Особенности поведения нелинейно-упругого шара, нагруженного внутренним давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 5З9.З

особенности поведения нелинеино-упругого шара, нагруженного внутренним давлением

© 2006 г. Л.М. Зубов, А. Ю. Краснов

It is discussing nonlinear elasticity theory problem of hollow sphere inflate by inner pressure. The sphere material is regarded as isotropic and incompressible. For a series of high-elastic material models there is defined inner pressure dependency of body cavity radius in state of strain and is calculated sphere stress field under great radial symmetry strains. The stability of equilibrium of loaded sphere comparatively radial symmetry perturbation is analyzed by energy approach. The problem solved is interesting, for example, in connection with embryos grow up modeling in biomechanics.

1. Радиально симметричное равновесие шара

Пусть г, ф, в ( 0 <ф< 2п, -п/ 2 <в<л/ 2) -сферические координаты в недеформированном состоянии упругого полого шара (лагранжевы координаты); К , Ф, © - сферические координаты точек тела после деформации (эйлеровы координаты). Ор-тонормированные векторные базисы, связанные с этими координатами, обозначим соответственно ег,

еф , ев и ек , еф , е©.

Упругие свойства изотропного несжимаемого материала задаются функцией удельной потенциальной энергии деформации Ш [1-3]

Ш = Ш(/1,12), 11 = НС , 12 = 2(2С -НС2). (1)

Здесь ¡1, /2 - первый и второй инварианты меры деформации Коши с . Третий инвариант ¡3 = аег с равен единице в силу условия несжимаемости.

Радиально симметричная деформация полого шара го < г < Г[ описывается соотношениями

К = К(г), Ф = ф, © = в. (2)

Из (2) находим градиент деформации с, меру деформации Коши, а также инварианты тензора с (Я' = с1Я/с1г )

R

C = VR = R ' er e r + — (eфeф + eee0),

G = C - CT =(R')2 erer + fRj (<

eФeФ +eeeeJ

2 4 2

R Г T f R V -/„л?.fR

(З)

/, = («') + . ¡2 ] + .

Здесь Я - радиус-вектор точки деформированного тела; V - набла-оператор в отсчетной конфигурации тела, который в сферических координатах имеет вид

V = er -1+-

l

д l д — + - ee-

- -и (4)

дг гсоъв ^ дф г " дв

Уравнения равновесия нелинейно-упругого тела в пренебрежении массовыми силами запишем при помощи тензора напряжений Пиолы Б [2]

V-Б = 0. (5)

Тензор б связан с тензором напряжений Коши т равенством

Б = <[ЦС~Т - Т . (6)

В случае несжимаемого материала тензор т выражается через деформацию не полностью, а с точно-

стью до шарового тензора, что приводит к такому определяющему соотношению [2, 3]

(

T = 2

дW -1 -g

çW дЬ

\

g

- qE,

(7)

g = C-1 - C-T;

g-l = CT - C.

Здесь g - мера деформации Альманзи; g 1 - мера деформации Фингера; q - неизвестная функция координат. Так как в несжимаемом теле /3 = 1, из (6), (7) получаем

D = D* - qC

-T

(S)

(

D* = 2

дW т дW

-+11-

д^ 1 &2

дW

C -2 G-C.

&2

Из (3) и (8) следует, что при деформации вида (2) тензор Пиолы имеет представление

D = [d*r (r )-R )-1 q\ er e r + D*®(r)-rR~lq\ (eфeф+ eвeв),

(9)

¥4*

где звездочкой отмечены компоненты тензора D , которые выражаются через функцию R(r) при помощи (8).

Функция R(r), определяющая радиальные перемещения частиц шара, находится из условия несжимаемости ylH = R' R2/r2 = 1 и имеет вид

R = 3r3 + Ro3 - ro3 , Ro = R(ro), (10)

где Ro - неизвестный радиус полости деформированного шара.

Подстановка представления (9) в (5) с учетом (4) приводит к компонентной форме уравнений равновесия

д q д r

= R

О

rR

dr

+-(d*r - ф

dq = o, dq = o.

дф

дв

(ll)

Из (11) следует, что q = q(г). Предполагая, что внешняя поверхность шара (г = гц) свободна от нагрузки, а на внутренней (г = го) действует равномерное гидростатическое давление р, получим следую-

щие граничные условия

er

-(d + pC-T )

= o, er - D

= o.

(l2)

Из (11), (12) вытекает краевая задача для функции q(r )

dq = r dr

dD

rR

dr

+ 2-

DrR - Оф

(1З)

r

r=r

rr

o

r

(q - R'D*rR )_ = p , (q - R'D*rR )

r=r0

= 0 .

(14)

r = ri

Граничные условия (14) служат для определения постоянной R0, а также произвольной постоянной, возникающей при решении уравнения (13). Поскольку краевая задача (13), (14) разрешима для любого изотропного несжимаемого материала, радиально симметричная деформация (2), (10) является универсальной [2] в классе изотропных несжимаемых однородных тел.

Введя новую неизвестную функцию

CTI

(r) = R'D*tr - q , из (10), (13), (14)

получим

da dr

= / r2 D* RD

= -2 DrR--D

R2 r '

V /

^ 2 r

R3

a\r=ro p

a = 0.

ir=r1

(15)

(16)

Решение уравнения (15), удовлетворяющее второму условию (16), имеет вид

a

(r ) = 2 J

( ..2

R2

d*r--Лф

r

2

r

R3

dr .

(17)

При заданном давлении p первое условие в (16) служит уравнением для определения внутреннего радиуса деформированного шара Щ

(2

Р = -2 J

r0

r

2 D*R--Лф

R 2 r

2

r

R3

dr .

(18)

U(R0 ) = 4nJ Wr2dr .

(19)

При помощи (1), (3), (8), (10), (19) найдем производную энергии деформации по параметру Яо

dU dR0

= 4nJ

dW DI, dW ÖL

+ -

2

Л

■J

dI1 dR0 dl2 dR0 2

r 2 dr =

R л* I— D~

~лфф 2 DrR

r R2

V /

2

r

R

dr .

(20)

Сравнивая (20) и (18), приходим к важному соотношению

4nR02 p = dUjdR0. (21)

Если вместо Яо в качестве параметра принять объем полости в актуальной конфигурации У0 = (4/3)п?0, то формула (21) запишется иначе р = йи/йУ0 . (22)

На основании (22) условие равновесия шара (18) можно представить как требование стационарности потенциальной энергии упругой системы П

бП = 0, П = и - р(у0 - у0 ), (23)

где У0 - объем полости в отсчетной конфигурации шара; б - символ вариации. В вариационной постановке (23) величина давления считается заданной и не варьируется.

Так как при радиальной деформации упругий шар из несжимаемого материала является системой с одной степенью свободы, условие равновесия бП = 0 сводится к уравнению ЙП/ЙУ0 = 0 .

Из (22), (23) вытекает равенство

dp = d 2U = d 2П

(24)

С учетом (10) выражение (18) можно рассматривать также как зависимость р(Я0) величины давления от радиуса полости деформированного шара, которая однозначно определяется заданием функции удельной энергии материала Ж ( 12).

На основании (8), (10), (17) легко определяется функция ч(г), напряжения Пиолы, а также тензор напряжений Коши в каждой точке шара т = тяяеяея + тффефеф + т©©е©е© ,

^ ^ Я ^ Я ^

тяя = Я Вгя - Ч , тфф = _ Афо - Ч, т©0 = _ °е© - Ч .

г г

2. Исследование устойчивости равновесия

В силу условия несжимаемости положение любой точки шара при радиальной деформации, согласно (10), однозначно определяется радиусом внутренней поверхности Я0 . Поэтому потенциальная энергия деформации упругого шара и будет функцией одного параметра

ЙУ0 ЙУ02 ЙУ02 '

Как хорошо известно [4], случай й2п/йУ^ > 0 соответствует устойчивому положению равновесия консервативной системы, а случай й2п/йУ^ < 0 -неустойчивому. Поэтому равенство (24) означает, что положения равновесия, отвечающие «падающему» участку диаграммы нагружения шара р(У)), на котором ф/йУ) < 0, неустойчивы.

На основании (24) критерий устойчивости равновесия шара можно сформулировать как требование выпуклости энергии деформации и(У0), а также записать в форме постулата Друккера [5], выражающего положительность работы добавочных обобщенных сил на добавочных обобщенных перемещениях йрйУ0 > 0 .

3. Численные результаты

В результате численного решения краевой задачи (13), (14) получены графические зависимости для р(Я0) и распределений напряжений по радиальной координате г . Рассмотренные модели высокооэластичных материалов определяются следующими функциями удельной потенциальной энергии деформации Ж

1) материал Муни:

Ж(/ь/2) = Йх(/1 - 3) + Й2((2 - 3),

(25)

2) материал Бидермана

Ж(11) = 27(/1 -3)-60^ -3)2 + 80(( -3)3 ; (26)

3) материал специального вида

Ж(/ь¡2)= Й0(11 -2/2 -3), Й0 >0; (27)

4) частный случай обобщенного материала Муни

Ж(¡1,/ 2 ) = Й0 (¡1 - 3У°. Й0 > 0, (28)

Для графиков на рис. 1-4 внешний радиус полого шара в отсчетной конфигурации принят равным единице, т.е. г = 1. Внутренний радиус полого шара Г0 использовался для задания радиальной толщины стенки в отсчетной конфигурации. Графические зави-

d1 > 0 , d2 > 0 , dj2 + d| > 0 ;

r

0

симости для напряжений представлены в виде рас- Значения констант, входящих в выражение для пределений ТКК (г), ТФФ (г). удельной потенциальной энергии деформации Ш (25),

были выбраны следующим образом: ^ = 0,2, ^ = 7,0.

Материал Муни

Рис. 1. Зависимости р(К)) и распределения напряжений Трк (г), Тфф(г) полого шара: а - р(К) для г^/ г = 0,4 и

г0/г = 0,9; б - Ткк(г) (г0/г = 0,4, Я0А0 = 8); в - Тфф(г) (^/г = 0,4, Я0Л0 = 8); г - Тш(г) (^/г = 0,9 ,

К)/г0 = 8); д - Тфф (г) (г^/г = 0,9 , ^Ао = 8)

Материал Бидермана

2400' 2000. 1600. 1200. 800. 400. О-

Т22(г)

0.9

0.925 0.95 0.975

д)

Рис. 2. Зависимости р(Я0 ) и распределения напряжений ТрЯ (г), Тфф (г) полого шара: а - р(Я0 ) для г^г = 0,4 и Г0/Г = 0,9; б - Тяя(г) (г0/г = 0,4, Я^г0 = 8); в - Тфф (г) (г^г! = 0,4, Я^г0 = 8 ); г - Тяя(г) (^/г = 0,9 ,

Я0/г0 = 8 ); д - Тфф (г) (г^г1 = 0,9 , Я^г0 = 8 )

Рис. 3. Зависимости p(Ro) и распределения напряжений Trr (r), Тфф (r) полого шара: а - p(Ro) для го/r = 0,4 и го/rx = 0,9; б - Тт(r) (ro /п = 0,4, Ro /ro = 1,5 ); в - Тфф (r) (ro /п = 0,4, Rolro = 1,5 ); г -Trr (г ) (rol r = 0,9 , Rol ro = 1,5 ); д - Тфф (r) (r0/ п = 0,9 , Ro / ro = 1,5 )

Материал специального вида

Константа d 0 в выражении для удельной потенциальной энергии деформации W (27) принята равной единице, т.е. do = 1.

Частный случай обобщенного материала Муни

Численные расчеты производились в предположении, что в выражении для удельной потенциальной энергии деформации Ш (28) константа = 1- Зави-

симости p(Ко) получены для значений параметра V е {0,6; 0,7; 0,8;0,9; 1,0}, а распределения напряжений для у0 е {0,7;0,8;0,9;1,0}.

Рис. 4. Зависимости р(К0) и распределения напряжений полого шара V = {у1 = 0,6; V? = 0,7; = 0,8; у 4 = 0,9;

у5 = 1}: а - зависимости Р(К0 ) для г0/ г1 = 0,1; б - зависимости Р(К0 ) для г0/г = 0,99 ; в - распределение напряжений Ткк (г) ( гз /г = 0,1, К0 /гэ = 8 ); г - распределение напряжений Тфф (г) (гз /г1 = 0,1, К^/г0 = 8 )

Заключение

Численное решение задачи для рассмотренных моделей высокоэластичных материалов позволило выявить три типа поведения р(К0) по мере роста К0

1) монотонный рост р(К0) (материал специального вида);

2) монотонное возрастание вплоть до максимума с последующим монотонным убыванием р(К0) (частный случай материала Муни);

3) монотонное возрастание вплоть до локального максимума, далее монотонное убывание вплоть до локального минимума с последующим монотонным ростом (материал Муни, материал Бидермана).

Поведение первого типа р(К0) реализуется для материала специального вида (27) независимо от радиальной толщины полого шара. Для частного случая обобщенного материала Муни с удельной потенциальной энергией деформации Ш вида (28) и всех рассмотренных значений параметров поведение р(К0 ) соответствует второму типу. В случае материалов Муни (25) и Бидермана (26), в зависимости от радиальной толщины поведение р(К0) может быть различным. Так, для достаточно толстостенного полого шара р(К0) принадлежит первому типу, тонкостенного - третьему.

Ростовский государственный университет_

Указанные три типа поведения p(Ro) соответствуют трем качественно различным диаграммам на-гружения. При первом типе нагружения потеря устойчивости не происходит. Второй тип нагружения соответствует неустойчивости равновесия упругой системы относительно радиально симметричных возмущений при значениях Ro, превышающих некоторую критическую величину R\р . Третий тип отличается от второго тем, что неустойчивый участок сменяется устойчивым, т.е. существует R^ при достижении которого по мере роста Ro равновесие полого шара становится снова устойчивым.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (05—01— 00638).

Литература

1. Taber L. A. Nonlinear Theory of Elasticity. Applications in Biomechanics. New Jersey, 2004.

2. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М., 1980.

3. Реология. Под ред. Ф. Эйриха. М., 1962.

4. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., 1967.

5. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М., 1974.

4 мая 2005 г.