CC BY
5ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика, физика, техника. 2022, №1
УДК 517.957
ОПТИМАЛДУУ БАШКАРУУНУН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН МАСЕЛЕЛЕРИ
Токторбаев Айбек Мамадалиевич, ф.-м.и.к., доцент
Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан
Аннотация. Жумушта оптималдуу башкаруунун сингулярдуу козголууга ээ маселеси каралат. Ылдам жана жай взгврYYЧY взгврмвлврдYн оптималдуу башкаруудагы чектввлврYY кврсвтYлвт. Чек аралык катмардагы жана регулярдык аймакта пайда болуучу башкаруунун взгвчвлYктврY каралат. Жыйынтыгында функционал тYЗYлвт жана ал максимум принцибине таянуу менен изилденет. Чек аралык катмар курама ажыралмалар усулуна негизделип изилденет. Маселени изилдввщ тактоо максатында козголууга ээ болбогон маселени оптималдуу башкарууга изилдвв жараяны конкреттYY мисалды келтирYY менен каралат. Бул учурда Понтрягиндин максимум принцибин колдонуунун взгвчвлYгY эске алынды. Аны сингулярдык маселеге колдонууда кандай шарттарда орун алары да кврсвтYлдY.
Ачкыч свздвр: Сингулярдуу козголуу, оптималдуу башкаруу, чек аралык катмар, ички жана сырткы чечим, курама ажыралмалар усулу, максимум принциби.
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Токторбаев Айбек Мамадалиевич, к.ф.-м.н., доцент
Ошский государственный университет,
Ош, Кыргызстан
Аннотация. В работе рассматривается сингулярно возмущенная задача оптимального управления. Показаны оптимальные ограничения на управление, накладываемые на быстро и медленно меняющиеся переменные. Рассмотрены особенности оптимального управления в регулярной и граничной областях. В итоге составим функционал, и исследуем его на основе принципа максимума. Пограничный слой исследуется с помощью метода составного разложения. Для уточнения исследования на конкретном примере исследуется теория оптимального управления
для невозмущенной задачи. Учтено применение особенностей принципа максимума Понтрягина к исследованию сингулярной задачи оптимального управления.
Ключевые слова: Сингулярные возмущения, оптимальное управление, пограничный слой, внешние и внутренние решения, метод составных разложений, принцип максимума.
OF SINGULARLY PERTURBED PROBLEMS OF THE OPTIMALMANAGEMENT
Toktorbaev Aybek Mamadalievich candidate of physical and mathematical sciences, docent
Osh State University, Osh, Kyrgyzstan,
Abstract. The paper considers a singularly perturbed optimal control problem. Optimal control constraints imposed on rapidly and slowly varying variables are shown. The features of optimal control in regular and boundary domains are considered. As a result, we will compose a functional and study it based on the maximum principle. The boundary layer is studied using the composite decomposition method. To clarify the study on a specific example, the theory of optimal control for the unperturbed problem is investigated. The application of the features of the Pontryagin maximum principle to the study of a singular problem of optimal control is taken into account.
Keywords: Singular perturbations, optimal control, boundary layer, external and internal solutions, method of composite expansions, maximum principle.
Киришуу. Оптималдуу башкаруу маселелеринде козголуунун кездешуусу, математикалык моделде кичине параметрдин болуусу менен тыгыз байланышта. Мына ошол себешуу кээде оптималдуу башкаруу маселелеринде сингулярдуу козголууларды кездештирYYгe болот.
Сингулярдуу козголууга ээ болгон оптималдуу башкаруунун маселелери туунду алдында кичине параметр кармаган дифференциалдык тецдемелер менен мYнeздeлeт. Козголбогон тецдеменин тартиби козголгон тецдеменин тартибинен темен болуусу негизги eзгeчeлYк катары бааланат. Козголбогон маселе, козголгон маселеге коюлган бардык шарттарды канаатандыра албайт.
Жумушта оптималдуу башкаруунун маселеси фиксирленген [о, T]
аралыгында сызыктуу система Y4yH каралат. Изилдеенун максаты катары кичине параметрдин каалаган даражасындагы тактыкта маселенин чечиминин асимптотикалык ажыралмасын тургузуу болуп саналат.
Маселенин коюлушу. БелYкче-YЗГYлтYксYЗ башкаруулар классында ыкчам жана жай езгерYлмелYY оптималдуу башкаруунун маселеси
x'(t,s) = anx(t,s) + any(t,s) + bxu(t),
sy' (t, s) = a2Xx(t, s) + a21y(t, s) + b2u(t), (1)
t e[0, T], ||u(t)|| < 1, x(0, s) = x0, y(0,s) = y0, a(x(T, s)) ^ min a(x(T, s)) =: w(T, x0, y0, s) .
||u(t )|| <1
Мында 0 <s - кичине параметр; жай езгерYлме x e R2, ал эми ыкчам езгерYлме y e R2, u( ) e R2, , b , i, j = 1,2 дал келYYЧY ченемдеги
турактуу чыныгы сан. Чыныгы белYк
Re a22 <-Л, Л> 0 (2)
ал эми а(x(t,£)) - чексиз дифференцирленYYЧY кYчтYY туюк кофиниттик функция. Тактап айтканда Vx e R2, lim ä^1t(äx) = +». Ушул эле шарттарда
а" (x(t,s)) функциясы R2 чексиз дифференцирленYYЧY, кYчтYY туюк
кофиниттик функция.
БелгилеелердY кийирели
as =
f a11 а > a12 f b1 1
1 - «21 1 ~a22 , bs = 1 b2
\s s у ^s У
Формалдуу s = 0 деп алуу менен козголбогон маселеге ээ болобуз: x0(t,s) = a0x0(t,s) + bu, t e[0,T], ||u(t)|| < 1, x(0,s) = x0,
a0 = ai1 — ai2a22a21 , b0 = b1 — ai2a22b2 , (3)
a(x0 (t, s)) ^ inf a(x(t, s)) = «0 (t, x0 ) .
IU| <1
Убакыттын t моментиндеги жетишYY кeптYГY Es= Es (T, x0, у0)
6олсун. Ал эми 6ул кeптYктYн таяныч функциясы p(», E) . Aндa [2] негизинде
«s (t, xо, уо ) = - inf(a* г ) + p-s ; npEs )).
s ER
Мында npE -(1) системанын жетишYY KemyTY E проекциясы. Козголбогон маселе YЧYн аналогиялуу тYPдe
«о(t, x 0 ) = - inf2(a* (го) + р(-го ;
Бул жерде E0 = E0 (T, x0) - (3) системанын убакыттын T
моментиндеги жетишYY кeптYГY. E0, npEs кeптYктeрYн жана алардын таяныч функциялары [2]
Р(-Ге , nPEs ) = SUP (Х s ~Ге) = Р
x sEnPE s ^
Андан сырткары Коши барабардыгынын негизинде
f Г г;л л
- s ; Es
V 1 о У У
Ee (T, x0, у0) = \ea*t
íx <Л T
о 1+ "e V У У о
Jeas(T-t)Bsu(t)dt : ||u(t)|| < 1
мына ошондуктан таяныч функциясы
( („x\ \
p
; Es
= - e
V V У У
fx ^ [
\У у
í„x\\ T
( +
J
V У
т>* ал Bse s
V о У
dt
Козголбогон маселенин таяныч функциясы
T
Р(-Го, Eо) = -( eaTx0, г + JIB
dt.
Козголгон (1) системага максимум принцибин колдонсок, анда тYЙYндeш системага ээ болобуз.
(4)
¥ s=-a s ¥ s.
G
S
о
о
Г х\
V
V уу
Мында V = , VX е к 2, VУ е к2. Чек аралык шарттар
V X (т)
IV У (т)
V М хорг (т, е ) уа(уорг (т, е))
ал эми оптималдуу башкаруу и 0р (г)
V (г ),ь£ и 0р (г)) = тах V (г),ъе &). (6)
Мында , Vум(*) - м(») - функциясынын тиешелуу
езгерулмелер боюнча алынган градиенти. ТYЙYндeш система YЧYн
V X (г )л
IV У (г))
болсо, оптималдуу башкаруу
= _е* ; (т)
Г х\
V 0 У
Г х\
, ъ; е
* еа; (т-г)
е
V 0 У
ф 0.
и 0рг (г) =
ъе*(т-г г { х\ 1 г 10 У
Ъ;еа; (т-г) Г ^ ^ 10 У
БелгилeeлeрдY кийирYY менен
и г (г) =
ор^_ и ; (Т - г)Ге
и; (т - г)г£
мында ие (г) = I -1 (г)Ъ1 + -I-2 (г)Ъ2, еае =
е
( 11,
I ) I г)
VI ?(г) 122(г)У
Дал келYYЧY оптималдуу траектория YЧYн
С хорг (г, е ург (г, е )
= е
У
+ | е ае(- ■) ъур (8)Л8.
Матрицалык экспонентанын асимптотикасын чек аралык катмарда изилдейли. Анда г е[о, т] аралыгында
х* (г) «xек^(г) + п1 (т)), г е[о,т], т = г.
к=0 е
Алынган (7) барабардыкта ар бир кошулуучу [2] аныкталат.
Г
Г
£
£
X
Г = Г .
£ £
Баштапкы жакындашуулар
z101(t) = еа0-, 2^(0 = 0,П02п(т) = О, П01и(0 = 0 .
42(-) = -а^,а21еа°0, zo22(-) = 0 .
П0z21 (т) = ^^^ П0z22 (т) = еа
Туруктуулуктун (2) шартын эске алуу менен (8) барабардыктан
ЗС > О
< С ехр(- ат) , т = - , экендигин эске алсак, анда г Т]
аралыгында ички чечим, ал эми калган - е[0^) аралыгы YчYн жалпы
от
учурда (-) (21 (ат) + П(т)) ажыралмасына ээ болобуз. Мында
к=0
Ч = 1,2.
Жалпысынан алганда экспоненталык матрица [1] маселенин чечими изилденYYЧY аймакты аныктайт. Чек аралык функциялар усулунун негизинде каралуучу аралыкта бир калыптагы чечим алынат.
Калган интеграл астындагы функциялардын асимптотикасын [2] аналогия тYPYндe аныктап алууга болот.
Мисал катары рангы экиге барабар болуучу турактуу матрицаларды
алалы. Анда
1 0 л 0 -1.
( 0 0 > Г1 0 > Г 0 О Г 0 0 ^
, а12 = , Ь = , а 21 =
V0 0У V0 0у V0 1У v0 0У
V
Ь =
0Л
V
V0 1У
деп алуу менен изилдеп кeрYYгe болот.
Корутунду. Жумушта эц женекей оптималдуу башкаруунун сингулярдуу козголгон маселелери каралды. Анда (4)-(6) барабардыктары менен аныкталуучу максимум принцибине таянуу менен аныкталары келип чыгат. Чек аралык катмар чек аралык катмар функциясын [1] пайдалануу менен изилденди. Сингулярдуу козголгон мындай маселелери [2] менен чечилген. Белгилей кетчY нерсе оптималдуу башкаруунун бисингуляр маселеси толук кандуу изилдене элек. Мына ошол себешуу ал маселени изилдeeнYн алгачкы кадамы катары бул жумушту атоого болот.
22
а т
22
е
Адабияттар
1. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравненийс малыми параметрами при старших производных [Текст] / А.Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. - М. 1963.
2. Парышева, Ю. В. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления [Текст] / Дисс. ...канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Екатеринбург. 2012. - С. 9-92.
