CC BY
63
РАЗНОЕ
128
УДК 519.688:511
В. С. Малаховский
ПОДМНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ОБОБЩЕННЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ
Дано понятие обобщенной арифметической прогрессии степени k е N и разностью d. Для k = 1,7 получены формулы n-го члена такой прогрессии, а для k = 1, 2, 3 — формулы суммы n ее первых членов. Рассмотрены прогрессии Mpd, первый член которых — простое число р, а разность — четное положительное число d =2m (m е Ш). Они порождают подмножества M^pd h простых чисел (he Н). Для к^20,
р < 95467, й^108 найдены все подмножества M^p d, содержащие h^l5
простых чисел. Установлены некоторые свойства, связывающие показатель k обобщенной арифметической прогрессии и ее разность d для 2^ka60,p<1014,h^5.
The concept of the generalized arithmetical progression of the power k е N and difference d is given. For k = 1,7 formulas of nth member of such progressions and for k =1, 2, 3 formulas for the sum of the first n its members are obtained. Progressions Mpd with the first member prime number p and difference being a positive even number d =2m (m е KJ) are considered.
Such progressions define subsets Mf^ of h prime numbers (h е Ю). For
k < 20, p < 95467, d < 108 all subsets M^ d with h > 15 prime numbers are obtained. Some properties that connect the power k of generalized arithmetical progression and its difference d for 2 < k < 60, p < 1014, h > 5 are established.
Ключевые слова: прогрессия, арифметическая, обобщенная, простое число, показатель, подмножество, многочлен.
Key words: progression, arithmetical, generalized, prime number, exponent, subset, polynom.
1. Обобщенная арифметическая прогрессия степени k
Определение 1.1. Обобщенной арифметической прогрессией (ОАП) степени k называется последовательность
Kkd, a2kd.a£,(1.1)
определяемая рекуррентной формулой
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. Вып. 10. С. 128 — 131.
<+1,7 = + 7 ■ п. (1.2)
Число 7 ф 0 — разность прогрессии (1.1). При к = 1 прогрессия (1.1) называется линейной, при к = 2 — квадратичной, при к = 3 — кубичной. □
Из формулы (1.2) следует, что обычная арифметическая прогрессия является прогрессией нулевой степени.
Обозначим символом Б1кЛ сумму п первых членов ОАП (1.1). Используя формулу Бернулли 1- + 2т +... + п- = —+-±С-+Л (п + 1)-+1-к,
— + 1 к=0
где Вк— числа Бернулли, определяемые рекуррентной формулой В0 = 1, (к ^2) (см.: [4, с. 88]), находим я,**’ дня к = 1,7 и 5* ,, дня
к=0
п = 1, 2, 3:
апл = «й + 7 п(п - и 5™ = п («й + 7(п2 -1)1,
«м = aS + dn(n -1)(2n -1)' S2 = n^aS +12n(n2 - 1)^j,
$ = «2 + n2(n -1)2, S%= n ( ag + |-(и2 - 1)(3n2 - 2)],
an,i = + 30n(n- 1)(2n-1)(3”2 -3n-1)' +12”2(и-1)2(2n -2n-1)'
a^d = a!} + d n(n - 1)(2n - 1)(3n4 - 6n3 + 3n +1),
ai7d = aS + “4и2(и -1)2 (3n4 - 6n3 - n2 + 4n + 2).
2. Подмножества простых чисел, порождаемые обобщенными линейными арифметическими прогрессиями
Пусть p — нечетное простое число, то есть p е P\2, где P — множество всех простых чисел, а d — четное положительное число (d = 2m, m е М). Линейная ОАП М^d = {a(^^4, a^,d, • ••, a^,d,...}, определяемая ре-
def
куррентной формулой aj11+)1pd = a^,d + nd, где a(^,d = p, порождает подмножество j = {а[]]р d, a(2l>p^d} h ^ 1 простых чисел. Число /г
однозначно определяется заданием чисел p и d, то есть h = h(p, d).
Использование компьютерной программы [1, с. 80] на базе пакета программ Maple V Release 4.00 позволяет выделить такие пары натуральных чисел р и d (р е Р\2, d = 2т, т е И), дня которых h^s е И, где s — фиксированное натуральное число. Доказано, что для р95467, d 108, s = 15 существует 18 подмножеств d h ^ 15 простых чисел
129
130
M(1) M(1) M(1) M(1) M(1) M(1) M(1)
ivl16,17,2 ^vl15,17,6 ' ivl16,17,14 ' ivl18,19,4 ' 1V122,23,6 ' ivl29,31,12 ' 40,41,2 '
M(1) M(1) M(1) M(1) M(1) M(1) (21)
16,47,50' 15,607,34' 18,653,8' 15,1381,106' 15,1777,84' 16,2383,28' \*"LJ
M(1) M(1) M(1) M(1) M(1)
15,19219,54 15,19249,84 15,28591,12 15,53117,54 17,67391,36
Для каждого из этих подмножеств однозначно определяется квадратный трехчлен fpd (х) = (й/2)x(х -1) + p, числовые значения которого
при х = 0, 1, 2, ..h — простые числа:
х(х -1) +17 (х = 0,16), 3х(х -1) +17 (х = 0,15), 7х(х -1) +17 (х = 0,16),
4х(х -1) +19 (х = 0,18), 3х(х -1) + 23 (х = 0,22), 6х(х -1) + 31 (х = 0,29),
х(х -1)+41 (х = 0,40), 25х(х -1)+47 (х = 0,16), 17 х(х -1)+607 (х = 0,15),
4х(х -1)+653 (х = 0,18), 53х(х -1)+1381 (х = 0,15), 42х(х -1)+1777 (х = 0,15),
42х(х -1) +19249 (х = 0,15), 6х(х -1) + 28591 (х = 0,15),
27x( x -1) + 53117 (x = 0Д5), 18x( x -1) + 67391 (x = 0Д7).
Среди подмножеств (2.1) особую роль играет подмножество M4J|41,2. Оно образовано следующими 40 простыми числами:
41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,
251,281,313,347,383,421,461,503,547,593,641,691,743,
797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601.
Такие же числовые значения принимают 40 квадратных трехчленов fa (х) = х2 - ах + 0,25(а2 +163), где a — произвольное нечетное натуральное число, меньшее 81 (см.: [5, с. 6]).
3. Подмножества простых чисел, порождаемые нелинейными обобщенными арифметическими прогрессиями
Для выделения подмножеств простых чисел, порожденных ОАП степени к ^ 2, используется компьютерная программа [2, с. 72], написанная в пакете Maple V Release 4.00, определяющая все подмножества
def
Mhkp,d = [аЦй, a2kp,d, -, atl,} (a^ = p e P\2) (3.1)
простых чисел для p < 104, d = 2m s' 200, h 5. Например, подмножества
(3Л^ п°рождаемЫе ОАП M271,108 , M3631,70 , M241,30 , M14^3,28 , M4241,42 , M3391,70 ,
состоят соответственно из 12, 14, 11, 10, 7, 10 простых чисел:
= {271,379,811,1783,3511,6211,10099,13391,22303,31051,41851,54919},
MIWto = {3631, 3701, 4261, 6151,10631,19381, 34501,58511,
94351, 45381, 215381, 308551, 429511,583301},
M14)241,30 = {241, 271, 751, 3181,10861, 29611, (3.2)
68491,140521, 263401, 460231, 760231},
^15,1453,28 = {1453,1481, 2377, 9181, 37853,125353, 343081,
813677,1731181, 3384553},
М764241,42 = {4241, 4283, 6971, 37589, 209621, 865871, 2825423},
М(0)зз91,70 = {3391, 3461,12421,165511,1312391,6781141, 26376661, (3.2)
84024671, 230825311,565633141}.
°АП ^М271,108 , ^М3631,70 , М241,30 , М1453,28 , M4241,42, М3391,70 определЯЮ'т МНо"
гочлены, задающие подмножества (3.2) простых чисел:
____ 35 _____
18х(х - 1)(2х -1) + 271 (х = 0,12), у х2( х -1)2 + 3631 (х = 0,14),
х(х- 1)(2х- 1)(3х2 -3х-1)+241 (х = 0,11), 7х2(х- 1)(2х2 -2х-1)+1453 (х = 0,10), х(х- 1)(2х- 1)(3х4 -6х2 + 3х +1) + 4241 (х = 07),
35 _____
— х2(х - 1)2(3х4 - 6х3 - х2 + 4х + 2) + 3391 (х = 0,10).
Анализируя выщеленные подмножества M^ й простых чисел со
значениями 5 < /j <с 14, убеждаемся, что число таких подмножеств для нечетной степени k значительно больше, чем для четной (см.: [2], с. 76), причем для k > 7 нет ни одного подмножества с десятью и более простыми числами, то есть при 7 < k < 14 всегда h s' 9.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Об одной рекуррентной формуле, порождающей подмножества простых чисел / / Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 79 — 84.
2. Малаховский В. С. Подмножества простых чисел в обобщенных арифметических прогрессиях высших степеней// Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 74 — 79.
3. Malakhovsky V. S., Malakhovsky N. V. Prime numbers in the generalized geometrical arithmetical progressions // Избранные вопросы современной математики. Калининград, 2005. С. 33—35.
4. Математический энциклопедический словарь. М., 1995.
5. Малаховский В. С. Введение в математику. Калининград, 2006.
Об авторе
Владислав Степанович Малаховский — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: nikolay-mal@mail.ru.
Author
131
Professor Vladislav Malakhovsky — I. Kant Baltic Federal University, e-mail: nikolaymal@mail.ru.
