CC BY
40
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2QQ8. №4(15)
МАТЕМАТИКА
УДК 511.61
КЛАСС МНОГОЧЛЕНОВ СО СВОЙСТВАМИ КРУГОВЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
© Л.И.Галиева, И.Г.Галяутдинов
Строятся неприводимые в кольце Ъ [х] многочлены ґ„ (х) с целыми коэффициентами, корнями
п _ _
которых являются числа вида tg —, где п не равно 2 и принимает натуральные значения. В рабо-
п
те полное доказательство приводится для случая, когда п - нечетное натуральное число. Ключевые слова: класс многочленов, свойство круговых многочленов
При нахождении многочленов (х), корня- Р4 (х) = 4х - 4х3,
04 (X) = 1 - 6X2 + X4,
Р5 (х) = 5х -10х3 + х5, ^5 (х) = 1 -10х2 + 5х4
Так как ^ (х) - многочлен с целыми коэф-роль играют рациональные функции Я (х), об- ,
^ ^ ^ т.?-’ п\ п фициентами, корнем которого является число
п
ми которых являются числа вида tg —, важную
n
много-
ладающие свойствами:
1) Rn (Х) = ^ ’ ГД6 P (Х)’ Qn (Х) -Qn (Х)
члены с целыми коэффициентами, степени которых не больше n,
2) Rn (tg a) = tg na .
Многочлены Pn (x) и Qn (x) находятся из того, что
sin na = Cln cosn-1 a sin a - Cl cosn-3 a sin3 a +
. . / 2k+1__„n-2k-1 „ 2k+l .
+... + (-1) Cn cos a sin a +...
cos na = cos” a - C2 cosn-2 a sin2 a + C4 cos”-4 a sin4 a -
tg —, то очевидно, что ґ1 (х) = х, ґ3 (х) = х2 - 3, п
ґ4 (х) = х -1, ґ6 (х) = 3х2 -1.
Суперпозиция многочлена ґк (х) и функции Я„ (х) позволяет найти многочлен ґкп (х) с целыми коэффициентами предписанной степени,
п
корнем которого является число tg —. Для это-
кп
го, используя уравнение
Ч (Яп ( х)) = ^ (1)
п
-... + (-l)kC2k cos'
n-2k a sin2k a +...
Отсюда
tg na =
Pn (g a) Qn (tg a)
P (x) = C1 x-C3x3 +... + (-l)kC
n V / n n \ ' >
количество слагаемых будет l =
одним из корней которого является число tg —,
кп
необходимо перейти к равносильному уравне-
= Я ( а) где нию /(х) = 0, где /(х) - многочлен с целыми
коэффициентами, а затем выделить из этого мно-
... (здесь гочлена множитель tkn (х) нужной степени. В
п +1 "| общем случае справедливы:
), Теорема 1. Пусть п = 2к +1, к - натуральное
число, р(п) - функция Эйлера. Тогда имеется многочлен tn (х) с целыми р(п) , корнями кото-
k П 2 k +12 k +1
0п (х) = 1 - С22х2 +... + (-1) С1кх2к +... (количество слагаемых равно п +1 -1).
Заметим, что числители и знаменатели функ- +„ П ^ „
’ ^ рого являются числа tg —, где 5 < п и пробега-
ции Яп (х) могут быть вычислены по рекуррентным формулам: Рп+1 (х) = Рп (х) +
+х& (х), 0п+1 (х) = 0п (х) - хРп (х) п = иА..^
Р1 ( х) = х, Q1 ( х ) = 1. Например, Р2 ( х ) = 2 х,
Q2 (х) = 1 - х2, Р3 (х) = 3х - х3, Q3 (х) = 1 - 3х2,
ет все значения, взаимно-простые с п .
Эти многочлены находятся рекуррентно из следующих формул:
Рп (х) = (-1)к хп (х),
п = 2к +1 - простое число,
\р(ч)
(2)
(Qp (x)) ' tq (Rp (x)) = tq (x) tn (x) , (3)
п = рч,
р - простое, НОД (р, ч) = 1,
(р (х))^(Ч) ^ ( (х)) = (п (х) п = pq,
р - простое, НОД (р, ч) = р Теорема 2. Пусть п = 4к + 2, к - натуральное число. Тогда имеется многочлен ґп (х) с целыми коэффициентами степени (р(п), корнями кото-
п
рого являются числа tg —, где 5 < п и пробега-
п
ет все значения, взаимно-простые с п .
Многочлен ґп (х) находится из равенства
(02 (х))РК) ^ (К2 (х)) = Іп1 (х)п (х) ,
п = 4к + 2 = 2 (2к +1) = 2п1.
Теорема 3. Пусть п = 4к, к - натуральное число. Тогда имеется многочлен ґп (х) с целыми
коэффициентами степени -2-р(п), корнями которого являются числа tg —, где 5 < п,
п
НОД(5,п) = 1 и 5 = 1(mod4). Для 5 = 3(mod4) соответствующие числа являются корнями многочлена ґп (-х) .
Искомые многочлены находятся из равенств:
0к (хК ((к (х)) = {4 (±хК (х), п = 4^ к -нечетное простое число,
(р (х)УІМЧ І4Ч (р (х)) = І4Ч (±х^ (х),
п = 4к, к - нечетное составное число, причем к = рч, р - простое, НОД (р, ч) = 1,
(р (х))2Р(4Ч)і4ч ( (х)) = К (х), п = 4к, к -
нечетное составное число, к = рч, р -простое, НОД ( p, Ч) = р,
(2 (х))'2Р(4,) {4, (^2 (х)) = ±Іп (х) , п = 4к,
к = 2, - четное число.
Теорема 4. Многочлены, построенные в теоремах 1, 2, 3, неприводимы над полем рациональных чисел.
Доказательство теоремы 1 проведем индукцией по к .
Пусть к = 1, то есть п = 3. Очевидно, что ґ3 (х) = х2 - 3 є Ъ[х], degґ3 (х) = 2 = р(3). Корня/ \ п
ми многочлена і3 (х) являются числа tg —,
tg . Значит, при к = 1 теорема верна. Предположим, что при I < к и п = 21 +1 теорема верна и (4) докажем ее справедливость для п = 2к +1.
Сначала рассмотрим случай, когда п = 2к +1
- простое число. Построим уравнение t1 (Яп (х)) = 0 вида (1), есть Яп (х) = 0. Это значит, что
Рп (х) = (-1)к х(хп-1 -Спи-2хп-3 +... +
+(-1)к 1 Съпх2 + (-1)к п)= (-1)к хt(х) = 0. Здесь
многочлен t ( х) = хп-1 - Спп-2 хп-3 +... +
+ (-1)к-1 Сп3х2 +(-1)кп е 2[х], deg t (х) = п -1 = р(п) . Кроме того, имеем, что
1 |
Яп I tg—1 = tg 5п = 0 и Яп (а) = 0 только в том случае, когда Рп (а) = 0. Отсюда следует, что
числа вида tg— будут корнями многочлена
п
t (х), причем очевидно, что в качестве 5 нужно брать все р(п) = п -1 чисел, меньших п . Таким образом, если п = 2к +1 - простое число, то существует многочлен tn (х) = t (х), о котором говорится в теореме. Он находится из формулы (2), то есть из равенства Рп (х) = (-1)к хtn (х).
Пусть теперь п = 2к +1 - составное число, р
- его простой делитель, то есть п = рц, причем
НОД (р, д ) = 1.
По индуктивному предположению для нечетного числа д < п существует многочлен
t (х) , удовлетворяющий всем требованиям теоремы. В данном случае уравнение (1) запишется в виде tq (ЯР (х)) = 0 и будет равносильным уравнению
/ (х)- (р (х))Р(д) tq (Яр (х)) = 0. (5)
Левая часть уравнения (5) представляет собой многочлен / (х) с целыми коэффициентами
степени рр(д). Изучим его корни. Из того, что
одним из корней многочлена t (х) является чис-
п 5д +1
ло tg —, следует, что р чисел вида tg----------п,
д рд
где 5 = 0,1,2,..., р -1, будут корнями уравнения 3' (5). Таким образом, один корень многочлена
tq (х) порождает р корней уравнения (5). Пока-
Л.И.ГАЛИЕВА, И.Г.ГАЛЯУТДИНОВ
жем, что среди корней уравнения (5) будут все случае п = рч, р - простое число,
к°рни многочлена ^ (х) . Действительно, пр°из- НОД (р,ч) = р получена формула (4).
вольный корень уравнения (5) имеет вид Теорема 1 доказана полностью. Из-за ограни-
.54 + г \ і ченности объема статьи доказательство теорем 2,
tg—------п, где г < Ч, НОД (г, Ч ) = 1, 5 принима- „ „ ^ ’
рч 3, 4 мы опустим
ет одно из значений 0,1,2,...,р -1. Дробей вида Рассмотрим несколько примеров на приме-
нение теоремы 1.
54—- будет рр(ч), а из них , . / ч . п
рЧ у ' 1. Построить многочлен >5 (х) с корнем tg —.
р(рЧ) = р(р)р(ч) = (р - 1)р(ч) дробей будут По формуле (2) при п = 5 = 2*2 +1 находим
несократимы. Поэтому количество сократимых Р5 (х) = х(х4 -10х2 + 5) = хі5 (х) . Таким образом,
дробей равняется рр(ч)-(р- 1)р(ч) = р(ч). і5(х) = х4 -10х2 + 5^5 () = 4 = р() . Корнями
Так как р - простое число, НОД (ч, г) = 1, то в п 2п
, этого многочлена являются числа tg—, tg—,
+ Г 5,
случае сократимости дроби имеем --------------= —,
рЧ ч 3п 4п
/ ч ^“Т, 1^^“.
где НОД (51, Ч) = 1. Значит, среди корней уравне- 5 5
/гч + 51 _ 2. Построить многочлен tQ (х) с корнем tg —.
ния (5) будут р(д) чисел вида tg —п, где ^ ^ & 9
д Воспользуемся формулой (4) при р = д = 3.
р(3)
Имеем ґ9 (х) = (3 (х)) ґ3 (Я3 (х)) =
3х - х3 ^
1 - 3х2 ,
- 3
= х6 -33х4 + 27х2-3.
НОД (51, Ч) = 1, которые и являются всеми корнями многочлена ґч (х) . Остальные корни урав-
/^ч . щ + г = (1 - 3х2 ^
нения (5) имеют вид tg--------п , где 54 +г <рч, ^ )
рч
НОД ( + г, рч) = 1, значит, являются корнями deg ґ9 (х) = 6 = р(9) . корнями этого многочлена
многочлена ґ (х) = ґ (х). Поэтому левая часть _ п
p^w пУ ’ будут числа tg—, 5 = 1,2,4,5,7,8.
уравнения (5) , то есть многочлен /(х) , будет 9
„/ч /Ч/Чт- 3. Построить многочлен >15 (х) с корнем
иметь вид / (х) = ґч (х)ґп (х) . Таким образом, в 15 4 7
п
рассмотренном случае существование искомого tg — .
многочлена (х) доказано. Для его нахождения
пч ' При р = 5, ч = 3 по формуле (3) имеем
нужно воспользоваться формулой: 2
(р (х))*’ І, (р (х)) = >4 (х)ґп (х), п = рч, р (05 М) '3 (*5 (х)) = >3 ()<15 (х).
Левая часть этого равенства имеет вид
- ^стое, НОД(р,4) =1. Это и ЄСТ1, формула(3). р(,)_30(х) = (5х- 10х> + х’) -3(1 - 10х! + 5х*) =
Пусть тєпєрь п = 2к +1 - сосшюе -шою, р =х10 - 95х,+ 410хб - 430х + 85*- - 3. Поделив этот
- его простой делитель, т.е. п = рч , причем / N. 2 _
многочлен на ґ3 (х) = х - 3, находим
НОД (p, Ч) = р. >15 (х) = х8 - 92х6 +134х4 - 28х2 +1,
Точно также как и выше строим уравнение
т ^ „а-1„ degґ15 (х) = 8 = р(15). Корни этого многочлена -
(5). Так как Ч = р Ч1, где & 15 V / > у
НОД(р,ч1 ) = 1, а >2, то п = рч = р“ч1. По- это числа tgSJ, 5 = 1,2,4,7,8,11,13,14.
этому р(п) = р(р )р(41 ) = (р р )р(41 )= Многочлены ґп (х) по своим свойствам на-
= р (р - р )р(Ч1 ) = рр(4) . Значит, в этом поминают круговые многочлены Фп (х) , корня-
случае искомым многочленом является ми которых являются все первообразные корни
/(х) = ґп (х), то есть справедлива формула п -ой степени из единицы. Наиболее полная ин-
4 формация о круговых многочленах дается в [1].
>п (х) = ((р (х)) ^ ((р (х)) . Таким образом, в Сравним свойства многочленов ґп (х) и Фп (х) .
1. Многочлены tn (х), Фп (х) имеют целые коэффициенты и неприводимы в Ж[х].
2. Для степеней этих многочленов имеем deg tn (х) = р(п) , если п не сравнимо с нулем по
модулю 4; deg tn (х) = 1р(п) при п = 0(mod4) ;
^ фп (х) = Р(п).
3. В [2] приведено равенство Ф2п (х) = Фп (-х), если п - нечетно. Для многочленов tn (х) при п нечетном имеем
4. Все корни многочлена Фп (х) рационально
выражаются через один из его корней, а именно являются степенями одного из них. Все корни многочлена ґп (х) выражаются через один из его корней с помощью ранее использованной функции Як(х).
5. Многочлен Фп (х) является нормальным и
его корни порождают нормальное расширение над полем рациональных чисел. Этим же свойством обладает и многочлен >п (х) .
6. Группы Галуа многочленов Фп (х), ґп (х) изоморфны, если п не сравнимо с нулем по модулю 4; При п = 0(mod4) группа Галуа многочлена ґп (х) изоморфна подгруппе индекса 2 группы Галуа многочлена Фп (х) .
7. Уравнения Фп (х) = 0, ґп (х) = 0 разрешимы в радикалах.
Доказательство свойств, которые не являются очевидными, будет рассмотрено нами в другой работе.
1. Прасолов В.В. Многочлены. 3-е изд. - М., МЦНМО, 2003.
2. Ленг С. Алгебра. - М.: "Мир", 1967.
THE CLASS OF POLYNOMIALS WITH PROPERTIES OF CIRCLED
POLYNOMIALS
L.LGalieva, I.G.Galautdinov
In the paper irreducable polynomials tn (x) with roots tg — where n e N are constructed in the ring
n
Z[ x]. The proof for the case, when n is an odd number is given.
Key words: polynomials, properties of circled polynomials
Галиева Ляля Исхаковна - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета Галяутдинов Ильдар Галяутдинович - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
E-mail: mf@tggpu.ru
