О закономерностях в строении некоторых подмножеств простых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 574.76

В. С. Малаховский

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

О закономерностях в строении некоторых подмножеств простых чисел

В дополнении к статье [1] даны примеры закономерностей в строении некоторых подмножеств простых чисел.

Ключевые слова: простое число, подмножество, закономерность.

Теорема 1. Пусть х, у, г е {3,5,7} и попарно различны. Числа подмножества

— простые (без пропуска). Доказательство.

3 • 5 + 7 • 2 = 29; 3 • 5 + 7 • 4 = 43; 3 • 5 + 7 • 8 = 71;

3 • 5 + 7-16 = 127; 3 • 5 + 7 • 32 = 239; 3 • 7 + 5 • 2 = 31;

3 • 7 + 5 • 4 = 41; 3 • 7 + 5 • 8 = 61; 3 • 7 + 5 46 = 101;

3 • 7 + 5 • 32 = 181; 5 • 7 + 3 • 2 = 41; 5 • 7 + 3 • 4 = 47;

5 • 7 + 3 • 8 = 59; 5 • 7 + 3 46 = 83; 5 • 7 + 3 • 32 = 131.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть х,у е{3,5} и попарно различны. Числа подмножества

ху + г• 2й (п = 1,5)

(1)

х + у• 2й (п = 1,5)

(2)

простые (без пропуска).

© Малаховский В. С., 2017 66

В. С. Малаховский

Доказательство.

3 + 5 • 2 = 13; 3 + 5 • 4 = 23; 3 + 5 • 8 = 43; 3 + 5-16 = 83; 3 + 5 • 32 = 163; 5 + 3 • 2 = 11; 5 + 3 • 4 = 17; 5 + 3 • 8 = 29; 5 + 3 46 = 53; 5 + 3 • 32 = 101.

Что и требовалось доказать.

Теорема 3. Множество чисел

{5 + 6п} л {7 + 6т}, (3)

где п = 0,18; т = 0,17 и

п е {5к,12}, т е {3,7,8,13,14} (к = 1,18), (4)

определяют все простые числа подмножества

5 < р < 113. (5)

Доказательство. 5; 5 + 6 4 = 11; 5 + 6 • 2 = 17; 5 + 6 • 3 = 23; 5 + 6 • 4 = 29; 5 + 6 • 6 = 41; 5 + 6 • 7 = 47; 5 + 6 • 8 = 53; 5 + 6 • 9 = 59; 5 + 6 • 11 = 71; 5 + 6 • 13 = 83; 5 + 6 • 14 = 89; 5 + 6 • 16 = 101; 5 + 6 • 17 = 107; 5 + 6 48 = 113.

7; 7 + 6 4 = 13; 7 + 6 • 2 = 19; 7 + 6 • 4 = 31; 7 + 6 • 6 = 43; 7 + 6• 9 = 61; 7 + 640 = 67; 7 + 641 = 73; 7 + 642 = 79; 7 + 6 45 = 97; 7 + 6 46 = 103; 7 + 6 47 = 109.

Возникает подмножество всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенствам (5):

{5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113}

Что и требовалось доказать.

Четыре первых простых числа 2, 3, 5, 7, как показано в [1] (см.: формулы (1.1)), определяют (без пропуска!) подмножество простых чисел, а присоединяя к двум из чисел {3, 5, 7} простые числа 11, 23, 37, 79, получаем новые подмножества простых чисел. Действительно, числа

3 • 5 + 7 • 2п (п = 17), 3 • 5 +11 • 2п (п = 1,7), 3• 5 + 23• 2п (п = 1,5), 3• 5 + 37• 2п (п = 1,4), 3 • 5 + 79 • 2п (п = 15), 5 • 7 + 3 • 2п (п = 17), 3• П + 5• 2п (п = 1,7), 3• 11 + 7• 2п (п = 1,3), 5•И + 3• 2п (п = 1,5), 3• 5 + ^2п (п = 1,6), 11 + 22пЧ (п = 1,4)

являются простыми.

Список литературы

1. Малаховский В. С. Удивительные свойства некоторых подмножеств простых чисел и их особая роль во множестве натуральных чисел. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 89—97.

V. Malakhovsky

About regularities in construction of some subsets of prime numbers

In addition to article [1] examples of regularities in construction of some subsets of prime numbers are given.

Key words: prime number, subset, subclass.