CC BY
11
УДК 574.76
В. С. Малаховский
НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ КВАДРАТНЫХ ТРЕХЧЛЕНОВ
Рассмотрено пять совокупностей квадратных трехчленов:
1
/а, (х) = X2 - ЧX + «Х + 2Х + 5), где ХеЛ = {3, 7, 19, 31, 79}, аХ е АХ = {1, 3, 5, ..., Х}.
1
Доказано, что (х0), х0 = 0,1, 2,..., (Х + аХ) суть простые числа, причем попарно различные из них для каждого Х е АХ определяют одно и то же множество МХ, состоящее из двух (Х = 3), четырех (Х = 7), десяти (Х = 19), шестнадцати (Х = 31) и сорока (Х = 79) попарно различных чисел.
Установлено, что
fax (¿(X + ) + !) = + 3))2.
Исследованы необычные свойства квадратных трехчленов
1 1
fx(x) = x2 - x + ^(x + 3), ФЛ(x) = x2 + x + ^(X + 3).
Доказано, что
Фх (-1(X + 3) +1) = (-i(X + 3))2.
Five totalities of quadratic trinomials are considered:
1
faX(x) = x2 -aAx + a2 + 2X + 5),
where XeA = {3,7,19,31,79}, aX e AX = {1, 3, 5,..., X}.
1
Numbers fax(x0),x0 = 0,1,2,...,(X + aX) are prime numbers moreover mutually in pairs these numbers form identically sets for fixed X consisting two (X = 3), four (X = 7), ten (X = 19), sixteen (X = 31), and 40 (X = 79) numbers. It is proved that
VaX faX(1(X + aX) +1) = (^(X + 3))2
for any aX e Ax .
Unusual properties of quadratic trinomials
1 1 fX(x) = x2 -x + ^(X + 3), <px(x) = x2 + x + 2yX + 3)
are investigated.
It is proved that
Фх(±(Х + 3) +1) = (-i(X + 3))2.
25
© Малаховский В. С., 2018
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 1. С. 25-29.
В. С. Малаховский
Ключевые слова: квадратный трехчлен, множество, совокупность, простое число.
Keywords: quadratic trinomial, set, totality, prime number. Запишем подробно совокупность многочленов
fa, (x) = x2 - aXx + T (aX + 2X + 5)'
для каждого 1еЛ:
26
х2 - x + 3, х2 - 3x+5, (X = 3)
х2 - x+5, х2 - 3x + 7, х2 - 5x +11, х2 - 7x +17, (X = 7)
(1) (2)
x2 - x +11, x2 - 3x +13, x2 - 5x +17, x2 - 7x + 23, x2 - 9x + 31, x2 - 11x + 41, x2 - 13x + 53, x2 - 15x + 67, x2 -17x + 83, x2 - 19x +101, (X = 19)
(3)
x2 - x +17, x2 - 3x +19, x2 - 5x + 23, x2 - 7x + 29, x2 - 9x + 37, x2 - 11x + 47, x2 - 13x + 59, x2 - 15x + 73, x2 -17x + 89, x2 - 19x +107, x2 - 21x +127, x2 - 23x +149, x2 - 25x +173, x2 - 27x +199, x2 - 29x + 227, x2 - 31x + 257, (X = 31)
(4)
x2 - x + 41, x2 - -3x + 43, x2 -5x + 47, x2 -7x + 53,
x2 - 9x + 61, x2 - 11x + 71, x2 - 13x + 83, x2 - 15x + 97,
x2 -17 x +113, x2 - 19 x +131, x2 - 21x +151,
x2 - 23x +173, x2 - 25x +197, x2 - 27x + 223,
x2 - 29x + 251, x2 - 31x + 281, x2 - 33x + 313,
x2 - 35x + 347, x2 - ■ 37x + 383, x2 - 39x + 41x + 421,
x2 - 41x + 461, x2 - 43x + 503, x2 - 45x + 547,
x2 - 47x + 593, x2 - -49x + 641, x2 - 51x + 691,
x2 - 53x + 743, x2 - 55x + 797, x2 - 57x + 853,
x2 - 59x + 911, x2 - 61x + 971, x2 - 63x +1033,
x2 - 65x +1097 , x2 - 67x +1163, x2 - 69x +1231,
x2 - 71x +1301 , x2- - 73x +1373, x2 - 75x +1447,
x2 - 77x +1523 V x2 - 79x + 1601.(X = 79)
Рассмотрим рациональную функцию
F(X, a,) = -4(a, + 2X + 5).
(5)
Необычные свойства некоторых совокупностей квадратных трехчленов
Для каждого ХеЛ она определяет подмножества МХ простых чисел:
Мз = {3, 5}, М7 = {5, 7, 11, 17}, М19 = {11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101}; М31 = {17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257},
М79 = {41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601}.
Теорема 1. Значения многочленов (1—4) при
%0 = 0,1,2, ...,1(Х + их)
являются простыми числами, причем для каждого Х е АХ множество этих простых чисел МХ одно и то же.
Доказательство. Для квадратных трехчленов (5) эта теорема доказана в [1].
Для квадратных трехчленов (1 — 4) теорема доказывается непосредственной проверкой. Проведем, например, доказательство для Х = 7, т. е. для многочленов (2). При
27
получаем Когда
имеем Если
находим
х2 - х + 5, 0 < х0 <^(7 +1) = 4,
{5, 5, 7, 11, 17} = {5, 7, 11, 17} = М7.
2 1 х2 - 3х + 7, 0 < х0 <-^(7 + 3) = 5,
{7, 5, 5, 7, 11, 17} = {5, 7, 11, 17} = М7;
х2 - 5х +11, 0 < х0 <2(7+5) = 6,
{11, 7, 5, 5, 7, 11, 17} = {5, 7, 11, 17} = М7;
Наконец, при
х2 - 7х +17, 0 < х0 <-^(7 + 7) = 7,
получим
{17, 11, 7, 5, 5, 7, 11, 17} = {5, 7, 11, 17} = М7.
В. С. Малаховский
28
Теорема 2. Для любого аХ е АХ
и фХ + ЙХ) + 1) = (1(Х + 3))2.
Доказательство. Имеем: 1
2( Х+йх ) + 1 = ^(Х + ЙХ+2).
Следовательно,
-1(Л2 + а, + 4 + 2ХаХ + 4Х + 4аХ - 2(Х + аХ + 2)аХ + + а, + 2Х+ 5) = -1(Х2 + 6Х + 9) = (■1(Х + 3))2.
Рассмотрим две совокупности квадратных трехчленов:
..2 1.
/Х (х) = х2 - х +-(Х + 3),
ФХ (х) = х2 + х +—(Х + 3),
где ХеЛ. Значения этих многочленов
/х (х0), х0 = 0, —(х +1),
ФХ(Xo), х0 = 0,7Т(Х- 1)
определяют одно и то же множество МХ, состоящее из ^(Х +1) попарно различных простых чисел. Так как
Фх (х) = /х (х) + 2x,
то если
то
Например,
/Х(х0) = Р1 е МЛ,
Фх(х0) = Р1 + 2х0 = Р2 е Мл.
/31(12) = 149, Ф31(12) = 149 + 2 • 12 = 173. Теорема 3. Для любого ХеЛ справедливо равенство
Фх (|(Л-1) +1) = (1( Х + 3))2.
Необычные свойства некоторых совокупностей квадратных трехчленов
Доказательство. Так как
1(X-1) +1 = ±(X+1),
то
■1(X2 + 2X+1) + 2(X +1) + 2X + 6) = -1( X2 + 6X + 9) = (-1(X + 3))2.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Удивительные свойства некоторых подмножеств простых чисел и их особая роль во множестве натуральных чисел // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 89 — 97.
2. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.
Об авторе
Владислав Степанович Малаховский — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия. E-mail: [email protected]
The author
29
Prof. V. Malakhovsky, Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]
