CC BY
38
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 511.42 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-4-325-337
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЁТКИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЁТОК1
Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова (г. Оренбург), Н. Н. Добровольский,
Н. М, Добровольский (г. Тула)
Аннотация
В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю ^ над полем рациональных чисел <Ц>.
Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля ^ над полем рациональных чисел <Ц>. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.
В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.
Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Л € РДЯ множество всех решёток рационально связанных с решёткой Л всюду плотно в РДЯ.
Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из ^соответствующее в-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в в-мерном вещественном арифметическом пространстве
Ключевые слова: алгебраические решётки, метрическое пространство решёток.
Библиография: 24 названия.
1. Введение
ческое пространство относительно метрики р(Л,Г), которая задана равенствами
р(Л,Г) = тах(1п(1+р), 1п(1+ !/)), р = Ш \\А - ЕаII, г/= М \\В - ЕаII,
Л=А-г в-л=г
Еа =
( 1 ... 0 \
= ()к,- ,•<,, = ^ ' при г = \\л\\ = 8 ■ тах |.
^ 0, при г = 7, 1<г,7<а
V 0 ... 1 / 1 < <
Метрическое пространство решёток РКа играло существенную роль в работах [5], [6], [9]-
[17], [21Ц24].
1 Работа выполнена по грантам рффи № 15-01-01540а, №16-41-710194р_центр_а
В 1976 году в работах К. К. Фролова [19], [20] было сделано существенное, принципиальное продвижение в теоретико-числовом методе в приближенном анализе, основанное на применении алгебраических решёток. Ниже дадим общее определение алгебраической решётки.
Наряду с операциями сложения и вычитания векторов из М5 рассмотрим операции покоординатного умножения двух векторов и деления вектора на вектор общего положения:
х • У = (х1у1,...,х3у3), 5 = ( —,..., — ) (У1 = 0, ...,уа = 0).
У \У 1 Уз)
Добавление операции покоординатного умножения превращает М5 в коммутативное кольцо с единицой е = (1,..., 1) и, кроме того, в алгебру над М ранга 8.
Так как для стандартного базиса е1,..., е3 справедливы равенства х • ё*,- = х^ • ё*,- = = 1,..., з), то умножение на ж задаёт линейное преобразование пространства М5. Матрицей этого линейного преобразования в стандартном базисе является диагональная матрица ^(ж), которая невырожденная только для точек ж общего положения. Обозначим через ^0)(М) множество всех диагональных матриц, содержащее как подмножество Д,(М) — множество всех невырожденных диагональных матриц, так и подмножество вырожденных диагональных матриц, т. е. диагональных матриц, у которых на диагонали есть хотя бы один ноль. Соответствие ж ^ И (ж) задаёт регулярное М-пре^ставленме пространства М5 в стандартном базисе. Таким образом всё М5 отображается взаимно однозначно на Лм) , а множество точек общего положения — на ^(М). При переходе к другим базисам регулярное представление меняется.
Согласно Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддееву [3] решёткой, повторяющейся умножением, называется всякая решётка замкнутая относительно операции покоординатного умножения точек. Таким образом, если решётка Л, повторяется умножением, то для любого ж € Л справедливо соотношение
ж • Л = {(ж 1У1,..., х3у3) | у € Л} с Л • Л с Л.
Ясно, что если ж — точка общего положения, то ж • Л — подрешётка, повторяющаяся умно-Л
вычитания и умножения для ж • Л сохраняются, кроме того линейно независимая система векторов переходит в линейно независимую.
Л
жением является, с одной стороны, коммутативным кольцом, а с другой стороны модулем.
Определение 1. Точка ж = 0 называется делителем, нуля, если у неё есть координаты, 0
Определение 2. Решётка не содержащая делит,елей, нуля, называется неприводимой.
Для решёток, повторяющихся умножением, рассмотрим более важное регулярное Ъ-представление точек этой решётки. Если решётка Л = Л(А1,..., А8), повторяется умножением, то определены следующие целочисленные матрицы линейных преобразований:
(А& • А1 = аЦ А1 + ... + а^ А, ■■■■■■................= 1—8)- (1)
А& • Х3 = а^ А1 + ... + а^ Х3
Если через обозначим регулярное 25-иредставление точки ж решётки Л =
= Л(Аь..., А8), то через внутренние координаты Ш1,..., т3 этой точки в базисе А1,..., А8: ж = + ... + т8А8 матрица выражается линейно в виде
Лк = + ... +
Определение 3. Назовём вектор А = ( А(1),..., А(в)) € М5 целым алгебраическим, если многочлен
/х(ж) = (ж - А(1))... (ж - Ам) €
Вектор А = назовём алгебраическим, если найдется натуральное число п
такое, что вектор А1 = пА будет целым алгебраическим вектором.
Определение 4. Решётка Л € РЯ8 называется алгебраической, если любой вектор А € Л будет алгебраическим вектором и Л содержит неприводимую подрешётку Л1; повторяющуюся умножением.
Важным свойством алгебраических решёток является тот факт, что норменный минимум N (Л), который определяется равенством
N (Л) = М ...жв|,
хел, ж=о
строго больше 0: N (Л) > 0.
Пусть Р3 — чисто-вещественное алгебраическое поле степени в над полем рациональных чисел 0> и — его алгебраически сопряжённые поля. Обозначим через
А(Р3) множество всех алгебраических решёток Л таких, что координаты любого вектора ж € Л являются алгебраически сопряженными числами из поля Р,, то есть ж = (ж1,..., ж3) и х^ =
= 1,..., 8), где 0(1) = в, 0(2), ..., — полный набор алгебраически сопряженных чисел ( )€
для алгебраического числа в € Р3.
Целью данной работы является доказательство следующей основной теоремы о плотности множества алгебраических решёток А(Р8) в метрическом пространстве РР3.
Теорема 1. Для любого чисто-вещественного алгебраического поля Р3 степени в над полем рациональных чисел Q множество алгебраических решёток А( Р3) всюду плотно в метрическом пространстве РК3.
2. Свойства алгебраических решёток
Нам потребуется обозначение действия линейного преобразования, заданного матрицей М, на решёт ку Л(А1,..., А8) с базисом А1 = (А1,1,..., А^),..., Х3 = (А8д,..., А8,8) и базисной матрицей А
( А1,1 ... А^ ^ А = ...'•. ... .
\ А8,1 ... А8,8 у Будем писать М ■ Л(А 1,..., А,) = Л(М ■Аь..., М ■А,),
,8 в ч
! Е т1,иХи,1 ... Е т^А^
М ■ А(А 1,..., А,) = А(М ■ Аь..., М ■ Ав) =
у=1
у=1
Е т3,иХи,1 ... Е т3,„Хи,3
у=1 у=1
Таким образом произвольный вектор ж = т^А! + ... + т3Х3 под действием линейного преобразования с матрицей М переходит в вектор М ■ ж = т^М ■ А1 + ... + т3М ■ Х3 и
I А1,1 ... А1» \
М ■ Ху = ( т1/,1 ... т„,3 )
(!/ = 1,..., «).
\ а8,1 ... а8,8 у
Приведём несколько лемм из работ [4], [13], [15] в нужной нам формулировке с полными доказательствами и несколько новых лемм.
Лемма 1. Пусть
А =
An =
I an ... ais-1 \
у as_ii ... as_is-1 )
( ¿11 ¿12 a
\ ¿21 ass J
t a1s \
¿12 =
, ¿21 = (
as1 ... ass- 1
-1 ) .
V fls-1s )
Если det ¿11 = 0 ass = 0 и
( b
Bn =
11
V bs-
*21 = ( £
s-11
«ss-1
b1s-1 \ bs-1s-1 )
= ¿l/' ^12 = ^11^12)
то справедливы, равенства, где
) , "s_ 1 = ( 0 ... 0 ) , 0J_ 1 =
A = ■
0
0
521 1
Доказательство. Перемножая клеточные матрицы, получим
¿1 ■ ¿2 =
(
А
11
¿11 ' ^12
ass ■ ^21
.
Так как
¿11 ■ ^12 = ¿11 ■ ^11^12 = ¿12, ass ■ ^21 = ¿21,
то ¿1 ■ ¿2 = Л и лемма доказана. □
Рассмотрим произвольную решётку Л = Л(А1,..., As) G A(Fs). Таким образом, решётки Л соответствует базисная матрица ¿(А1,..., As):
¿(A1,...,As) =
I A(11)
\as1)
A(
As
(s)
)
, A^ g Fs(^ (1 < ^ < s),
(2)
и для любого целочисленного вектора т = (т1,...,т8) € соответствующая точка х = ж(т) = тЛ(А1,..., А,) € Л. Ясно, что х^ = т1 А^ + ... + тД^ € (1 ^ ^ ^
Назовём знаменателем алгебраического вектора А^ наименьшее натуральное число п^ такое, что Пу— целый алгебраический вектор.
Множество алгебраических, линейно независимых чисел А^, ..., А^ из ^ согласно Б. Ф. Скубенко называется фундаментальной системой (см. [13]), а если среди чисел фундаментальной системы есть единица, то такая система называется приведенной фундаментальной системой.
а
а
Лемма 2. Пусть А1; ..., \3 из ^ — произвольная фундаментальная система из Р3, а А € ^ — произвольное алгебраическое число, тогда имеется однозначное представление
А = ш1А1 + ... + тДз, mj € Q (1 ^ ] ^ 8).
Доказательство. Действительно, согласно Г. Вейлю (см. [2]) каждое алгебраическое поле ^ степени 8 над полем рациональных чисел 0> является рациональным пространством размерности 8 над полем рациональных чисел 0>. Нетрудно видеть, что произвольная фундаментальная система из .К, является бази сом .К, как рационадьного пространства р азмерности 8 над полем рациональных чисел 0>. С другой стороны, каждый базис будет являться фундаментальной системой из Р3. Из свойств базиса рационального векторного пространства следует утверждение леммы. □
Лемма 3. Пусть А1; ...; А5 из Р3 — произвольная фундаментальная система из Р3 и вектора Xj заданы, равенствами
^ = (а51),...,а(^)),
тогда решётка Л = Л(А1,..., А8) € А(^) -
Д^ € (1 ^ ^ 5)
алгебраическая решётка.
Доказательство. Действительно, рассмотрим целый алгебраический вектор А* = П1А1, который принадлежит решётки Л. Рассмотрим целые алгебраические вектора Xj = (А*)-7 (2 ^ ] ^ з). Из леммы 2 следует, что найдутся целые рациопальные числа Ш2д, • • •, ш3, 3 и натуральные п2, ..., п3 такие, что (т^-д,..., т^, п^) = 1 (2 ^ ] ^ «) и
1 5 *1
Л/ = Ди (2 < з < ^
П' и=1
Положим N = [п2,..., п3], тогда каждый вектор
(ЖА*) = — ^^ т3иАи (2 < з < 5)
п* и=1
Л
Л1 = Л(ЖА*, (ЖА*)2,..., (ЖА*)5) — решётка, повторяющаяся умножением, то утверждение □
Обозначим через множество всех рациональных квадратных матриц порядка 8, а
через М*(0>) — подмножество невырожденных матриц.
Лемма 4. Для базисной матрицы ¿(А1,...,А5) вида (2) произвольной алгебраической решётки Л = Л(А1,..., А8) € А(^) справедливо соотношение
Л(АЬ..., А,) • Л(Л1,..., А,)т € М*(<0). (3)
Доказательство. Положим ф(Аь ..., А8) = ¿(А1,..., А8) • ¿(А1,..., А5)т, тогда
(1)
3(А1
Д.) = /
v а!1)
а^ \
л«
( А(11)
/
ЧАс
(в)
а!1)\
а^
м=1
ЕА^А^
v м=1
е-1
м=1
£ А« А
м=1
Известно, что если алгебраическое число А удовлетворяет алгебраическому уравнению
/( А) = 0, /(х) = Xя + + ... + а1 х + ао €
то для следа Тг( А) справедливо соотношение Тг( А) = —а,— € 0>.
Используя функцию след, матрицу ф(А1,..., А,) можно записать в виде
£(А 1,...,А,) =
/ Тг( А1А1) ... Тг(А1Ая) \ ^ Тг( АвА1) ... Тг(А,А,) )
где А1, ..., А, из Р, — соответствующая фундаментальная система из Р,. Тем самым утверждение леммы доказано. □
Лемма 5. Для любой рациональной, невырожденной матрицы М € М* ческой решётки Л € А(Р,) решётка Л1 = МЛ — алгебраическая: Л1 € А(Р,).
и алгебраи-
Доказательство. Действительно, пусть Л = Л( А1,...,А ,) € А( Р,) и базисная матрица А(А1,..., А,) имеет вид (2), а
/
М =
ти
\ т,,1
т,1
т,
\
/
т
V, ¡1
€ Q (1 ^ г/,р ^ в),
тогда базисная матрица А1 = М -А имеет вид
( Е т^А,
А =
(1) V
У=1
е т1,иА1,) \
=1
Е т3,1уА, ^=1
(1) у
Е т,,гД ^=1
у
¿т^А^ (1 < ^ < 5)
v =1
□
Для алгебраических решёток и сама решётка, и её взаимная решётка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат. Для обоснования этого достаточно показать, что координаты любой ненулевой точки взаимной решётки для алгебраической решетки образуют полный набор алгебраически сопряженных чисел из одного и того же алгебраического чисто вещественного поля степени 8 над полем рациональных чисел 0>.
Рассмотрим алгебраическую решётку Л = Л( А1,..., А ,) € А(Р,), заданную равенством
Л( А1
, А,) = < X =
{х=( £
)
т
у=1
т1,..., т, € Ъ
(4)
Так как координаты любой ненулевой точки X € Л( А1,..., А ,) — алгебраически сопряженные алгебраические числа, то произведение Ж1... х, — ненулевое рациональное число.
Из предыдущего следует, что каждая строка матрицы А(А1,...,А,) состоит из полного
лежат одному и тому же алгебраическому полю {у = 1,... , 8). Так как точки решетки Л(А1,..., А,) — целочисленные линейные комбинации строк матрицы А(А1,..., А,), то координаты каждой точки X € Л( А1,..., А,) — полный набор алгебраически сопряженных чисел,
ческому полю (г/ = 1,..., .§).
Покажем, что этим свойством обладает и взаимная решётка.
Обозначим через = ^ ^(А1,..., А,) элементы матрицы ф(А 1,..., А,)-1. Ясно, что из симметричности матрицы ф(А1,..., А,) вытекает симметричность матрицы ^(А1,..., А,)-1.
Обозначим через А* (А1,..., А,) базисную матрицу взаимной решётки Л*(А1,..., А,) к решётке Л( А1,..., А,), которая взаимна базисной матрице А(А1,..., А,).
Лемма 6. Справедливо равенство
(
А*(А 1,..., А,) =
Е^1кАк1) .. . Е^1кАк,)
к=1 к=1
Е^2кАк1) .. . ¿^2кАк,)
к=1 к=1
, (1) Е ^,кАк . . . Е ^,кАк^
к=1 к=1
из равенства
£(А 1,...,А,) = А(А 1,..., А,) ■ А(А1,..., А,)
т
вытекает А 1(А1,..., А,) = А(А1,..., А,)1 ■ ^(А1,..., А,) 1. Так как
А* (А 1,...,А,) = (А" 1(А 1,...,А,))Т
и ^Т(А 1,..., А,) = ^(А1,..., А,), то из предыдущего следует
А*
( А1,..., А,) = (А(А1,..., А,)Т ■ д(А 1,..., А,)-1) Т = д(А1,..., А,)-1 ■ А(Аь ...,А,)
/ ^11 ... ^1, \ ^21 ... ^2,
v и8 1 ... и88 )
А11)
А,1)
А(1,) \
А,,) /
1 Е ^ А^1
к=1
Е ^к1
к=1
(1) к
(1)
Е^к^ к=1
Е ^1кАк,) ^ к=1
Е ^2кАк,) к=1
Е ^,кАк к=1
/
□
Лемма 7. Произвольная точка X решетки Л*( А1,..., А,) имеет вид
(Е (Е ^кгО Ак1),..., £ ^т.) Ак,))
\к=1 \г/=1 / к=1 \г/=1 ) )
т1 , . . . , т,
Доказательство. Утверждение леммы вытекает из вида матрицы А*(А1,..., А,), так как произвольная точка решётки Л*( А1,...,А,) является линейной целочисленной комбинацией строк матрицы А*(А1,..., А,) □
3. Основная теорема о плотности множества алгебраических решёток
Приступим к доказательству основной теоремы о плотности множества алгебраических решёток, предварительно докажем лемму о норме обратной матрицы близкой к единичной для этого нам потребуется одна лемма из [7] (см. стр. 158).
Лемма 8. Пусть матрица А = ^ + В, причём ||Б|| < 1. Тогда матрица А — невырож-
денная, причём матрица С = — А-1 удовлетворяет условию Доказательство. См. [7], стр. 158. □ Лемма 9. Пусть для невырожденной матрице А:
( Йц . . . Я>1;
<
уду
МДГ
А =
v flsl
J
и натурального N > 2||А 1 ||s определены матрицы An, А = An + в n-'
An =
/ toi 1 TOI\
n ... n
tosi mss
\ n ... n /
в n =
/ вц (h. \
n ... n
1 @в1 dss I
\ n ... n /
m^ = [Wa^], б1^ = {^а^}.
Тогда справедливы соотношения
А = An^+AN^N), AN = A(£s — A'^N),
„^1в„ || < 'JÇï, I! < Îi^+H^ :
A = (Яв + eN^N1)^N, An = (Ss — в n A_ 1) A,
||в NA" 1| <
S||A" 1|
N
>n aN1! <
ф+i)||A- 1|
N
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу неравенства N > у А выполняется оценка ||А_ || ^ ^^ ^ < 1, поэтому из леммы 8 вытекает, что матрица А^ = — А- ) — невырожденная матрица. Так как согласно лемме 8 при N > 2||А_
||Ss — (Дв — А- 1в N)-11| <
|A-1eN || 1-1
<
s||A
1
1 — |A-1eN|р N — s||A-1||
1 < 1,
то
||(Дв — A-1eN)-1| < ||Ss|| + ||Дв — (Дв — А-1в N)-1|| < s + 1.
Поэтому
|AN1eN|| < ||А-1 ||||(Яв — A-1eN)-1|| <
ф + 1)||А-1||
N
Остальные соотношения доказываются аналогично и лемма полностью доказана. □
Доказательство. [Основной теоремы] Рассмотрим произвольную решётку Л е с базисной матрицей
( А1,1 ... А^ ^ А = ...'•. ...
\ А8,1 ... А8,8 у
а
и базисом Л1 = ( А1Д,..., А^),..., = (А^д,..., А8,8), то есть Л = Z's-А. Пусть N — достаточно большое натуральное число, оценки для которого снизу укажем позднее. Рассмотрим фиксированную алгебраическую решётку Ло = Ло(А1,о,..., А5,о) € А(Р,), заданную равенством
Ло( А 1,0,..., А5,о) = < х =
= (£
\(1)
которой соответствует базисная матрица
( л(1)
Ао =
1,о
(1)
■Е*
^=1
ам n
л1,о
(«) 1 I
т1,..., т8 € ^
(5)
базис Л1,о = ( АЦо,..., ),.■■, А„о = (А$,..., А$), то есть Ло = Ао ■
Так как базисные матрицы А и Ао — невырожденные, то найдётся невырожденная матрица
( )
V ЛМ к(1)
( ) ,о
/
( )
/
М = А -А-1,
М-1 = Ао • А
1
М =
«11
аи
\ а81
\
/
такая, что А = М ■ Ао, Ао = М 1 ■ А и решётки связаны равенствами Л = М ■ Ло, Ло = М 1 ■ Л Определим матрицы М^ и ©^ из условий
/ тц n
ММ =
т1в \ n
/ М.
n
©N =
, та1 таа I
\ n ... n7
^и. \ n
0 в1 Овв I
\ n ... n7
и рассмотрим алгебраическую решётку ЛN =Л N( А1,о,..., А5,о) =МN ■ Ло(А1,о,..., А8,о) € А(Р,). Так как М = МN + ©^ т0 Для Решёток Л и ЛN справедливы соотношения
л = (яв + ©NМN 1)ЛN, ЛN = (яв - е«М-1)Л.
Отсюда в силу леммы 9 следует, что
р(Л, ЛN) ^ 1п
Ф+1)||А-1 у
N
Поэтому, полагая N > з(5+1)||А £, получим р(Л, ЛN) ^ £, что и доказывает утверждение теоремы. □
и
а
4. Заключение
Рассмотрим произвольную решётку Л € Согласно Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддееву [3] решётка Л и решётка Л1 рационально связаны, если Л1 = М ■ Л Л = М-1 ■ Л1 м М € М* (0>). Множество всех решёток Л1 рационально связанных с решёткой Л обозначим через О (Л).
Дословно повторяя доказательство основной теоремы можно доказать следующее утверждение.
Теорема 2. Для любой решётки Л € РД множество всех решёток рационально связанных с решёткой Л всюду плотно в РД8.
Другими словам,и: О (Л) всюду плот,но в РД8.
Пусть (а1,...,а8) е М 5 — произвольная точка общего положения, то есть ау = 0 (1 ^ ] ^ з)- Рассмотрим рациональное з-мерное арифметическое пространство 0>(а;1,..., а«) С С М5 над полем рациональных чисел 0>, которое определяется равенством
0>(а;1,..., = {(ш1«1,..., т8а8)|т = (т1,..., т8) е }.
Нетрудно видеть, что справедлива следующая теорема
Теорема 3. Рациональное в -мерное арифметическое прос транет во 0>(а;1,..., всюду плотно в 8-мерном вещественном арифметическом пространстве М
Именно на этом факте основаны теоремы 1, 2 и 3 из работы [18].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям, // Аналитическая теория чисел и теория функций: 10. Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1990. N 185. С. 5-12.
2. Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.
3. Б. И. Делоне, Д. К. Фаддеев Теория иррациональностей третьей степени // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1940. Т. 11. С. 3-340.
4. Л.П.Добровольская, М.Н.Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.
5. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.
6. Добровольский И. \!.. Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63, вып. 4. 1998. С. 522-526.
7. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.
8. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) / М.: МЦНМО, 2004.
9. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток Тез. докл. III Междунар. конф. // Современные проблемы теории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.
10. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99-108.
11. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МИГУ, 1999.
12. Скубенко Б. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени п ^ 3 Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 112. 1981. С. 167-171.
13. Б. Ф. Скубенко К совместным приближениям алгебраических иррациональностей // Целочисленные решетки и конечные линейные группы, Зап. научи, сем. ЛОМИ, 116, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1982, С. 142-154; J. Soviet Math., 26:3 (1984), 1922 1930.
14. Скубенко Б. Ф. О произведении п линейных форм от п переменных // Труды МИ АН СССР. N 158. 1981. С. 175-179.
15. Б. Ф. Скубенко Циклические множества точек и решеток // Аналитическая теория чисел и теория функций. 8, Зап. научи, сем. ЛОМИ, 160, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1987, С. 151-158.
16. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 168. 1988. С. 125-139.
17. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п ^ 3 // Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 183. 1990. С. 142-154.
18. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q(\/5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77-94.
19. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4." С. 818 - 821.
20. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.
21. Шмелева Т. С. Непрерывность гиперболического параметра решетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 92-100.
22. Т. С. Шмелева О непрерывности гиперболического параметра решеток // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы: материалы VII Международной конференции. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого. 2010. С. 202-206.
23. Т. С. Шмелева Приближение решеток // Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. С. 311-314.
24. Т. С. Шмелева Приближение решеток и их применение // Материалы XIII Международной конференции Алгебра,теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, 2015. С. 384-386.
REFERENCES
1. Akramov, U. А. 1990, "The isolation theorem for forms corresponding to purely real algebraic fields", Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 10 Zap. nauchn. sem. LOMI, no. 185, pp. 5-12.
2. Vejl', G. 1947, Algebraicheskaya teoriya chisel [Algebraic number theoryj, Gosudarstvennoe izdatel'stvo inostrannoj literaturv, Moscow, Russia.
3. Delone, B. N. k Faddeev, D. K. 1940, "Theory of irrationalities of the third degree", Trudy matematicheskogo instituta imeni V.A. Steklova (Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics), vol. 11, pp. 3-340.
4. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skij, M. N., Dobrovol'skij, N. M. k Dobrovol'skij, N. N. 2012, "Hyperbolic zeta functions of grids and grids and calculation of optimal coefficients", Chebyshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4-107.
5. Dobrovol'skij, M. N. 2005, Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshyotki i ikh prilozheniya [Multidimensional number-theoretic grids and grids and their applications], Izdatel'stvo tul'skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. L. N. Tolstogo, Tula, Russia.
6. Dobrovol'skij, N.M., Rebrova, I.YU. k Roshhenva, A.L. 1998, "Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices", Matematicheskie zametki (Mathematical Notes), vol. 63, no. 4, pp. 522-526.
7. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.
8. Korobov, N. M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Numerical-numerical methods in approximate analysis], 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.
9. Rebrova, I. YU. "The continuity of the hyperbolic zeta function of the lattices", Tez. dokl. Ill Mezhdunar. konf. "Sovremennye problemy teorii chisel" (Abstracts of the report of the III International Conference "Contemporary problems of number theory"), Tula, 1996, p. 119.
10. Rebrova, I. YU. 1998, "The continuity of the generalized hyperbolic zeta lattice function and its analytic continuation", Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Inform,atika, vol. 4, no. 3, pp. 99-108.
11. Rebrova, I. YU. 1999, "The lattice space and the functions on it", Ph.D. Thesis, Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russia.
12. Skubenko, B. F. 1981, "The isolation theorem for decomposable forms of purely real algebraic fields of degree n > 3", Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 4 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.112, pp. 167-171.
13. Skubenko, B. F. 1982, "To joint approximations of algebraic irrationalities", Tselochislennye reshetki, i, konechnye linejnye gruppy, Zap. nauchn. sem. LOMI, pp. 142-154.
14. Skubenko, B. F. 1981, "On the product of n linear forms of n variables", Trudy MIAN SSSR, no.158, pp. 175-179.
15. Skubenko, B. F. 1987, "Cyclic sets of points and lattices", Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 8 Zap. nauchn. sem. LOMI, pp. 151-158.
16. Skubenko, B. F. 1988, "The minima of a decomposable cubic form in three variables", Analiticheskaya teoriya chisel i, teoriya funktsij. 9 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.168, pp. 151-158.
17. Skubenko, B. F. 1990, "Minima of decomposable forms of degree n of n variables for n > 3", Modulyarnye funktsii, i, kvadratichnye formy. 1 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.183, pp. 142-154.
18. Trikolich, E. V., k Yushina, E. I. 2009, "Chain fractions for quadratic irrationalities from the field Q(\/5)", Chebyshevskij sbornik, vol. 10, no. 1, pp. 77-94.
19. Frolov, K. K. 1976, "Estimates from above of the error of quadrature formulas on function classes", DAN SSSR, no.4, pp. 818-821.
20. Frolov, K. K. 1979, "Quadrature formulas on function classes", Ph.D. Thesis, Computing Center of the Russian Academy of Sciences of the USSR, Moscow, Russia.
21. Shmeleva, T. S. 2009, "The continuity of the hyperbolic lattice parameter", Izvestiya Tul'skogo gosudarst,vennogo universiteta. Estestvennye nauki, no.3, pp. 92-100.
22. Shmeleva, T. S. "On the continuity of the hyperbolic parameter of lattices", Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj pamyati professora Anatoliya Alekseevicha Karatsuby: materialy VII Mezhdunarodnoj konferentsii (Algebra and Number Theory: Modern Problems and Applications, dedicated to the memory of Professor Anatolv Alekseevich Karatsuba: materials of the VII International Conference), Tula, 2010, pp. 202-206.
23. Shmeleva, T. S. "Approximation of lattices", Materialy XII Mezhdunarodnoj konferentsii Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj vos'mAdesyatiletiyu professora Viktora Nikolaevicha Latysheva (Materials of the XII International Conference Algebra and Number Theory: Contemporary Problems and Applications, dedicated to the eightieth birthday of Professor Viktor Nikolaevich Latvshev), Tula, 2014, pp. 311-314.
24. Shmeleva, T. S. "Approximation of gratings and their application", Materialy XIII Mezhdunarodnoj konferentsii Algebra,teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj vos 'midesyatipyatiletiyu so dnya rozhdeniya professora Sergeya Sergeevicha Ryshkova (Materials of the XIII International Conference Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications, dedicated to the eightieth anniversary of the birth of Professor Sergey Sergeevich Rvshkov), Tula, 2015, pp. 384-386.
Оренбургский государственный университет
Тульский государственный университет
Тульский государственный педагогический университет
