Об одном классе абелевых многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №4(22)

УДК 511.61

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ АБЕЛЕВЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

© Л.И.Галиева, И.Г.Галяутдинов, Е.Е. Лаврентьева

В статье показывается, что минимальные многочлены pn (x)є Z [ x] алгебраических чисел вида

cosП( n є N) образуют класс абелевых многочленов; строится группа Галуа G(pu) многочлена n

pn (x) и находится его разложение на два множителя над полем, соответствующим подгруппе индекса 2 группы G (pn).

Ключевые слова: абелевы многочлены, резольвента Галуа, группа Галуа.

1. Вычисление группы Галуа для явно заданного многочлена /(х)е 0>[х] требует больших

усилий даже при использовании компьютера. "Причина трудностей отчасти обусловлена доказанным Ван дер Варденом (1933) фактом, согласно которому "почти все" многочлены степени п имеют Бп в качестве своей группы Галуа над Q" [1: 252]. В связи с этим уместно напомнить слова самого Э.Галуа, который отмечал, что при исследовании разрешимости в радикалах произвольных уравнений "требуемые вычисления практически не выполнимы" [2: 59]. Именно поэтому особый интерес представляют многочлены, для которых группа Галуа вычисляется сравнительно несложно. В качестве примера таких многочленов в математической литературе приводятся лишь круговые (циклотомические) многочлены [1: 213; 3: 202].

В данной работе предлагается метод построения группы Галуа для нового класса многочленов: рассматриваются минимальные многочлены рп (х) е Z[х] алгебраических чисел вида

> — (п е N) ; доказывается, что они являются

cos-

числа cos

1З

где s =1, З, 5, 7, 9, 11.

ются автоморфизмами расширения Ь / К и образуют группу относительно умножения. Эту группу обычно обозначают Лш (Ь / К). Всякий

автоморфизм те Лш(Ь/К) однозначно определяется тем, куда он переводит элемент а .

Вместе с тем автоморфизм т корень а многочлена р (х) переводит в корень этого же многочлена. Отсюда следует, что

| Ли (Ь /К) |< deg р (х) = [Ь: К]. В том случае,

когда корни многочлена р(х) рационально не выражаются через а, Лш (Ь / К) будет состоять только из единичного автоморфизма. Например, корнями многочлена р (х) = х3 - 2 являются чис-

ла

xl = ЗІ2 =

а,

абелевыми. Группа Галуа вычисляется для многочлена р13(х), корнями которого являются

2. Приведем некоторые факты из теории Галуа [4: 199]. Пусть К - поле нулевой характеристики, а - корень многочлена р (х), неприводимого в кольце К [ х ] . Тогда поле Ь = К (а) является конечным расширением поля К и его степень равна степени многочлена р(х), т.е.

[Ь: К] = deg р ( х) . Автоморфизмы поля Ь , оставляющие на месте элементы поля К, называ-

, х3 = є а, где

0>(а) не содержит

других корней многочлена р(х), кроме а, т.е. два других корня многочлена р (х) через а рационально не выражаются. Значит, группа Лиґ (Q (а) / Q) состоит только из единичного автоморфизма и | Лпґ(О1 (а ) / Q) |= 1. Здесь заметим, что в качестве а можно взять любой корень многочлена р(х).

В то же время имеется класс многочленов, для которых | Лиґ(Ь /К) |=[Ь : К]. В этом случае

расширение Ь (а) называют расширением Галуа. Если расширение Ь = К (а) не является расширением Галуа, т.е. | Лиґ(Ь/К)|<[Ь : К], то его можно включить в некоторое расширение Галуа Ь / К . Для этого к расширению Ь нужно последовательно присоединять корни многочлена

р (х) до тех пор, пока не получится расширение Ь, содержащее все корни многочлена р (х) .

Группой Галуа расширения Галуа Ь / К называется его группа автоморфизмов Лш (Ь / К) .

Группой Галуа конечного расширения Ь /К называется группа Галуа наименьшего расширения

Галуа Ь / К , содержащего Ь / К . Группой Галуа неприводимого многочлена р(х)е К[х] называется группа Галуа расширения К (а), где а -корень многочлена р (х).

3. Приведенную теорию применим к построению расширения Галуа и группы Галуа многочлена р (х) = х3 - 2 . Как было отмечено, в

расширение Ь = 0>(а) , где а = х1 = ^2, не входят корни х2 = аа , х3 = а2 а . Найдем расширение Ь (х2 ) = 0> (а,аа) = 0> (а,а) = 0> (а,в), где

в = /'л/3 . Это расширение содержит все корни многочлена р(х), поэтому оно является искомым расширением Ь = Ь (х2). Очевидно, что Q с Ь с Ь , причем [Ь: ^] = 3, Ь : Ь ^ = 2, Ь : Q ^ = 6. Убедимся теперь, что расширение

Ь / Q является расширением Галуа. По теореме о примитивном элементе [5: 212] имеем, что Ь = О1 (V), где в качестве V можно взять число V = а + в . Найдем минимальный многочлен этого числа. Имеем V - в = а . Возведя обе части этого равенства в третью степень, получаем V3 - 3v2в + 3vв2 - в3 = а3. Отсюда, с учетом того, что а3 = 2 , в2 =-3, приходим к равенству

3 2 V3 - 9v - 2

V3 -3вУ2 -9v + 3в = 2. Тогда в =------2---- и

3v - 3

(-3)(2 -3) = (V3 -9v-2) . Отсюда имеем

V6 + 9v4 - 4v3 + 27v2 + 36v + 31 = 0.

Таким образом, найден многочлен (р(х) = х6 + 9х4 - 4х3 + 27х2 + 36х + 31, корнем

которого является число V . Для того чтобы найти все его корни, нужно иметь в виду, что в качестве а можно взять любой корень многочлена р (х) = х3 - 2, а в качестве в - любой корень многочлена g (у ) = у2 + 3. Поэтому корнями многочлена р(х) являются числа вида х. + у ,/ = 1,2,3;у = 1,2, т.е. V = V = х, + у =а + в,

v2 = хі+ у 2 =а- в, Уз = х2 + Уі = єа + в,

v4 = х2 + у2 = єа - в, у5 = х3 + у1 = є2а + в,

v6 = х3 + у2 =є2а — в . Убедимся в том, что многочлен р( х) является неприводимым над полем О. Так как этот многочлен не имеет рациональных корней, то у него в кольце 0>[х] не будет делителя первой степени, но над полем Ь = 0> (а) он имеет разложение

р( х) = (х2 — 2ах + а2 + 3)х( х4 + 2ах3 +

+ (3а2 + б) х2 + (а + 4) х — 3а2 + 2а + 9). Из единственности разложения многочлена на неприводимые множители над любым полем и условия 0>[х] с Ь[х] следует, что многочлен р(х) не

имеет в кольце 0>[ х] делителей и второй степени. Аналогично, в силу разложения

р( х ) = ( х3 — 3вх2 — 9 х + 3в — 2)х(х3 + 3вх2 — 9 х —

—3в — 2) над полем 0> (в) , получаем, что многочлен р( х) в кольце 0>[х] не может иметь делителей третьей степени. Из всего этого вытекает, что многочлен р(х) = х6 + 9х4 — 4х3 + 27х2 + +36х + 31 неприводим над полем Q .

Любой автоморфизм расширения Ь = Q (V) определяется тем, куда он переводит v1 = а + в . Так как тк (у1 ) = Ук, к = 1,2,3,4,5,6, то

= 6. Значит,

Лиґ (Ь / ф) =[Ь: ф] .

Отсюда следует, что Ь / Q является расширением Галуа.

Убедимся, что многочлен р(х) = х6 + 9х4 —

—4 х3 + 27 х2 + 36 х + 31 является резольвентой Галуа многочлена р (х ) = х3 — 2. Резольвентой Галуа многочлена р (х) называется такой неприводимый над данным полем многочлен р(х) , что в

результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни многочлена р (х) (6: 375).

V3 — 9у — 2

Из равенства в = "

3v — 3

приведенного

ранее, следует, что в рационально выражается через V . Тогда и а = V — в будет рационально выражаться через V. Это означает, что а,єа,є2ає 0> (V) , то есть все корни многочлена р ( х) содержатся в расширении, полученном

присоединением к полю Q одного корня v = а + в многочлена p(x) , что и нужно было показать.

Построим теперь группу Галуа G(p) многочлена p (x), изоморфную группе Галуа

G(p) = Aut(/Q) = {ті,Т2,ТЗ,Т4,Т5,Тб}. Из условия т (а+в) = а + в, следует, что т1(а) = а, т1 (в) = в, т.е. автоморфизму т1 соответствует единичная подстановка. Поэтому с точностью до изоморфизма можем записать т1 = (l) . Так как

т2 (а + в) = а-в, то т2 (а) = а, т2 (в) = —в. Поэтому т2 (єа) = є2а, т2 (є2а) = єа. Значит, т2 = (2,3). Аналогично находим, что т3 = (1,2,3), т4 =(1,2), т =(1,3,2), Тб =(1,3) .

Таким образом, группой Галуа G(p) многочлена p (x) = x3 - 2 является вся симметрическая группа подстановок третьей степени, то есть S3. И в общем случае, если f (x)є Q[x], deg f (x) = n и между корнями многочлена f (x) нет рациональных связей, то его группой Галуа будет группа подстановок Sn. Поэтому при n > 5

уравнение f (x) = 0 окажется неразрешимой в радикалах.

4. Имеются многочлены, которые являются своей резольвентой Галуа. Присоединение одного корня такого многочлена к основному полю создает расширение Галуа. Такими многочленами, в частности, являются абелевы многочлены. Многочлен f (x) , неприводимый над полем

K , называется абелевым, если его корни имеют вид хД ( xi) Д ( xi),...,вп ( xi) , где в (x) такие рациональные функции, что

в (в (xiXX = в, (в (xi)) [5: 229].

В работах [7; S] изучены многочлены pn (x) (n є N), обладающие свойствами:

1) deg pn (x) = p(n) при n четном и

deg pn (x) = 1p(n), если n - нечетно (здесь p(n) - функция Эйлера), 2) Корнями многочлена pn (x) являются числа cos, где k - нечет-

nn

но и НОД (k, n) = 1, 3) Многочлены pn (x) имеют целые коэффициенты и неприводимы над полем

Q.

Нетрудно убедиться в том, что рп (х) - абелевы многочлены. Действительно, если

kn

u1 = cos—, то uk = cos— = Tk (u1), где Tk (x) -n n

многочлен Чебышева с номером k . Так как t, (t (x ))=t T (x)), то роль рациональных функций Д (x) из определения абелевых многочленов играют многочлены Чебышева. Поэтому разрешимость в радикалах уравнений pn (x) = 0

следует из работ самого Абеля. Но этот результат можно получить и путем построения группы Галуа многочлена pn ( x) . Покажем это на примере многочлена p13 (x) . Прежде всего мы найдем этот многочлен. Если n - нечетное простое число, то в [7] доказана формула

Tn (x) +1 = (x + 1)(pn (x))2, где Tn (x) - многочлен Чебышева. Отсюда при n =1З , учитывая, что T13 (x) = 4096x13 -13312x11 + 1бб40x7 + 2012x5 -

-Зб4x3 + 13x, находим p13 (x) = б4x6 - 32x5 -

-S0x4 + 32x3 + 24x2 - 6x -1. Корнями этого мно-

sn

гочлена являются числа cos—, s = 1,3,5,7,9,11.

1З

Если x = cosП = а, то x2 = cos—П = T3 (a) =

1 13 2 13 3 W

з 5n

= 4a - 3a, x3 = cos— = T5 (a) = Іба5 -20a3 + 5a. 3 13 5V ’

Таким же образом можно найти

x4 = cos^lf = T7 (а^ x5 = cos^H = T9 (a),

lln

x

= cos---------= Tii(а). Но мы проведем эти вы-

1З

т! 7п бп

числения иначе. Имеем x4 = cos— = -cos— =

4 1З 1З

= -2cos2-1^n-1^j = -(2(4a3 -3«)2 -l) = -32a6 + +4Sa4 - 1Sa2 +1 = p13 (a)^-2^| + (-1ба5 + Sa4 +

+1ба - ба - 3a + ^J . Отсюда следует, что x4 =-1ба5 + Sa4 + Іба3 - ба2 - За +1. Далее

9п

4п

имеем x5 = cos— = - cos— = -l 2cos------------11 =

13

13

2n

13

-(2(2а2 -l)2 -l)

-1) -H = -Sa4 +Sa2 -І,

ІІп 2п f 2 п ] ,

x6 = cos---= -cos— = -I 2cos--------І І = -2a +1.

6 13 13 I 13 J

Таким образом, все корни многочлена p13 (x)

рационально выражаются через один его корень а , т.е. справедливы формулы:

X = а , x2 = 4a3 - 3a, x3 = 16a5 - 20a3 + 5a ,

1 (1)

x4 =-16a +Sa +16a -6a -3a + —,

x5 =-Sa +Sa -1, x6 =-2a +1

n 2n . 2n

Заметим, что, если u = cos--------------+ і sin—,

2б 2б

26 і u = 1,

то

П 1 / 25 \

x1 = cos— = — (u + u ), 1 13 2V >'

Зп Ь з 23 \ 5n 1 / 5 21 \

= — (u + u ), x3 = cos— = - (u + u ),

13 2

7n= 1

13 = 2

1 / 7 19 \ 9" 1 / 9 17 \

X4 = cos— = — (u + u ), X5 = cos— = — (u + u ),

13 2'

9п_ 1

73=2

11n 1 / 11 15 \

x6 = cos— = —(u + u ).

13 2

Построим теперь группу Галуа О(р13) многочлена р13 (х) . Через тк обозначим автоморфизм, переводящий корень х1 в корень хк . Таким образом, тк (х1 ) = хк, к = 1,2,3,4,5,6. Ясно, что т1 = (1) . Найдем т6 . Так как т6 (х1 ) = х6 = —2х12 +1, то т6 (х2 ) = -2х22 +1. Отсю-

да

силу

Таким образом, искомая группа Галуа является циклической с образующим элементом т6,

ТО есть G (Pi3 ) = {Т6,Т62 = Т5,Т63 = Т3,Т64 = Т2 ,

Т5 = т4,т6б = т1}, ordG(p13) = 6 . Эта группа является абелевой, что означает разрешимость уравнения p13 (х) = 0 в радикалах. Группа G (p13)

имеет несобственные подгруппы H1 ={t1,t2,t5}, H2 ={t1,t3 } . Найдем подполе Ц поля Q(а), соответствующее подгруппе H1. Для этого выпишем смежные классы H1 = {т,т2,т5},

т3H1 = {т3,т4,т6} группы G(p13) по подгруппе H1 и образуем многочлены g1 (х), g2 (х), соответствующие этим смежным классам. Эти многочлены имеют вид g1 (х) = 8(х - х1)(х - х2) X

( ) 8 ( п1( 3п1( 9п 1

х( х - х5) = 81 х - cos— II х - cos— || х - cos-I =

V 5' I 13Jl 13 Л 13 )

= s(x3 - y1 x2 + z1 x -11) .

g2 ( x) = S ( x - X3 )x

равенства

х22 = | 2 ( + u23 )) = -4 (u6 + u20 + 2 ) =

1 ( 6п Л 1 ( 7п 1 1 ( ^

= —| cos---------+ 1 I = ~I - cos-+ 1 I = —(- х4 +1) по-

2 ^ 13 ) 2 ^ 13 J 2V ’

лучаем т6 (х2) = х4. Далее имеем т6 (х3) = -2х32 +1,

где х32 = | -2 (u5 + u21)| = -4 (u10 + u16 + 2) =

1 ( 10п ,1 1 ( 3п Л 1 ( .

= —| cos------------------------------+1 | = — | - cos-+ 1 I = —(-х2 + 1) .

2 ^ 13 ) 2 ^ 13 ) 2У ’

Поэтому т6 (х3 ) = х2. Аналогично имеем

Тб (х4) = х1,Тб (х5) = х3,Тб (хб) = х5. Значит,

т6 = (1,6,5,3,2,4) . Для нахождения остальных подстановок достаточно заметить, что

т2 =(1,5,2 )(3,4,6 ) = Т5,Т63 =(1,3 )(2,6 )(4,5 ) = т3,

т64 = (1,2,5) (3,6,4) = Т2, Т =(1,4,2,3,5,6) = т4.

х(х - х4 )(х - х6 ) = 8 ^х - cos-Y^-|(х - cos-Y^- |х

х(х - cos ) = 8(х3 - y2х2 + z2х -t2) . Здесь

y1 = х1 + х2 + х5 , z1 = х1 х2 + х1 х5 + х2 х5, t1 = х1х2 х5, у2 = х3 + х4 + х6, z2 = х3 х4 + х3 х6 + х4 х6,

t2 = х3х4х6. Отметим, что автоморфизмы подгруппы H1 все коэффициенты многочленов g1 (х), g2 (х) оставляют на месте. Покажем это на примере автоморфизма т2. Так как

Т2 (х ) = х2, Т2 (х2 ) = х5, Т2 (х5 ) = х1, то Т2 (У) = Т2 (х + х2 + х5) = х2 + х5 + х = у.

т2 (z1) = х2 х5 + х2 х1 + х5 х1 = z1, т2 (t1) = х2 х5 х1 = t1. Точно также проверяется, что т2 (у2 ) = у2, т2 (z2) = z2, т2 (t2) = t2. Так как многочлен p13 (х) неприводим над полем Q, но имеет разложение P13(х) = g1 (х)g2(х), где g1 (х), g2(х)ё Q[х], то должно быть g1 (х), g2 (х) е Ц [х]. Найдем коэффициенты многочленов g1 (х), g2(х), порождающие поле Ц. Так как

1

у + У2 = х + х2 + х3 + х4 + х5 + х6, то у + у = ^.

Вычислим у1 у2 = (х + х2 + х5)(х3 + х4 + х6) =

п 5п п 7п п 11п

= cos—cos---------+ cos—cos------+ cos—cos------+

13 13 13 13 13 13

в

3n 5n 3n 7n 3n 1 in

+cos—cos + cos—cos + cos—cos

1З 1З 1З 1З 1З 1З

9n 5n 9n 7n 9n 1 in

+cos—cos + cos—cos + cos—cos

1З 1З 1З 1З 1З 1З

pi3 (x ) = gi (x) g 2 (x ) =

Уі =

t = 1I cos

получим

ізП і ( 1) i

+ cos----І =—(y2 — 1) = —

13 J 4V 2 ’ 4

7n

1 in

5n

-cos-

13 13

f з л/ЇЗ ^

4 4

cos

13

з 713 16 — 1б~

1

= I Sx3 -

Заменив в этом выражении произведения косинусов на сумму соответствующих косинусов, после приведения подобных членов получим 3 ( 2— 4— 6— 8—

у, у2 = —I cos----+ cos-----------+ cos-+ cos-+

2^ 13 13 13 13

10п 12яЛ 3 TX

+cos------+ cos-----І = — . Из полученных ра-

1З 1З J 4

венств следует, что у,, у2 являются корнями

1 3

квадратного уравнения у2 у — = 0 . Отсюда

4(1 + ^/13), у2 = 1 (1 -лЛ^). Далее имеем

п 3п п 9п

z1 = х х2 + х х5 + х2 х5 = cos—cos-+ cos—cos-+

1 1 2 1 5 2 5 13 13 13 13

3п 9п

+cos—cos—. Проведя вычисления, аналогич-13 13

ные приведенным выше, получим z1 = -4 . Так

п 3п 9п 1 9п

как t = х х2 х5 = cos—cos—cos— = — cos— х

1125 13 13 13 2 13

2п 4п1

х| cosY3 + cosY3 I, то, продолжив вычисления,

Аналогично находим z2 = x3 x4 + x3 x6 + x4 x6 = —

З л/ЇЗ ^

t2 = x3 x4 x6 =------------------------------1-. Отсюда следует, что по-

16 16

ле L1 , инвариантное относительно подгруппы

H,, имеет вид L, = Q(у,,z,,t,) = Q(лЯЗ) . Над

этим полем многочлен p13 (x) = 64x6 - 32x5 -

-S0x4 + 32x3 + 24x2 - 6x -1 разлагается на два множителя следующим образом:

ON A CLASS OF ABELIAN POLYNOMIALS

(2 + 2V13)x2 - 2x + 2(З (7ІЗ)

x^Sx3 -(2-2yfЇ6)x2 -2x + -2(З^л/ЇЗ)).

Следовательно, решение уравнения p13 (x) = 0 сводится к решению квадратного

уравнения у2 - 2у - 3 = 0 и кубичного уравнения g, (x) = 0 . Если один корень уравнения p13 (x) = 0 будет найден, то все остальные его корни можно вычислить по формулам (1).

Таким образом, в данной работе доказано, что уравнение вида pn (x) = 0 , где pn (x) - ми-

п

нимальный многочлен числа cos—, разрешимо в

n

радикалах при любом натуральном n. Алгоритм решения таких уравнений показан на примере уравнения p13 (x) = 64x6 - 32x5 - S0x4 +

+32x3 + 24x2 - 6x -1 = 0.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Физ-матлит, 2001. - Ч.З. - 272 с.

2. Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик. - М.: Наука, 19S4. - 112 с.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1979. -б24 с.

4. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. -М.: ВИНИТИ, 19S6. - 290 с.

5. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 2003. - 336 с.

6. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. - М.-Л.: ОГИЗ, 1941. - 460 с.

7. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Нахождение степени одного класса алгебраических чисел // Образование в техническом вузе в 21 веке. - Наб. Челны, 200S. - Вып.2. - С.147-150.

S. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Об одном классе неприводимых многочленов // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. - 200S. - №2(13). - CS-11.

L.I.Galieva, I.G.Galautdinov, E.E.Lavrenteva

We show that minimal polynomials pn (x)e Z[x] of algebraic numbers cos— (n e N) are classes of

n

Abelian polynomials. We construct a Galois group G (p13) of the polynomial p13 (x), and find its de-

composition into two multipliers over a field which corresponds to a subgroup with index 2 of the group G (pu) .

Key words: Abelian polynomials, Galois resolution, Galois group.

Галиева Ляля Исхаковна - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: ffmo@tggpu.ru

Галяутдинов Ильдархан Галяутдинович - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: ffmo@tggpu.ru

Лаврентьева Елена Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: ffmo@tggpu.ru

Поступила в редакцию 13.10.2010