ПРИБЛИЖЕННО-АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЬЦА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

ПРИБЛИЖЕННО-АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ КОЛЬЦА

Халматов Анвар Авазович, к.ф.-м.н., [email protected] Камилова Тургуной Хамидуллаевна, магистрант,

катИоуаШг^ипоу6@^таИ. сот Мамыталиева Нархан Мамыталиевна, магистрант Кыргызского - Узбекского Международного университета

имени Б.Сыдыкова, Ош, Кыргызстан

Аннотация. В данной работе рассматривается неоднородная первая краевая задача, т.е. задача Дирихле в кольце для линейного неоднородного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными содержащий малый параметр перед лапласианом. Потенциал уравнения является гладкой функцией в кольце. Нас интересует влияние малого параметра на решение задачи Дирихле в кольце, при стремлении малого параметра к нулю справа. Для построения приближенно-асимптотического решения применяем метод Вишика-Люстерника, так называемый метод погранслоя. Следует отметить, что первоначальные идеи обоснования техники асимптотического интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных принадлежит Гольденвайзеру. Гольденвайзер представил свою идею при анализе уравнения теории оболочек. Если погранслой в теории упругости называют краевым эффектом, то в физике высоких энергий называют скейлингом, а в теории управления это жесткие системы. В результате нами построено равномерное асимптотическое разложение решения первой краевой задачи в кольце по малому параметру до второго порядка точности. Указана скорость сходимости остаточного члена к нулю при малых значениях малого параметра.

Ключевые слова: сингулярное возмущение, первая краевая задача, уравнение эллиптического типа, метод Вишика-Люстерника, лапласиан, потенциал.

АЛКАК YЧYН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН БИРИНЧИ ЧЕКТИК МАСЕЛЕНИН ЖАКЫНДАШТЫРЫЛГАН-АСИМПТОТИКАЛЫК

ЧЫГАРЫЛЫШЫ

Халматов Анвар Авазович, ф.-м.и.к., [email protected] Камилова Тургуной Хамидуллаевна, магистрант,

kamilovaturgunoy6@gmail. com Мамыталиева Нархан Мамыталиевна, магистрант Б.Сыдыков атындагы Кыргыз-Озбек эл аралык университети,

Ош, Кыргызстан.

Аннотация. Бул макалада биз бир тектYY эмес биринчи чектик маселени карайбыз, б.а. алкакта сызыктуу, бир тектYY эмес экинчи тартиптеги эки взгврYлмвлYY лапласианынын астында кичи параметрди кармаган эллиптикалык типтеги тецдеме YЧYн Дирихленин маселеси. Тецдеменин потенциалы алкакта жылма функция. Бизди кичинекей параметрдин алкакта Дирихле маселесинин чыгарылышына тийгизген таасири кызыктырат, анткени кичинекей параметр оц тараптан нвлгв умтулат. Болжолдуу асимптотикалык чыгарылышты тургузуу YчYн Вишик-Люстерник ыкмасын колдонобуз. Натыйжада биз кичинекей параметрге карата экинчи тартиптеги тактыкта алкактагы биринчи чектик маселенин чыгарылышынын биркалыптагы асимптотикалык ажыралмасын тургуздук. Кичинекей параметрдин кичине маанилери YчYн калдык мYЧвнYн нвлгв умтулуу ылдамдыгы кврсвтYлгвн.

Ачкыч свздвр: сингулярдык козголуу, биринчи чектик маселе, эллиптикалык типтеги тецдеме, Вишик-Люстерник методу, Лапласиан, потенциал.

APPROXIMATE-ASYMPTOTIC SOLUTION OF A SINGULARLY PERTURBATED FIRST BOUNDARY VALUE

PROBLEM FOR A RING

Khalmatov Anvar Avazovich Candidate of physical and mathematical sciences

[email protected]

Kamilova Turgunoy Khamidullaevna., masters student,

kamilovaturgunoy6@gmail. com Mamytaliyeva Narkhan Mamytaliyeva, masters student, Kyrgyz-Uzbek International University named after B.Sydykova,

Osh, Kyrgyzstan.

Abstract. In this paper, we consider an inhomogeneous first boundary value problem, i.e. the Dirichlet problem in rings for a linear inhomogeneous second-order elliptic equation with two independent variables containing a small parameter in front of the Laplacian. The potential of the equation is a smooth function in the annulus. We are interested in the

influence of a small parameter on the solution of the Dirichlet problem in a ring, as the small parameter tends to zero from the right. To construct an approximately asymptotic solution, we use the Vishik-Lyusternik method. As a result, we have constructed a uniform asymptotic expansion of the solution of the first boundary value problem in a ring in a small parameter up to the second order of accuracy in a small parameter. The rate of convergence of the remainder term to zero for small values of the small parameter is indicated.

Key words: singular perturbation, first boundary value problem, elliptic type equation, Vishik-Lyusternik method, Laplacian, potential.

Введение. Как известно, математические модели стационарных процессов характеризуются отдельными дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Например, уравнения Лапласа и Пуассона характеризуют различные стационарные физические поля, стационарный аналог известного уравнения Шредингера в квантовой механике и уравнения Гельмгольца также выражаются уравнениями эллиптического типа, уравнение эллиптического типа, являющееся стационарным аналогом системы уравнений Навье-Стокса, характеризует любое течение. Ряд ученых проводили исследования дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярным возмущением [1]-[6]. Класс сингулярно возмущенных задач с точным решением очень узок, почти отсутствует. Поэтому построение асимптотики решения подобных задач на сегодняшний день является актуальным.

Постановка задачи. Исследуем задачу Дирихле

д2 u( x, y) д2 u (x, y)

- p(x, y)u(x, y) = f (x, y), (x, y) e D, (1)

dxz dyz

u(x,y) = y(x,y), (x,y) e D = {(x,y)| x2 + y2 = a2,0 < a = const}, (2) u(x,y) = y2(x,y), (x,y) e D2 = {(x,y)| x2 + y2 = b2,0 < a < b = const <ro}, (3)

где 0<8 - малый параметр (0<e<<1), 0<po< p(x,y), fx,y) - известные, достаточно гладкие функций в замкнутой области D ,

D = {(x,y) |0 < a2 < x2 + y2 < b2 < да, 0 < a,b = const} - кольцо.

Требуется построить равномерное асимптотическое приближение решения задачи (1)-(3), когда 8^0.

Б

Уравнение (1) является сингулярно возмущенной [5]. Попробуем построить равномерное приближение решения задачи (1)-(3) при стремлении малого параметра к нулю. Для решения поставленной задачи применяем метод Вишика-Люстерника [5].

Приближенное решение будем искать в виде:

и(X, у) = у(X, у) + У (т, ф) + У (л, ф) + я(х, у),

(4)

где

Ч X, у) = г0( X, у) + 8У1( X, у),

уа (т, ф)=у (т, ф)+цу (т, ф)+ц2 у (т, ф),

уЪ ^ ф) = Ч ^ ф) + ^ ф) + ц2 у ^ фХ

V-2 Г у

X + у , ф = аг—,

К(х,у) - остаточный член. Подставляя (4) в (1) имеем:

д2 у( X, у) д2 у( X, у)

дx2

ду2

- р( X, у)у( X, у) +

+8

+8

+8

2,, .а

1 д 2У

+

1

дУ 1 +

д 2

ц дт ц(а + цт) дт (а + цт) дф

1 д У

1

дУ

+

1

л2 Ъ \

д у

чц дл ц(Ъ -цл) дл (Ъ -цл) дф у

+

+

д2 Я( X, у) + д2 Я( X, у )

ч дx ду ^

Отсюда составим следующие уравнения

р( X у) Я( X у) = /(x, уX

- р( x, уК( x, у) + 8

д ^0(x, у) , д v0(x, у)

дx2

ду2

р( X у>1 x, у)

/ (X, у), (5)

д2 <

дт2

- Р0(ф)у0а + ц

Гд2 Уа , л а 1 д< "Г!L - Р0(фК + 0

дт

а + цт дт

+

( л2

+ц

д2 у

дт2

■Р0(фК +

1 дуа

+

1

д 2

2,. Ъ

д2 у дл2

+ц

Ро( фК + 111

а + цт дт (а + цт)2 дф2

1

0,

{ Ъ

о ж _ ¿

—Г~Ро( ФН дг|

¿> — ]ыг| <Эг|

+

2

д2 у

дл2

1 дуЪ

+ ■

1

д 2

Ъ - цл дл (Ъ - цл) дф

54

= 0,

(6)

8

52 R( x, y) + 82 R( x, y)

8x2 sy2 , p(x,y)R(x,y) = Sx2 ■ 8y2

8 4(x y) + 8 4(x y)

v ^ у

ц3 8< ц3 82< ц4 82W

3 a2,, .2 4 ^2,, ,2

2 + (8)

2 + цх 8ф (2 + цт)2 8ф2 (2 + цх)2 8ф2

3 л. 2 3 л2 b 4 л2 b

ц ow2 ц 8 Wj ц Sw2

Ь - цл Эф (Ь - цп)2 Эф2 (Ь - цл)2 Эф2

Равенство (5) расщепляется на два уравнения:

-р( X У>о(х У) = /(х У\

Э2 у0( х, у) Э2 у0( х, у) -+-^^ - р(х, у)у, (х, у) = 0,

Эх2 Эу 1

Из первого соотношения имеем:

г / \

-р(x, уК(x, у) = /(x, у) ^ ^о(x, у) = —;

р( x, у)

а из второго:

vi( x, y)

Р( x y)

82v0(x, y) ! 82v0(x, y) V 8x2 8y2 у

По условию задачи функции fx,y) и p(xy) достаточно гладкие и функция p(x,y) положительна во всей замкнутой области D . Поэтому v0(xy) и vi(xy) тоже будут достаточно гладкими функциями. Перейдем к равенству (6). Имеем:

-л2 2

—о - Ро(фК = 0; (9)

8х

8 2 < , X 2 1 8Ч

"Т"2Г - Ро(фК =---rf-; (10)

8х 2 + цх 8х

82 р (fl)w - 1 ^Г 1 8Ч. (11)

—JT - ро (ф) W2 ---------^^Т; (11)

8х 2 + цх 8х (2 + цх) 8ф

Подставляя соотношение (4) в граничные условия (2) и (3) имеем: w\0,Ф) = - v(a,Ф), Нтм/^ф) = 0, ф е [0,2я]; (12)

X—»со

wb(0,Ф) = \|/2(ф)- v(b,Ф), 1шпЛл,ф) = °> ф е (13)

X—»со

S

1

R(xy)\sv= 0; R(x,y)\x2v^ = 0; (14)

где v(x,y) = v(р,ф).

Из соотношения (12) имеем:

^0а(0,ф) = \|/1(ф)-у0(а,ф), lim Wq (т, ф) = 0, ф е [0,2п]; (15)

X—»со

w.(0,Ф) = 0, limw.(х,Ф) = 0, ф е [0,2л]; (16)

wa2 (0, ф) = -Vj (а, ф), lim w2a (т, ф) = 0, ф е [0,27г]. (17)

X—»со

Решения задач (9), (15); (10), (16) и (11), (17) существуют, единственны и экспоненциально малы вне пограничного слоя [5]:

< (х, Ф) = (у! (ф) - у {а, Ф))е"^х, < (х, ф) = ), х оо, / = 1,2.

Аналогично исследуется погранслой в окрестности окружности x2+y2=b2, т.е. уравнение (7) с краевым условием (13). В результате получим:

ЧОЪФ) = 02(ф) - Щ^е^

л

^ (Л,ф) = л ' = 1,2-

Применяя свойство гладкости функций г^ху), у" (т, ф), У (л, ф) , /=1,2 в соответствующих областях, уравнение (8) можно записать в виде:

- р(X,у)Я(X,у) = 0(82), 8 > 0, (X,у) е Б, (18)

д2R(x, y) ^ д2R(x, y)

öx öy

2

у

Для оценки решения задачи (18), (14) применяя метод дифференциальных неравенств [5], получаем:

Я(X,у) = 0(82), 8 —> 0, (X,у) е Б.

Доказана

Теорема. Для решения первой краевой задачи (1)-(3) в замкнутной области Б при стремлении малого параметра 8 к нулю справедливо следующее асимптотическое приближение:

u( x,y) = -M +

1

' 52 ( f (x, y)

p(x, y) p(x y)

5x2

p(x, y)

52

5y2

f (x y) P (x y)

.-даю хт ^ (т? ф)+^ (т? ф)

+0(82), £ —> 0.

це

-л/роСФ)1

|Т1М)1(Т1,Ф) + Ц е

2 -^iL-i

Г|#2(Г|,ф)

Литература

1. Бутузов, В. Ф. Асимптотика и устойчивость решения сингулярно возму-щенной эллиптической задачи с трехкратным корнем вырожденного урав-нения // Изв. РАН. Сер. матем. -2017. - Т. 81. - Вып. 3. - C. 21-44.

2. Зайцев, А. Б. О принципе максимума для решений эллиптических уравнений второго порядка // Изв. вузов. Матем. -2020. - № 8. - С. 11-17.

3. Tursunov D. A., Orozov М.О., Khalmatov А.А. Asymptotics of the Solution to the Boundary-Value Problems with Non Smooth Coefficient // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - Vol. 41. - No. 6. -P. 1115-1122.

4. Khalmatov, A. A. Analysis of finding a solution to modular equations when the equation contains two or more modules / A. A. Khalmatov, G. A. Dadazhanova, K. A. Abbazova, N. Sayfiddin K // Science. Education. Engineering. - 2022. - No. 3(75). - P. 49-57. -DOI 10.54834/16945220_2022_3_49. - EDN JQQTXH.

5. Khalmatov, A. A. Spice of solutions to singularly perturbed equations / A. A. Khalmatov, K. A. Abbazova, G. Kanybek K, A. Baltabaev // Science. Education. Engineering. -2022. - No. 3(75). - P. 57-63. - DOI 10.54834/16945220_2022_3_57. - EDN QCRAZR.

6. Halmatov, A. A. Construction of the asymptotics of the solution of a singularly perturbed nonlinear equation with a singular point / A. A. Halmatov, A. A. Baltabaeva, K. G Kanybek // Science. Education. Engineering. - 2021. - No. 3(72). - P. 34-40. - DOI 10.54834/16945220_2021_3_34. - EDN LWIYNU.

7. Halmatov, A. A. Construction of the asymptotic of the solution of a singularly perturbed partial differential equation with a special Lin / A. A. Halmatov, N. Nishanbaeva, K. A Absatar // Science. Education. Engineering. - 2021. - No. 3(72). - P. 29-33. - DOI 10.54834/16945220 2021 3 29. - EDN UHGWZY.