар (8)де, л. (t) жана w.(t) лар (13)те аныкталган.

Адабияттар

1. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience Publishers, New York. 1965.

2. Wasow W. On boundary layer problems in the theory of ordinary differential equations, Mathematics Research Center, University of Wisconsin-Madison, Technical Summary Report, 2244. 1981.

3. Wasow W. A turning point problem for a system of two linear differential equations, /.

Math. Phys., 38 A960), 257—278.

4. Wasow W. Turning point problems for systems of linear equations, I. The formal theory,

Comm. Pure Appl. Math., 14 A961), 657-673.

5. Wasow W. Turning point problems for systems of linear differential equations, II. The

analytic theory, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 173-187.

6. Турсунов Д. А., Кожобеков К.Г., Асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши с точкой поворота, Математический анализ, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 156, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 84-88; J. Math. Sci. (N. Y.), 254:6 (2021), 788-792.

7. Турсунов Д.А., Кожобеков К.Г. Асимптотическое решение задачи Неймана с нерегулярной особой точкой. Дифференциальные уравнения, геометрия и топология, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 201, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 98-102.

8. Кожобеков К.Г. Асимптотика решения краевой задачи, когда предельное уравнение

имеет нерегулярную особую точку. Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:3 (2019), 332-340.