СЫЗЫКТУУ ЭМЕС СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛГОН МАСЕЛЕНИ ЧЕЧҮҮНҮН КЭЭ БИР ӨЗГӨЧӨЛҮКТӨРҮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика, физика, техника. 2022, №1

МАТЕМАТИКА

УДК 917.528

СЫЗЫКТУУ ЭМЕС СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛГОН МАСЕЛЕНИ

чечуунун кээ бир езгечеЛУКТеру

Акматов Абдилазиз Алиевич, улук окутуучу, аЬёПа212_акта1оу@та11. ги Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Аннотация. Жумушта чыныгы сан огунда сингулярдык козголууга ээ болгон маселенин чечими дал келYYЧY козголбогон маселенин чечимине умтулуусу кврсвтYлвт. Чечимди чыныгы окто баалоо мYмкYнчYЛYгY сызыктуу эмес маселенин эсебинен келип чыгат. Туруктуу аралыктарды аныктоочу функциянын табиятына жараша сингулярдык козголгон сызыктуу эмес дифференциалдык тецдеменин чечими изилденYYчY аралыктар взгврвт. Ал жерде туруктуулук шартынын узартылышын мYнвздввЧY аралык жана эки жактуу туруктуу аралыктар пайда болот. Ошону менен бирге баштапкы чекитти тандоо менен сызыктуу эмес сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдемелердин чечимин изилдввЧY туруктуу аралыктар жоюлуп кеткен учурда кездешет.

Ачкыч свздвр: сингулярдуу козголуу, кичине параметр, асимптотика, туруктуулук, чечим, баштапкы шарт, ажыралма.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ

Акматов Аблизазиз Алиевич старший преподаватель, аЬё11а212_акта1оу@та11. ги Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан

Аннотация. В работе показано, что решения сингулярно возмущенной задачи

стремится в действительной области к решениям соответствующей невозмущенной

задачи. Оценка в действительной области производится из-за нелинейности

4

рассматриваемой задачи. В зависимости от природы функции, определяющей условия устойчивости, изменяются рассматриваемые области сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Здесь появятся области, выражающие затягивание потери устойчивости и двухсторонне устойчивости. А также в зависимости от выбора начальной точки исключается устойчивая область. В результате мы не получаем устойчивые области.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, малый параметр, асимптотика, устойчивость, решения, начальные условия, разложения.

SOME FEATURES OF THE SOLUTION OF A NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED PROBLEM

Akmatov Abdilaziz Alievich, senior lecturer, [email protected] Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

Abstract. The paper shows that the solution of the singularly perturbed problem tends in the real region to the solutions of the corresponding unperturbedproblem.Estimation in the real region is performed due to the nonlinerity of the considered problem. Depending on the natura of the function that determines the stability conditions, the considered areas of singularly perturbed differential equations cnange. Here will the areas expressing the tightening of the buckling and the twosided stability. And also depending on the choice of the starting point, a stable region is excluded. As a result, we do not get a stable area.

Keywords: singular perturbations, small parameter, asymptotic, stability, solutions, initial, conditions, expansions

Киришуу. Жумушта a(t) функциясынын табиятына жараша келип

чыгуучу туруктуулуктун узартылышы, эки жактуу туруктуу аралыктардын пайда болуусун eзгeчeлYк [1] катары кабыл алабыз. Чечим чыныгы сандар талаасында изилденет.

Маселенин коюлушу. Теменку

sx\t,s) = a(t)x(t,s) + sx2 (t, s), (1)

x(t0 ,s) = x0, X 0| = O(s), (2)

мында 0<s< 1 - кичине параметр, x(t,s) - изделуучу белгисиз функция. Козголбогон

a(t )Ç(t ) = О,

тецдеменин чечими тeмeнкY кeрYHYштe болот:

&) = О.

(З)

(4)

(1)-(2) мaселени экививaленттYY интегрaлдык тецдеме менен aлмaштырaбыз :

x(t, s) = X0 exp

1 -

- i - (Л J a(s)ds +J exp — J a(s)ds x2 (t,s )dT .

J

+

s i ' is

V -О J -О v т

(5)

(5) тецдемени yдaaлaш жaкындaшyy усулу менен чечебиз. Удaaлaш жaкындaшyyнy тeмeнкYчe aныктaйбыз:

x0 (t, s) s О,

xm (t,s) = x0 exp

1 - i - f \ - i — J a(s)ds +J exp — J a(s)ds Ix^(т, s)dT.

s

V -О

s

(6)

J -О V т J

мындa m e N.

0згeчeлYктY кeрсeтYY YчYн конкреттYY a(t) = t3 -1 + l(2t2 -i)

функциясын aлaлы. Андa бул функциянын чыныгы бeлYГYHYн туруктуу, туруксуз жaнa туруктуулук шaрттaрынын бузулуу чекиттерин aныктоо мaксaтындa aнын чыныгы бeлYГYн тецдеме кaтaры чечип aлaлы:

Re a(t) = О же t3 -1 = О болуп, чечимдери ^ =-1 , t2 = О жaнa t3 = 1 .

Туруктуу aрaлыктaры t е(-да;-1)и(О—) , туруксуз aрaлыктaры

t е(-1;О)и(1,+да) , тyрyктyyлyктaн туруксуздукта eтYY чекити ^ =-1 ,

туруксуздукган тyрyктyyлyккa eтYY чекити t2 = О болуп сaнaлaт.

(1)-(2) мaселенин чечими изилденYYЧY aрaлыктaрды aныктоо мaксaтындa a (t) функциясынын интегрaлдaйбыз:

t

F (t, t0 ) = J a(s)ds

t4 t2 '

=----h i

42

з

2з

-tJ -1 IV 3

f *4 Л\

- О - О

42

V 4 2 J

-l

„ - О - О 1 .

О

t4 i2 tf , 102

Чыныгы бeлYГY бeлYп алсак, анда Re F(t, t0) — —-------— + — Тевдеме катары чечип

tj - -t0, t2 - 2 -12 , t3 =yj2 -11 , t4 —10 алабыз.

1). t0 —-л/2 болсун. Анда t e[-V2;0 жана t e[o^V2] аралыктары туруктуу, t e(-ro;-V2]u[/2;+ro) аралыктары туруксуз аралык болушат. ИзилдeeнY t е -л/2;0

аралыгында жYргYзeлY:

Л4 И , 0,2 f

Xj (t,s) — х0 exp

t4 - 2t2 -104 + 2t0

4s

+i

\\

t t t Q I t Q

х2 (t, s) — х (t, s) + | exp

< (л f

VsV

t4 -2t2-r4 + 2r .( 2

2

4s

- + /I -1 -1 — r +r

х2(r, s)dr,

'J J

r ( W \ ( 2 2 ^

,(t,s) — X(t,s) + |exp — (t4 -2t2-r4 + 2r2)+ /( ^ ' -3 ' - 1 ~2

к V

t -2t -r + 2r )+ /I -1 -1--r + r

4s x ' V 3 3 ,

Xm-i(r, s)dr.

мында m е N.

Баалоону жYргYзeлY

|xj (t, s)| < x 0 exp

|х2 (t, s)| < x0 exp

(t4 - 2t2 ^

V 4s J

(t4 - 2t2 ^

V 4s J

— O(s).

t

,1 0|2 f + x i exp

t0 V

ft4 -2t2 +r4 -2r2^

4s

dr — O(s).

Демек, каалагандай жакындашуу YЧYн

|xm (t, s)| < Cs + (Csf +... + (Cs)m — Cs( + Cs +... + (Cs)m-1) — Csam (s), мында am (s) туюнтмасы чексиз кемYYЧY геометриялык прогрессия болгондуктан t е - V2; J(s)], (S(s) ^ 0, s ^0) аралыгында (1)-(2) маселенин чечими YЧYн

|x(t,s)| < Cs, (7)

C - const баалоосу орун алат.

2). t0 — ±1 болсун. Анда (1)-(2) маселенин чечими изилденYYЧY туруктуу аралык пайда болбойт. Тактап айтканда бардык сан огу туруксуз аралыкка айланат.

(t2 -1)2

Себеби Re F(t, t0 ) —- функциясы сан огунда терс маани кабыл албайт.

4s

V

3

3

3). t0 = 0 болсун. Бул учурда баштапкы чекит туруксуз аралыктан туруктуу аралыкка еткен чекитте берилип жатат. Жыйынтыгында баштапкы чекиттин жайгашуу абалына карата эки жактан туруктуу болгон аралыктар келип чыгат. Ал аралыктардын ар биринде a (t) функциясы езYHYн маанисин ондон терске езгертYп туруктуулуктун алмашуу шарты орун алат. Мында оц багытта жаткан аралыкта чечимди изилдейли. Анда кайрадан эле (5) тецдемени чечYYHY (6) барабардыкты колдонуп аткарабыз. Эсептееде (7) баалоо аналогиялуу тYрде орун алат.

Эгерде t0 = 0 чекитинен солго карай аныкталган аралык боюнча жYрсек да (7) баалоо орун алат. Демек, жалпысынан эки жактуу туруктуу болгон аралыкты кошуп - V2 < t < V2 аралыгында (7) баалоо орун алат деп айтууга негиз бар.

4). Баштапкы чекит t0 е [-V2.V2 ] аралыгында t0 Ф ±V2, 10 Ф ±1 жана 10 Ф 0

чекиттеринен башка аралыктагы чекиттерде жатса, анда кадимдидей эле туруктуу аралыктар жашап ал аралыктар YЧYн (7) баалоо орун аларын керсетYYге болот.

5). Эгерде баштапкы чекит ^jl—tf туютмасы жорума боло турган, тактап

айтканда t0 е(—го,—V2)u(V2,+ro) аралыктарында жатса анда (1)-(2) маселенин

чечими каралуучу аралыкта a(t) функциясы бир канча жолу туруктуулук шартын алмаштырат. Бул учурда туруктуулуктун узартылышы орун алат. Баалоо (7) баалоого аналогия болуп, чыныгы сан огунда орун алат.

Корутунду. Каралуучу мисалдын изилдеесYне таянуу менен a (t) функциясына карата (1)-(2) маселенин чечими изилденYYЧY ар тYPДYY аралыктар келип чыгат деген жыйынттыкка келебиз. Ошону менен бирге чечим козголбогон (3) тецдеменин чечими (4) умтулары келип чыгат.

Адабияттар

1. Акматов, А. А. Асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных задач в случае неоднократной смены устойчивости / Вестник ОшГУ. - Ош. - 2008. -№5. - С. 79-82.

2. Alymkulov, K. A boundary function method for solving the model lighthill equation with a regular singular point [Text] / K. Alymkulov, A.A. Khalmatov // Mathematical Notes. -Moscow, 2012. - № 6. - Рр. 117-121.

3. Alymkulov, K. About new statement and about new method of Cauchy problem for singular perturbed differential equation of the type of Lighthill [Text] / K. Alymkulov, K.B. Matanova, A.A. Khalmatov // International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research (IJSIMR) - 2015. - Volume 3. - Рр. 54-64.