CC BY
68
О некоторых закономерностях в строении подмножеств простых чисел
УДК 519.688:511
В. С. Малаховский
О НЕКОТОРЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ В СТРОЕНИИ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Показано, что первая четверка простых чисел 2, 3, 5, 7 порождает конечные подмножества простых чисел, допуская принцип взаимозаменяемости. Установлено, что любое простое чис/ю р (11^р$Л1, р*19), оюжен-ное с двумя предшествующими простыми числами, порождает простое чиою и любое простое чис/ю р (5^р^31, р *13), оюженное с двумя поые-дующими простыми числами, также порождает простое число.
It is shown that the first four primes 2, З, 5, 7 generate finite subsets of primes, assuming the principle of interchangeability. In is established that any prime p(ll t^pt^41, p * 19), added together until two preceding primes generates a prime and that any prime p (5^p^31, p *13), added together until two consequent primes generates also a prime.
Ключевые слова: простое число, подмножество, взаимозаменяемость.
Key words: prime, subset, interchangeability.
1. Немного истории
С момента возникновения понятия «простое число» прошли тысячелетия. Многие выдающиеся ученые, убежденные в исключительной роли в математике множества простыx чисел, занимались m исследованием. Еше в Древней Греции Евклид доказал бесконечность множества P простик чисел, а Эратофен с помощью своего знаменитого «решета» установил способ отыскания последовательно возрасгаюшиx простыx чисел. Начиная с XVIII в. выдающиеся математики (Ф. Гаусс, Л. Эйлер, П. Л. Чебышев, Ж. Адамар, Валле-Пуссен, И. М. Виноградов и др. [1; 2; 4]) исследовали вопрос о числе n(n) просгыx чисел, не превос-xодящиx заданного натурального числа n. Л. Эйлер доказал, что , K(n)
lim-----= 0, то есть установил, что просгыx чисел на порядок меньше,
n
чем всеx натуральные чисел. Уже в XIX в. был окончательно установлен «асимптотический закон распределения простыx чисел»:
lim-?! = 1.
х^“ n/ln n
__ 1
Удалось доказать расxодимосгь ряда V _ и сxодимосгь ряда обрат-
p^„ p
mix просгыx чисел-близнецов (Л. Эйлер). Были даны приближенные оценки числа просгыx чисел в сегменте [n, n + a] и длины сегмента «пробелов» (не содержаще ни одного простого числа) [4] и получен ряд дру-irax важные результатов [4—6]. Однако попытки обнаружить закономерности в строении множества P до ст пор не увенчались yспеxом. Боль-
147
© Mалаxовский В. С., 2014.
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 4. С. 147—150.
В. С. Малаховский
шинство математиков высказало мнение, что никаких закономерностей в строении множества P не существует. Так ли это на самом деле?
2. Закономерность, порожденная первой четверкой простых чисел
По легенде первые четыре простых числа 2, 3, 5, 7 возникли так: 2 — «женское начало», 3 — «мужское начало», 5 — «их потомство» (2 + 3 = 5). Что касается 7, то, по-видимому, особая роль этого числа в Древнем мире и обусловила тот факт, что оно стало простым.
Оказывается, что существует закономерность, построенная на принципе взаимозаменяемости, позволяющая из этой четверки простых чисел получать (без пропусков!) новые простые числа.
Рассмотрим формулы
p + q22п-1, pq + 22п-1, pq + г22п- 1,2p + q, (1)
где п = 1, 2, 3; p, q, г — любые попарно различные числа из множества {3, 5, 7}. Исследование подмножеств (1) показывает, что каждое из них состоит из тройки простых чисел, а последнее — из четверки. Действительно, подставляя в формулах (1) вместо p, q, г любые попарно различные числа из множества {3, 5, 7}, убеждаемся, что числа
3 + 5• 22"“ 1,3 + 7• 22”_1, 5 + 3• 22"_1,5 + 7• 22"^,7 + 3• 22"^,7 + 5• 22"_1,
3 • 5 + 22"_1,3 • 7 + 22"_1, 5 • 7 + 22п~\
3 • 5 + 7 • 22 п“1,3 • 7 + 5 • 22п~1,5 • 7 + 3 • 221,
6 + 5 = 11,6 + 7 = 11,10 + 3 = 13,10 + 7 = 17,14 + 3 = 17,14 + 5 = 19
при п = 1, 2, 3 являются различными подмножествами, состоящими из трех простых чисел.
Случайностью это быть не может. Значит — закономерность. Вот эти двенадцать троек простых чисел и одна последовательная четверка: {13, 43, 163}, {17, 59, 227}, {11, 29, 101}, {19, 61, 229},
{13, 31, 103}, {17, 47, 167}, {17, 23, 47}, {23, 29, 53}, {37, 43, 67}, (2)
{29, 71, 239}, {31, 61, 181}, {41, 59, 131}, {11, 13, 17, 19}.
Анализируя числа (2), видим, что они содержат все двузначные простые числа до 71 включительно. Кроме того, они включают девять трехзначных простых чисел: 101, 103, 131, 163, 167, 181, 227, 229, 239.
3. Об одном способе построения подмножеств простых чисел
Для простых чисел справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для любого простого числа р (5^р^31, р #13) сумма его с двумя последующими ему простыми числами является простым числом.
Доказательство. Имеем
5 + 7 +11 = 23,7 +11 +13 = 31,11 +13 +17 = 41,17 +19 + 23 = 59,
□ (3)
19 + 23 + 29 = 71,23 + 29 + 31 = 83,29 + 31 + 37 = 97,31 + 37 + 41 = 109. 4 ’
Теорема 2. Для любого простого числа р (11 ^р^ 41, р #19) сумма его с двумя предшествующими ему простыми числами являются простым.
Доказательство. Читая суммы (3) справа налево, убеждаемся в справедливости теоремы для чисел 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41. □
О некоторых закономерностях в строении подмножеств простых чисел
Метод сложения простого числа р с последующими или предшествующими ему двумя простыми числами можно использовать для нахождения ряда новых простых чисел.
Например, складывая с числом 11 любые два числа из троек простых чисел {5, 7, 13}, {13, 17, 19}, получим две тройки последовательных простых чисел {23, 29, 31}, {41, 43, 47}. Складывая с числами 19, 53 и 71 любые два числа и из троек последовательных простых чисел {23, 29, 31}, {59, 61, 67}, {73, 79, 83}, получим тройки {71, 73, 79}, {173, 179, 181},
{223, 227, 233} также последовательных простых чисел. Сумма любых трех простых чисел из совокупности {29, 31, 37, 41} дает четверку почти последовательных простых чисел: {97, 101, 107, 109}.
Заметим, что в результате проделанных в работе операций найдены все двузначные простые числа, кроме 89, которое можно вычислить, используя другие закономерности (см. п. 4 этой работы).
4. О некоторых других закономерностях
Свойство взаимозаменяемости выполняется и в ряде других формул, например
3р + q22"-1 ({5, 7}, п = 1, 2, 3), 5р + q22п-1 ({3, 7}, п = 1, 2, 3), 22 р + q ({3, 5}, {3, 7}), 72 р + q22"-1 (р = 7, ц = 5, п = 1, 2), 32 р + q22п-1 ({5, 7}, п = 1, 2, 3), 2 • 3р + ц ({5, 7, 11}), 10" + р2 ({3, 7, 13, 31, 37, 43, 63, 73}, п = 1; {3, 7, 31, 97}, п = 2;
{13, 19, 31, 61, 97}, п = 3; {7, 37, 61, 67, 79, 83}, п = 4).
Получаем, соответственно, подмножества простых чисел:
{29, 71, 239}, {31, 61, 181}, {41, 59, 131}, {17, 23}, {19, 31},
{353, 383, 503}, {59, 101, 269}, {73, 13, 223}, {37, 41}, {47, 53}, {71, 73}.
Для трехзначных простых чисел существуют только шесть простых чисел, сумма которых с двумя предыдущими дает простое число. Это 107, 127, 139, 149, 151, 167. Имеем
107 + 103 + 101 = 311, 127 + 113 + 109 = 349, 139 + 131 + 127 = 397,
149 + 139 + 131 = 419, 151 + 149 + 139 = 439, 167 + 163 + 157 = 487.
Прочитывая эти суммы справа налево, убеждаемся, что числа 101, 109, 127, 131, 139, 157 при сложении с двумя последующими простыми числами дают простое число.
Можно найти числа и среди достаточно больших простых чисел, сумма которых с двумя предшествующими дает простое число. Например, числа 2131, 3121, 19 387, 89 273, 101 117 обладают этим свойством. Действительно,
2131 + 2129 + 2113 = 6373, 3121 + 3119 + 3109 = 9349,
19 387 + 19 381 + 19 379 = 58 147, 89 273 + 89 269 + 89 261 = 267 803,
101 117 + 101 113 + 101 111 = 303 341.
Однако это уже случайная выборка соответствующего простого числа, а не закономерность.
Выбирая в формулах (1) значения р, ц, г из простых чисел {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, можно значительно расширить возникающие подмножества простых чисел.
149
В. С. Малаховский
Например, подставляя в формулу p + q 22 n 1 числа 3 и 13, получим 3 +13 • 22n 1, {29, 107, 419}, n = 1, 2, 3; 13 + 3 • 22n1, {19, 37, 109}, n = 1, 2, 3; числа 3 и 17:
3 +17 • 22n 1, {37, 139, 547}, n = 1, 2, 3; 17 + 3 • 22n1, {23, 41, 113}, n = 1, 2, 3; числа 5 и 13:
5 +13 • 22n-1, {31, 109, 421, 1669, 6661}, n = 1, 2, 3, 4, 5;
13 + 5 • 22n-1, {23, 53, 173, 653}, n = 1, 2, 3, 4;
числа 5 и 19:
5 +19 • 22n1, {43, 157, 613, 2437, 9733, 38917}, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6;
19 + 5 • 22n-1, {29, 59, 179, 659, 2579, 10259}, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Подставляя в формулу pq + 22 n 1 числа 3 и 13, 3 и 17, получим, соответственно, подмножества {41, 47, 71, 167}, {53, 59, 83, 179, 563}. Подставляя в формулу 2p + q два числа из {3, 5, 13}, получим {11, 13, 19, 23, 29, 31}.
По-видимому, для треxзначныx простыx чисел существуют другие правила и другие закономерности m построения. А существуют ли они вообще? Вопрос остается открытым. Но лично я убежден в том, что множество P простыx чисел таит в себе еще много неизвесгныx тайн.
Так как современные компьютеры мгновенно определяют, является ли данное натуральное число простым или нет, то можно надеяться, что многие из этт тайн будут раскрыты.
Список литературы
1. Боро, Цагир Д., Рольфе Н. и др. Живые числа. М., 1985.
2. Трост Э. Простые числа. М., 1985.
3. Малаховский В. С. Эти загадочные простые числа : в 2 ч. Калининград, 1998—1999.
4. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.
5. Малаховский В. С., Малаховский Н. В. О компьютерном моделировании не-которыx числовые систем и дискретные семейств пифагоровым треугольников II Вестник Калининградского государственного университета им. И. Канта. 2003. № 3. С. 39—46.
6. Малаховский В. С. Подмножества нросгыx чисел в обобщенным арифметически прогрессияx || Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. № 10. С. 25—28.
7. Малаховский В. С. Удивительные свойства первой четверки простыx чисел || VIII международная заочная научно-практическая конференция. Естественные и математические науки в современном мире. Новосибирск, 2013. С. 25—28.
Об авторе
Владислав Степанович Mалаxовский — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the author
Prof. Vladislav Malakhovsky — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
