CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м XX 1989
№ 3
УДК 629.7.015.4.023
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ КОЛЕЦ
Р. А. Мирошник
Приводится метод численного решения задач устойчивости для замкнутых плоских колец, нагруженных в своей плоскости произвольными распределенными и сосредоточенными нагрузками, фиксированными, либо следящими. Рассматривается потеря устойчивости кольца как с выходом из его плоскости, так и без выхода из нее.
Рассматриваются различные числовые примеры решения задач устойчивости для колец на упругом основании, нагруженных постоянным давлением.
Полученные результаты согласуются для частных случаев с известными в литературе
1. В статье приводится метод численного решения задач устойчивости для замкнутых колец, осевая линия которых до нагружения есть плоская кривая.
Рассматривается потеря устойчивости кольца как с выходом из его плоскости, так и без выхода из нее, при этом кольцо в своей плоскости может быть нагружено произвольными распределенными и сосредоточенными нагрузками, а также иметь переменные по длине жесткости. Кольцо может иметь произвольное число промежуточных упругих, либо жестких опор. Силы и моменты, нагружающие кольцо, могут быть как фиксированными, т. е. сохраняющими после потери устойчивости свои направления относительно неподвижных осей, так и следящими, т. е. сохраняющими свои направления в связанных осях. Кроме этого, внешние силы могут зависеть от перемещения точек осевой линии кольца и от их производных.
Среди известных методов исследования устойчивости такого рода систем [1, 4, 6] наиболее распространены энергетические методы, однако эти методы эффективны при условии задания с достаточной точностью форм потери устойчивости, что не всегда возможно.
Изложенный в статье метод связан с численным интегрированием линейных дифференциальных уравнений равновесия [3] с помощью метода Ньютона [2, 7].
При выводе уравнений равновесия кольца после потери устойчивости предполагается, что форма кольца в критическом состоянии мало отличается от его формы в обычном состоянии. Критическое состояние кольца — это его неустойчивое напряженно-деформированное состояние, предшествующее потере устойчивости, когда осевая линия кольца еще остается плоской кривой.
Из общих уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня [5] для частного случая плоского кольца получены дифференциальные уравнения равновесия кольца после потери устойчивости в безразмерной форме. В связанной системе
координат (е1г е2, е3), где в качестве независимой переменной взят угол ф, эти уравнения имеют следующий вид:
+ <?!,-да.
Q2 = Q\l* М3 + Qi — APt,
М$ — Qz Ат3, (1.1)
®з ~ Мъ «2 = — и1> и\ = ы2„
<?3 = — <?$ Af, + <?£> м2 - Др3,
Afj= Af2 — М3, Л1а — Дт1»
М2= (9Af3* — 1) Afj -f Q3 — Д/Иг» 2)
»; = ра#, + »2,
«3 = — *2-
Здесь Qj, Mj, ft у и Uj (/=1, 2, 3)—соответственно безразмерные внутренние силы, моменты, углы поворота связанных осей и перемещения точек осевой линии после потери устойчивости, Api, Am.j — безразмерные приращения приложенных к кольцу нагрузок при его переходе в новое равновесное состояние. Величины со звездочкой Q$, О2*'1 ^1**’ @2*' ^3*— компоненты безразмерных векторов внутренних
сил и моментов, соответствующих критическому состоянию кольца. Компоненты со звездочкой в рассматриваемом случае предполагаются известными из решения соответствующей линейной задачи статики для кольца.
Безразмерные величины связаны с размерными (с индексом р) зависимостями:
Qi = QipM2x2, — Q2pjAg х2, Q3 = Q3plA3 *2>
Мх = MlpjA2 х, М2 = М2 Р1А3 х, М3 — Мзр1А3 х,
Uj=Ujp-%, APl = Дptр!А2 Др2 = bp2pIA2 х2, Ар3 = Ар3р\Аз х2, Ату = Атхр/Л3 х Ат2 = Ат2р1А3х, Ат3 = Am3pjA2x, р = A2/At
Oil* = Qi*„/4> х2, Q$ = ОздМз xs, ‘ '
Qf*1 = QuplA4 *3> Qf* = Q2*plA2 x2,
где x = 1/p, p — радиус кривизны кольца, Л2, Л3 — крутильная и изгибные жесткости стержня.
Рассмотрим случай, когда приращения внешних нагрузок, входящие в уравнения (1.1), не зависят от неизвестных функций, входящих в уравнения (1.2) и наоборот приращения нагрузок из уравнений (1.2) не зависят от функций уравнения (1.1). В этом случае система плоско-пространственных уравнений равновесия кольца распадается на две независимые системы уравнений (1.1) и (1.2), причем первая из них служит для определения критических нагрузок без выхода кольца из плоскости, а вторая — при нахождении критических нагрузок с выходом кольца из плоскости.
Критические нагрузки для указанных случаев находятся из решения соответствующих краевых задач для неоднородной системы уравнений путем движения по параметру нагрузки [3]. Если исходная система дифференциальных уравнений однородна, она искусственно превращается в неоднородную путем приложения малой допол-
нительной нагрузки в направлении потери устойчивости так, чтобы решение исследуемой системы уравнений всегда было отличным от тривиального.
Для замкнутого кольца условия периодичности решений имеют вид соответственно для систем уравнений (1.1) и (1.2);
<?, (0) = <?, (271), <?2 (0) = <?2 (2*), Мй (0) = М3 (2те) 93 (0) = »3 (2 л), и, (0) = щ (2 те), ы2 (0) = и2 (2 л).
(1.3)
(?з (0) = <?3 (2х), Л*! (0) = М, (2т.), Л12 (0) = М2 (2я), (0) = »і (2те), й2 (0) = (2те), и3 (0) = а3 (2 те).
(1.4)
/м
Ф1 = Ф.8
Фи
Ф.і
\Фір
Векторы невязок Фі и Ф2 соответственно для систем (1.1) и (1.2) равны
<?і(0)-<гі(2^
Фз (0) — Ол (2 я)
М3{0)-М3(2к) , ф2= Ф23 = Лї2 (0) — Л12(2 те) (1-5)
»з (0) — ^з (2 я) н, (0) — Ц] (2 л) і И2 (0) — И2 (2 те) /
/Ф2Д / Сїз(0)-(?3(2г.) \
ф22 Мх (0) — Мі (2 те)
Ф23 Л*2 (0) — М2 (2 те)
Ф24 »і(0)-»і (2 те)
і®*! »2 (0) - &2 (2 те)
\Ф2в/ ' «з (0) — и3 (2 те) у
Векторы начальных параметров К1 и К2, удовлетворяющие условиям периодичности (1.3) или (1.4) для исследуемых систем уравнений
Г,=
находятся из зависимостей
<2і (0) С?2(0) М3(0)
»з(0) щ (0)
1 и2(0)
Угі' / 0з(0)
у22 \ / АГж(0)
У 23 М2(0)
У'и (0)
У 25 / \ МО)
Уж/ \ «з (0),
(1.6)
У^УЇ+КгЧГг)-*!^), Г2=У° + ^2-1(1^)-Ф2(К°),
(1.7)
где Кр Кд—произвольные векторы начальных параметров, задаваемые в нача-ле численного решения задачи, №Г1(К®), ИМ^г) — якобианы, вычисляемые численно с помощью разностных формул и равные
имк?) =
' дуп ' ■ ’ йуі6
\ ду1Х ' ' ' д;у]6
, (Г°) =
ЙФ21 дФ2і
Зу2і дУ2в
д$2в дФ2б
дЪх дУж
(1.8)
Для формирования матриц (1.8) каждая из систем уравнений (1.1) и (1.2) должна быть проинтегрирована семь раз.
Критические нагрузки находятся путем увеличения внешних нагрузок, от
которых линейно зависят компоненты С?2*'> ^1*)> Фг**» ^з*> от нуля Д° зна*
чений, при которых решения уравнений (1.1) или (1.2) резко возрастают [3].
2. В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости плоской формы кругового шпангоута, радиуса показанного на рис. 1. В рассматриваемом случае критические нагрузки находятся из системы уравнений (1.2) с условиями периодичности (1.4). Шпангоут, подкрепляющий оболочку 3, на которую Действует внешнее давление Рр, состоит из нетонкостенного свободного пояса 2, тонкой стенки 1 и связанного с оболочкой пояса 4. Пунктиром на рисунке показана форма потери устойчивости (опрокидывания) шпангоута. Свободный пояс 2 рассмотрим как кольцо, лежащее на упругом основании с известными линейной жесткостью кир и угловой жесткостью Наличие упругого основания приводит к появлению слагаемых — кииг и — £<>81
А-А
Рис. 1
в
50
100
150 . П.
Рис. 2
соответственно в величинах Ар3 и Ami в уравнениях (1.2), где ku = kUpR3/A3, kfr = k$ R/A3. Компоненты внутренних сцловых факторов в критическом состоянии, р
входящие в уравнения, равны
= -Р, = М3* = 0 (р = Рр ЩА3).
На рис. 2 показаны зависимости критического безразмерного давления р от упругости основания k (для стенки 1 постоянной толщины принято k = ku, ku= *&/3).
Кривая 1 построена для следящей нагрузки рр (для различных значений |3 все кривые совпадают с ней). Кривые 2 и 3 соответствуют {5=0 и оо для фиксированной нагрузки, когда
Ap3 = — ku иъ — р\.
Всем промежуточным значениям 0<р<°о соответствуют кривые, располагаю щиеся между кривыми 2 и 3.
Из расчетов получено, что при k = 0 значения критического давления совпадают с известными зависимостями [4] для круговых колец: ркр = 3 для следящей нагрузки и р„р=9/(4 + р) для мертвой нагрузки.
При вычислении критического давления для кольца без упругого основания (k = 0) для того, чтобы якобиан W2 (был невырожденным, необходимо исключить возможность смещения и поворота кольца как жесткого целого. Для этого надо вычислять критическое давление при малой жесткости упругого основания (/г > 0), что практически не меняет искомую величину критического давления.
Для превращения исходной системы (1,2) в неоднородную, необходимо загрузить кольцо самоуравновешенной нагрузкой
<?з = .Д sin 2 ?, (2.1)
где А — малая величина.
Предлагаемый алгоритм численного решения задач устойчивости позволяет находить критические нагрузки для плоских колец при произвольном законе изменения внутренних силовых факторов в критическом состоянии.
ЛИТЕРАТУРА
1. А л футов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем.— М.: Наука, 1978.
2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М.: Наука, 1960.
3. Мирошник Р. А. О численном решении задач устойчивости прямых стержней с упругими опорами. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19 № 1.
4. Прочность, устойчивость колебания. Т. 1. — /Под редакцией Биргера И. А. и Паповко Я. Г. — М: 1968.
5. СветлицКий В. А. Нелинейные задачи статической устойчивости стержней. Расчеты на прочность. — М.: 1986. вып. 27.
6. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем.— М.; 1946.
7. Шаманский В. Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ.— Киев.: Наукова думка, 1966.
Рукопись поступила 10/VI 1987
