Научная статья на тему 'Неустойчивость упругой цилиндрической мембраны при растягивающих напряжениях'

Неустойчивость упругой цилиндрической мембраны при растягивающих напряжениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
69
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
мембранная теория / устойчивость упругих оболочек / Membrane theory / stability of elastic shells

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Зубов Леонид Михайлович, Карякин Дмитрий Михайлович

На основе мембранной теории нелинейно-упругих оболочек исследуется неустойчивость тонкостенной цилиндрической трубы при раздувании и осевом растяжении. Выведены линеаризованные уравнения возмущенного равновесия и рассчитаны критические (бифуркационные) кривые в плоскости параметров нагружения. Результаты сравниваются с результатами исследования устойчивости трубы в рамках трехмерной нелинейной теории упругости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Зубов Леонид Михайлович, Карякин Дмитрий Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

By using the membrane theory of non linear elastic shells the instability of the thin-walled cylindrical tube exposed by inflation and axial tension was studied. The linearized equations of a deflected balance were obtained. The critical (bifurcational) curves were calculated in the plane of the tension parameters. The results obtained were compared with the results of the research of stability of tube using the 3D non-linear elastic theory.

Текст научной работы на тему «Неустойчивость упругой цилиндрической мембраны при растягивающих напряжениях»

УДК 539.3

неустойчивость упругой цилиндрическои мембраны

при растягивающих напряжениях

© 2011 г. Л.М. Зубов, Д.М. Карякин

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

На основе мембранной теории нелинейно-упругих оболочек исследуется неустойчивость тонкостенной цилиндрической трубы при раздувании и осевом растяжении. Выведены линеаризованные уравнения возмущенного равновесия и рассчитаны критические (бифуркационные) кривые в плоскости параметров нагружения. Результаты сравниваются с результатами исследования устойчивости трубы в рамках трехмерной нелинейной теории упругости.

Ключевые слова: мембранная теория, устойчивость упругих оболочек.

By using the membrane theory of non linear elastic shells the instability of the thin-walled cylindrical tube exposed by inflation and axial tension was studied. The linearized equations of a deflected balance were obtained. The critical (bifurcational) curves were calculated in the plane of the tension parameters. The results obtained were compared with the results of the research of stability of tube using the 3D nonlinear elastic theory.

Keywords: membrane theory, stability of elastic shells.

Постановка задачи

Рассмотрим деформацию упругой круговой цилиндрической оболочки, раздуваемой внутренним давлением р и растягиваемой по оси силой F. Обозначим через r, ф, z цилиндрические координаты точек поверхности оболочки до деформации; R, Ф, Z - цилиндрические координаты точек поверхности после деформации. Деформацию зададим в виде R = R^, z), ф = Ф(ф, z), z = г(ф, z).

Граничные условия на торцах цилиндра имеют вид Z^,0) = 0, Z(<p,l) = Xl. Здесь l - длина оболочки до деформации; X - заданная положительная постоянная. Кроме того, торцы цилиндра могут свободно (без трения) скользить в горизонтальных плоскостях.

Уравнения равновесия оболочки в докритическом состоянии

Считая оболочку весьма тонкой, будем пользоваться мембранной (безмоментной) теорией. Предполагается, что мембрана изготовлена из несжимаемого высокоэластичного материала.

Уравнения равновесия для тензора усилий Пиолы D имеют вид [1]

v- d + = 0. (1)

Здесь N - нормаль к деформированной поверхно-

8

1

8

8

сти Е; у = га-= -е — + е — - набла-оператор на

дда г 9 дф 2 д2

поверхности в отсчетной конфигурации о; г - радиус цилиндрической круговой оболочки до деформации. Определяющие соотношения упругой оболочки для

изотропного материала имеют вид [2] д = 2--V Я =

dGx

8W'

8W' | °

= 2\ + |V R - 2 8W V R-V Rг-V R .

.8W'

88 2

д1 дк

В этих формулах Я - радиус-вектор точки деформированной поверхности Е ; О" - мера деформации типа

Коши на поверхности; _/ь ]2 - инварианты тензора О ■

О" = ^ Я-V Я, к = ¡гО", к = 1 (¡г2 О" - ГО"2 ^; Ж' -

удельная (на единицу площади поверхности а) потенциальная энергия оболочки, получаемая из упругого потенциала несжимаемого материала Ж,/2)

умножением на толщину к и заменой ^ = к 1 + к,

o

72 = ЛЛ"1 + к , т.е. ^'(Лк ) = + + Л )•

В настоящей статье в качестве модели упругого несжимаемого тела рассматривается частный случай материала Бидермана: Ж = 27(7! - 3) -60(7! - 3)2 + 80(7! - 3)3. Эта модель достаточно хорошо описывает свойства некоторых типов резин.

В докритическом (невозмущенном состоянии) справедливы соотношения:

(2)

О —

r = R0er + Äzez , V R0 = —■ efer + Лzez

Go = \e,ef + ^ezez, (j)o = —" + Л2; (j)o = Л2 •

-0 = 2 ePeP + Л ezez , V wo = 2

r r

'2/0 2 r

Согласно (2), докритическое состояние мембраны представляет собой равномерное осевое растяжение и радиальное расширение.

Бифуркация равновесия

Рассмотрим малое возмущение состояния равновесия.

Я = К0 + , = п(<р, 2)ег + v(р, 2)е + м(р, 2)бг . (3)

Подставляя это представление в уравнения равновесия, получим возмущенные уравнения равновесия оболочки, однако из-за нелинейности относительно функций и(р, 2), v(р, 2), м>(р, 2) их решение затруднено. Для решения этой проблемы линеаризуем возмущенные уравнения равновесия.

Полагаем Я = Я0 + г . Подставляя (3) в (1), дифференцируя по г и полагая после дифференцирования г = 0, получим линеаризованные возмущенные уравнения равновесия:

(jn) =

V- D + p Ц j2 N) = 0

d

(4)

VR-VRT -VR l = Vw

o (— 2

2 evev+^e ze z

I — \ o I — \ ( — 2 I o

+1 —epep + I- Vw - I —eyey + k¿z l +1 -R2-eyey + fazez l ■Vw,

N = -N0-(VwT )=-N0-VV wT-(V r

f

= -e„ - V w -

r „-1

— ^р+Л e z e z

V R0 /

Л

жш . жш

Подстановка u = Ucos npcos—j— z, v = Vsinnp cos^—z,

JJ7- . жш

w = W cos np sin—-— z приводит к отделению перемен-

ных ф и г и удовлетворяет указанным выше граничным условиям. Таким образом, исследование устойчивости сведено к решению линейной системы алгебраических уравнений.

Область выпуклости погонной потенциальной энергии невозмущенного состояния

Погонная потенциальная энергия деформирующейся оболочки выражается формулой П(Л,а) = 2жЖ', где Л , а - параметры нагружения.

При помощи уравнений равновесия (1) доказывается, что раздувающее давление и растягивающая сила выражаются через погонную потенциальную

энергию по формулам р = (яЛ.)-1 дП, F = дП .

да дЛ

На основании последних равенств условие выпуклости погонной потенциальной энергии можно представить в форме постулата Друккера - требования положительности работы приращений обобщенных сил на малых приращениях обобщенных перемещений: dFdЛ + —р—а > 0 . Это условие эквивалентно

др„ дF др0 дF др0 системе неравенств -> 0,-----> 0,

да

дЛ да да дЛ

где р0 = тгХр, которую можно представить в виде

д2 П да2

> 0,

д2П д2П дЛ2 да2

( д2П

дЛда

> 0.

где Б = —Б(Яо + гw) . Для раскрытия векторного

1г=0

уравнения (4) как системы 3 уравнений в частных производных относительно компонент вектора возмущений и , V, V используются соотношения:

( 0 I 0 ■ х 0 0 т 0 0 т

I VRl = Vw , О = V w 'V 0 +УК„ -V ж ,

• О О * *

(ji) = trGx = 2Vw®VR0, (j2) = (/!)0 (ji)-Gx0 ®GG1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Последнюю систему неравенств будем использовать для построения области отсутствия выпуклости погонной потенциальной энергии на плоскости параметров нагружения Л , а .

Численные результаты

Пусть радиус оболочки до деформации г = 1, толщина оболочки составляет 5 % её диаметра до деформации, а длина в 5 раз превышает начальный радиус. На рис. 1. показаны бифуркационные кривые для рассматриваемого материала Бидермана на плоскости параметров нагружения [Я,ю] при фиксированном параметре п для определенных значений параметра т (причем для некоторых наборов параметров т, п потери устойчивости не происходит). Серым цветом обозначена область нарушения выпуклости погонной потенциальной энергии оболочки.

Для всех графиков имеет смысл рассматривать область, расположенную правее кривой Е = 0 и выше кривой р = 0 (соответствующую растягивающей осевой нагрузке и положительному раздувающему давлению).

Также отметим, что не каждая точка [Я,ю] графика может быть достигнута при проведении реального эксперимента. Это связано с тем, что при проведении эксперимента в качестве параметра раздувания оболочки гораздо удобнее использовать внутреннее давление р , в то время как параметр а задавать достаточно проблематично.

Рассмотрим диаграмму нагружения указанной выше оболочки при фиксированном параметре X (рис. 2). При больших значениях X диаграмма нагру-

2

2

О

+

r

0

О

Т

жения является монотонно возрастающей, и отображение ю ^ р взаимно однозначно. Однако существует такое значение А > 0, что для значений А < А диаграмма нагружения ведет себя иначе: с увеличением ю давление р сперва возрастает до некоторого значения р* = р(юЮ), затем начинает снижаться до значения р(ю2), после чего опять начинает возрастать,

теперь уже неограниченно. Поэтому для А < А в некотором диапазоне р одному значению давления будут соответствовать несколько значений ю.

1,6 .

1,4

1,2

1,0.

0,8 -

п=0

р=оД \Р=РЖ 4

р^о^4 \ чл а

0,8 0,9 1,0

1,1

1,1 1,2 1,3

Рис. 1. Критические кривые и область выпуклости погонной энергии при п = 0

| UM UJ2 2

Рис. 2. Диаграмма зависимостиp(m) при фиксированных X

На практике реализация ниспадающей части диаграммы р(ю) весьма затруднительна, поэтому из области рассмотрения следует исключить область (заштрихованную на рис. 1), в которой выполняется неравенство -дР < 0 несмотря на то, что в этой области дю

существуют ненулевые решения линеаризованной краевой задачи.

Определим область устойчивости: теоретически для этого необходимо построить бифуркационные кривые, если такие найдутся, для всех комбинаций параметров т, п. Однако характер расположения бифуркационных кривых на плоскости свидетельствует о том, что с увеличением параметров т, п, соответствующие им бифуркационные кривые будут лежать в области, ограниченной бифуркационной кривой, построенной при т = 1, п = 0, и кривыми Е = 0 и р = 0. Следовательно, эту область можно считать областью потери устойчивости оболочки.

Сравнивая область выпуклости погонной потенциальной энергии и область устойчивости оболочки, можно сделать вывод, что они различаются незначительно. Следовательно, область выпуклости погонной энергии при растягивающих нагрузках может служить достаточно хорошей аппроксимацией области устойчивости, полученной в результате решения бифуркационной задачи.

В заключение отметим, что задача об устойчивости цилиндрической оболочки при осевом растяжении и раздувании рассматривалась в [3], однако в отличие от данной статьи построение бифуркационных кривых проводилось в рамках трехмерной теории. Полученная в статье [3] область устойчивости незначительно отличается от области устойчивости, построенной здесь, что позволяет сделать вывод о применимости мембранной теории к анализу устойчивости оболочек при растягивающих нагрузках. Использование мембранной теории существенно упрощает используемые уравнения по сравнению с аналогичными соотношениями трехмерной теории упругости.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг.

Литература

1. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д. 1982. 143 с.

2. Зубов Л.М., Колесников А.М. Большие деформации упругих безмоментных оболочек вращения // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 1. С. 33-36.

3. Зубов Л.М, Шейдаков Д.Н. Об устойчивости цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении // Вестн. Юж. науч. центра РАН. 2006. Т. 2, № 3. С. 8-15.

Поступила в редакцию

25 марта 2011 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.