CC BY
31
УДК 574.76
В. С. Малаховский
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
Удивительные свойства двух первых простых чисел
С использованием простых чисел 2 и 3 доказано, что подмножества простых чисел р таких, что
тг < р <Мг, где 5 < тг < 11; 103 < Мг < 337, разбивается на пары подклассов и порождают новые простые числа.
Ключевые слова:простое число, подмножество, подкласс.
С использованием простых чисел 2 и 3 докажем, что подмножества простых чисел р таких, что
т < р < м1, (1)
где
5 < т1 < 11; 103 < М1 < 337, (2)
разбивается на пары подклассов и порождают новые простые числа.
Теорема 1. Простые числа р, удовлетворяющие неравенствам (1), обладают следующими свойствами.
1. Если простое число р не оканчивается на единицу и удовлетворяет условиям
5 < р < 103 л р ёЁ {47,53,67,73}, (3)
то число
3 р + 2 (4)
— простое.
© Малаховский В. С., 2017
Если
р £{47,53,67,73}, (5)
то число
2 р + 3 (6)
— простое.
2. Если простое число р оканчивается на семь и удовлетворяет условиям
7 < р < 337 л р € {37,107, 257, 317}, (7)
то число (6) — простое. Если же
р £{37,107,257,317}, (8)
то число
2 р + 32 (9)
— простое.
3. Если простое число р оканчивается на единицу и удовлетворяет условиям
11 < р < 151 л р Ф 41, (10)
то число (9) — простое. Если же
р = 41, (11)
то числа
3 р + 22, р + 6 (12)
— простые.
4. Если простое число р оканчивается на единицу и удовлетворяет условиям
11 < р < 191 л р €{61,71}, (13)
то число
3 р + 22
(14)
простое. Если
р £{61,71}, (15)
то число (9) — простое.
5. Если простое число р не оканчивается на девять и удовлетворяет условиям
5 < р < 107 л р €{43,71},
то число
простое. Если
р + 2 • 3
р = 43,
то числа (4) и (6) — простые. Если
р = 71,
(16)
(17)
(18) (19)
то число (9) — простое. Доказательство.
1. 3 • 5 + 2 = 17; 3 • 7 + 2 = 23; 3 • 13 + 2 = 41; 3 • 17 + 2 = 53; 3 • 19 + 2 = 59; 3 • 23 + 2 = 71; 3 • 29 + 2 = 89; 3 • 37 + 2 = 113; 3 • 43 + 2 =131; 3 • 59 + 2 = 179; 3 • 79 + 2 = 239; 3 • 83 + 2 = 251; 3 • 89 + 2 = 269; 3 • 97 + 2 = 293; 3 • 103 + 2 = 311. С другой стороны,
2 • 47 + 3 = 97; 2 • 53 + 3 = 109; 2 • 67 + 3 = 137; 2 • 73 + 3 = 149.
2. 2 • 7 + 3 = 17; 2-17 + 3 = 37; 2 • 47 + 3 = 97;
2 • 97 + 3 = 197; 2 • 127 + 3 = 257; 2 • 137 + 3 = 277; 2 • 157 + 3 = 257; 2 • 167 + 3 = 337; 2 • 197 + 3 = 397; 2 • 277 + 3 = 557;2^307 + 3 = 617; 2 • 337 + 3= 677. С другой стороны,
2 • 37 + 9 = 83; 2 • 107 + 9 = 223; 2 • 257 + 9 = 523; 2 • 317 + 9 = 643.
3. 2 • 11 + 9 = 31; 2 • 31 + 9 = 71; 2 • 61 + 9 = 131;
2 • 71 + 9 = 151; 2 • 101 + 9 = 211; 2 • 131 + 9 = 271;
2 • 151 + 9 = 311.
С другой стороны, 3 • 41 + 4 = 127; 41 + 6 = 47.
4. 3 • 11 + 4 = 37; 3 • 31 + 4 = 97; 3 • 101 + 4 = 307;
3 • 131 + 4 = 397; 3 • 151 + 4 = 457; 3 • 191 + 4 = 577. С другой стороны, 2 • 61 + 9 = 131; 2 • 71 + 9 = 151.
5. 5 + 6 = 11; 7 + 6 = 13; 11 + 6 = 17; 13 + 6 = 19; 17 + 6 = 23; 23 + 6 = 29; 31 + 6 = 37; 37 + 6 = 43; 41 + 6 = 47; 47 + 6 = 53; 53 + 6 = 59; 61 + 6 = 67; 67 + 6 = 73; 73 + 6 = 79; 83 + 6 = 89; 97 + 6 = 103; 103 + 6 = 109; 107 + 6 = 113.
С другой стороны, 2 • 43 + 3 = 89; 3 • 43 + 2 = 131;
2 • 71 + 9 = 151.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2. Числа
2п + 3,3й + 2,2й + 3й + 2• 3 (п = 1,4)
— простые.
Доказательство. 2 + 3 = 5; 4 + 3 = 7; 8 + 3 = 11; 16 + 3 = = 19; 3 + 2 = 5; 9 + 2 = 11; 27 + 2 = 29; 81 + 2 = 83; 2 + 3 + 6 = 11; 4 + 9 + 6 = 19; 8 + 27 + 6 = 41; 16 + 81 + 6 = 103. Что и требовалось доказать.
Список литературы
1. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю. и др. Живые числа. М., 1985.
2. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.
3. Малаховский В. С. Удивительные свойства некоторых подмножеств простых чисел и их особая роль во множестве натуральных чисел // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 89—97.
V. Malakhovsky Wonderful properties of two first prime numbers
By using prime numbers 2 and 3 it is shown that subsets of prime numbers p where mi < p < Mt, 5 < mt < 11; 103 < Mt < 337, decomposes upon pairs of subsets producing new prime numbers.
Key words: prime number, subset, subclass.
УДК 514.76
К. В. Полякова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
О действии структурной группы главного расслоения в его касательном пространстве
Показано, что применение дифференцирования по групповым параметрам к векторам приводит к уравнениям инфинитезимального действия группы, а в случае классического тензора — к тензорному закону Лаптева при фиксации точки базы.
© Полякова К. В., 2017
