CC BY
18
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4
УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-25-31
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С КЛИНОВОЙ ДИСКЛИНАЦИЕЙ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ОБЖАТИИ
© 2018 г. М.И. Карякин12, Л.П. Обрезков1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
STABILITY OF A NONLINEAR-ELASTIC CYLINDER WITH WEDGE DISCLINATION UNDER RADIAL COMPRESSION
М.1. Karyakin12, L.P. Obrezkov1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Карякин Михаил Игоревич - доктор физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости, директор Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; старший научный сотрудник, отдел дифференциальных уравнений, Южный математический институт -филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО - Алания, 362027, Россия, e-mail: karyakin@sfedu.ru
Обрезков Леонид Павлович - аспирант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: leonidobrezkov@bk.ru
Mikhail I. Karyakin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Elasticity Theory, Director of the Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, RNO - Alania, 362027, Russia, e-mail: karyakin@sfedu.ru
Leonid P. Obrezkov - Postgraduate, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: le-onidobrezkov@bk.ru
Исследовано влияние клиновой дисклинации на процесс плоской потери устойчивости полого цилиндра, нагруженного по внешней боковой поверхности равномерным давлением. Для описания механических свойств материала цилиндра использовано несколько общеупотребительных моделей - упрощенный вариант материала Блейтца и Ко, материал Кирхгофа - Сен-Венана, пятиконстантная модель Мурнагана. Посредством полуобратного метода трехмерная задача о равновесии цилиндра сведена к исследованию нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Анализ устойчивости проводился с использованием бифуркационного подхода, основанного на линеаризации уравнений равновесия в окрестности построенного решения с использованием метода наложения малой деформации на конечную. Значение той или иной деформационной характеристики, при котором существовали нетривиальные решения однородной краевой задачи для получаемых в процессе линеаризации уравнений нейтрального равновесия, отождествлялось с критическим значением параметра нагружения, т.е. значением, при котором система теряет устойчивость. В качестве таких параметров использовались параметр дисклинации и безразмерная характеристика приложенного давления. На плоскости параметров нагружения определены области устойчивости. Проанализировано влияние соотношения внутреннего и внешнего радиусов цилиндра на номер моды потери устойчивости, исследована возможность сгущения бифуркационных кривых.
Ключевые слова: дисклинация, устойчивость, неустойчивость, полуобратный метод, бифуркация, большие деформации.
The influence of the wedge disclination on the process of plane buckling of a hollow cylinder loaded on an external side surface with uniform pressure is investigated. To describe the mechanical properties of the cylinder material, several commonly used models are used - a simplified version of the Blatz and Ko material, the Kirchhoff-Saint-Venant material, and the five-constant Murnaghan model. Using the semi-inverse method, the three-dimensional problem of cylinder equilibrium is reduced to the study of a nonlinear boundary value problem for an ordinary second-order differential equation. The stability analysis
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
was carried out using a bifurcation approach based on linearization of the equilibrium equations in the neighborhood of the constructed solution using the method of imposing a small strain on a finite one. The value of a particular deformation characteristic, in which non-trivial solutions of a homogeneous boundary-value problem existed for the equations of neutral equilibrium obtained in the linearization process, is identified with the critical value of the loading parameter, i.e. the value at which the system loses stability. As such parameters, the disclination parameter and the dimensionless characteristic of the applied pressure were used. On the plane of loading parameters, the stability regions are determined. The influence of the ratio of the inner and outer radius of the cylinder on the number of the mode of instability is analyzed; the possibility of thickening bifurcation curves is investigated.
Keywords: disclination, stability, buckling, semi-inverse method, bifurcation, finite strains.
Введение
Концепция дисклинаций (поворотных дислокаций), возникшая при исследовании некоторых свойств жидких кристаллов [1], позже нашла применение при описании различных биологических объектов, например белковых полимеров [2], конденсационных пленок белка [3], древесины [4], нематоид-ных структур кожи человека [5] и др. Новая волна интереса к нелинейной теории упругих дисклинаций в последние годы связана с активным использованием дисклинационных моделей при описании наноструктур различного рода. Недавние эксперименты [6] показали возможность инициаций самосборки трехмерной структуры из плоского упругого листа. В [7] высказано предположение о возможности аналогичных процессов на молекулярном уровне, что позволит использовать такие поверхности, как графен с дополнительными связями на краях, для изгибания в трехмерную структуру. В [8] обсуждаются перспективы использования теории дисклинаций для описания механических свойств и структуры фуллеренов. Сказанным определяется интерес к изучению подобных моделей методами теории упругости. Начало изучению дисклинаций в рамках нелинейной теории упругости положила работа [9], ряд положений и идей которой были позднее уточнены и развиты в работах Л.М. Зубова и его учеников [10-14].
Использование моделей и методов нелинейной теории упругости позволяет не только анализировать напряженно-деформированное состояние тела с дефектом и изучать влияние, которое на это состояние оказывают характеристики дефекта [15], но также исследовать вопросы устойчивости построенных решений. Традиционная схема исследования устойчивости [16, 17] основывается на линеаризации трехмерных нелинейных краевых задач в окрестности построенного решения и изучении возможности существования нетривиального решения этих линейных задач в зависимости от параметров - тех или иных характеристик деформированного состояния или внешних воздействий. Некоторые вопросы влияния внутренних напряжений, вызванных винтовой
дислокацией, на устойчивость равновесия кругового цилиндра представлены в [18]. Настоящая работа может рассматриваться как продолжение исследований, начатых в [12] и связанных с изучением равновесия и устойчивости цилиндра, содержащего клиновую дисклинацию, и сравнительным анализом применения в этой связи различных моделей нелинейно-упругого поведения сжимаемых сред.
Равновесное состояние и устойчивость цилиндра с дисклинацией
Рассмотрим равновесие полого кругового цилиндра высотой к, находящегося под действием внешнего давления р , приложенного к его боковой поверхности. Внутренние напряжения вызваны клиновой дисклинацией.
Пусть z и Я, Ф, Z - цилиндрические координаты в отсчетной (недеформированной) и текущей конфигурациях; ег, е9, ez и еЯ,еФ,е2 - соответствующие им ортонормированные базисы. Дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии массовых сил и граничные условия на боковых поверхностях цилиндра имеют вид [19]
V-Б = 0, ег • Б| = 0, ег • Б| = -рДС-1 • ег,
У / Г= Г- -' ' г= г. ± ' '
8
V = е — + е, 8r
8 8 -+ е z —,
г8ф 8z
(1)
C = VR, J = detC, D =
8W
~8c
Здесь г0 и г - внутренний и внешний радиусы цилиндра соответственно; К - радиус-вектор точки тела; Б - несимметричный тензор напряжений Пиолы. На торцах цилиндра будем полагать отсутствие касательных напряжений
DzR = 0, DzФ = 0. (2)
Начальную докритическую деформацию полого цилиндра будем искать в виде [10]
Я = Р(г), Ф = х<Р, 2 = z , (3)
где х - параметр дисклинации. Если х> 1, то преобразование (3) соответствует деформации, возникающей при удалении из цилиндра сектора
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
2% 1 ^р^ 2л и повороте сечения р = 27% 1 вокруг оси цилиндра до совмещения с плоскостью р = 0 . Случай 0<%< 1 соответствует деформации, когда в разрезанный цилиндр вставляется клин с углом раствора 2л(1 - %) [10].
Анализ устойчивости построенных решений осуществляется в рамках бифуркационного подхода на основе исследований уравнений нейтрального равновесия, которые получаются в рамках теории наложения малой деформации на конечную [19, 20]. Ограничиваясь плоскими формами потери устойчивости, добавим в (3) малые возмущения, положив Я = Р(г) + еи(г, р) , Ф = ХР + еу(г, Р) , 2 = z. (4)
После вычисления градиента деформации и его
д
линеаризации по формуле (С = — С |а=0 выражение
да
для тензора напряжений Пиолы в (1) также заменяется его линеаризованным вариантом I) . Итогом является линейная однородная краевая задача для системы дифференциальных уравнений
V-Б = 0 (5)
с краевыми условиями
ег • I) = 0, ег • Б = -р(тС-1 +1(С-1)- ег.
Анализ полученной системы проводится методом разделения переменных: ы(г,ф) = и (г)со$(пхФ),
у(г, фф = V(г) 8т(«хФ), где п - натуральное число, называемое номером моды потери устойчивости. Такое разделение позволяет автоматически удовлетворить условиям (2); предметом анализа становится линейная однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций и (г), V (г) . При этом случай п = 0 исключается из рассмотрения; п = 1 соответствует движению абсолютно твердого тела, поэтому также не рассматривается. Таким образом, далее полагаем
п > 2 [12]. Значение параметра дисклинации или величины обезразмеренного тем или иным способом внешнего давления, при котором у построенной линейной однородной краевой задачи существуют нетривиальные решения, будем считать критическим для параметра нагружения, т.е. при нём система теряет устойчивость.
Модели материалов
В настоящей работе рассмотрены три употребительные модели нелинейно-упругого поведения сжимаемых сред. Наиболее простой вид нелинейная краевая задача равновесия для функции Р(г) принимает в случае использования упрощенного варианта
материала Блейтца и Ко, функция удельной потенциальной энергии которого имеет вид [19]
W =1 и 2
( ;
V h
■ +
2jT3 - 5
Л
Здесь 1к - инварианты меры деформации Коши
О = С • Ст ; материальный параметр / при малых деформациях имеет смысл модуля сдвига. Учитывая (3), получаем, что каждое из векторных соотношений (1) сведется только к одному скалярному. Краевая задача о равновесии цилиндра с дисклинацией примет вид
р„=_1 (г3 р'3 -%2 р3 р' 3
X2rP3
(6)
ХР(Г,)'3 Р(г,) = г,, %Р(г1)'3 Р(г1)(ч +1) = Г1. Здесь и далее ц = р / / - безразмерное давление.
Запишем линеаризованную с учетом (4) систему уравнений нейтрального равновесия (5) в виде
(4Р'3 г2 3г
U " =
( P'3 r2n P n
3x2 P3
Л
U'+
rP4 r2
x2 p 4
+
P'2 n
3P2
U
3x2 P2
+ -
3
V'+
2P'4 r 2n
3x2 P3
V,
V "=
^X2 n P 'n л +
\
v
r2 P
f2r2 P 13
3x2 p3
P 7
+ — 3r
2
U+
( P '2 n P4 r2 n ^
j
V
P3
+
3x2 p5
U-
V X2n P ' n
j
r2 P
v
P
2
V'+
j
3P 12 n2 p2
V.
Краевыми условиями для нее будут равенства:
при г = г0
Л и'+Хи+Хрnv = 0,
Р' г г
x
Л
r X2P3P' PP
nU +
X2P2P2
V = 0
при r = r1
3 U +X(q+1) U+ x(q+1)n V = 0, P' r r
x(q +1) r2
1
л
X2P3P' PP'
nU +
X2 PP'2
V ' = 0 .
Несмотря на достаточно компактную форму, краевая задача (6) является существенно нелинейной, и построить ее решение в явном аналитическом виде не удается. Поэтому переменные коэффициенты линеаризованной краевой задачи также не могут быть записаны аналитически. На каждом шаге вычислительной схемы (т.е. для каждой пары значений параметра дисклинации и внешнего давления)
2
2
2
1
r
r
2
r
r
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
сначала численно решалась краевая задача (6), а потом это численное решение использовалось для задания коэффициентов и исследования возможности существования нетривиального решения у линеаризованной задачи.
В качестве второй модели материала в работе была использована модель Кирхгофа - Сен-Венана [21], функция удельной потенциальной энергии деформации которой является квадратичной относительно тензора деформации К = (С -Е)/2 ( Е -единичный тензор):
1 2
Ж = ^(Л + 2ц) Л2(К) - 2^ (К).
Параметры Л, ц этой модели при малых деформациях имеют смысл коэффициентов Ляме линейной теории упругости. Краевая задача равновесия в этом случае будет заметно более громоздкой Р"=V
F = Л; 2rP2 P2r 2P 2 -(Л + 2u)r 3P3 -- 2(Л + ¡u)x2r 2P + (Л + 2ц)х4Р\ F = r2 (3(Л + 2u)r2P2 —2(Л + u)r2 + Л; 2P2 ) ;
2(Л + UP'(r,) = (Л + 2u)P '(ro)3 + Л 2P(ro)2 P(Го) ,
ro
2(Л + u)P'(r ) = (Л + 2u)P ' (r )3 + ; 2 P(hf P (r)+2 uxqP(h)
+
Численные результаты
В качестве примера решения нелинейных краевых задач о равновесии цилиндра на рис. 1 представлены графики распределения нормального напряжения <7r / u для различных значений параметра дисклинации. Рисунок соответствует материалу Кирхгофа - Сен-Венана, параметры Ляме которого были выбраны по данным, приведенным в [19] для
материала типа оргстекло: Л = 3,9 -104 МПа,
U = 1,86 • 104 МПа. Этот выбор связан, в частности, с тем, что для данного набора параметров Мурнагана известны диапазоны деформаций, при которых выполняется условие сильной эллиптичности [22].
Необходимо отметить, что выбор модели не показал качественного влияния на напряженно-деформированное состояние. Если параметры моделей выбирались так, чтобы в линейном приближении они соответствовали одному и тому же материалу, то различие в распределении нормальных напряжений - не более 10 %.
На рис. 2 представлены области устойчивости цилиндра на плоскости двух параметров нагружения - внешнего давления и дисклинации для модели Блейтца и Ко. Рис. 2а соответствует цилиндру, который близок к сплошному ( r0 / r1 = 0,1 ), на рис. 2б представлены результаты для толстостенной трубы
( r,/ r = 0,9 ).
Пятиконстантная модель материала Мурнагана может рассматриваться как обобщение предыдущей на случай кубической зависимости энергии от тензора деформаций:
1 2 Ж = ^(Л + 2ц)/12(К) - 2ц12 (К) +
1 3 + ^(7 + 2т)Л3(К) -
- 2ш!х (К)/2 (К) + п1ъ (К) .
Материальные параметры Л, ц , как и ранее, имеют смысл коэффициентов Ляме; 7, ш, п - постоянные Мурнагана.
Уравнения равновесия для материала Мурнагана и линеаризованные краевые задачи для последних двух моделей приведены не будут в силу их громоздкости.
Рис. 1. Распределение радиального напряжения по толщине цилиндра. Материал Кирхгофа - Сен-Венана, r0 /r = 0,1 / Fig. 1. Radial stress distribution
along the cylinder depth. St.Venant-Kirchhoff material. r0 / r = 0.1
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
а / а
б / b
Рис. 2. Область устойчивости цилиндра с дисклинацией. Материал Блейтца и Ко. а - r0 /r = 0,1; б - r /r = 0,9 / Fig. 2. Stability region of the cylinder with disclination. Blatz and Ko model. a - r0 / r = 0.1; b - r0 /r = 0 9
Важным отличием первого случая является тот факт, что область устойчивости описывается кривыми с разными номерами мод. Кроме того, отмечается сгущение бифуркационных кривых на одной из границ области устойчивости. Увеличение номера моды п , начиная с некоторого значения (порядка пятидесяти), практически не изменяет величины критического давления. Данный факт согласуется с результатами, полученными ранее в [12] для полулинейного материала. Это, в частности, означает, что для такого тела предсказать форму потери устойчивости на основе анализа линеаризованных уравнений невозможно. Для более тонкого цилиндра мода п = 2 всегда является предпочтительной; соответствующее ей критическое давление минимально. Еще одной особенностью цилиндров большой толщины является существование зоны, где потеря устойчивости может происходить только за счет наличия дисклинации без приложения внешнего давления. В более тонких цилиндрах такая область может отсутствовать.
На рис. 3 представлена область устойчивости для цилиндра из материала Мур-нагана, близкого к сплошному, характеристики которого также соответствуют оргстеклу из [19]:
Л = 3,9 -104 МПа, / = 1,86 -104 МПа, I = 1,09 -104 МПа, т = 2,4 -103 МПа, п = 1,88 -104 МПа.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
Рис. 3. Область устойчивости цилиндра с дисклинацией. Материал Мурнагана. r0 / r = 0,1 / Fig. 3. Stability region of the cylinder
with disclination. Murnaghan material. r0 /r = 0.1
Заключение
В работе проведено исследование равновесия и устойчивости тела в форме полого кругового цилиндра из сжимаемого нелинейно-упругого материала. Внутренние напряжения в цилиндре вызваны наличием клиновой дисклинации, по боковой поверхности действует равномерно распределенная нормальная нагрузка. В качестве модели материала использовались упрощенный вариант материала Блейтца и Ко, модель Кирхгофа - Сен-Венана и пятиконстантная модель Мурнагана. Основным методом построения равновесного состояния являлся полуобратный метод нелинейной теории упругости. Исследование устойчивости осуществлялось в рамках статического бифуркационного подхода.
Проведенный сравнительный анализ использованных моделей при различных значениях параметров показал, в частности, что для толстостенных цилиндров характерно сгущение бифуркационных кривых, которое может происходить и для случаев отсутствия дисклинации, однако ее наличие делает области сгущения более обширными. Наличие дисклинации может являться как стабилизирующим фактором, так и наоборот - заметно понижать величину критического давления.
Литература
1. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.
2. Das P., Roy J., Chakrabarti N., Basu S., Das U. Nematic textures in F-actin // J. of Chemical Physics. 2002. Vol. 116, № 20. P. 9028-9035.
3. Рапис Е. Свойства и виды симметрии твердотельной кластерной фазы белка // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71, № 10. С. 104-111.
4. Kramer E.M., Joseph V. Defect coarsening in a biological system: The vascular cambium of cottonwood trees // Physical Review. 2003. № 041914.1-041914.4. P. 67.
5. Kemkemer R., Kling D., Kaufmann D., Gruler H. Elastic properties of nematoid arrangements formed by amoeboid cells // The European Physical J. E. Soft Matter. 2000. Vol. 1, № 2-3. P. 715-722.
6. Boncheva M. Magnetic self-assembly of three-dimensional surfaces from planar sheets // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2005. Vol. 11, № 102. P. 3924-3929.
7. Alben S., Brenner M.P. Self-assembly of flat sheets into closed surfaces // Physical Review. 2007. Vol. 5, № 75. P. 056113-056118.
8. Leleyter M., Olivi-Tran N. Tight-binding study of Si2Cn (n = 3 to 42) fullerene-like or
nanodiamonds microclusters // The European Physical J. D. EDP Sciences. 2008. Vol. 50. P. 153-163.
9. Вит Р. Континуальная теория дислокаций. М.: Мир, 1977. 208 с.
10. Зубов Л.М. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69-73.
11. Зубов Л.М., Карякин М.И. Многозначные смещения и дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. № 6. С. 146-152.
12. Зеленин А.А., Зубов Л.М. Устойчивость и после-критическое поведение упругого цилиндра с дисклина-цией // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 101-108.
13. Derezin S. V., Zubov L.M. Disclinations in nonlinear elasticity // ZAMMZ. Angew. Math. Mech. 2011. Vol. 91, № 6. P. 433-442.
14. Zubov L.M. Continuum Theory of Dislocations and Disclinations in Nonlinearly Elastic Micropolar Media // Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46, № 3. P. 348-356.
15. Карякин М.И., Поздняков И.В., Пустовалова О.Г., Шубчинская Н.Ю. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 6. С. 46-51.
16. Зубов Л.М., ШейдаковД.И. Об устойчивости цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении // Вестн. ЮНЦ РАН. 2006. Т. 2, № 3. С. 8-15.
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 4
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4
17. Obrezkov L. Equilibrium and stability of nonline-arly elastic cylinder made of Blatz-Ko material // Engineering Transactions. 2016. Vol. 64, № 4. P. 457-463.
18. Карякин М.И., Шубчинская Н.Ю. Об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями при растяжении и сжатии // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 2. С. 56-62.
19. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
20. Sivaloganathan J., Spector S.J. On the global stability of compressible elastic cylinders in tension // J. of Elasticity. 2015. Vol. 120, № 2. P. 161-195.
21. CiarletP.G. Mathematical Elasticity. 1988. Vol. I: Three-Dimensional Elasticity. Amsterdam : North-Holland. 451 pp.
22. Зингерман К.М. Проверка условия сильной эллиптичности для материала Мурнагана при всестороннем растяжении или сжатии // Вестн. ТвГУ. Прикладная математика. 2003. № 1. С. 65-70.
References
1. Vladimirov V. I., Romanov A. E. Disklinatsii vkris-tallakh [Disclinations in crystals]. Leningrad: Nauka, 1986, 224 p.
2. Das P., Roy J., Chakrabarti N., Basu S., Das U. Ne-matic textures in F-actin. J. of Chemical Physics. 2002, vol. 116, No. 20, pp. 9028-9035.
3. Rapis E. Svoistva i vidy simmetrii tverdotel'noi klasternoi fazy belka [Properties and types of symmetry of the solid-state cluster phase of a protein]. Zhurn. tekhn. fiziki. 2001, vol. 71, No. 10, pp. 104-111.
4. Kramer E.M., Joseph V. Defect coarsening in a biological system: The vascular cambium of cottonwood trees. PhysicalReview. 2003, No. 041914.1-041914.4, p. 67.
5. Kemkemer R., Kling D., Kaufmann D., Gruler H. Elastic properties of nematoid arrangements formed by amoeboid cells. The European Physical J. E. Soft Matter. 2000, vol. 1, No. 2-3, pp. 715-722.
6. Boncheva M. Magnetic self-assembly of three-dimensional surfaces from planar sheets. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2005, vol. 11, No. 102, pp. 3924-3929.
7. Alben S., Brenner M.P. Self-assembly of flat sheets into closed surfaces. Physical Review. 2007, vol. 5, No. 75, pp. 056113-056118.
8. Leleyter M., Olivi-Tran N. Tight-binding study of Si2Cn (n = 3 to 42) fullerene-like or nanodiamonds microclus-ters. The European Physical J. D. EDP Sciences. 2008, vol. 50, pp. 153-163.
9. Vit R. Kontinual'naya teoriya dislokatsii [The continuum theory of dislocations]. Moscow: Mir, 1977, 208 p.
10. Zubov L.M. Izolirovannaya disklinatsiya v nelineino-uprugom szhimaemom tele [Isolated disclination
in a nonlinear-elastic compressible body]. Izv. AN SSSR. MTT. 1986, No. 1, pp. 69-73.
11. Zubov L.M., Karyakin M.I. Mnogoznachnye smeshcheniya i dislokatsii Vol'terra v ploskoi nelineinoi te-orii uprugosti [Multivalued displacements and Volterra dislocations in plane nonlinear elasticity theory]. PMTF. 1987, No. 6, pp. 146-152.
12. Zelenin A.A., Zubov L.M. Ustoichivost' i poslekriticheskoe povedenie uprugogo tsilindra s disk-linatsiei [Stability and postcritical behavior of an elastic cylinder with disclination]. Izv. AN SSSR. MTT. 1989, No. 1, pp. 101-108.
13. Derezin S.V., Zubov L.M. Disclinations in nonlinear elasticity. ZAMMZ. Angew. Math. Mech. 2011, vol. 91, No. 6, pp. 433-442.
14. Zubov L.M. Continuum Theory of Dislocations and Disclinations in Nonlinearly Elastic Micropolar Media. Mechanics of Solids. 2011, vol. 46, No. 3, pp. 348356.
15. Karyakin M.I., Pozdnyakov I.V., Pustovalova O.G., Shubchinskaya N.Yu. O deformirovannom sostoyanii nelineino-uprugogo tsilindra s vnutrennimi napryazheni-yami [On deformed state of nonlinearly-elastic cylinder with internal stresses]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2013, No. 6, pp. 46-51.
16. Zubov L.M., Sheidakov D.I. Ob ustoichivosti tsilindricheskoi truby pri osevom rastyazhenii i vnutren-nem davlenii [On the stability of a cylindrical tube with axial tension and internal pressure]. Vestn. Yuzhnogo nauch. tsentra RAN. 2006, vol. 2, No. 3, pp. 8-15.
17. Obrezkov L. Equilibrium and stability of nonlinearly elastic cylinder made of Blatz-Ko material. Engineering Transactions. 2016, vol. 64, No. 4, pp. 457-463.
18. Karyakin M.I., Shubchinskaya N.Yu. Ob ustoichivosti nelineino-uprugogo tsilindra s sobstvennymi napryazheniyami pri rastyazhenii i szhatii [On stability of nonlinearly elastic cylinder with internal stresses under tension and compression]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2016, No. 2, pp. 56-62.
19. Lur'e A.I. Nelineinaya teoriya uprugosti [Nonlinear theory of elasticity]. Moscow: Nauka, 1980, 512 p.
20. Sivaloganathan, J., Spector S. J. On the global stability of compressible elastic cylinders in tension. J. of Elasticity. 2015, vol. 120, No. 2, pp. 161-195.
21. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity. Vol. I: Three-Dimensional Elasticity. Amsterdam: North-Holland, 1988, 451 p.
22. Zingerman K.M. Proverka usloviya sil'noi ellip-tichnosti dlya materiala Murnagana pri vsestoronnem rastyazhenii ili szhatii [Verification of the condition of strong ellipticity for Murnaghan's nonlinear elastic material undergoing uniform volumetric tension or compression]. Vestn. TvGU. Prikladnaya matematika. 2003, No. 1, pp. 65-70.
Поступила в редакцию /Received_20 сентября 2018 г. /September 20, 2018
