Многочлены, порождающие максимальные вещественные подполя круговых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2016, Т. 158, кн. 4 С. 469-481

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 511.61

МНОГОЧЛЕНЫ, ПОРОЖДАЮЩИЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОДПОЛЯ КРУГОВЫХ ПОЛЕЙ

И.Г. Галяутдинов1, Е.Е. Лаврентьева2

1 Казанский филиал Поволжского государственного университета, телекоммуникаций и информатики, г. Казань, 420061, Россия

2Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Построены рекуррентные формулы для многочленов дп(х) Е , всякий корень

которых порождает максимальное вещественное подполе кругового поля К2п . Показано, что, используя многочлен дп(х) и его группу Галуа, можно описать все вещественные под-поля фиксированного поля К2п . Предложена также методика представления квадратного радикала у/в,, а Е N, а > 1, в виде многочлена с рациональными коэффициентами относительно 2еов(п/п) при соответствующем п. Теоретические результаты подтверждены на ряде примеров.

Ключевые слова: алгебраическое число, минимальный многочлен, круговые поля и их подполя, группа Галуа

Введение

Поле Кн = ((ин), получающееся присоединением к полю ( рациональных чисел первообразного корня ин из единицы степени Н, где Н - некоторое натуральное число, называют круговым полем.

Так как Кэн = Кн при нечетном Н, можно предположить, что Н принимает только четные значения. Тогда различным Н соответствуют неизоморфные поля Кн. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что Н принимает только четные натуральные значения.

Если Н\ и Н2 - два четных натуральных числа и Н\ делится на Н2, то есть Н1 = Нэ1, то Кн2 С Кн1 .

Если Н = 2, то иэ = — 1, и К2 = ((-1) = ( - вещественное поле. При Н > 2 поля Кн - комплексные.

Пусть п > 2 - произвольное натуральное число и Н = 2п. Тогда элемент ин + и-1 порождает вещественное поле Ьп = ((ин + и-1). Как известно [1, с. 210], поле Ьп является подполем кругового поля Кн и [Кн : Ьп] = 2.

Так как из включений ( С Ь С Кн следует, что степень [Ь : (] поля Ь является делителем степени [Кн : (] поля Кн, то равенство [Кн : Ьп] = 2 означает, что Ьп = = ((2 сов(п/п)) является максимальным и вещественным подполем кругового поля Кн = К2п .

Таким образом, Ь является вещественным подполем кругового поля К2п тогда и только тогда, когда Ь С Ьп = ((2соз(п/п)).

В настоящей работе приводятся рекуррентные формулы для минимальных многочленов цп(х) чисел 2сов(п/п) и описывается схема нахождения всех вещественных подполей фиксированного кругового поля К2п .

Известно, что любое квадратичное поле ^у*!) содержится в некотором круговом поле Кь [2, с. 236]. Используя этот факт, можно доказать, что для любого натурального ! > 1, свободного от квадратов, имеется минимальное натуральное п такое, что = /(2соб(п/н)) , /(х) € 0>[х] . Для нахождения явного вида многочлена /(х) используется многочлен дп(х), порождающий максимальное вещественное подполе Ьп = (Ц>(2соб(п/н)) кругового поля К2п, и его группа Галуа.

1. Минимальные многочлены чисел 2cos(n/n)

Пусть Tn(x), n = 0,1, 2,..., - многочлены Чебышева [3, с. 116]. Как известно, Tn(cos) = cos(ny>) и справедлива рекуррентная формула Tn+i(x) = 2xTn(x) — — Tn-i(x), n = 0,1, 2,..., To(x) = 1, Ti(x) = x.

Через . в дальнейшем будем обозначать деление нацело.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть n = 2k + 1 - натуральное число, - функция Эйлера. Тогда имеются .многочлены pn(x) G Q[x] степени <p(n)/2 с корнями cos(sn/n), где нечетное s < n и принимает все значения, взаимно простые с n. Эти многочлены находятся рекуррентно из формул

pi(Tn(x)) = pi(x) (pn(x))2 , n = 2k +1 — простое. pi(x) = x + 1, (1) Pm(Tq(x)) = pn(x), n = mq, m . q, q — простое, (2)

pm(Tq(x)) = pm(x)pn(x), n = mq, НОД (m,q) = 1, q — простое. (3)

Числа cos(tn/n), где четное t <n принимает все значения, взаимно простые с n, являются корнями многочлена ( —1) dpn(—x), где d = degpn(x).

Теорема 2. Пусть n = 2k - натуральное число, - функция Эйлера. Тогда имеются многочлены pn(x) G Q[x] степени p(n) с корнями cos(sn/n), где нечетное s < n и принимает все значения, взаимно простые с n. Эти многочлены строятся по формулам

pn(x) = pk (T2(x)), n = 2k, p2(x) = x. (4)

Теорема 3. Многочлены pn(x), построенные по формулам (1)-(4), неприво-димы над полем Q.

Доказательство теорем 1-3 содержится в работе [4].

Многочлены pn(x), построенные в теоремах 1 и 2, в силу теоремы 3 с точностью до постоянного множителя являются минимальными многочленами чисел cos(n/n).

Это означает, что формула

qn(x) = pn (x/2), n =1, 2,..., (5)

дает возможность вычислить минимальные многочлены чисел 2cos(n/n).

Но можно выписать рекуррентные формулы для явного вычисления многочленов qn(x) с корнями 2cos(n/n). Для этого нужно от многочленов Чебышева перейти к многочленам Sn(x) по формуле

Sn(x) = 2Tn(x/2), n = 0,1, 2,... (6)

Многочлены Sn (x) удовлетворяют рекуррентному соотношению

Sn+i(x) = xSn (x) — Sn-i(x), n =1, 2,... (7)

Из формул (6) и (7) следует, что многочлены Бп(х) обладают следующими свойствами [3, с. 119]:

- degБп(х) = п;

- старший коэффициент равен 1;

- все коэффициенты Бп(х) - целые числа;

- Бп(2 сов а) = 2 сов(па).

Пользуясь формулой (6) и тем, что То(х) = 1, Т\(х) = х, построим несколько многочленов Бп(х):

Бо(х) = 2, Б\(х) = х, Б^(х) = х2 — 2, Бз(х) = х3 — 3х, Б4(х) = х4 — 4х2 + 2, Б5(х) = х5 — 5х3 + 5х, Б6(х) = х6 — 6х4 + 9х2 — 2, Б7(х) = х7 — 7х5 + 14х3 — 7х, Б8(х) = х8 — 8х6 + 20х4 — 16х2 + 2, Б9(х) = х9 — 9х7 + 27 х5 — 30х3 + 9х, Бю(х)= х10— 10х8 + 35х6 — 50х4 + 25х2— 2, Бц(х Б12(х

Б13(х Б14(х Б15(х Б16(х Б17(х Б18(х

= х11— 11х9 +44х7— 77х5 + 55х3— 11х, = х12 — 12х10 + 54х8 — 112х6 + 105х4 — 36х2 + 2, = х13 — 13х11 + 65х9 — 156х7 + 182х5 — 91х3 + 13х, = х14 — 14х12 + 77х10 — 210х8 + 294х6 — 196х4 + 49х2 — 2, = х15 — 15х13 + 80х11 — 275х9 + 450х7 — 378х5 + 140х3 — 15х, = х16 — 16х14 + 104х12 — 352х10 + 660х8 — 672х6 + 336х4 — 64х2 + 2, = х17 — 17х15 + 119х13 — 442х11 + 935х9 — 1122х7 + 714х5 — 204х3 + 17х,

х

18 — 18х16 + 135х14 — 546х12 + 1287х10 — 1782х8+

+ 1386х6 — 540х4 + 81х2 — 2, Б19(х) = х19 — 19х17 + 152х15 — 665х13 + 1729х11 — 2717х9+

+ 2508х7 — 1254х5 + 285х3 — 19х.

Если в равенствах (1)-(4) по формулам (5) и (6) перейти от многочленов рп (х) и Тп(х) соответственно к многочленам дп(х) и Бп(х), то теоремы 1 и 2 принимают следующий вид.

Теорема 4. Пусть п = 2к + 1 - натуральное число, - функция Эйлера. Тогда имеются многочлены дп(х) € 0>|х] степени <р(п)/2 с корнями 2сов(вп/п), где нечетное в < п и принимает все .значения, взаимно простые с п. Эти многочлены находятся рекуррентно из формул

д1(Бп(х)) = д1(х) (дп(х))2 , п = 2к +1 — простое, д1(х) = х + 2, (8) Чт(Бд(х)) = дп(х), п = тд, т . д, д — простое, (9)

дт(Бд (х)) = дт(х)дп (х), п = тд, НОД (т,д) = 1, д — простое. (10)

Числа 2сов(Ьп/п), где четное Ь <п принимает все .значения,, взаимно простые с п, являются корнями многочлена ( — 1) <1дп(—х), где 1 = deg дп(х).

Теорема 5. Пусть п = 2к - натуральное число, - функция Эйлера. Тогда имеются многочлены дп(х) € 0>|х] степени р(п) с корнями 2сов(вп/п), где нечетное в < п и принимает все .значения, взаимно простые с п. Эти многочлены строятся по формулам

дп(х) = дн (Б2(х)), д2(х) = х. (11)

Из теоремы 3 о неприводимости многочленов рп(х) и формулы (5) следует, что многочлены дп(х) также неприводимы над полем ( и являются минимальными многочленами чисел 2сов(п/п) .

Алгебраическое число а называют вполне вещественным, если все сопряженные с ним числа вещественны. Из теорем 4 и 5, в частности, вытекает, что все числа вида 2сов(кп/п), (к,п) = 1, к € N, являются вполне вещественными. Это понятие переносится и на поля.

Пусть а - алгебраическое число. Поле ((а) называют вполне вещественным, если все с ним сопряженные поля вещественны. В случае, когда а = 2со&(п/п), имеем, что все поля ((2 сов(кп/п)), (к,п) = 1, к € N, не только вещественны, но и совпадают между собой.

Таким образом, для любого п € N многочлен дп(х) порождает максимальное вполне вещественное подполе кругового поля К2п. Приведем примеры вычисления многочленов дп(х).

Пример 1. Найдем минимальный многочлен числа 2сов(п/5) . По формуле (8) при п = 5, к = 2, учитывая, что Б^(х) = х5 — 5х:3 + 5х и д\(х) = х + 2, имеем д1 (Б5(х)) = х5 — 5х3 + 5х + 2 = (х + 2)(х2 — х — I)2 . Значит, д5(х) = х2 — х — 1 и его корнями являются числа 2соэ(п/5) и 2сов(Зп/5) . А числа 2соъ(2п/5) и 2соъ(4п/5) являются корнями многочлена д5^(—х) = х2 + х — 1.

Пример 2. Найдем минимальный многочлен числа 2сов(п/9) . Воспользуемся формулой (9) при п = 9, т = д = 3. Так как дз(х) = х — 1, Б%(х) = х3 — 3х, то дд(х) = дз (Бз(х)) = х3 — 3х — 1. Корнями этого многочлена являются числа 2сов(п/9), 2сов(5п/9) и 2сов(7п/9). А числа 2сов(2п/9), 2сои(4п/9) , 2сов(8п/9) являются корнями многочлена —дд(—х) = х3 — 3х + 1.

Пример 3. Найдем минимальный многочлен числа 2со$,(п/15). Воспользуемся формулой (10) при п = 15, т = 3, д = 5. Так как дз(х) = х — 1, Б\(х) = х5 —

— 5х3 + 5х, то дз(х)д\5(х) = дз (Б\(х)) = х5 — 5х3 + 5х — 1 = (х — 1)(х4 + х3 —

— 4х2 — 4х + 1). Значит, д\5(х) = х4 + х3 — 4х2 — 4х + 1. Корнями этого многочлена являются числа 2соъ(п/15) , 2соъ(7п/15) , 2соъ(11п/15) и 2сов(1Зп/15) . А числа 2соъ(2п/15) , 2соъ(4п/15) , 2сов(8п/15) , 2соъ(14п/15) являются корнями многочлена д\ъ(—х) = х4 — х3 — 4х2 + 4х + 1.

Пример 4. Найдем минимальный многочлен числа 2сов(п/10) . По формуле (11) при п =10, к = 5 находим дю(х) = д5 (Б2(х)) = (х2 — 2)2 — (х2 — 2) — 1 = х4 —

— 5х2 + 5. Корнями этого многочлена являются числа 2сов(п/10) , 2сов(Зп/10) , 2сов(7п/10), 2 сов(9п/10) .

Приведем примеры многочленов дп(х), при вычислении которых участвуют многочлены Бь (х), к < 19. Имеем

д\(х) = х + 2, д2(х) = х, д3(х) = х — 1,

д4(х) = х2 — 2, д5(х) = х2 — х — 1, дв(х) = х2 — 3, дг(х) = х3 — х2 — 2х +1, д^(х) = х4 — 4х2 + 2, дд(х) = х3 — 3х — 1, дю(х) = х4 — 5х2 + 5, ди(х

д13(х д15(х д1т(х

д1в(х

д2о(х

= х5 — х4 — 4х3 + 3х2 + 3х — 1, д12(х) = х4 — 4х2 + 1, = х6 — х5 — 5х4 + 4х3 + 6х2 — 3х — 1, д14(х) = х6 — 7х4 + 14х2 — 7, = х4 + х3 — 4х2 — 4х +1, д16(х) = х8 — 8х6 + 20х4 — 16х2 + 2, = х8 — х7 — 7х6 + 6х5 + 15х4 — 10х3— 10х2+4х+ 1, д18(х) = х6 — 6х4 +9х2— 3, = х9 — х8 — 8х7 + 7х6 + 21х5 — 15х4 — 20х3 + 10х2 + 5х — 1,

х8 — 8х6 + 19х4 — 12х2 + 1, д21(х) = х6 + х5 — 6х4 — 6х3 + 8х2 + 8х + 1,

д22(х) = х10— 11х8 + 44х6— 77 х4 + 55х2— 11, д24(х) = х8— 8х6 + 20х4 — 16х2 + 1,

д25(х) = х10 — 10х8 + 35х6 — х5 — 50х4 + 5х3 + 25х2 — 5х — 1,

д26(х) = х12 — 13х10 + 65х8 — 156х6 + 182х4 — 91х2 + 13,

д27(х) = х9 — 9х7 + 27х5 — 30х3 + 9х — 1,

д28(х) = х12 — 12х10 + 53х8 — 104х6 + 86х4 — 24х2 + 1,

д30(х) = х8 — 7х6 + 14х4 — 8х2 + 1,

д33(х) = х10 + х9 — 10х8 — 10х7 + 34х6 + 34х5 — 43х4 — 43х3 — 12х2 + 12х + 1, д35(х) = х12 + х11 — 12х10 — 11х9 + 54х8 + 43х7 — 113х6 — 71х5 +

+ 110х4 + 46х3 — 40х2 — 8х +1, д36(х) = х12 — 12х10 + 54х8 — 112х6 + 105х4 — 36х2 + 1, д39(х) = х12 + х11 — 12х10 — 12х9 + 53х8 + 53х7 — 103х6 — 103х5 +

+ 79х4 + 79х3 — 12х2 — 12х + 1, д40(х) = х16 — 16х14 + 104х12 — 352х10 + 659х8 — 664х6 + 316х4 — 48х2 + 1, д42(х) = х12 — 11х10 + 44х8 — 78х6 + 60х4 — 16х2 + 1.

2. Представление квадратных радикалов через косинусы

Имеет место

Теорема 6. Пусть натуральное число 1 > 1 свободно от квадратов. Тогда имеется многочлен /(х) € ([х] с рациональными коэффициентами такой, что а/1 = / (2сов( п/п))). Если 1 = 1(mod4), то п = 1 и deg /(х) < <(п)/2. При п = 2 или п = 3(mod4) имеем п = 21 и deg /(х) < <(п). При этих условиях /(х) находится единственным образом.

Доказательство. Приведем сначала некоторые факты из теории квадратичных полей. Квадратичным полем называется расширение поля рациональных чисел ( второй степени. Для всякого квадратичного поля Ь имеется единственное целое число 1 = 0, 1 = 1, не делящееся на квадрат натурального числа к = 1, такое, что Ь = [5, с. 149-150]. Дискриминант Б квадратичного поля

определяется равенством

1, если 1 = 1(mod4), 41, если 1 = 2 или 1 = 3(mod4).

Как известно, всякое квадратичное поле ((а/1) содержится в некотором круговом поле К^ [2 с. 236]. При этом С К^ тогда и только тогда, когда дискриминант Б поля делит Н [6].

Теперь перейдем к доказательству теоремы 6.

Пусть 1 = 1(mod4). Тогда Б = 1 и С Ка = К2а. Так как 1 - нечетное

число, то [К2а 0>] = <(21) = <(1), и Ьа = ((2^8^/1)) - максимальное вещественное подполе поля К2а, [Ьа (] = <(1)/2, и дп(х) = да(х) - минимальный многочлен числа 2^8^/1.). Имеем, что ((у/!) - вещественное поле и поэтому ((VI) С Ьа = ((2 смв(п/1)). Это означает, что а/1 представляется через базис поля Ьа, то есть а/1 = /(2^8^/1)), /(х)([х] и deg /(х) < <(1)/2. При выполнении условия на степень многочлен /(х) находится единственным образом. В случае 1 = 1(mod4) теорема 6 доказана.

В случае ! = 2 или ! = 3(шоё4) для дискриминанта Б поля ((у/!) имеем равенство Б = 4!. Поэтому ((л/!) С К4а, [К4а : (] = ф(4!). Тогда Ь2а = = ((2соз(п/(2!)) - максимальное вещественное подполе поля К4а, д2а(х) -минимальный многочлен числа 2 со&(п/(2!)), deg д2а(х) = <р(2!) = <р(4!)/2. В этом случае базис поля ((2 сов(п/(2й))) состоит из чисел 1,у,у1 ,... ,ук-1, V = 2со&(п/(2!)), к = ф(2!). Так как %/! € Ь2а(2 соз(п/(2!)), теорема 6 полностью доказана.

Приведенное доказательство не указывает способа для нахождения явного вида многочлена /(х) . Поэтому приведем другое рассуждение, которое фактически является вторым доказательством теоремы 6.

Как известно, группа Галуа 0(К2а) поля К над ( изоморфна мультипликативной группе иЪ2п классов вычетов, взаимно простых с модулем 2п [7, с. 213], а подполе Ьп = ((2 соб(п/п)) инвариантно относительно подгруппы Н = {1, — 1} С С иЪ2п. Поэтому 0(Ьп) « иЪ2п/Н, то есть группа Галуа поля Ьп над ( изоморфна фактор группе иЖ,2п/Н.

Квадратичное поле ((у/!), как подполе поля Ьп = ((2сов(п/п)) инвариантно относительно некоторой подгруппы Н1 группы 0(Ьп), причем Н1 - подгруппа индекса 2 группы 0(Ьп). Подгруппа Н1 делит корни многочлена дп(х) в соответствии с классами смежности на две части, которые порождают многочлены д1 (х) и д2(х), причем дп(х) = д1(х)д1(х).

Коэффициенты многочленов д1(х) и д2(х) инвариантны относительно подгруппы Н1 , следовательно, эти коэффициенты являются элементами квадратичного поля ((у*!) и имеют вид а + Ъл/~!, а, Ъ € (. Из того, что многочлен дп(х) неприводим над полем (, следует, что среди коэффициентов Ъ имеется отличный от нуля.

Таким образом, получается, что коэффициент многочлена д1(х), с одной стороны, имеет вид а1 + а1, Ъ € (, Ъ = 0, ас другой - этот коэффициент является симметрическим многочленом от корней д1(х). Но все корни многочлена дп(х) рационально выражаются через один любой его корень. Поэтому имеется многочлен /(х) € ([х] такой, что = /(х), х - корень многочлена д1(х). Это означает, что искомый многочлен /(х) найден.

Приведем примеры.

Пример 5. Выразим %/7 через косинусы. Дискриминант поля ((л/7) равен 28, и К28 - минимальное круговое поле, содержащее число %/7. Далее, Ь14 = = ((2соб(п/14)) - максимальное вещественное подполе поля К28, и ди(х) = х6 —

— 7х4 + 14х2 — 7 - минимальный многочлен числа 2соъ(-к/14) и хк = 2соъ(кп/14), к = 1, 3, 5, 9,11,13 - все его сопряженные.

Группа Галуа

С(Ь14) « иЪ28/Н = {Н, 3Н, 5Н, 9Н, 11Н, 13Н} = {а, а2, а3, а4, а5, а6 = Н},

а = 5Н, Н = {!, —1}.

Подполю ((\/7) поля Ь14 соответствует подгруппа индекса 2, то есть Н1 = = {а2, а4, а6 = Н} = {Н, 3Н, 9Н}.

Подгруппа Н1 корни хк многочлена ди(х) делит на две части: {х1, х3, х9} и {х5, хц, х13}. Образуем многочлены д1(х) = (х — х{)(х — х3)(х — х9) и д2(х) = (х —

— х5)(х — хц)(х — х13). Из равенства ды(х) = х6 — 7х4 + 14х2 — 7 = д1(х)д2(х), используя формулы Виета для многочленов д14(х) и д7(х), находим д1(х) = х3 —

— л/7х2 + л/7 и д2(х) = х3 + \[7х2 — л/7, отсюда \[7 = 2со&(п/14) + 2 соъ(Зп/14) + + 2соъ(9п/14) .

Учитывая то, что

2cos(3n/14) = S3(2cos(n/14)) и 2cos(9n/14) = —2 cos(5n/14) = —S5(2cos(n/14)),

приходим к равенству V7 = —x5 + 6x3 — 7x, x = xi = 2cos(n/14). Это равенство остается справедливым и при x = x3 и x = x<j.

В этом можно убедиться следующим образом. Для любого корня gi(x) имеем gi(x) = x3 — V7(x2 — 1) = 0, отсюда V7 = x3/(x2 — 1). Так как для корней многочлена gi(x) справедливо равенство qu(x) = (x2 — 1)(x4 — 6x2 + 8) + 1, то

V7 = x3/(x2 — 1) = —x3(x4 — 6x2 +8) = (—x5 + 6x3 — 7x)(mod qi4(x)).

Таким образом,

V7 = —x5 +6x3 — 7x, x = 2cos(kn/14), к = 1, 3, 9. (12)

Для корней же многочлена g2(x) имеем

—V7= —x5 + 6x3 — 7x, x = 2cos(kn/14), к = 5,11,13. (13)

Аналогичные два равенства, отличающиеся только знаками, будут иметь место и в случае любого квадратного радикала V~d, где d > 1 и свободно от квадратов. Этот факт является следствием следующего свойства алгебраических чисел.

Пусть f(x) € Q[x] и а - алгебраическое число степени n, а = а\,а2,... ,ап -все его сопряженные. Тогда f3i = f (а), i = 1, 2,... ,n, также являются сопряженными алгебраическими числами. При этом если среди чисел f3i имеются совпадающие, то все они имеют одинаковую кратность [8, с. 74] (а нашем случае числа \/7 и —\/7 имеют кратность 3).

Опуская детали вычислений, приведем еще несколько примеров, но только для случая yfd .

Пример 6. Представим %/б через косинусы. Имеем

q12(x) = x4 — 4x2 + 1 = (x2 — V6x + 1)(x2 + V6x + 1).

Отсюда

V6=2cos(n/12) + 2cos(5n/12) = —x3 + 5x, x = 2 cos(kn/12), к = 1, 5. Пример 7. Представим \/T0 через косинусы. Имеем

q20(x) = x8 — 8x6 + 19x4 — 12x2 + 1 =

= (x4 — V^x3 + x2 + VWx — 1)(x4 + V1iyx3 + x2 — VWx — 1),

откуда

VV) = 2cos(n/20)+2cos(3n/20) + 2cos(9n/20) + 2cos(13n/20) =

= —2x7 + 15x5 — 31x3 + 13x, x = 2 cos(kn/20), к = 1, 3, 9,13.

Пример 8. Представим л/Л через косинусы. Имеем

q22(x) = xw — 11x8 + 44x6 — 77x4 + 55x2 — 11 =

= (x5 — VTTx4 + 3VTTx2 — 11x + Vn)(x5 + VUx4 — 3VTTx2 — 11x — Vn), откуда

Vn = 2cos(n/22) + 2 cos(5n/22) + 2cos(7n/22) + 2cos(9n/22) + 2cos(19n/22) = = x9 — 8x7 + 21x5 — 22x3 + 11x, x = 2cos(kn/22), к = 1, 5, 7, 9,19.

Пример 9. Представим у/13 через косинусы. Имеем

д13(х) = х6 — х — 5х:4 + 4х3 — 6х2 — 3х — 1 = = (х — (1 + л/13) х /2 — х х3 — (1 — у/У3)х2/2 — х + (3 — у/13)/2),

откуда

у/13 = 4соб(п/1З) + 4соб(Зп/1З) + 4соб(9п/1З) — 1 =

= —2х4 + 2х3 + 8х2 — 4х — 5, х = 2 соБ(кп/13), к = 1, 3, 9.

Пример 10. Представим

у/14 через косинусы. Имеем

д28(х) = х12 — 12х10 + 53х8 — 104х6 + 86х4 — 24х2 + 1 =

= (х6 — у/14х5 + х4 + 3у/14х3 — 16х2 + 2у/14х — 1)х х (х6 + у/14х5 + х4 — 3^14х3 — 16х2

— 2у/йх — 1),

откуда

у/14 = 2соб(п/28) + 2соб(5п/28) + 2соб(9п/28) + 2соб(1Зп/28) + 2соб(25п/28) = = 2х9 — 17х7 + 47х5 — 48х3 + 19х, х = 2 сов(кп/28), к = 1, 5, 9,11,13, 25.

Пример 11. Представим

л/15 через косинусы. Имеем д30(х) = х8 — 7х6 + 14х4 — 8х2 + 1 = (х4 — ^х3 + 4х2 — 1)(х4 + у/15х3 + 4х2 — 1), откуда

у/15 = 2соб(п/З0) + 2 соб(7п/З0) + 2соб(11п/З0) + 2соб(17п/З0) =

= 4х7 — 27х5 +49х3 — 17х, х = 2 соб(Ы/30), к = 1, 7,11,17.

Пример 12. Представим у/17 через косинусы. Имеем

д17(х) = х8 — х7 — 7х6 + 6х5 + 15х4 — 10х3 — 10х2 + 4х + 1 = = (х4 — (1 — у/17)х3

/2 — (3 + л/Г!)х2/2 — (2 + ^й) х/2 — 1)х х (х4 — (1 + л/17)х3/2 — (3 — у/\Л)х2/2 — (2 — у/И)х/2 — 1),

откуда

у/17= —4соб(п/17) + 4соб(2п/17)+4соб(4п/17)+4соб(8п/17) + 1 = = 2х7 — 2х6 — 12х5 +20х3 — 18х2 — 10х + 3, х = 2 соБ(кп /17), к = 3, 5, 7,11.

Пример 13. Представим у/21 через косинусы. Имеем

д21(х) = х6 + х — 6х4 — 6х3 + 8х2 + 8х + 1 =

= (х3 + (1 — у/2Х)х2/2 — (1 + у/2Х)х/2 + (5 + \2)/2) х (х

+ (1 + ^) х2/2 — (1 — л/21)х/2 + (5 — л/21)/2),

откуда

у/21 = 4соб(п/21) + 4соб(5п/21) + 4соб(17п/21) + 1 =

= 2х5 — 2х4 — 10х3 + 8х2 + 12х — 3, х = 2 соБ(кп/21), к = 1, 5,17.

Замечание 1. Теорема 6 утверждает, что каждый радикал а/1 может быть представлен в виде многочлена в базисе минимального поля Ьп = ((2 ж^п/п)), содержащего радикал а/1 . Но если а/1 € Ьп, то для любого натурального Ь имеем а/1 € Ьпг = 0,(2 /(пЬ))). Значит, а/1 можно представить в виде многочлена и в базисе поля Ь^.

Обозначим через /а,п многочлен, выражающий а/1 через базис поля Ьп . Тогда результат, например, примера 5 можно записать в виде /7,ы(х) = —х5 + 6х3 — 7х = = ±а/7, где х - любой корень многочлена ди(х) = х6 — 7х4 + 14х2 — 7.

Пусть /а,п(х) = ±а/1 . Так как

2 т8(кп/п) = 2 тв^Ьп/(пЬ)) и тв^п / (пЬ))) = 2т8(кп/п), то имеет место формула

/а,т(х) = /d,n(St(x))(mod дгЛ(х)). (14)

Здесь к сравнению по модулю д^(х) нужно переходить вследствие того, что значения х являются корнями многочлена д^(х), поэтому должно выполняться условие deg /а,гл(х) < deg д^(х).

Приведем простейший пример. Из того, что /24(х) = х, находим /2,12(х) = = Я3(х) = х3 — 3х = ±а/2, х = 2с()8(кп/12), к = 1, 5, 7,11. Так как /3,6(х) = х, получаем /3,12(х) = Б2(х) = х2 — 2 = ±а/3, х = 2сл)8(кп/12), к = 1, 5, 7,11.

Замечание 2. Пусть 1 > 1 - свободное от квадратов натуральное число, 1 = = 11(2 и все три числа а/11 , а/12 , л/1 содержатся в одном и том же поле Ьп = = Q(cos(п/n)). Тогда многочлен /а,п(х) можно найти, перемножая многочлены /аип(х) и /а2,п(х).

Например, имеем а/2 € Ь4 С Ь12, € Ь6 С Ь12, а/6 € Ь6. Тогда, перемножая равенства /2,12(х) = х3 — 3х = ±а/2 и /3,12(х) = х2 — 2 = ±а/3, находим /2,12(х)/з,12(х) = х5 — 5х3 + 6х = —х3 + 5x(modд12(х)). Значит, /6,12(х) = —х3 + + 5х = , где х = 2см8(кп/12), к =1, 5, 7,11. '

3. Нахождение вещественных подполей круговых полей

Многочлены дп(х), вычисляемые по рекуррентным формулам (8)-(10), дают возможность полностью описать все вещественные подполя любого фиксированного кругового поля.

Пусть требуется с этой точки зрения изучить круговое поле Кн = К2п . Степень [К2п ■ этого поля равна <(2п), группа Галуа С^К2п/(^ изоморфна мультипликативной группе иЪ2п классов вычетов, взаимно простых с модулем 2п.

Максимальное вещественное подполе Ьп кругового поля К2п порождается элементом и2п + и- = 2cos(п/n), минимальный многочлен которого есть дп(х), deg дп (х) = <(2п)/2.

Вещественное поле Ьп = Q(2cos(п/n)) как подполе поля К2п, соответствует подгруппе Н = {1, —1} С К2п/(. Другими словами, поле Ьп = Q(2cos(п/n)) инвариантно относительно группы автоморфизмов, соответствующих подгруппе Н. Отсюда следует, что группа Галуа 0(Ьп/() изоморфна фактор-группе и%2п/Н.

Все вещественные подполя кругового поля К2п являются подполями вещественного поля Ьп . По основной теореме теории Галуа между этими вещественными полями и подгруппами группы иЖ,2п/Н имеется взаимно однозначное соответствие. Структура группы иЖ,2п/Н и многочлен дп(х) позволяют эффективно описать все вещественные подполя поля К2п.

При нахождении минимальных многочленов примитивных элементов этих под-полей можно воспользоваться результатами работ [9, 10]. Приведем два примера.

Пример 14. Опишем вещественные подполя кругового поля К38 . Так как п = = 38 = 2 ■ 19, то максимальное вещественное подполе Ь19 = ((2соб(п/19)), и многочлен д19(х) имеет вид д19(х) = х9 — х8 — 8х7 + 7х6 + 21х5 — 15х4 — 20х3 + + 10х2 +5х — 1. Группа Галуа 0(Ь19/() « и%38/Н - циклическая группа порядка 9. Эта группа имеет три подгруппы, порядки которых равны 1, 3 и 9. Это означает, что в поле К38 входят три вещественных поля степеней 9, 3 и 1. Поля степеней 1 и 9 уже известны: К2 = Ь1 = ( и Ь19 = ((2 соб(п/19)) .

Искомое вещественное поле Р степени 3 инвариантно относительно группы Н1 = {Н, 7Н, 11Н} С иZ38/Н. Для его нахождения многочлен д19(х) разложим на три множителя над полем Р.

Для корней многочлена д19(х) введем обозначения хк = 2соБ(кп/19). Тогда имеем

д19(х) = д1(х)д2(х)д3(х),

где

д1(х) = (х — х1)(х — х7 )(х — хц) = х3 — а1х2 + Ъ1х — С1,

д2(х) = (х — х3)(х — х5 )(х — х17) = х3 — а2х2 + Ъ2х — С2,

д3(х) = (х — хд)(х — х13)(х — х15) = х3 — а3 х2 + Ъ3х — С3.

Автоморфизмы 01, о~7, а 11 соответствующие подгруппе Н1, не изменяют коэффициенты аI, Ъ^ , Ск многочленов д1(х), д2(х), д3(х).

Из неприводимости многочлена д19(х) над полем ( следует, что среди коэффициентов каждого из многочленов д1(х), д2(х), д3(х) имеется нерациональное число. Любое из таких чисел можно считать примитивным элементом поля Р. Так как известны корни многочленов д1(х), д2(х), д3(х), используя формулы Ви-ета для многочлена д19(х), можно установить, что а,1, а,2, а3 являются корнями уравнения д(х) = х3 — х2 — 6х + 7 = 0. Этот многочлен не имеет рациональных корней. Значит, любой его корень, то есть любое из чисел

а1 = 2соб(п/19) + 2соб(7п/19)+2соб(11п/19),

а2 = 2соб(Зп/19) + 2соб(5п/19) + 2соб(17п/19), а3 = 2соб(9п/19) + 2 соб(1Зп/19) + 2соб(15п/19)

можно принять за примитивный элемент искомого поля Р.

Так как эти три числа порождают одно и то же поле, то каждое из них должно рационально выражаться через другое. Действительно, если обозначить через а любое из чисел а,1, а2, а3, то а2 — 4 и 5 — а — а2 будут двумя другими. Таким образом, искомое поле Р = ((а1) = ((2соб(п/19) + 2соб(7п/19) + 2соб(11п/19)), минимальный многочлен примитивного элемента имеет вид д(х) = х3 — х? — 6х + 7.

Метод, использованный при нахождении поля Р из примера 14 универсален в том смысле, что он может быть использован при нахождении любого поля, инвариантного данной подгруппе группы Галуа изучаемого поля. Но в техническом плане этот метод требует довольно громоздких вычислений.

В тех случаях, когда показатель Н кругового поля К^ богат делителями, можно обойтись без сложных вычислений. Покажем это на примере.

Пример 15. Опишем вещественные подполя кругового поля К72. Каждый четный делитель ! = 2к числа Н = 72 определяет круговое поле К2к со своим максимальным вещественным подполем Ьк = ((2соБ(п/к)). Таким образом,

можно считать установленным, что в поле K72 входят:

- поле степени 1: Li = L2 = L3 = Q;

- поля степени 2: L4 = Q(2cos(n/4)), L6 = Q(2cos(n/6));

- поле степени 3: L9 = Q(2cos(n/9));

- поле степени 4: L12 = Q(2 cos(n/12));

- поле степени 6: Lis = Q(2 cos(n/18));

- поле степени 12: L36 = Q(2 cos(n/36)).

Кроме того, в K72 входят вещественные квадратичные поля

Q(V2) = Q(2cos(n/4)) = L4, Q(V3) = Q(2cos(n/6)) = L6, Q(V6).

Дискриминанты этих полей соответственно равны 8, 12, 24.

Согласно основной теореме теории Галуа о взаимно однозначном соответствии между подполями и подгруппами группы Галуа этого поля, осталось найти еще два поля степени 6. Этими полями являются композиты уже найденных полей степеней 2 и 3.

Имеем P1 = L4 • L9 = Q(\/2 + 2cos(n/9)), [P1 : Q] = 6. Минимальный многочлен числа \р2 + 2cos(n/9) есть f1(x) = x6 — 12x4 — 2x3 + 21x2 — 6x — 1, при этом P2 = L9 • Q(%/6) = Q(2cos(n/9) + V6). Минимальный многочлен числа V& + + 2cos(n/9) есть f2(x) = x6 — 24x4 — 2x3 + 117x2 — 30x — 53. Другие композиты найденных полей рассматривать не нужно, так как они приводят к известным полям. Например, L6 • L9 = Q(V3) • Q(2 cos(n/9)) = Lis = Q(2 cos(n/18)).

Итак, в круговом поле K72 содержатся 10 вещественных подполей: по одному полю степеней 1, 3, 4 и 12, по три поля степеней 2 и 6. При этом указаны примитивные элементы всех полей и их минимальные многочлены.

Литература

1. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1979. - 623 с.

2. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968. - 564 с.

3. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦИМО, 2003. - 335 с.

4. Galyautdinov I.G., Galieva L.I. Galois groups for one class equations // Asian-Eur J. Math. - 2011. - V. 4, No 3. - P. 427-436.

5. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985. - 504 с.

6. Галяутдинов И.Г., Лаврентьева Е.Е., Хусаинова Э.Д. Квадратичные поля как под-поля круговых полей // Изв. СмолГУ. - 2012. - № 4. - С. 346-356.

7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. - М.: Физматлит, 2001. - 272 с.

8. Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Ч. 1. - М.: ОНТИ, 1934. - 222 с.

9. Галяутдинов И.Г., Лаврентьева Е.Е., Хусаинова Э.Д. Некоторые применения задачи Чирнгаузена // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Десятой Междунар. конф. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - С. 184-188.

10. Галяутдинов И.Г., Лаврентьева Е.Е. Нахождение минимальных многочленов алгебраических чисел вида tg2 (n/n) c помощью преобразования Чирнгаузена // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2015. - Т. 157, кн 2. - С. 20-27.

Поступила в редакцию 15.02.16

Галяутдинов Ильдархан Галяутдинович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры естественных и технических дисциплин

Казанский филиал Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики

ул. Бари Галеева, д. 3а, г. Казань, 420061, Россия

Лаврентьева Елена Евгеньевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры информационных систем

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 1815-6088 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 4, pp. 469-481

Polynomials Generating Maximal Real Subfields of Circular Fields

I.G. Galyautdinova, E.E. Lavrentyevab*

a Volga State University of Telecommunications and Informatics, Kazan Branch,

Kazan, 420061 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *[email protected]

Received February 15, 2016 Abstract

We have constructed recurrence formulas for polynomials qn(x) £ Q[x], any root of which generates the maximal real subfield of circular field K2n . It has been shown that all real sub-fields of fixed field K2n can be described by using polynomial qn(x) and its Galois group. Furthermore, a methodology has been developed for presentation of square radical Vd, d £ N, d > 1 in the form of a polynomial with rational coefficients relative to 2cos(n/n) at the corresponding n. The theoretical results have been verified by a number of examples.

Keywords: algebraic number, minimal polynomial, circular fields and their subfields, Galois group

References

1. van der Waerden B.L. Algebra. Moscow, Nauka, 1979. 623 p. (In Russian)

2. Leng S. Algebra. Moscow, Mir, 1968. 564 p. (In Russian)

3. Prasolov V.V. Polynominals. Moscow, MTsIMO, 2003. 335 p. (In Russian)

4. Galyautdinov I.G., Galieva L.I. Galois groups for one class equations. Asian-Eur. J. Math., 2011, vol. 4, no. 3, pp. 427-436.

5. Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Number Theory. Moscow, Nauka, 1985. 504 p. (In Russian)

6. Galyautdinov I.G., Lavrentyeva E.E., Khusainova E.D. Quadratic fieldsn as subfields of circular fields. Izv. Smolensk. Gos. Univ., 2012, no. 4, pp. 346-356. (In Russian)

7. Kostrikin A.I. Introduction to Algebra. Part 3. Moscow, Fizmatlit, 2001. 272 p. (In Russian)

8. Chebotarev N.G. Basic Galois Theory. Part 1. Moscow, ONTI, 1934. 222 p. (In Russian)

9. Galyautdinov I.G., Lavrentyeva E.E., Khusainova E.D. Some applications of Tschirnhausen problem. Setochnye metody dlya kraevykh zadach i prilozheniya: Materialy Desyatoi Mezhdunar. konf. [Mesh Methods For Boundary Value Problems And Applications: Proc. 10th Int. Conference]. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 2014, pp. 184—188. (In Russian)

10. Galyautdinov I.G., Lavrentyeva E.E. Determination of the minimal polynomials of algebraic numbers of the form tg2(^/ra) by the Tschirnhausen transformation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2015, vol. 157, no. 2, pp. 20—27. (In Russian)

/ Для цитирования: Галяутдинов И.Г., Лаврентьева Е.Е. Многочлены, порожда-I ющие максимальные вещественные подполя круговых полей // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 469-481.

/ For citation: Galyautdinov I.G., Lavrentyeva E.E. Polynomials generating maximal real ( subfields of circular fields. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Ma-\ tematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 4, pp. 469-481. (In Russian)