Об одном способе нахождения простых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 574.76

В. С. Малаховский ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ НАХОЖДЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Показан метод нахождения простых чисел без компьютерного вычисления. Рассмотрены множества P1 = {6k1-1}, P2 = {6k2 + 1}, Q1 = {6j1-1}, Q2 = {6j2 + 1}, где P1 uP2 - множество всех простых чисел p > 5; Qi - все нечетные составные числа такого вида. Исследованы подмножества Ai = {ki} и Bi = {ji} (i = 1, 2). Доказано, что Bi легко определяются конкретными последовательностями натуральных чисел для ji<a -EN. Числа ki образованы пропущенными в множествах Bi натуральными числами, так как Ai = N\ Bi. Для ki<200 определены ki подмножества множеств Ai, а значит, определены и соответствующие подмножества простых чисел.

The method of finding prime numbers without computer calculation is shown. Subsets P1 = {6k1 -1}, P2 ={6k2 + 1}, Q1 = {6]1 -1}, Q2 = {6]2 + 1} are considered, where P1 uP2 are all prime numbers p>5; Qi are all odd composite numbers of such form. Subsets Ai = {ki}, Bi = {ji} (i = 1, 2) are investigated. It is proved that Bi by exploit sequences of natural numbers are lastly defined for ji <a-EN. Numbers ki are omitted natural numbers in Bi as Ai = N\Bi. For ki <200 all numbers of the sets Ai (and therefore all such prime numbers of the sets Pi) are defined.

Ключевые слова: простое число, составные числа, простые числа-близнецы, множество, подмножество.

Keywords: prime number, composite numbers, prime numbers-twins, set, subset.

Рассмотрены множества

Ci = {ci}, C2 = {C2}, (1)

где ci = 6ai -1; C2 = 6a2 + 1; ai, a2 ^ N.

Каждое из множеств Ci и C2 разбивается на два непересекающихся подмножества:

Ci = {6ki -i} и {6ji -i}

C2 = {6k2 + i} и {6j2 + i}, (2-3)

где первые слагаемые — множества простых чисел p > 5:

Pi = {6ki -i}, P2 = {6k2 + i}, (4)

а вторые слагаемые — множества нечетных составных чисел:

Qi = {6ji -i}, Q2 = {6j2 + i}. (5)

Известно, что множество P;i и P2 образует множество всех простых чисел p > 5.

21

© Малаховский В. С., 2019

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2019. № 2. С. 21 — 24.

В. С. Малаховский

22

Обозначим

Очевидно,

Л, = {к1}, Б, = {]■} (1 = 1, 2). (6)

Да = Ы\Б1, Л2 = Ы\Б2, (7)

то есть числа к, — это пропущенные натуральные числа множеств Б,.

Предпринимаемые попытки найти формулу для определения простых чисел или — что то же — для чисел к, оканчивались неудачей [1; 2]. По-видимому, такой формулы не существует.

Однако из формулы (7) следует, что множества Ла и Л2 можно определить, зная множества Ба и В2 [3]. Докажем теоремы, позволяющие легко найти эти множества для ], < а € N.

Теорема 1. Множество Ба образовано натуральными числами

Ь-т]п = т + (6т - 1)п, йт1, = -т + (6т + 1)п, (8)

где т, п — произвольные натуральные числа.

Доказательство. Пусть 6]Ч -1 — составное нечетное число, то есть

6]а -1= (28 + 1)(21 + 1), 8, Ь>0. (9)

Из (9) следует

3]1 = 8 (Ь + 1) + Ь(8 + 1) +1. (10)

Возможны следующие случаи:

8 = 3т, Ь = 3п, 8 = 3т, Ь = 3п-1, 8 = 3т, Ь = 3п-2

8 = 3т-1, Ь = 3п, 8 = 3т-1, Ь = 3п-1, 8 = 3т-1, Ь=3п-2 (11)

8 = 3т-2, Ь = 3п, 8 = 3т-2, Ь = 3п-1, 8 = 3т-2, Ь = 3п-2.

Подставляя эти значения в (10), убеждаемся, что только при 8 = 3т-1, Ь = 3п и 8 = 3т, Ь = 3п-1 нет противоречий. В остальных случаях возникает противоречие, поскольку левая часть равенства (10) кратна 3, а правая не может делиться на 3, так как содержит слагаемые ±1 или ±2. Следовательно,

{],}= {С, М^ }, (12)

где К),} и } заданы формулами (8). Ч. т. д.

Теорема 2. Множество Б2 образовано натуральными числами

Ь,т2П = т + (6т + 1)п, йт21 =-т + (6т - 1)п, (13)

где т, п — произвольно натуральные числа.

Доказательство. Пусть 6]2 + 1 — составное нечетное число, то есть

6]2 + 1 = (28 + 1)(2Ь + 1), 8, Ь>0. (14)

Из (14) следует

3]2 = 8(Ь + 1) +Ь(8 + 1). (15)

Об одном способе нахождения простых чисел

Из возможных случаев (11) только при 8 = 3т, Ь = 3п и 8 = 3т -1, Ь=3п-1 нет противоречий. Подставляя эти значения в (15), находим

(]2}= {п }, (16)

где {,1} и {„П } заданы формулами (13). Ч. т. д.

Зададим, например, а = 200. Используя последовательности

1 +5п, 2 + 11п, 3 + 17п, 4 + 23п, ..., (17)

-1 + 7п,-2 + 13п, -3 + 19п, - 4 + 25п, ..., (18)

с учетом ^П < 200, /¡„Ч < 200 получим следующую таблицу для чисел ^

6,11,13,16,20,21,24,26,27,31,34,35,36,37,41,46,48,50,51,54,55,56,57,

61,62,63,66,68,69,71,73,76,79,81,83,86,88,89,90,91,92,96,97,101,102,

104,105,106,111,112,115,116,118,119,121,122,123,125,126,128,130, (19)

131,132,134,136,139,141,142,145,146,149,150,151,153,154,156,160,

161,165,166,167,168,171,173,174,176,178,179,180,181,186,187,188,

189,190,191,193,195,196,200.

Таблица чисел кг < 200 получается выписыванием всех пропущенных натуральных чисел таблицы (19):

1,2,3,4,5,7,8,9,10,12,14,15,17,18,19,22,23,25,28,29,30,32,33,38,39,40, 42,43,44,45,47,49,52,53,58,59,60,64,65,67,70,72,74,75,77,78,80,82,84, 85,87,93,94,95,98,99,100,103,107,108,109,110,113,114,117,120,124, (20)

127,129,133,135,137,138,140,143,144,147,148,152,155,157,158,159, 162,163,164,169,170,172,175,177,182,183,184,185,192,194,197,198,199.

По формулам (4) таблица (20) определяет все простые числа от 5 до 1193 включительно.

Для получения простых чисел подмножества Р2 составляют таблицу из чисел ]2 < 200 множества В2, используя последовательности чисел

и :

1 + 7п, 2 + 13п, 3 + 19п, 4 + 25п, ..., (21)

-1 +5п, - 2 + 11п,-3 + 17п,-4 + 23п, ... . (22)

Эта таблица имеет вид 4,8,9,14,15,19,20,22,24,28,29,31,34,36,39,41,42,43,44,48,49,50,53,54,57,59, 60,64,65,67,69,71,74,75,78,79,80,82,84,85,86,88,89,92,93,94,97,98,99,104, 106,108,109,111,113,114,116,117,119,120,124,127,129,130132,133,134, (23) 136,139,140,141,144,145,148,149,150,152,154,155,157,158,159,160,162, 163,164,167,169,171,174,176,179,180,183,184,185,189,190,191,193,194, 196,197,198,199.

23

В. С. Малаховский

Таблица чисел к2 получается выписыванием пропущенных в таблице (23) натуральных чисел. Она имеет вид

1,2,3,5,6,7,10,11,12,13,16,17,18,21,23,25,26,27,30,32,33,35,37,38,40,45,

46,47,51,52,55,56,58,61,62,63,66,68,70,72,73,76,77,81,83,87,90,91,95,

96,100,101,102,103,105,107,110,112,115,118,121,122,123,125,126, (24)

128,131,135,137,138,142,143,146,147,151,153,156,161,165,166,168,

170,172,173,175,177,178,181,182,186,187,188,192,195,200.

По формулам (4) таблица (24) определяет все простые числа множества P2 7 < p < 1201.

Сравнивая таблицы (20) и (24), выбирают совпадающие в них натуральные числа и получают таблицу чисел ко Ло = Ai П Лг, определяющую пары простых чисел-близнецов (6к0 -1, 6к0 + 1). Эта таблица имеет вид

1,2,3,5,7,10,12,17,18,23,25,30,32,33,38,40,45,47,52,58,70,72,

77,87,95,100,103,107,110,135,137,138,143,147,170,172, (25)

175,177,182,192.

С учетом формулы (4) таблица (25) дает следующую совокупность пар простых чисел-близнецов:

(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73),(101,103),(107,109), (137,139), (149,151),(179,181),(191,193),(197,199),(227,229),(239,241),(269,271),(281,283),

(311,313),(347,349),(419,421),(431,433),(461,463),(521,523),(569,571),(599,601),

(617,619),(641,643),(659,661),(809,811),(821,823),(827,829),(857,859),(881,883),

(1019,1021),(1031,1033),(1049,1051),(1061,1063),(1091,1093),(1151,1153).

Список литературы

1. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю. и др. Живые числа. М., 1985.

2. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.

3. Малаховский В. С. Удивительные свойства двух первых простых чисел // Диф. геом. многообр. фигур : межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 69 - 73.

Об авторе

Владислав Степанович Малаховский — д-р физ.-мат. наук, проф. Балтийский федеральный университет им. Канта, Россия. E-mail: nikolaymal@mail.ru

The autor

©

Prof. Vladislav S. Malakhovsky, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: nikolaymal@mail.ru