Выпучивание двухслойной круглой плиты с предварительно напряженным слоем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ВЫПУЧИВАНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫМ СЛОЕМ*

© 2014 г. В.В. Еремеев, Л.М. Зубов

Еремеев Вадим Викторович - аспирант, младший научный сотрудник, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: er.vadim@gmail.com.

Зубов Леонид Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: zubovl@yandex.ru.

Eremeev Vadim Victorovich - Post-Graduate Student, Junior Researcher, Department of Theory of Elasticity, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: er.vadim@gmail.com.

Zubov Leonid Mikhailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theory of Elasticity, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zubovl@yandex.ru.

Рассмотрена задача о потере устойчивости равномерно сжатой двухслойной круглой пластинки из неогуковско-го материала. Нижний слой подвергнут предварительной однородной деформации и скреплен с верхним слоем по плоскости контакта. Устойчивость составной пластинки при равномерном боковом сжатии изучается на основе нелинейной трехмерной теории упругости. Составлены трехмерные дифференциальные линеаризованные уравнения равновесия для каждого слоя. Методом разделения переменных построены решения этих уравнений. Проведен анализ зависимости критического усилия от начальной деформации и жесткости предварительно напряженного слоя.

Ключевые слова: нелинейная теория упругости, устойчивость, бифуркация равновесия, двухслойная пластина.

We analyze instability of a uniformly compressed circular two-layered plate with initially compressed or stretched layer. As a constitutive relation of material we use the incompressible neo-Hookean model. We assume that the bottom layer is subjected by radial tension or compression. As a result in this layer there are initial strains and stresses. The two-layered plate is subjected by uniform lateral compression. The stability of the plate we study with the use the static Euler method. We derive the three-dimensional linearized equilibrium equations for each layer. The solutions of the latter equations are obtained with the help of Fourier method. We present analysis of dependence of critical stress resultants on the initial strains and stiffness parameters.

Keywords: no-nlinear elasticity, buckling, bifurcation of equilibrium, two-layered plate.

Рассмотрена задача о потере устойчивости равномерно сжатой двухслойной круглой пластинки из неогуковского материала. Нижний слой подвергнут предварительной однородной деформации и скреплен с верхним слоем по плоскости контакта. Устойчивость составной пластинки при равномерном боковом сжатии изучается на основе нелинейной трехмерной теории упругости. Составлены трехмерные дифференциальные линеаризованные уравнения равновесия для каждого слоя. Методом разделения переменных построены решения этих уравнений. Проведен анализ зависимости критического усилия от начальной деформации и жесткости предварительно напряженного слоя.

При описании деформирования неоднородных тел зачастую бывают ситуации, когда невозможно

для всего тела. Примерами таких ситуаций являются тела с предварительно напряженными включениями, которые создают несовместные (разрывные) деформации. Предварительно напряженные включения возникают, например, при соединении элементов конструкций с натягом, в конструкциях с остаточными напряжениями, обусловленными пластическими деформациями, неравномерным нагревом, фазовыми переходами, напылением поверхностного слоя и другими факторами. В этих случаях за отсчетную конфигурацию следует принимать такую, которая является естественной (ненапряженной) для одних частей тела и напряженной -для других.

Основные соотношения

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 15-01-01492).

выбрать единую для всех точек тела отсчетную Уравнения равновесия нелинейной теории уп-конфигурацию так, чтобы она была ненапряженной ругости при отсутствии массовых сил относитель-

но отсчетной конфигурации записываются следующим образом [1]:

У-Б = 0, Б = Б(С), (1)

где V - оператор градиента в отчетной конфигурации; Б - тензор напряжений Пиолы; С - градиент деформации.

Тензоры Б и С зависят, вообще говоря, от отсчетной конфигурации. Пусть мы имеем две от-

счетные конфигурации к ик , аС (к ^ х) иС

(к ^ х) - соответствующие им градиенты деформации, отвечающие одной текущей конфигурации X. Справедлива [1-3] следующая формула преобразования градиента деформации при изменении

отсчетной конфигурации: С = Р-С , где Р - градиент деформации при переходе от одной отсчетной

конфигурации к другой: Р: к ^ к .

Записывая выражения для тензоров Пиолы в разных отсчетных конфигурациях

D = (det C)C_1-T, D = (det C )C T, где T - тензор напряжений Коши, получаем связь между D и D :

(2)

Б = Р)-1РБ.

Для несжимаемого материала определители градиента деформации в разных отсчетных конфигурациях и градиента деформации перехода равны

единице: det С = det С = det Р = 1.

В качестве уравнения состояния примем модель несжимаемого неогуковского материала. Для него удельная потенциальная энергия деформации Ш и тензор напряжений Пиолы относительно ненапряженной отсчетной конфигурации к задаются выражениями

W = ü

2

tr(c-e) - з

D = цС - pC

-T

решения. Рассмотрим возмущения вида R = R0 +-qw , D = D0 + qD+...,

D = d D(C + qVw) dq

q=0

где ц - материальная постоянная, имеющая смысл модуля сдвига; р - давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию.

Согласно (2), тензор напряжений Пиолы для неогуковского материала относительно преднапря-женной отсчетной к конфигурации имеет вид

Б ' =ц1РГ -Р-С ' - р1С '~Т .

Для исследования устойчивости равновесия применим метод линеаризации нелинейных уравнений [1]. Суть метода состоит в том, что на известное напряженное состояние тела, называемое невозмущенным, накладывается малая деформация, которая определяется из линеаризованных уравнений равновесия и линеаризованных граничных условий. Далее разыскиваются такие параметры нагружения, при которых однородная линеаризованная краевая задача допускает нетривиальные

где ц - малый параметр; Я - радиус-вектор точек тела в возмущенном деформированном состоянии; w - вектор малых добавочных перемещений, а знак «0» внизу относится к невозмущенному состоянию. Подставляя эти разложения в нелинейные уравнения равновесия и граничные условия, удерживая члены только первого порядка относительно параметра ц , получим линейную однородную краевую задачу для вектор-функции w .

Для неогуковского материала линеаризованные уравнения равновесия имеют вид [4]

У-Б = 0 , I) = цVw - рС-Т + рС-Т •Vw•C-T. (3)

Аналогично определяется Б :

Б = А^ - рС-Т + р1С-Т •Vw•C-T ,

А = РтР . (4)

Для несжимаемого материала также необходимо рассматривать линеаризованное условие несжимаемости

&(С-1^) = 0. (5)

Таким образом, линеаризованная задача для предварительно напряженного тела состоит из уравнений равновесия (1), в которых используются линеаризованные уравнения состояния (3) или (4), линеаризованное условие несжимаемости (5), дополненных соответствующими граничными условиями, которые здесь не приводятся.

Устойчивость круглой двухслойной плиты

Применим полученные уравнения к случаю круглой двухслойной плиты с начальными напряжениями. Для определенности примем, что начальные напряжения действуют в нижнем слое. Пусть плита радиуса а имеет толщину Н, верхний слой -/, нижний - , Н = / + / (рис. 1). Нижний слой -/ < ^ < 0 предварительно растянут или сжат одинаково во всех горизонтальных направлениях и неподвижно скреплен с верхним слоем 0 < 2 < // по плоскости2 = 0, т.е. имеем с учетом условия несжимаемости

P ^^r^r I ^СфСф I ^ •

(6)

а = const > 0 .

После этого двухслойная плита подвергается однородной осесимметричной деформации, обусловленной нормальной нагрузкой, приложенной к боковой поверхности r = a. Плоские грани плиты

z = —Й2 и z = h свободны от внешних сил. Таким образом, невозмущенное состояние составной плиты описывается формулами

C = Xerer + ^ефеф + X-2ezez, 0 < z < h1,

C = Xerer + + X-2ezez, - h2 < z < 0, (7)

X = const > 0 .

В (6), (7) er, eф, ez - единичные векторы, касательные к координатным линиям системы цилиндрических координат r, ф , z ; а - параметр предварительной деформации нижнего слоя; X - параметр деформации составной плиты.

Р = -

X'

4 '

Р =

Р1 = 74^ •

X а

2 = 0 : и(а, г) = 0, Ц^ = 1)2Г, 1)22 = 1)22, и = и, w = ^;

г = Ь_1: ¿>2Г = 0, ¿>22 = 0.

При помощи (3)-(8) найдем выражения линеаризованных тензоров Пиолы для нижнего и верхнего слоев соответственно.

D

V ^^ - X-1p' (z)J0 (knr) + dr

IX- 2 PiV (z)

or

x er er +| ma2W ' J + XAU (z) Ji(knr) |ere z +

( ? 1 - 1 - ^

Иа 2- U (z)J1(k"r) -X-1P (z)Jo(k"r) + + r

X-2p11 U (z)J1(k"r) r

e9e9+ (9)

Рис. 1. Круглая двухслойная пластинка

Невозмущенное плоское напряженное состояние плиты описывается формулами

Ц = Цф=цХ-рХ-1, Ц = цХ-2 -рХ2,

' ' 2 —1 Цг = Цр =1^1X3, - р1Х ,

Ц = ^Х-2а-4 - ЛХ2 ,

Ц1а

-4 dU (z)

+

Ц1а

dz

-4 dW' (z) dz

J1(knr) + XP1W (z)

dJ o(k"r) dr

J 0 (knr) -X- 2 P (z) Jo(knr) +

+ P1X4 Jo(knr)

dz

D

^U -X-1P( z) J o(knr) +

dr

+ X- 2 pU (z)

dr

Будем разыскивать осесимметричное решение линеаризованной задачи в форме w = и (г, 2)ег + w(r, 2)еъ,

и(г, 2) = ^ (2У1(к„г) , w(r, 2) = (2У0(к„г) , р(г,2) = Рп(2У0(к„г), (8)

где Jo и ,/1 - функции Бесселя; кп = — ; у п - п -й

а

корень уравнения /1 (у) = 0 . Далее предполагается, что при потере устойчивости боковая поверхность цилиндра находится в условиях «скользящей заделки». Это означает, что отсутствуют добавочные радиальные перемещения и касательные поверхностные силы. При малой толщине такие краевые условия соответствуют защемленной пластинке.

+ | ^W Jtr) +XpU(z)J1(knr) \erez +

( 1 1 ^

Ц1U (z) J1 (knr) - X-1P( z) Jo (knr) +

+ r 2 1

+ X- 2 p 1U (z) J1(knr) r

e9e9 +

(10)

+ J1(knr) + XpW(z) ^(V)^ +

dz

dr

Г

+

jo (knr) - X-2p(z) Jo (knr) +

dz

+ pX4 J o(knr)

dz

Далее, подставив (9) и (10) в (1), получим сис-

Таким образом, линеаризованные граничные темы линейных дифференциальных уравнений 2-го

условия и условия сопряжения слоев даются формулами

г = а: и(а, г) = 0, ег Бег = 0; г = -1г_2 : Ц2Г = 0, Ц22 = 0;

порядка относительно неизвестных функций и (2),

Ш (2), Р (2) и и(2), Ш(2), Р(2) для нижнего и верхнего слоев соответственно.

X

+

e zer +

e z e z ;

e z e z •

шщ а

-4 d-U2+pX"2U+k2 )p (Z)+ dz V r

1 ' ' + X-1knP (z) -Xp1knW (z) = 0,

i2T-j

, -4 »4, d2W(z) 2 dP (z) (^a 4 + pjX4)-—— -X2-— +

dz2

dz

+ Xpjkn - ща2kn2w' (z) = 0,

dz

X2 dTJÜ + x-jknp' (z) = 0,

dz

d 2P (z) I ._2l

-(| + pX-2 + kn2 )p (z)

+ X-1knP( z) -XpknW (z) = 0,

(| + pX4)

44 d 2W(z) 2 dP(z)

-X2

dz2

dz

(12)

Bzz (z) = Mja'

dz

-4 dW ' (z) 2

dz

- X-2 P (z) + p1X

4 dW (z) .

dz

Bzr (z) = |—pz) + XpW(z);

Bzz (z) = |

dz

dW ( z) -2

dz

-X-2 P(z) + pX4

4 dW(z)

dz

Справедливы формулы

d

dz d

P (z) = 1— W (z) + pjX2 I-

11

a X

P(z) = |—W(z)|4 + pX2 I-

Bzz (z).

X2

Bzz (z)

дифференциальных уравнений 1-го порядка для верхнего и нижнего преднапряженного слоев

±и (г)= Bzriz)+XPkWM

dz ц ц

(11) V -zW (z ))X + = 0,

(13)

-Bzr (z)+ P(z) dz

| d + 1 — W (z) V dz

f i2 \ 2,,_ "2 p

n

- kn!-"

•V-/ — V-/ ~nr- 2

V X )

W (z ))"n (X3 + 4 "Bß

= 0,

— Bzz (z) + X pK— P (z) - W (z) = 0,

dz d

dz

+ Хркп?Ш (z) = 0,

dz

х2 + х-1к2и (^ = 0. dz

Для упрощения дальнейших вычислений сведем системы уравнений (11) и (12) к системам линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Введем для каждого слоя неизвестные функции Бг и Б^ , выражаемые через компоненты линеаризованных тензоров Пиолы

В 1Г (г, z) = Б1Г (z)31 (кп г) , (г, z) = Б22 (z)Зо (К г),

Б',, (z) = И а-4 ^^ + Хр^' (^ ;

. P(z) =

dz ц

а4B'zr (z) , Xpj "na4W' (z)

11

(—W (z ^ "niXi^i = 0.

-Br (z) + P(z)

dz

X

( 1 2 | " 2U a 2 "n p1 - kn |a -

(14)

X2

w' (z))"

11

"nI 4,3

,a X

+ p1 XI-

knBzz (z)

= 0,

dz

Bzz (z) + Xp "n — P' (z) -11 a2"n2W' (z) = 0 .

dz

^ '-у^х2 ; х2

Таким образом, исключая из систем (11) и (12) добавочные давления Р (z) и Р^) в слоях и подставив выражения для первых производных функций перемещений, получим системы линейных

Системы (13) и (14) численно решались в среде Maple относительно X.

Результаты расчетов

В качестве тестового примера рассмотрена однослойная пластинка. Для соотношения H / a = yf1 полученное значение критической деформации X = 0,944 совпадает со значением критической деформации из [4].

Далее все результаты получены для a = 3,8317. Под критическим усилием понимается величина N = Drdx3.

На рис. 2а представлены графики зависимости критического усилия от общей толщины пластинки в интервале 0,1 < H < 1 при ^ = h, ц = ц = 1 и при различных значениях параметра начальной деформации а нижнего слоя. На рис. 2б - графики зависимости критического усилия от общей толщины пластинки в интервале 1 < H < 3 при = h, ц = ц = 1 и при различных значениях параметра начальной деформации а нижнего слоя.

+

+

+

+

3

X

б

Рис. 2. Критическое усилие в зависимости от толщины пластинки Н а - 0,1 < Н < 1; б - 1 < Н < 3

а

На рис. 3 показана зависимость критического усилия от модуля сдвига нижнего слоя при фиксированной толщине плиты к2 = к1 = 0,5 при ц = 1 и при различных значениях параметра начальной деформации а.

Из расположения кривых на рис. 2, 3 видно, что для сравнительно тонких пластинок предварительное растяжение нижнего слоя повышает устойчивость пластинки, а предварительно сжатие уменьшает критическое усилие.

При росте модуля сдвига нижнего слоя ц увеличивается величина сжимающего усилия, необ-

ходимого для потери устойчивости. На этом же рисунке видно, что при ц/ ц > 0,25 каждая из

Рис. 3. Критическое усилие в зависимости от модуля сдвига нижнего слоя ц

кривых критических усилий, соответствующая различному значению параметра начальной деформации а нижнего слоя, убывает линейным образом.

Литература

1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1990. 512 с.

2. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Berlin, 2004. 602 p.

3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., 1975. 592 с.

4. Зубов Л.М. Выпучивание пластинок из неогу-ковского материала при аффинной начальной деформации // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 4. С. 632-642.

Поступила в редакцию

6 октября 2014 г.