СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛГОН ӨЗГӨЧӨ ЧЕКИТИ БАР БИРИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН АСИМПТОТИКАСЫН ТУРГУЗУУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

сингулярдуу козголгон езгече чекити бар

БИРИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН АСИМПТОТИКАСЫН ТУРГУЗУУ

Дадажанова Гуласал Алимжановна, окутуучу, [email protected] Абсатар кызы Айдана, окутуучу, [email protected] Б.Сыдыкова атындагы Кыргыз-Узбек эл аралыкуниверситети,

Ош, Кыргызстан

Аннотация. Бул жумушта изилдввнYн предмети болуп сингулярдуу козголгон бир тектYY эмес алсыз сызыктуу дифференциалдык тецдемелер эсептелинет. ИзилдввнYн максаты сингулярдуу козголгон бир тектYY эмес алсыз сызыктуу дифференциалдык тецдеме чечимин асимптотикасын тургузуу болуп эсептелинет. Чечимдин асимптотикасын тургузууда классикалык асимптотикалык усул -козголуулар усулунан пайдаланылды. Анын жардамында сызыктуу жана сызыктуу эмес дифференциалдык тецдемелердин, жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелердин чечимин тургузуу салыштырмалуу оцой. Макалада

£У'Г (t, е) = —ty(t, е) + f(t), тецдемеси каралып, Е ДУН мааниси 0 < S < 1 болгон

учурда дифференциалдык тецдеме алсыз сызыктуу кадимки дифферециалдык тецдеме болот. Тецдемеде кичине параметрден аналитикалык тYPYндв квз каранды болгону YЧYн, анын чечими да кичине параметр боюнча аналитикалык функция болот. Башкача айтканда калдык мYЧвCY бар Тейлордун катарына ажырайт. Козголуу методунун классикалык теориясына Анри Пуанкаре чоц салым кошуп, алгычкы аныктаманы берген. Сингулярдуу козголгон тецдеменин чечимин асимптотикасын тургузуу колдонмо изилдввлврдв чоц мааниге ээ болуп, алар физика, техника, суюктуктар жана газдар механикасы квп изилденет.

Ачкыч свздвр: сингулярдуу козголгон, алсыз козголгон, езгече чекит, асимптотика.

ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

Дадажанова Гуласал Алимжановна, преподаватель, [email protected] Абсатар кызы Айдана, преподаватель, [email protected] Кыргызского-Узбекского Международного университета имени Б.Сыдыкова, Ош, Кыргызстан

Аннотация. Предметом исследования является сингулярно возмущенное однородное слабо линейное дифференциальное уравнение. Целью исследования является нахождение асимптотики решения сингулярно возмущенного однородного слабо линейного дифференциальное уравнения. Для построения асимптотики был использован классический асимптотический метод - метод возмущений. На основе данного метода сравнительно легко можно определить приближенные решения как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений, зачастую и уравнений в частных производных. В статье рассматривается уравнение вида

£у' (t, е) = — ty(t, е) + fi t) , где при 0 < S < 1 значения Е дифференциальное

уравнение переходит в слабо линейное обыкновенное уравнение. Если уравнение зависящее от малого параметра аналитически, то и решение будет представлено через аналитические функции. Иначе говоря, разлагается в ряд Тейлора с остаточным членом. В развитие классической теории возмущений большой вклад внес Анри Пуанкаре, давший начальное определение. Построение асимптотики сингулярно возмущенного уравнения имеет прикладной характер, в таких отраслях науки как: физика, техника, течение жидкости и газа.

Ключевые слова: сингулярно возмущенный, слабо возмущенный, точка поворота.

CONSTRUCTION OF THE ASYMPTOTICS OF A SINGULARLY PERTURBED FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATION WITH A

SINGULAR POINT

Dadazhanova Gulasal Alimjanovna, teacher, [email protected] Absatar kyzy Aidana, teacher, [email protected] Kyrgyz-Uzbek International University named after B. Sydykova,

Osh, Kyrgyzstan

Abstract. The subject of the article is a singularly perturbed homogeneous weakly linear differential equation. The purpose of the article is to find the asymptotics solving a singularly perturbed homogeneous weakly linear differential equation. To construct asymptotic, a classic asymptotic method was used - the perturbation method. Based on this method, the approximate solutions of both linear and nonlinear differential equations, and equations in private derivatives can be relatively easily. The article discusses the equation of

the form £V'(t, e) = —ty(t, e) + f(t), where 0 < S < 1 , with the value of s, the

differential equation goes into a weakly linear ordinary equation. If the equation depends on the small parameter analytically, the solution will be presented through analytical functions. In other words, decomposes into a series of Taylor with a residual member. In the development of the classical perturbation theory, Henri Poincare, who gave an initial definition was made to the development of the classical perturbation theory. The construction of asymptotics of a singularly perturbed equation is applied, in such branches of science as: physics, technique, fluid flow and gas.

Key words: singularly perturbed, weakly indignant, turning point.

1. Anran TeMeHKY MaceneHH Kapan6bi3

(1) (2)

MbiH^a f{t) e R+\ fit) = ZZ=0fktkJ0 * 0y - const.

t =0 6onroHgo acHMnTOTHKanMK TypyKTyynyK 6y3ynaT. Ko3ron6oroH

TeHgeMeHHH nenHMH

m =

(3) neHHM t = 0, neKHTHH^e HeKCH3re aiijiaHaT (1)-(2) neHHMHH TeMeHKY^en H3gen6H3:

(4) ty (1) re KOHCOK :

(3)

(4)

Gy^ 6apa6ap,qtiKTtiH bkh JKartiHa £k hk>HbI Konio6y3, hk a3bipbiHHa

ahbiktanrah эмeс 6np a3 e3reptkehgeh khhhh temehky tehgemenepgn ana6bi3

11

-Г !,= : ^ = -гУУ=: ^■r^D-f'D- УУ=: (5)

' с.J „fe

оо „ Í:

(5) тен биз тeмeнкYHY алабыз

(б)

Мындан

Белгисиз коэффициенттер hk, vk(t),k = 0,1,... функциялар жылма фyнкциялар болгондой кылып тандап алабыз

К = fo.hu = -*í_1(0X

Мындай тандасак

Мындай тандоодо бардык функциялар (t) = 0,1,... YЗГYлтYксYЗ, жылма фyнкциялар болyшат. Бул сyмма

(8)

I

к=0

Vjc (О

(1)-(2) асимптотиканын регyлярдyy бeлYГY 6олуп калат. (б) дан

же

п2к Сг) + 1К2к Сг) = 0, /г = 0,1,2

(2) эске алсак, анда:

Бул маселердин бир гана чечими бар :

п-

ь_1(т) = |11ке^(е^ (¿з, к = ОД,2,

(9) (10) (11)

(12)

(13)

(14)

Демек биз (1)-(2) нин формалдуу чечимин (4) тYPYндe тургуздук. (4) катардын асимптотикалык катар экендигин далилдеш YЧYн, калдык YЧYн

Ип(0,с) = 0. (16)

бул маселенин бир гана чечими болот

жана анын баалосу

Демек, биз тeмeнкYД0й теореманы далилдедик.

Теорема. (1) тецдеменин чечиминин асимптотикасы (4) катар тYPYндe алынат.

Бул теореманы тeмeнкY система

?/(I) = -Л^у (I) + / (I),

мында

A

ail ai2

a2l a22

V anl an 2

a

ln

a

2 n

a

det A ф 0

nn J

f (t) = (f (t), f2 (t)f (t))e С"(R+)

Y4yH дагын далилдесе болот.

Эзгече Лайтхилл тYPYндeгY биринчи жана экинчи тартиптеги тецдемелери YЧYн жалпыланган чекара усулу [1], ra^^YY усулу [2] жана униформизациялоо усулдарын колдонсо болот.

Корутунду

1. Озгвчв чекити бар сингулярдуу сызыктуу жана алсыз сызыктуу дифференциалдык тецдеменин асимптотикасы тургузулду.

2. Асимптотикалык катардын калдык мучвсу бааланды.

Адабияттар

1. Alymkulov, K. A boundary function method for solving the model lighthill equation with a regular singular point [Text] / K. Alymkulov, A.A. Khalmatov // Mathematical Notes. -Moscow, 2012. - № 6. - Pp. 117-121.

2. Alymkulov, K. About new statement and about new method of Cauchy problem for singular perturbed differential equation of the type of Lighthill [Text] / K. Alymkulov, K.B. Matanova, A.A. Khalmatov // International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research (IJSIMR) - 2015. - Volume 3. - Pp. 54-64.

3. Tursunov, D. A. Asymptotics of the Solution to the Boundary-Value Problems with Non Smooth Coefficient / D. A. Tursunov, M. O. Orozov, A. A. Halmatov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - Vol. 41, No. 6. - P. 1115-1122. - DOI 10.1134/S1995080220060177. - EDN AZKBTQ.

4. Halmatov, A. A. Construction of the asymptotics of the solution of a singularly perturbed nonlinear equation with a singular point / A. A. Halmatov, A. A. Baltabaeva, K. G Kanybek // Science. Education. Engineering. - 2021. - No. 3(72). - P. 34-40. - DOI 10.54834/16945220_2021_3_34. - EDN LWIYNU.

5. Halmatov, A. A. Construction of the asymptotic of the solution of a singularly perturbed partial differential equation with a special Lin / A. A. Halmatov, N. Nishanbaeva, K. A

Absatar // Science. Education. Engineering. - 2021. - No. 3(72). - P. 29-33. - DOI 10.54834/16945220_2021_3_29. - EDN UHGWZY.

6. Khalmatov, A. A. Analysis of finding a solution to modular equations when the equation contains two or more modules / A. A. Khalmatov, G. A. Dadazhanova, K. A. Abbazova, N. Sayfiddin K // Science. Education. Engineering. - 2022. - No. 3(75). - P. 49-57. - DOI 10.54834/16945220_2022_3_49. - EDN JQQTXH.

7. Khalmatov, A. A. Spice of solutions to singularly perturbed equations / A. A. Khalmatov, K. A. Abbazova, G. Kanybek K, A. Baltabaev // Science. Education. Engineering. - 2022. - No. 3(75). - P. 57-63. - DOI 10.54834/16945220_2022_3_57. - EDN QCRAZR.

8. Бабаев, Д. Б. СанариптeштирYY шартында техникалык жождордогу жалпы физика курсунун орду / Д. Б. Бабаев, Ш. К. Хаитов, А. А. Халматов // Alatoo Academic Studies. - 2020. - No. 3. - P. 84-89. - DOI 10.17015/aas.2020.203.09. - EDN TEHYXP.