Устойчивость кольца с предварительным натягом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЬЦА С ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ НАТЯГОМ © 2008 г. Л.М. Зубов, А.В. Попов

The problem of stability of two-layer compound ring with initial strain under external pressure is investigated within plain theory of elasticity. A kind of solutions of neutral balance equations which leads to ODE system is examined. Numerical results regarding neo-Hook material model are obtained and compared with well-known results for a ring under external pressure.

В рамках плоской теории упругости рассматривается задача устойчивости двухслойного составного кольца, нагруженного внешним равномерно распределенным давлением. Кольцо испытывает напряжения, обусловленные посадкой с предварительным натягом. Для изотропного несжимаемого материала выведены уравнения нейтрального равновесия, линеаризованные граничные условия и условия сопряжения на границе раздела слоев. Невозмущенное состояние равновесия определяется из точного решения нелинейной задачи Ламе для составного кольца. Рассмотрен класс решений уравнений нейтрального равновесия, для которого задача устойчивости сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Критические значения внешнего давления находятся путем численного решения полученной системы в предположении, что материальные свойства составного цилиндра определяются неогуковской моделью. Численные результаты, соответствующие посадке без натяга, сравниваются с известными результатами для кольца, нагруженного внешним равномерно распределенным давлением.

Докритическое состояние

Кольцо с внутренним радиусом а1 и внешним Ь вставлено с натягом в другое кольцо внутреннего радиуса а2 <Ь\. На внешнюю границу действует равномерно распределенное давление q (рис. 1).

б

Рис. 1. Общий вид частей составного кольца: а - до вставки с натягом; б - после вставки с натягом и приложения внешнего давления

Пусть г - радиальная координата первого кольца, г2 - второго. Очевидно, а\ < ^ < Ъ^ я а2 < г2 < Ь2.

Предполагается, что обе части составного кольца сделаны из несжимаемого изотропного нелинейно-

упругого материала. Их деформация описывается следующим преобразованием координат: =Як , Ф = <р.

Здесь 1\,ср и ^ , Ф (к - 1.2) - полярные координаты недеформированной и деформированной конфигураций составного кольца.

Тензор градиента деформации, соответствующий указанному состоянию равновесия, имеет вид

Ск =R'k4kßrer

rk

=re e e(pe(p

(1)

Здесь ег, с,., - ортонормированный векторный базис полярных координат.

Для нахождения функции ^ (к = 1,2) ис-

пользуем условие несжимаемости:

ск* Ск=\. (2)

Из (1) и (2) получаем дифференциальное уравнение для нахождения радиусов : ^ 1.

гк

к = 1,2.

Интегрируя последнее уравнение, получим Я О ^Я2- а2 + Г!2 , Я2 О . (3)

= С] ~ .

Здесь ЯI и Яе - неизвестные постоянные. Уравнения равновесия упругой среды при отсутствии массовых сил запишем через тензор напряжений Пиолы:

У-Т>к =0, ¿ = 1,2. (4)

Здесь V- набла-оператор в метрике недеформи-рованной конфигурации.

Граничные условия выражают отсутствие нагрузки на внутренней границе:

ег • Б1 =0 при = а^ (5)

и действие нормального равномерно распределенного давления q на внешней границе:

ег • (>2 + ?С2Т У 0 при г2 = Ь2. (6)

В формуле (6) учтено свойство несжимаемости материала.

На границе раздела двух колец радиальные компоненты тензора напряжений Коши непрерывны по радиальной координате

е Г- В1 - , =е Г- С2

=ЪХ

Кроме того, из условия контакта колец следует

D

2] . (7)

г2 = «2

а

Считается, что поведение материала колец описывается неогуковской моделью, причем модуль сдвига у обоих колец одинаков. Тогда тензор напряжений Пиолы в составном кольце будет иметь вид

Ък=мСк+Рк€к^ ,к = 1,2. (9)

Здесь /I - модуль сдвига; Рк^к функции гидростатического давления в несжимаемом теле.

Подставив выражение (1) в (9), получим

D к=\м

rk

Rk<k

S+Pk r

-яЛ

Л

rk

М-

Rk<k[

J+Pk<k

-> rk

^(p^tp

к = 1,2.

(10)

гк "^Л.

Из условия равновесия (4) получаем дифференциальное уравнение для нахождения функции гидростатического давления

dPk4k.

ärv

r3

■-2-

k

1

rk

к = 1,2. (11)

Интегрирование уравнения (11) во внешнем кольце (к = 2) с учетом граничного условия (6) дает выражение

(12)

л / s ь? , ь2r2 r?

Re r2R2e

"> „2 J7Ke

Функция гидростатического давления во внутреннем кольце с учетом граничного условия (7) находит-

ся в виде

Р\ ^ Р2 JT Ml

(13)

>

<+

! - «I2 < <1 I

2*? о?«: '

Из условия контакта (8) выводим связь между внутренним и внешним Яе радиусами деформированной конфигурации

а( - Ь2 . (14)

После подстановки (13) и (14) в граничное условие (5) получаем связь между внешним давлением q и

внешним радиусом Яе деформированного кольца

qRt

>

ai

Ri Re

-A? a?>Al Ol,RiRe

(15)

Благодаря формуле (15), величину Яе можно считать параметром деформации рассматриваемого составного кольца, что удобно при решении задачи устойчивости.

Определим напряжения, возникающие при посадке с натягом. Тензоры напряжений Коши и Пиолы в несжимаемом теле связаны соотношением

Tk=cJ-Dt, к = 1,2.

-к '"к

(16)

Из (1), (10) и (16) следует, что касательные напряжения тг<р тождественно равны нулю, а остальные

компоненты тензора Т в базисе ег, с(, зависят толь-

^ > гк (г- > ко от радиальнои координаты сгг к ^

R?

+РЛк; а<р,к^кУм

R?

Гк^к

-Pk^kJ, к = 1,2 .

Здесь г^ ^ - функции, обратные к функциям (3), а функции рк получаются из рк ^ подстановкой гк = гк <еА.

Нейтральное равновесие

Пусть равновесное напряженно-деформированное состояние составного кольца, определяемое радиус-вектором гк (к = 1.2) частицы, считается до критическим. Предположим, что наряду с ним существует бесконечно близкое равновесное состояние, которое определяется радиус-вектором г^ + // \у ¡.. где \\ ¡, -вектор добавочного перемещения; 77 - малый параметр. Возмущенное состояние равновесия несжимаемого тела описывается уравнениями [1,2]:

V-D* =0

Dk

tr C

•Vw* 0 :

(17)

—D<k

ärj

-VWk.

к = 1,2.

1=0

Линеаризованные граничные условия имеют вид ег ■ Б* = 0 при г\ = щ; (18)

ег!^+9(:2Т^ = 0 при г2=Ь2; (19)

D

dcri —Е,

(

D

der 2

öEO

(20)

r2 =а2

П =ь\

(21)

Здесь ёстк, (Шк {к = 1,2) - элементарные материальные отрезки в недеформированной и деформированной конфигурации соответственно.

Для неогуковского материала возмущенный тензор напряжений имеет вид В* = +

>

+ Рк\к' ^+РкСкТ. к = 12.

Запишем компонентное представление вектора перемещений и тензора Б* в базисе ег, сг/) :

^к = икег +уке<р, О* =0'к^,&гег+01г(реге(р+... ; к = 1,2.

Получаем две системы трех уравнений (17). В первую систему входят три неизвестные функции м^, V ,

Р\ , ВО вторую - м2 , V2 , Р2 • В силу периодичности

1

k

этих функций по угловой переменной ср обе системы допускают решения следующего вида:

ик =ик{Гк)^п<Р >

^ =Ук(гк)зш.п<р,

Рк=рк(Гк)С0*п<Р', (22)

п = 0,1,2,3,..., к = 1,2 .

С использованием подстановки (22) возникает краевая задача для двух систем трех обыкновенных уравнений с неизвестными и% , У%, Р% и граничными условиями (18)—(21).

Численные результаты

Исключая неизвестные функции р и , получаем две системы четырех уравнений первого порядка, матричная запись которых выглядит следующим образом:

(23)

х*= ЪкУк,П,П ; к = 1,2.

Здесь Х^ - векторы-столбцы неизвестных функций; ^ - матрицы коэффициентов систем.

Следуя методу [3], применим конечно-разностную аппроксимацию и используем граничные условия (20), (21). Тогда обе системы (23) можно свести к системе линейных алгебраических уравнений

8-У = 0, (24)

где Б - матрица коэффициентов, зависящая от Ке и геометрических параметров составного кольца; У -вектор-столбец неизвестных, в качестве которых выбраны ^(а^, ¥1(01), и2(Ь2), У2(Ь2). Остальные значения У{(а{), У{(а{), У2ф2), У2ф2) выражаются через компоненты вектора У с использованием граничных условий (18), (19).

Система (24) является однородной относительно искомых неизвестных. Условием существования ее нетривиального решения является обращение в нуль определителя матрицы коэффициентов:

ск*8 = 0. (25)

Условие (25) - характеристическое уравнение для определения критических значений внешнего равномерно распределенного давления д. Фактически при численном решении уравнения (25) находились значения параметра Ке, по которому при помощи (15)

определялось критическое давление.

В ходе численных экспериментов для конкретных значений , Ь , 02 были получены бифуркационные кривые, показывающие зависимость критических значений внешнего давления от величины натяга для различных толщин внутреннего и внешнего колец. Значение радиуса ¿2 принято равным единице. На приведенных графиках (рис. 2-4) по оси абсцисс отложена величина натяга ё, равная разности радиусов ¿1 и а2, по оси ординат - безразмерное критическое * * / * * / давление Q = д /// (или Q для штриховых

кривых). Под областью устойчивости понимается часть

плоскости параметров (¿. <2* , лежащая ниже всех бифуркационных кривых. На рис. 3, 4 сплошные кривые соответствуют составному кольцу, штриховые - некоторому однородному кольцу (назовем его вспомогательным), у которого внутренний и внешний радиусы в недеформированном состоянии равны, внутреннему Лг и внешнему радиусам составного кольца в состоянии равновесия, соответствующем нулевому внешнему давлению.

Рис. 2. Бифуркационные кривые для разных значений параметра га при ах = 0,9 ; а2 = 0,9 ; Ь2 = 1,0 ; ¿ =

Вспомогательное кольцо вводится в рассмотрение из следующих соображений. Пусть, например, радиусы а1, а2 и ¿2 заданы. При увеличении параметра натяга ё возрастает относительная толщина стенки составного кольца. Это обстоятельство не дает возможности получить наглядную картину влияния начальных внутренних напряжений на явление неустойчивости, если в распоряжении есть бифуркационная кривая только для составного кольца. Однако такая возможность появляется, когда к ней добавляется бифуркационная кривая для кольца, имеющего такие же геометрические размеры, что и составное в состоянии равновесия при отсутствии внешних нагрузок, но, очевидно, не содержащего начальных напряжений. Из вышесказанного следует, что для пунктирных кривых возрастание параметра ё следует понимать как возрастание относительной толщины стенки вспомогательного кольца. Также ясно, что эти кривые, построенные для разных наборов значений а1 , а2 и ¿2 , не будут тождественно совпадать в плоскости параметров О . Поэтому в общем случае сравнение критических значений внешнего давления, имеющих общую абсциссу, корректно только при условии, что оба сравниваемых значения лежат на бифуркационных кривых, построенных для одинаковых наборов радиусов а1, а2 и ¿2. Однако на рис. 3, 4 штриховые линии, соответствующие разным значениям а2 , расположены близко друг к другу и неразличимы.

Для апробации описанного численного метода проводилось сравнение с известными [4, 5] результатами для тонкого кольца, нагруженного внешним равномерно распределенным давлением. Согласно [4, 5], справедлива формула \3

(26)

Чёд = -

E

4(1-V2)

где Е -модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; И -толщина стенки кольца; г0 - средний радиус кольца до деформации. Поскольку при малых деформациях неогуковский материал следует обобщённому закону Гука с коэффициентом Пуассона V = 0,5 и модулем сдвига /л, перепишем формулу (26) в обозначениях данной задачи

h

Чёд =

' А Л3

»2 ~а\

при Ь\ = а2 ■

(26')

Ь2+ах

Проверка показала, что расхождение численных результатов с формулой (26') в случае тонкого кольца не превышает 1,7 % в интервале 0,811 <^/¿2 - 0.9. что соответствует диапазону начальных радиусов вспомогательных колец.

Чтобы определить область устойчивости кольца с внутренними напряжениями на плоскости параметров

ё, Q , необходимо построить бифуркационные кривые для различных мод потери устойчивости, т.е. для разных значений целочисленного параметра п при фиксированных значениях а1, а2 и ¿2. Бифуркационные кривые при а^ = 0,9 ; а2 - 0,9 ; Ь2 = 1,0 представлены на рис. 2. Номер кривой совпадает со значением

параметра п . Легко видеть, что большим п соответ-

*

ствуют большие значения Q критического давления.

Бифуркационные кривые, построенные при других значениях а2 , приводят к такому же результату. Таким образом, граница области устойчивости тонкого кольца полностью определяется бифуркационной кривой, отвечающей наименьшему значению п . Этим значением является п = 2, так как случай п = 1 описывает смещение составного кольца как абсолютно твердого тела.

Характер бифуркационных кривых, представленных на рис. 3, 4, свидетельствует о том, что при определенном значении параметра ё (обозначим его ё0) происходит потеря устойчивости при отсутствии внешнего давления, т.е. исключительно вследствие внутренних напряжений, возникающих при посадке с натягом. Причем величина ё0 тем меньше, чем больше разность а2 и а1 .

Бифуркационные кривые 0-4 на рис. 3 отличаются от остальных, во-первых, наличием точки максимума и, во-вторых, критическими значениями давления, которые в отдельных случаях в несколько раз превосходят соответствующие им критические значения для вспомогательного кольца. При этом прослеживается тенденция увеличения максимального значения отно-

к * / * сительной разности £ = \ - б о 1/2 о критических

значений давления при уменьшении разности а2—ах. (Значение индекса к совпадает с номером кривой на рис. 3, 4). Например, й,'гах =5,266 и достигается при ё = 0,027. Следует отметить, что найденное значение не обязательно является точным максимумом в силу дискретности численного счета.

Рис. 3. Бифуркационные кривые для разных значений а2 : 0 - 0,9; 1 - 0,91; 2 - 0,92; 3 - 0,93; 4 - 0,94. Значения

остальных параметров: аг = 0,9; Ь2= 1,0; с1 = Ь1-а2

Особым случаем посадки с натягом можно считать тот, при котором значения радиусов а1 и а2 совпадают. Тогда в кольцо с заданным внутренним радиу-

Рис. 4. Бифуркационные кривые для разных значений а2 : 4 - 0,94; 5 - 0,95; 6 - 0,96. Значения остальных параметров: а1 = 0,9 ; Ъ2= 1,0 ; + а2

сом при помощи натяга вставляется кольцо с таким же внутренним радиусом, и толщина внутреннего кольца совпадает со значением параметра натяга. Рас-

четы показывают, что при этом =7,566 при

й = 0,03.

Из полученных результатов следует такой общий вывод. Посадка с натягом может существенно как повысить, так и понизить устойчивость системы из двух вставленных друг в друга колец. Определяющую роль здесь играет не столько величина натяга ё, сколько относительная разность внутренних радиусов двух колец С?2 - а\ •

Литература

1. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980.

3. Зубов Л.М., Моисеенко С.И. // Изв. АН СССР. МТТ.

1981. № 5. С. 78-84.

4. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев, 1972.

5. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.,

1955.

Южный федеральный университет_10 апреля 2007 г.