CC BY
43
УДК 574.76
В. С. Малаховский
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград nikolaymal@mail.ru
Удивительные свойства некоторых подмножеств простых чисел и их особая роль во множестве натуральных чисел
С использованием простых чисел построены пространственная модель множества N натуральных чисел. Выделены сорок квадратных трехчленов/а(х) = х2 - х + 4 (а2 + 163), а = 1, 2, 3, ..., 79, определяющих одно и тоже подмножество попарно различных простых чисел при х = а, -2- (а + 79). Установлены некоторые закономерности в специальных подмножествах простых чисел.
Ключевые слова: простое число, квадратный трехчлен, подмножество, закономерность.
1. Как возникли простые числа?
На протяжении многих тысячелетий простые числа привлекали особое внимание выдающихся философов и математиков. Как же они возникли? Одна из версий — следующая.
Единица у пифагорейцев была божеством и среди натуральных чисел выделялась особо. Четные числа считались женскими, нечетные — мужскими. Породить простые числа должна была женщина. Так возникли числа 2, 3 и их потомство 2 + 3 = 5. Число 7 в основных религиях занимало важную роль. Поэтому возникло множество четырех чисел {2, 3, 5, 7}. Далее, по-видимому, рассмотрели сумму
2х + у, где х, у е {3, 5, 7},
© Малаховский В. С., 2016
2 • 3 + 5 = 11; 2 • 3 + 7 = 13; 2 • 5 + 3 = 11; 2 • 5 + 7 = 17;
2 • 7 + 3 = 17; 2 • 7 + 5 = 19.
Возникла еще одна четверка {11, 13, 17, 19}. Числа множества {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} обладали свойствами: 1) каждое из них больше 1; 2) оно делится только на себя и на единицу.
А дальше построение простых чисел осуществлялось отбрасыванием тех натуральных чисел, которые делятся на одну из этих восьми или на возникающие новые простые числа. Достаточно вспомнить «решето Эратосфена».
В коллективной монографии «Живые числа» [1] сказано: «Никаких закономерностей в строении подмножеств простых чисел не существует. Они растут, как сорная трава, и никогда не скажешь, где возникнет новое простое число».
Я не согласен с первой частью этого утверждения, потому что в строении некоторых подмножеств простых чисел возникают закономерности. Рассмотрим несколько примеров.
1. Если в функциях
ху + 2 • 22п - \ X + уъ • 22п - \ ху + 22п - \ (1.1) 2х + у, х + у • 22п - \ 3х + 22п - \
где
х, уе {3, 5, 7}, п = 1, 2, 3 и х, у, ъ — попарно различны, (1.2)
подставить в любом порядке вместо х и у простые числа из множества {3, 5, 7}, то получим (без пропуска!) восемнадцать троек простых чисел и одну четверку:
{29, 71, 279}, {31, 61, 181}, {41, 59, 131,}, {73,283, 1123}, {47, 173, 677}, {37, 127, 487}, {17,23,47}, {23, 29, 53},
{37, 43, 67}, {13, 43, 163}, {17, 59, 227}, {11, 29, 101}, {19, 61, 229}, {13, 31, 103}, {17, 47, 167}, {17, 23,47},
{11, 17, 41}, {23, 29, 33}, {11, 13, 17, 19}. (1.3)
2. Функции:
1) 1+х = у; х, у е {5,7,11}, {13, 17, 19};
2) 7 + х = у; х, у е {23,29,31}, {59, 61, 67};
3) 11 + х = у; х, у е {13,17,19}, {41, 43, 47};
4) 19 + х = у; х, у е {32,29,31}, {71, 73, 79};
5) 53 + х = у; х, у е {59,61,67}, {173, 179, 181} (1.4) преобразуют одну последовательную тройку простых чисел в другую также последовательную тройку простых чисел.
3. Для любого простого числа р (5 < р < 31, р Ф 13) число
Р + х + у, (1.5)
где х+у — два простых числа, следующих за числом р, является простым. Действительно,
5 + 7 + 11 = 23; 7 + 11 + 13 = 31; 11 + 13 + 17 =
= 41; 17 + 19 + 32 = 59; (1.6)
19 + 23 + 29 = 71; 23 + 29 + 31 = 83; 29 + 31 + 37 = 97; 31 + 37 + 41 = 109.
2. Пространственная модель натуральных чисел
Простые числа играют особую роль в математике. Оказывается, что, используя простые числа, можно построить пространственную модель множества натуральных чисел. Множество N натуральных чисел разбивается на два непересекающихся класса: числа пролонгируемые, когда среди четырех чисел
{10« + 1, 10« + 3, 10« + 7, 10« + 9} (2.1)
есть хотя бы одно простое число, и числа непролонгируемые, когда все числа (2.1) — составные.
Например, для « < 100 существует только семь непролон-гируемых чисел:
{20, 32, 51, 53, 62, 84, 89}. (2.2)
Каждое пролонгируемое натуральное число п порождает «дерево» простых чисел с последовательно увеличивающимися разрядами. Рассмотрим, например, числа 12, 14, 15.
'12 127
1277
1279
12791 127^913
I
1279133
I
12791333 *
© 149
1493 14939
149393
*
1499
*
12799
127997
15
151
I
1511 *
1571
157
1579
15791
*
15797
*
Звездочка ставится на первом возникающем непролонги-руемом простом числе.
*
Введем для пролонгируемого числа n три координаты:
1) индекс in — число простых чисел в самой длинной ветви, если n — простое число, то оно включается в эту ветвь;
2) степень разветвленности bn («branch» — ветвь) — число ветвей в дереве;
3) суммарный индекс Sn — число всех простых чисел в дереве.
Например, из (2.3) следует
12(6,3,9); 14(4,3,6); 15(3,4,7). (2.4)
Компьютерная программа, составленная Н. В. Малаховским, позволила построить пространственную модель для первых 300 000 чисел. В этой модели только небольшое количество чисел удалено от начала координат на расстояние больше 25 единиц (45 чисел из 300 000), причем порядок их следования подтверждает многие догадки пифагорейцев [2, с. 174].
Единица удалена от начала приблизительно на 68 единиц, на 55 единиц удалена десятка (в молитве Пифагорейцев — та, что первая родилась). Далее 19 (40 единиц) — метоновский цикл луны (12 обычных лет, 7 високосных), 82 (« 33), 40 (« 31), 6 (« 30) — число души у Пифагора. В православной традиции душа усопшего отлетает к Богу на 40-й день. Остальные 39 чисел располагаются в интервале (25, 30).
Любому составному непролонгируемому числу ставится в соответствие начало координат (0,0,0), а любому простому непролонгируемому числу — единичная точка (1,1,1), устанавливающая масштаб модели.
3. Удивительные свойства сорока квадратных трехчленов
Обозначим через M множество нечетных натуральных чисел от 1 до 79 включительно:
M = {1, 3, 5, 7, ..., 79}. (3.1)
Рассмотрим определяемые числами множества M сорок квадратных трехчленов:
/а(х) = х2 - ах + -4 (а2 + 163), а е М. (3.2)
Теорема 3.1. Квадратные трехчлены (3.2) обладают следующими свойствами.
1) Для любого целого неотрицательного числа х0,
0 < х0 < |(а + 79), (3.3)
число /а(х0) — простое.
2) При любом нечетном a < 79 числа
/а(0), /(1), /а(±(а + 79)) (3.4)
определяют одно и то же множество Р0 попарно различных простых чисел
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131,
151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,
461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,
971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601. (3.5)
3) При любом ае{1, 3, ..., 79}
/а((а + 79) + 1) = 412 = 1681. (3.6)
4) Свободные члены всех сорока квадратных трехчленов /а(х), т. е. числа -4 (а2+163), определяют то же самое множество Р0 сорока различных простых чисел (3.5).
Доказательство осуществляется непосредственной проверкой, при этом множество свободных членов порождает ровно сорок простых чисел множества Р0, а значения (3.4) порождают некоторое количество повторяющихся простых чисел множества Р0. Например, многочлен Эйлера
/79(х) = х2 - 79х + 1601, (3.7)
при х = 0,79, порождает 80 простых чисел, из которых попарно различными являются только числа множества Р0.
В [3] рассмотрены рекуррентные формулы, порождающие подмножества простых чисел. Одна из этих формул (случай к = 1) определяет обобщенную арифметическую прогрессию с разностью й:
а„+1 = а„ + пй. (3.8)
Обычная арифметическая прогрессия, как известно, определяется формулой
а„+1 = а„ + а. (3.9)
Теорема 3.2. Числа (3.5) являются первыми сорока числами обобщенной арифметической прогрессии (3.9) с первым членом а1 = 41 и знаменателем й = 2.
Доказательство. Имеем:
Х\ = 41, Х2 = 41 + 1-2 = 43, Х3 = 43 + 2-2 =47, Х4 = 47 + 3-2 = 53, Х5 = 53 + 4-2 = 61, Хб = 61 + 5-2 = 71, Х7 = 71 + 6-2 = 83,
Х8 = 83 + 7-2 = 97, Х9 = 97 + 8-2 = 113, хш = 113 + 9-2 = 131, х„ = 131+10-2 = 151, х12 = 151+11-2 = 173, Х13 = 173+12-2 =197, Х14 = 197+13-2 = 223, Х15 = 223+14-2 =251, Х^ = 251+ 15-2 =281, Х17 = 281+ 16-2 =313, Х18 = 313+ 17-2 =347, Х19 = 347+ 18-2 =383, Х 20 = 383+ 19-2 =421, Х21 = 421+ 20-2 =461, Х22 = 461+ 21-2 =503, Х 23 = 503+ 22-2 =547, Х24 = 547+ 23-2 =593, Х25 = 593+ 24-2 =641, Х26 = 641+ 25-2 =691, Х27 = 691+ 26-2 =743, (3.7) Х28 = 743+ 27-2 =797, Х29 = 797+ 28-2 =853, Х30 = 853+ 29-2 =911, Х31 = 911+ 30-2 =971, Х32 = 971+ 31-2 =1033, Х33 = 1033+ 32-2 =1097, Х34 = 1097+ 33-2 =1163, Х35 = 1163+ 34-2 =1231, Х36 = 1231+ 35-2 =1301, Х37 = 1301+ 36-2 =1373, Х38 = 1373+ 37-2 =1447, Х39 = 1447+ 38-2 =1523, Х40 = 1523+ 39-2 =1601. Ч. т. д.
4. О трех необычных свойствах подмножеств простых чисел
1. Среди простых чисел, меньших 43, имеется удивительная четверка последовательных простых чисел
{29, 31, 37, 41}. (4.1)
Теорема 4.1. Сумма любых трех чисел четверки (4.1) есть простое число, причем четыре образующиеся таким образом простые числа образуют почти последовательную четверку
{97, 101, 107, 109} (4.2)
(пропущено только простое число 103). Доказательство.
29 + 31 + 37 = 97, 29 + 31 + 41 = 101,
29 + 37 + 41 = 107, 31 + 37 + 41 = 109.
Интересно, является ли четверка (4.1) единственной среди множества Р простых чисел?
2. Пусть В — множество всех простых чисел р таких, что:
а)р < 150; (4.3)
б)р не принадлежит множеству {2,3,19,97,137}. Разобьем множество В на последовательные тройки:
{5, 7, 11}, {13, 17, 23}, {29, 31, 37}, {41, 43, 47}, {53, 59, 61},
{67, 71, 73}, {79, 83, 89}, {101, 103, 107},
{109, 113, 127}, {131, 139, 149}. (4.4)
Теорема 4.2. Сумма простых чисел каждой тройки (4.4) есть простое число. Доказательство.
5 + 7 + 11 = 23; 13 + 17 + 23 = 53;
29 + 31 + 37 = 97, 41 + 43 + 47 = 131, 53 + 59 + 61 = 173;
67 + 71 + 73 = 211, 79 + 83 + 89 = 251, 101 + 103 + 107 = 311,
109 + 113 + 127 = 349, 131 + 139 + 149 = 419. Ч. т. д.
Возникает подмножество десяти простых чисел
{23, 53, 97, 131, 173, 211, 251, 311, 349, 419}. (4.5)
3. Пусть D — множество таких простых чисел, что:
а) 5<p < 181;
б) p не оканчивается на 3;
в)p £ {37, 79, 107, 109, 131, 149, 157}. (4.6)
Теорема 4.3. Для любого простого числа peD число 12 + p является простым.
Доказательство. Имеем:
12 + 5 = 17, 12 + 7 = 19, 12 + 11 = 23, 12 + 17 = 29, 12 + 19 = 31,
12 + 29 = 41, 12 + 31 = 43, 12 + 41 = 53, 12 + 47 = 59, 12 + 61 = 73,
12 + 67 = 79, 12 + 71 = 83, 12 + 89 = 101, 12 + 97 = 109,
12 + 101 = 113, 12 + 127 = 139, 12 + 137 = 149, 12 + 139 = 151,
12 + 151 = 163, 12 + 167 = 179, 12 + 179 = 191, 12 + 181 = 193.
Список литературы
1. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю. и др. Живые числа. М., 1985.
2. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.
3. Малаховский В. С. Об одной рекуррентной формуле, порождающей подмножества простых чисел // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 79—84.
V. Malakhovsky
Wonderful properties of some subsets of prime numbers and their special role in the set N of natural numbers
Using prime numbers the space — model of the set N of natural
2 1
numbers is constructed. Forty quadratic trinomials fa(x) =x - ax + -4 (a2 + 163), a = 1, 2, 3, ..., 79, defining the same set of pairwise different prime number for x = a, -2 (a + 79) are selected. Some regularities in some subsets of prime numbers are established.
