Влияние околососудистой среды на механические свойства артериальной стенки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

ВЛИЯНИЕ ОКОЛОСОСУДИСТОЙ СРЕДЫ НА МЕХАНИЧЕСКИЕ . СВОЙСТВА АРТЕРИАЛЬНОЙ СТЕНКИ

A.B. Соколов

Кафедра теории упругости Ростовского государственного университета, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул, Зорге, 10, e-mail: [email protected]

Аннотация. Исследовано влияние околососудистой среды (мускульной и соединительной тканей) на механические свойства здоровой сонной артерии в нормальном физиологическом состоянии. Вычисления проведены на примере сонной артерии кролика. Артерия представляется как двухслойный толстостенный цилиндр под действием кручения, растяжения и раздувания. Используется модель анизотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала. Предполагается, что артериальный сосуд окружен упругой средой, имеющей свойства винклеровского основания. Получено в квадратурах аналитическое представление компонент тензора напряжений. Проведен сравнительный анализ околососудистых сред с различной степенью жесткости.

Ключевые слова: биомеханика, кровообращение, компьютерная биомеханика, стенка артериального сосуда, нелинейная теория упругости.

Введение

В настоящее время существует множество моделей механических свойств стенок артериальных сосудов (как в рамках линейной изотропной, так и нелинейной анизотропной теории упругости [1]), достоверно приближающих свойства реальных объектов [2-6]. Достаточно полные обзоры таких моделей приведены в работах [7] и [8]. Но еще не получила широкой известности ни одна модель, в которой бы учитывалось воздействие околососудистой среды на напряженно-деформированное состояние стенки сосуда.

Целью данного исследования является построение теории напряженно-деформированного состояния стенки артериального сосуда с учетом воздействия околососудистой среды на основе наиболее полной и достоверной на данный момент модели механического поведения артериальной стенки, предложенной в [8].

Артерия представляется как двухслойная толстостенная трубка, состоящая из двух слоев: media (средний слой артерии) и adventitia (наружный слой). Это - главные механически важные компоненты здоровой артерии. Третий слой (intima) не рассматривается.

Каждый слой образован неколлагеновой матрицей, которая рассматривается как изотропный материал, и двумя семействами коллагеновых волокон, спиралевидно закрученных вдоль артериальной оси и расположенных симметрично относительно нее

гиииииикии

Журнал

Биомеханики

www.biomech.ac.ru

© A.B. Соколов, 2005

(но с разной ориентацией в двух слоях). Эти волокна порождают анизотропию в механическом смысле.

Так как артериальные ткани не изменяют свой объем в пределах физиологического диапазона деформаций, с точки зрения механики они могут рассматриваться как несжимаемые материалы.

Модель и методы

Артерия представляется как двухслойный нелинейно-упругий полый цилиндр с винтовой анизотропией, содержащий дисклинацию (рис.1). Рыхлая волокнистая соединительная и мышечная ткани, окружающие сосуд, моделируются упругой средой, обладающей свойствами винклеровского основания [5, 6]. Цилиндр подвержен деформации растяжения, раздувания и кручения. Рассматривается случай, когда внешняя среда сопротивляется только радиальным перемещениям стенки сосуда. Деформация цилиндра задается соотношениями:

Ф = Кф + 1|/ 2 ,

г. х<•>

г0 <г <г2, 0 < ср < 200°.

Здесь г, ф, ^ - цилиндрические координаты отсчетной конфигурации, Я, Ф, 2 -цилиндрические координаты текущей конфигурации.

Соответственно, тензор градиента деформации представляется в виде [1]:

К

С = Я'егек + —к ефеф+Я\|/ е2еф +А,е2е2. (2)

г

О 1 /

Здесь ц - материальные криволинейные координаты; £ - пространственные криволинейные координаты; г5 - векторы взаимного материального базиса в

I

Рис. 1. Представление артерии как двухслойного цилиндра

отсчетной конфигурации; Км - векторы материального базиса в текущей

конфигурации; ег, еф, е2 - орты, касательные к координатным линиям

цилиндрических координат г, <р, г; еЛ, еф, е2 - орты, касательные к координатным

линиям цилиндрических координат.

Кроме того, имеют место следующие соотношения:

ек = ег со8(Ф-ф) + еф зт(Ф-ф),

еф = -ег8т(Ф-ф) + ефсо8(Ф-ф),

Мера деформации Коши имеет вид:

G = C СТ ±(R')2erer +

'kR^2

r\ к

ez<V

(3)

Компоненты тензора градиента деформации в смешанном базисе и компоненты меры деформации Коши в базисе отсчетной конфигурации цилиндрической системы координат являются функциями только радиальной координаты г.

Материал цилиндра считается анизотропным и несжимаемым. Функция удельной потенциальной энергии деформации представляется выражением [8]:

С: кц

W: = — (/. - 3) +-~

J 2 1 2 к

ехр

2 J

2

1) +ехр k2j{l6j-\)

-2

где I4j =A1;.oG, 76/=A2/oG, /^trG, A1;. =a1;.ab., A2i=a2ia2/и

l6j

4J

\j ~ ly i j -

-a2j«2j

(4)

aly =

( \ 0 / \ 0

cosß • > а2 j- cosßy

Vsinßy> ,-sin ßy,

где у=А,М (адвентиция и медиа, соответственно). Углы Ру в (4) характеризуют наклон коллагеновых волокон (см. рис. 1).

Таблица 1

Материал Геометрия

Медиа См = 3 кПа кш = 2,3632 кПа к2М = 0,8393 Нм = 0,26 мм г0 = 0,71 мм

Адвентиция СА =0,3 кПа к1А= 0,5620 кПа к2А =0,7112 Нм = 0,13 мм Рм=62° г2 =1,1 мм

V-D = 0, V = ег —+ еф——+ ez — (5)

Так как все формулы и преобразования абсолютно идентичны для обоих слоев, индекс у в дальнейшем будем опускать.

Представив тензор напряжений Пиолы в виде разложения по двойному базису

О = ОгКегея + Пг фегеф + £>г2еге2 + /)фЛефе уравнения равновесия ^ •

8 I д д

— + еф--+ е2 —

Зг ^ г <Эср дг

преобразуем к следующей скалярной форме,

+ (6) Г

Г

Эти уравнения следует дополнить граничными условиями на внешней и внутренней поверхностях сосуда.

Действие на внутренней поверхности сосуда кровеносного давления эквивалентно приложенной распределенной нормальной нагрузке. Соответствующее граничное условие представляется в виде

Д'А*|, = ,0=-/, (7)

где / - интенсивность давления на единицу площади деформированного тела.

Граничное условие на внешней поверхности представляет свойства околососудистой среды

dDrR dDzR +— DrR~ А

дг dz Г

dDr ф f 1

дг г Эф dz

dDrZ + 1 &>cpZ

дг г Эф dz

2

Г

(8)

где к - безразмерный коэффициент, характеризующий свойства упругого основания. Из условия несжимаемости имеем

т = 0+-^(г2-г02), (9)

где = ^(г0) - внутренний радиус сосуда после деформации. Воспользуемся определяющими соотношениями вида [1]:

с/1¥ 1

¥ = (10) аС*

где р - функция гидростатического давления в несжимаемом материале, не определяемая через деформацию и являющаяся функцией только радиальной координаты г.

Из формы функции энергии (4), определяющих соотношений (10), формулы

Б = Р С, (11)

и ограничений, наложенных на функцию р, следует, что компоненты тензора напряжений Пиолы, которые имеют вид

' ÖW V 2--pGrr

dGr

R',

D

фФ

9 9W „Г"1 2--

dG,

фф

кR

п?Ф =

DvZ =

DzZ =

dW i

-pG,

vacV

фz

dw j

--PGcpz

vscv

aw--pO-J

dG,

кR

К

к

dW 1 --PG4>z

Ry,

dG„ У 22

Ry,

(12)

являются функциями только координаты г.

Поэтому два из трех уравнений равновесия удовлетворяются тождественно, а третье принимает вид:

- Д,

dB^^rR-^ ф.уд 0| dr г

Из решения системы, включающей в себя краевую задачу

0,

(13)

А

г = г2

ч

/

(14.1)

и граничное условие на внутренней поверхности

Г-Ц>

(14.2)

находятся внутренний радиус цилиндра в деформированном состоянии Я0 и функция гидростатического давления в несжимаемом материале р(г). Функции Б у (г), входящие в уравнение, являются кусочно-непрерывными функциями вида

г0<г<гь

DAr) =

Pi(r), П <r<r2,

где М соответствует медиа, А - адвентиции.

Физиологическое состояние сосуда характеризуется значениями параметров / = 13,33кПа и >, = 1,7.

Результаты и обсуждение

Упругий материал, задаваемый функцией энергии (4), хотя и обладает винтовой анизотропией, не проявляет эффекта взаимодействия крутильных и радиальных деформаций. Это означает, что при ц/ = 0 в цилиндре отсутствуют касательные

напряжения £>фд, £>гф, В2К, . Таким образом, задача о раздувании и осевом

растяжении цилиндра отделяется от задачи кручения. Кручение будет возникать, только если на его торцах действует крутящий момент.

Численное решение задачи проведено в отсутствии кручения цилиндра (у = 0). В результате получены графики распределения нормальных напряжений для различных значений параметра нагружения X и коэффициента к (рис.2, 3).

Анализ качественных различий в распределении напряжений для различных X показывает, что в окрестности физиологического состояния основной вклад в механические свойства стенки сосуда вносит медиа. При увеличении растяжения становится более существенным вклад адвентиции. Причем упругие свойства адвентиции оказывают более заметное влияние на напряжение , чем на два других.

При X = 1,9 максимум в адвентиции превосходит максимум в медиа примерно в

два раза. Таким образом, можно сказать, что внешний слой сосуда предохраняет его от разрыва при растяжении. Это полностью соответствует данным, полученным опытным путем [7, 8].

Ал -20

[кПа] .25

.30 -35

-6 10 -15

0

1,45 1,55 1,65

ад&еатяция

1,75

г

[мм]

1,45 1,55 1,65 "1,75

Г

[мм]

к= 0 ¿=10 к= 100

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений по радиусу цилиндра для различных

значений коэффициента к при X = 1,7

D

rR

[кПа]

адяъштщш

[кПа]

ад&ентицмя

1,45

1,55

к = О к= 10 к= 100

DzZ

[кПа]

300

250 200

150 100 60

тдиз

адтнттия

1,45

1,55

1,65

к= 0 1 к= 10 ' к= 100

1,75

Г

[мм]

1,65

к= 0 к= 10 к= 100

1,75

г

[мм]

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по радиусу цилиндра для различных

значений коэффициента к при \ = 1,9

Таблица 2

Уменьшение напряжений во внутренней стенке сосуда в процентном отношении к состоянию к =0

X = l,l X = 1,8 X = \,9

к= 10 DrR 2,22 0,12 1,6

D Л срф 4,85 2,43 4,66

DzZ 4,44 2,22 4,24

к =100 DrR 2,76 1,37 3,76

D . фФ 25,36 25,07 31,05

DzZ 23,34 23,04 28,45

к =200 DrR 3,51 5,5 8,384

D . фФ 50,64 56,25 66,34

DzZ 46,9 52,26 61,68

Заключение

Известно, что причиной разрушения внутренней поверхности сосуда, а также возникновения атеросклероза является повышение уровня напряжений во внутреннем слое стенки сосуда. Представляет интерес исследовать влияние жесткости околососудистой среды на напряженно-деформированное состояние во внутренней стенке сосуда. Из сравнения значений напряжений видно, что учет влияния внешней упругой среды приводит к уменьшению расчетных значений нормальных напряжений во внутренней стенке сосуда (табл. 2).

Можно также отметить, что наличие упругого основания приводит к увеличению значений радиальной компоненты DrR во внешней стенке сосуда, в то

время как значения окружной D и осевой DzZ компонент уменьшаются.

Изучив влияние величины коэффициента жесткости внешней среды на значение напряжений, можно сделать вывод, что значения к, соответствующие свойствам реальной околососудистой среды, лежат в интервале (8, 120).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 05-01-00638-а и Международного совета по научным исследованиям и обменам (.IREX).

Автор выражает сердечную благодарность профессору JI.M. Зубову за пристальное внимание к работе и помощь в ее выполнении.

Список литературы

1. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980.

2. Обысов, A.C. Надежность биологических тканей / A.C. Обысов. - М: Медицина, 1971.

3. Мартынов, А.И. Особенности растяжимости периферических артерии при эссенциальной гипертензии / А.И. Мартынов, О.Д. Остроумова, В.И. Мамаев, Н.Е. Шаркова, И.Е. Рыбкин, A.A. Зыкова // Терапевтический архив. - 2002. - №4. - С. 85-88.

4. Анании, В.Ф. Биорегуляция человека. Биорегуляция вазомоторных систем. Т.5 / В.Ф. Ананин. - М.: Биомединформ, 1996.

5. Серое, В.В. Ультраструктурная патология / В.В. Серов, B.C. Пауков. - М.: Медицина 1975.

6. Серое, В.В. Соединительная ткань (Функциональная морфология и общая патология) / В.В. Серов, А.Б. Шехтер. -М.: Медицина, 1981.

7. Пуриня, Б.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека / Б.А. Пуриня, В.А. Касьянов. -Рига: Зинатне, 1980.

8. Holzapfel, G.A. A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models / G.A. Holzapfel, Т.О. Gasser, R.W. Ogden // Journal of Elasticity. 2000. - Vol. 61. -No. l.-P. 1-48.

AN INFLUENCE OF PERIVASCULAR TISSUE PROPERTIES ON MECHANICAL RESPONSE OF ARTERIAL WALL

АЛЛ Sokolov (Rostov-on-Don, Russia)

An influence of the perivascular medium (muscular and connective tissues) on the mechanical response of healthy carotid artery in regular physiological state is investigated. Calculation is taken in a case of the carotid artery from a rabbit. The artery is modelled as a two-layer thick-walled tube under loading of torsion, tension and inflation. The anisotropic incompressible nonlinear elastic material is considered. It is supposed that the arterial vessel is surrounded by elastic medium, which has properties of Winkler's foundation. An analytical expression of stress tensor components is obtained in quadratures. A comparative analysis of perivascular media with different values of rigidity is carried out.

Key words: biomechanics, circulatory system, computer biomechanics, arterial wall, nonlinear theory of elasticity.

Получено 01 марта 2005