Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16. Выпуск 4.

УДК 511.9.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ1 2

Данная работа состоит из двух основных частей.

В первой части, которая представлена введением, дается достаточно полный обзор теории гиперболической дзета-функции решёток. Отличие от более ранних обзоров состоит в том, что, во-первых, большинство результатов общей теории конкретизирована к двумерному случаю. Это сделано потому, что основная цель работы — это решётки квадратичных полей. А эти решётки являются двумерными.

Во-вторых, впервые получены в явном виде функциональные уравнения для гиперболической дзета-функции одномерных и двумерных диагональных решёток.

Во второй части исследуется поведение гиперболической дзета-функции решётки Л(Ь) квадратичного поля при росте параметра t. Для приложений теории гиперболической дзета-функции решёток к вопросам оценки погрешности приближенного интегрирования на классе ESa с помощью обобщенных параллелепипедальных сеток с весами важно иметь оценку через растущий детерминант решётки.

В данной работе получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции решётки квадратичного поля. Особенностью этой формулы является то, что она имеет двучленный главный член и остаточный член с оценкой входящих констант. В этой формуле более выпукло выявлена связь между гиперболической дзета-функцией решётки квадратичного поля и такими характеристиками квадратичного поля как: дзета-функция Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, производной дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, регулятором квадратичного поля и фундаментальной единицей квадратичного поля.

Ключевые слова: решётка, гиперболическая дзета-функция решётки, сетка, гиперболическая дзета-функция сетки, квадратурная формула, па-раллелепипедальная сетка, метод оптимальных коэффициентов.

Библиография: 31 название.

1 Работа выполнена по гранту РФФИ № 11-01-00571

2Работа частично поддержана грантом РФФИ № 15-41-03263 р_центр_а.

Аннотация

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

101

HYPERBOLIC ZETA FUNCTION OF LATTICE OVER QUADRATIC FIELD

© 2012. N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii (Tula),

V. N. Soboleva, D. K. Sobolev (Moscow), E. I. Yushina (Tula)

Abstract

This work consists of two main parts.

In the first part, which presents the introduction, given a fairly comprehensive overview of the theory of the hyperbolic Zeta-function of lattices. Unlike earlier reviews is that, firstly, most of the results of the General theory particularized to two-dimensional case. This is done because the main goal of this lattice is quadratic fields. And these lattices are two-dimensional.

Secondly, the first explicit form of the functional equation for hyperbolic Zeta-function of one and two diagonal lattices.

In the second part we investigate the behavior of the hyperbolic Zeta-function of the lattice Л© of the quadratic field when the growth parameter t. For applications of the theory of hyperbolic Zeta-function lattices to estimate the error of the approximate integration on the class of Ef by using generalized parallelepipedal nets with weights it is important to have assessment through growing the determinant of the lattice.

In this work, we derived a new asymptotic formula for the hyperbolic Zeta function lattices of quadratic fields. The peculiarity of this formula is that it has a main two-term member and remaining a member with the assessment of incoming constants. In this formula more specific correlation between the hyperbolic Zeta function of lattices of quadratic fields and quadratic field characteristics as: the Zeta function of the Dedekind principal ideals of a quadratic field, the derivative of the Zeta-function of Dedekind principal ideals of a quadratic field, quadratic field by the regulator and the fundamental unit of the quadratic field.

Keywords: lattice, hyperbolic zeta function of lattice, net, hyperbolic zeta function of net, quadrature formula, parallelepiped net, method of optimal coefficients.

Bibliography: 31 titles.

1. Введение ....................................................102

1.1 Решётки ....................................................102

1.2 Тригонометрические суммы сеток и решёток ...................104

1.3 Гиперболическая дзета-функция решёток ......................107

1.4 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решёток ...........113

1.5 Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток....................................................118

1.6 Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции диагональных решёток ................................................. 122

102

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

1.7. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток....................................................124

1.8 Алгебраические решётки ..................................129

1.9 Цели и содержание работы.................................131

2. Асимптотическая формула для алгебраической решётки........131

2.1 Интегральное представление для (н(Лф) алгебраической решётки Л квадратичного поля ............................................... 131

2.2 Асимптотическая формула для (Лф) ........................142

3. Заключение ...............................................143

Список цитированной литературы ..............................144

1. Введение

Во введении приводятся необходимые определения, результаты и факты из теории гиперболической дзета-функции решёток. Эта теория излагается в монографиях [24], [20] и [1], которые опираются на результаты из работ [4]-[7], [10]—[17], [25], [26]. Теории гиперболической дзета-функции решёток и обобщенной гиперболической дзета функции сдвинутых решёток были посвящены диссертации [8], [29], [27], [18] и [5], содержание которых отражено в авторефератах [9], [30], [28], [19] и [6].

В большой обзорной работе [3] приводятся последние достижения в этой теории — дается вывод функционального уравнения для дзета-функции произвольной декартовой решётки. Кроме этого, в последнем разделе этой работы дается список актуальных нерешенных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток.

Одной из таких проблем — получению уточненой асимптотической формулы для гиперболической дзета-функции квадратичного поля — посвящена данная работа.

Так как решётка вещественного квадратичного поля является двумерной, то для удобства читателей все необходимые сведения и определения переформулированы для двумерного случая.

1.1. Решётки

Напомним некоторые определения из геометрии чисел.

Определение 1. Пусть Ai,A2 — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства R2. Совокупность Л всех векторов вида

ai Ai + a2 А2,

где ai, a2 независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется двумерной решёткой в R2, а сами векторы Ai, А2 — базисом этой решётки.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ ... 103

Множество всех двумерных решёток из R2 будем обозначать через PR2. Под произвольной сдвинутой решёткой Л(х) понимается множество вида Л(х) = Л + х, где Л 6 PR2 и x 6 R2. Множество всех сдвинутых решёток Л + x из R2 будем обозначать через CPR2.

Очевидно, что Z2 — решётка, её ещё называют фундаментальной решёткой.

Решётка Л называется целочисленной решёткой в R2, если Л — подрешётка фундаментальной решётки Z2, то есть

Л = {m1A1 + m2A2\m1,m2 6 Z}

и Ai, Л2 — линейно независимая система целочисленных векторов.

Определение 2. Для решётки Л взаимной решёткой Л* называется множество

Л* = {у \Ух 6 Л(у,х) 6 Z} ■ (1)

Очевидно, что взаимная решётка Л* для решётки Л задается взаимным базисом A*, A2, определяемым равенствами

( Л*.Л,) = ь = (0 при* = jj (2)

v / 10 при i= j.

Нетрудно видеть, что фундаментальная решётка Z2 совпадает со своей взаимной решёткой и является подрешёткой взаимной решётки любой целочисленной решётки. Кроме того, если Л1 С Л С Z2, то Z2 С Л* С Л*; для любого C = 0 имеем (CЛ)* = Л*/С. Для любой решётки справедливо равенство det Л* = (det Л)-1.

Использование решёток, сдвинутых решёток и проекций решёток на координатные подпространства позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел.

Так, например, если (a,, N) = 1 (1 ^ j ^ 2), то решёткой Л с det Л = N является множество Л = Л(а1, a2; N) решений линейного однородного сравнения

а1х1 + а2х2 = 0 (mod N)■

Действительно, если целые b, b1, удовлетворяют условиям: a1b = 1 (mod N), b1 = a2b (mod N)

то вектора A1 = (—b1, 1), A2 = (N, 0) будут базисом решётки Л = Л^^^, N).

Если F — чисто вещественное алгебраическое расширение степени 2 поля рациональных чисел Q и Zp — кольцо целых алгебраических чисел поля F, то двумерной решёткой является множество Л^), следующим способом образованное с помощью Zp:

Л^) = {(0(1),0(2)) \ 0(1) 6 Zp}

104

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

где 0(1), 0(2) — система алгебраически сопряженных чисел, и если d — дискриминант поля F, то det^(F) = \fd.

Эти два примера решёток — решётка Л(а^ a2; N) решений линейного сравнения и алгебраическая решётка Л^) — будут играть центральную роль в данной работе.

Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решёток Л + х, нормы N(х) = \x1 • x2\, норменного минимума решётки и нормен-ного минимума сдвинутой решётки.

Для произвольной решётки Л Е PR2 норменным минимумом называется величина

N (Л) = inf^ N (х).

Х^А\{0}

Для произвольной сдвинутой решётки Л + b Е CPR2 норменным минимумом называется величина

N (Л + b)= inf N (х).

х€(Л+Ь)\{0}

С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум, или гиперболический параметр решётки, так называется величина ([7], [15])

д(Л) = min q(х),

x&A\{0}

которая имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест K2(T) не содержит ненулевых точек решётки Л при T < д(Л).

Гиперболическим крестом называется область

K2(T) = {х \ q(x) ^ T},

где q(x) = х1 • х2 — усеченная норма х, и для вещественного х обозначаем х = max(1, \х\).

Так как max(1, N (х)) ^ q(x), то max(1, N (Л)) ^ q(Л) для любой решётки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что

q(Л) ^ max(detЛ, 1).

1.2. Тригонометрические суммы сеток и решёток

Через G2 = [0; 1)2 будем обозначать полуоткрытый квадрат. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество M из G2. Под сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (M, р), где р —произвольная числовая функция на M. Для удобства будем отождествлять сетку M с упорядоченной парой (M, 1), то есть с сеткой с единичными весами р = 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

105

Определение 3. Произведением двух сеток с весами (Mi,pi) и (M2,p2) из Gs называется сетка с весами (M,p):

M = {{x + у}\ x Е Mi ,у Е M2 }, p(y) = £ pi(x)p2(p),

{x+y} = z, x €Mx, у eM^

где {у} = ({Zi}, {Z2}).

Произведение сеток с весами (Mi,pi) и (M2,p2) обозначается через

(Mi,pi) • (M2,p2)-

Кроме этого, если (M,p) = (Mi,pi) • (M2,p2), то будем писать M = Mi • M2 и говорить, что сетка M — произведение сеток Mi и M2.

Определение 4. Тригонометрической суммой сетки с весами (M,p) для произвольного целочисленного вектора т называется выражение

S(т, (M,p))= £ p(;x)e2"’'>, (4)

x ем

а нормированной тригонометрической суммой сетки с весами —

S*(m, (M,p)) = S(m (M,p))'

N

Положим p(M) = ^2 \pj\, тогда для всех нормированных тригонометриче-j=i

ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

\S*(т, (M,p))\ ^ Mp(M).

Легко видеть, что для любых сеток с весами (Mi, pi) и (M2, p2) справедливо равенство

S(т, (Mi, pi) • (M2,p2)) = S(m, (Mi, pi)) • S(m, (M2,p2))- (5)

Определение 5. Если справедливо равенство

(Mi, 1) • (M2, i) = (M, 1),

то сетки Mi и M2 называются взаимно простыми.

Таким образом, если Mi и M2 — взаимно простые сетки, то равенство z = = {x + у} имеет не более одного решения для x Е Mi и у Е M2. Поэтому для взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство \ Mi • M2 \ = = \Mi\^\M2\.

При p = 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.

106

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Определение 6. Тригонометрической суммой сетки M для произвольного целочисленного вектора m называется величина

S(m,M) =Y, e2ni(mx),

x eM

а нормированной тригонометрической суммой сетки —

1

S*(т, M)

\M |

S(m, M).

6A(m)

I

Sn(m) = j 0,

Легко видеть, что для любых взаимно простых сеток M1 и M2 справедливо равенство

S(m, M1 ■ M2) = S(m, Mi) ■ S(m, M2). (6)

Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки Л, целого вектора m и произвольного вектора X из взаимной решётки Л* величины:

1, если m Е Л, s* x = / 1, если X Е Z2,

0, если m Е Z2 \ Л, Л(X) | 0, если X Е Л* \ Z2.

Символ Sл (m) является многомерным обобщением известного теоретико-числового символа Коробова

1, если m = 0 (mod N),

0, если m ф 0 (mod N).

Определение 7. Обобщенной параллелепипедальной сеткой M(Л) называется .множество M(Л) = Л* П G2.

Для целочисленной решётки Л её обобщенная параллелепипедальная сетка M(Л) является полной системой вычетов взаимной решётки Л* по фундаментальной подрешётке Z2. Отсюда следует равенсто \M(Л)\ = det^.

Определение 8. Полной линейной кратной тригонометрической суммой целочисленной решётки Л будем называть выражение

s(m, Л)= Y, e2m(m’x) = Y, e2ni(m’x),

x ем (Л) x еЛ* /z2

где m — произвольный целочисленный вектор.

Ясно, что для обобщенной параллелепипедальной сетки M(Л) справедливо равенство S(m,M(Л)) = s(m, Л).

Определение 9. Полной линейной кратной тригонометрической суммой взаимной решётки Л* целочисленной решётки Л будем называть выражение

s*(X, Л)

^ ^ e2ni(rn,x)

m е Zs /л

N

Е

j = i

2ni(m j ,x)

где X — произвольный вектор взаимной решётки Л* и m1,... ,mN — полная система вычетов решётки Zs по подрешётке Л.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

107

Справедливы следующие двойственные утверждения.

Теорема 1. Для s(m, Л) справедливо равенство

s(m, Л) = 5Л(т) • det^.

Теорема 2. Для любой целочисленной решётки Л с de^ = N и для произвольного X Е Л* справедливо равенство

s*(X, Л) = $Л(X) • detЛ.

1.3. Гиперболическая дзета-функция решёток

Термин «гиперболическая дзета-функция решётки» был введен в 1984 году Н. М. Добровольским в работах [7], [8], в которых начато систематическое изучение функции (н(Л|а). Переформулируем общие результаты, полученные в этих работах на случай двумерных решёток.

В частности, получены нижние оценки для гиперболической дзета-функции произвольной двумерной решётки:

(н(Л|а) ^ C1(a)(det Л)-1 при 0 < det^ ^ 1, (7)

(н(Л|а) ^ C2(a)(detЛ)-"lndetЛ при detЛ > 1, (8)

где С1(а), С2(а) > 0 — константы, зависящие только от а.

Доказана верхняя оценка для гиперболической дзета-функции s-мерной решётки:

(н(Л|а) ^ Сз(а)С1(Л)2 при фЛ) = 1, (9)

(н(Л|а) ^ С4(а)д-"(Л)(1п фЛ) + 1) при фЛ) > 1. (10)

Также Н. М. Добровольским доказана теорема:

Для любой целочисленной решётки Л и натурального n справедливо представление

2

(н(л|2п) = -1 + (^л)-1 П

хеш (Л) j=i

1

(-1)n(2n)2n

(2n)!

B2n(xj Н

11)

где B2n(x) — полином Бернулли порядка 2п и M(Л) — обобщенная параллеле-пипедальная сетка решётки Л, которая состоит из точек взаимной решётки Л*, лежащих в единичном полуоткрытом квадрате G2 = [0; 1)2.

(н (Л | 2п + 1)

1 +

1

det Л

Е П(

хеш (Л) j=i '

1 - (-1)П •

(2n)2n+1 (2n + 1)! ^

108

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

B2n+i{{y + xj }) + B2n+1({y — xj })

ctg(^y) dy

i

2

0 /

Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета-функцией решётки и дзета-функцией Римана, для которой

22n—1 _2n

С 1 -j2^ B2n,

C (2n +1)

(-1)n+1

-2n^2n+1

(2n + 1)!

1

J B2n+1(y) ctg(ny) dy.

0

Заметим, что справедливо равенство

С (а)

- CH Ща) а

а + it а > 1.

Из представления (11) непосредственно вытекает, что для любой целочисленной решётки Л и четного а = 2n значение Сн (Л\2п) — трансцендентное число.

Для гиперболической дзета-функции решётки A(t,F) в работе [12] Добровольским Н. М., Ваньковой В. С. и Козловой С. Л. была получена асимптотическая формула, которая в двумерном случае выглядит следующим образом

Сн(Л(t, F)\a)

2(detA(F))“ 1

R iw \N(w)\a

+°(

(det Л(t, F))'

1

1

ln detA(t, F)

(detA(t“F))“ +

(12)

где R — регулятор поля F ив сумме У) i—;—гг- суммирование проводится

(w) \N(w)\a

по всем главным идеалам кольца Zp.

На первом этапе исследований с 1984 года по 1990 год изучение функции Сн (Л\а) проводилось только для вещественных а > 1. Начиная с 1995 года, в совместных работах Добровольского Н. М., Ребровой И. Ю. и Рощени А. Л. ([14], [15], [17]) начался новый этап изучения гиперболической дзета-функции Сн(Л\а) решётки Л: во-первых, как функции комплексного аргумента а, во-вторых, как функции на метрическом пространстве решёток.

Таким образом, наиболее общее определение гиперболической дзета-функции двумерной решётки Л для комплексного а следующее.

Определение 10. Гиперболической дзета-функцией решётки A называется функция Сн (Л\а); а = а + it, задаваемая при а > 1 абсолютно сходящимся рядом

Сн(Л\а) = ^ (x1 ■ x2)—a, (13)

x €Л

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

109

где^2' означает, что из суммирования исключен x = 0, а для всех вещественных значений x полагаем x = max(1, |x|).

По теореме Абеля гиперболическую дзета-функцию решёток можно представить в следующем интегральном виде

(и (лф)

те

а

1

D(tlK)dt ia+1 ’

где D(T|Л) — количество ненулевых точек решётки Л в гиперболическом кресте K2(T).

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета-функция решёток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

Норменным спектром решётки Л называется множество значений нормы на ненулевых точках решётки Л:

Nsp(A) = [X l X = N(x), х Е Л\{0}}.

Соответственно усеченным норменным спектром решётки Л — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках решётки:

Qsp(Л) = [X l X = q(x), x Е Л\{0}}.

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, то есть

Qsp (Л) = [Xi < X2 < ... < Xk < ...} и lim Xk = ж.

к^Ж

Очевидно, что

N (Л) = inf X, q(Л) = min X = X1.

^GNSp(A) ^GQsp(A)

Порядком точки спектра называется количество точек решётки с заданным значением нормы. Если таких точек решётки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки X норменного спектра обозначается через n(X), а порядок точки X усеченного норменного спектра, соответственно, через q(X).

Понятие порядка точки спектра позволяет лучше понять определение гиперболической дзета-функции решётки. В нем вместо нормы точки x фигурирует усеченная норма.

Можно привести пример решётки Л, для которой ряд

У |xi • x2-a

х£Л

расходится при любом а > 1.

110

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Действительно, пусть Л = ^(F) - алгебраическая решётка, тогда

£'\xi • x\-° = £ \t2N(и,)--, (14)

х£Л w£Zp

где N(w) — норма целого алгебраического числа из кольца Zp. В силу теоремы Дирихле о единицах ряд в правой части равенства (14) расходится при любом а > 1, так как в кольце Zp целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля F степени 2 имеется бесконечно много единиц е и для них \ N(е) \ = 1. Таким образом в этом случае каждая точка норменного спектра имеет бесконечный порядок, что и приводит к расходимости при любом а.

Из этого примера видно, что использование усеченной нормы вектора q(x) = = x1 • x2 вместо нормы N(x) = \x1 • x2 \ в определении (н (Л \ а) существенно, так как тем самым обеспечена абсолютная сходимость ряда гиперболической дзета-функции произвольной решётки Л.

Тем не менее, забегая в перед, отметим что для произвольной целочисленной решётки Л полезно рассмотреть дзета-функцию Z(Л \ а), которая в правой полуплоскости задается равенством

С(Л \ а)= £ \ Х1Х2\ -а.

х£Л, N(х)=0

Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболическую дзета-функцию произвольной решётки Л можно представить как ряд Дирихле:

(н(Л \ а) = £'(xi • Х2— = £' q^ = £ Фк)К° =

х£Л х£Л к=1

= £ q(\)\-<a. (15)

Так как D(T\Л) = 0 при T < q(A), то

СЮ

(н(Л \а) = а j D(t^dt. (16)

9(Л)

Из равенства (15) следует, что для любого комплексного а = а + it в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (13), и справедливо неравенство

\ (н(Л\а)\ ^ (н(Л\а).

Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решётки Л гиперболической дзета-функции решётки (н (Л \а) на всю комплексную плоскость.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

111

В работах Добровольского Н. М., Ребровой И. Ю. и Рощени А. Л. ([15], [17]) эти вопросы исследовались для PZs — множества всех целочисленных решёток, PQs — множества всех рациональных решёток, PDs — множества всех решёток с диагональными матрицами. Далее эти результаты сформулируем только для s = 2.

Доказано, что

для любой целочисленной решётки Л G PZ2 гиперболическая дзета-функция (н(Л|а) является регулярной функцией во всей а-плоскости, за исключением точки a = 1, в которой она имеет полюс второго порядка.

Для любой решётки Л G PQ2 гиперболическая дзета-функция (н(Л|а) также является регулярной аналитической функцией во всей а-плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс второго порядка.

Изучено поведение гиперболической дзета-функции решёток на пространстве решёток. В частности, установлено, что

если последовательности решёток {Лга} сходится к решётке Л, то последовательности гиперболических дзета-функций решёток (н(Лга|а) равномерно сходится к гиперболической дзета-функции решётки (н(Л|а) в любой полуплоскости а ^ а0 > 1.

Другой результат такого типа формулируется следующим образом.

Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестности 1а — вI <5 такая, что для любой решётки Л = Л(б1,б2) G PD2

lim Zh (M 1в) = (н (Л1в),

M ^Л,Ы £PD2

причем эта сходимости равномерна в окрестности точки а.

Вывод этих результатов существенно опирается на асимптотическую формулу для числа точек произвольной решётки в гиперболическом кресте как функции от параметра гиперболического креста, полученную Н. М. Добровольским и А. Л. Рощеней ([16]), которая при s = 2 имеет вид:

4T ln T 4T

d(t I Л) = T T + ©c(Л)

det Л

det Л ’

где C(Л) - эффективная константа, вычисляемая через базис решётки, и |©| ^ ^ 1.

Далее нам потребуются следующие множества целочисленных векторов:

J1,2 = {(1, 2), (2, 1)} , J2,2 = {(1,2)} •

Другими словами, множество Jt,2 состоит из векторов jt, координаты которых являются перестановкой чисел 1, 2 такой, что первые t координат монотонно возрастают и последние 2 — t координат также монотонно возрастают. Таким образом, справедливы равенства Д12 = 2, |J2,1| = 1.

112

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Еще А. О. Гельфонд [24] обнаружил важную связь между величиной гиперболического параметра фЛ) решётки Лф^..., as-1,1; N) и величиной

О(Л) = min к ■ k1 ■ ... ■ ks-1,

k=1,...,N-1

где целые к,к1,... , ks-1 удовлетворяют системе сравнений

к1 — a1k к2 — a2k

ks-1 — as-1k

(mod N)

с решёткой решений Л(р\а1,..., as-1; N) 3, которая известна как теорема Гель-фонда:

Существует положительная константа C1 = C^s) такая, что выполняются оценки Q ^ C1qs-1 и q ^ C1NQ-1)2-1 •

При s = 2 это утверждение тривиально, так как решётки Лф, 1; N) и Л(p)(a; N) с точностью до перестановки координат совпадают, а поэтому Q = q.

Оказалось, что эта связь проявляется и при аналитическом продолжении в левую полуплоскость. Сформулируем соответствующую теорему в простейшем двумерном случае.

Прежде всего выразим гиперболическую дзета-функцию двумерной решётки Лф, 1; N) через дзета-функцию Римана и дзета-функцию двумерной решётки Л(a, 1; N). Имеем

(„(A(a, 1; N) | а) = N1 + ((A(a, 1; N) | а).

Теорема 3. В левой полуплоскости а = а + it (а < 0) справедливы равенства

(ы(Л(a, 1; N) 1 а) = Zи (U](a, 1; N) | а)

z (A«(a, 1; N )|1 4M(a)Z(1 - a)+ MONt(A(a, 1; N) | 1

N 0

N 2a

а),

а),

где

M (a)

2Г(1 — a) . па

———-----sin —.

(2n)1-a 2

Из этой теоремы вытекает следующий результат о значении гиперболической дзета-функции этих решёток в отрицательных нечетных точках.

3Целочисленная решётка Л(р)(ai,..., as-1; N) с det Л(р) (ai,..., as-1; N) = Ns-1 называется присоединенной к целочисленной решётке Лф1,..., as-i, 1; N).

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

113

Теорема 4. Для а =1 — 2n, n е N справедливы равенства:

Си(Л(а,1; N) | а)

2N

2п— 1

Б2п + N‘

4п—2 N-1

n

n2

ЕВ2п({

к=0 ' V

Zи(Aw(a, 1; N) | а)

2N 2п-1Б2п N

2п

к—0 4п—2 N-1

N м б2„

—ak)

N

n

+

n

2

S Ч{ ?)Ы N

а четные отрицательные точки являются тривиальными нулями.

1.4. Обобщенная гиперболическая дзета-функция решёток

Исходя из аналогии между гиперболической дзета-функцией решёток и дзета-функцией Римана, И. Ю. Реброва по предложению одного из авторов в работах [26], [27] рассмотрела обобщение гиперболической дзета-функции решёток как s-мерного аналога дзета-функции Гурвица. Мы как и раньше все результаты будем формулировать для случая s = 2.

Определение 11. Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки Л называется (функция (и(Л + Ца), задаваемая в правой полуплоскости а = = а + it (а > 1) абсолютно сходящимся рядом

Си(Л + b 1 а) = (х1 + bi ■ x2 + b2) а = q(x) а, (17)

Х£Л х€(Л+Ь)\{0}

где YC! означает, что из области суммирования исключена точка x = —b.

Из свойств решётки непосредственно вытекает, что Л(х + у) = Л(х) для любого у е Л, и если Л1 + х1 = Л2 + х2, то Л1 = Л2 и х1 — х2 е Л1.

Для построения аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета-функции выделяется достаточно широкий класс решёток — декартовы решётки. Даются следующие определения.

Определение 12. Простой декартовой решёткой называется сдвинутся решётка Л + х вида

Л + х — (Я ■ Z + х1) X (t2 ■ Z + х2),

где tj = 0 (j = 1, 2).

Другими словами, если решётка Л + х простая декартова решётка, то она получается из фундаментальной решётки растяжением по осям с коэффициентами t1 ,t2 и сдвигом на вектор х.

Определение 13. Декартовой решёткой называется сдвинутая решётка, представимая объединением конечного числа простых декартовых решёток.

114

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Определение 14. Декартовой решёткой называется сдвинутая решётка, у которой найдется сдвинутая подрешётка, являющаяся простой декартовой решёткой.

Теорема 5. Определения 13 и 14 эквивалентны.

Теорема 6. Любой сдвиг рациональной решётки является декартовой решёткой.

Две решётки Л и Г называются подобными, если

Г = D(d1,d2) • Л, Л = d(J-,1) • Г, где

ЭДА)=( * “)

— произвольная диагональная матрица, di • d2 = 0.

Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка 2 будем обозначать

D2(R) = {D(di,d2) | di • d2 = 0}.

Относительно операции матричного умножения D2(R) — мультипликативная абелева группа.

Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц DU2(R) является подгруппой группы D2(R). Кроме того,

D2(R) = DU2(R) х R+,

где изоморфизм ф между D2(R) и прямым произведением DU2(R) х R+ устанавливается по правилу

v(D(di, d2))

D

di

\f\di • d21

d2

\f\di • d21

)

\Z\di • d21

)

Обозначим через DM2,£(R) множество всех диагональных матриц D(di,d2) с

||D(di, d2) H ^ e,

а через DM2, £(R) — множество всех диагональных матриц D(di, d2) с

||D(di,d2)| ^ е, и

D

-di

1 + di

-d2

1 + d2

^ e.

Так как DM2,£(R) — компактное подмножество множества M2, e(R), а T2(0,e) — компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решётки Л + X ее замкнутая е - окрестность траектории D2 (R) • (Л + X) при достаточно малом е будет полным метрическим пространством.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

115

Теорема 7. Произвольная декартова решётка подобна сдвинутой целочисленной решётке.

Определение 15. Целочисленную решётку Л назовем простой, если её проекция на любую координатную ось совпадает с Z.

Это требование очень существенное и справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Для любой простой решётки Л и её треугольного базиса, заданного матрицей

A

/ ai,i ai,2 . . . ai,n-i ai,n \

0 a2,2 . . . a2,n-i ai,n av,v > ° 0 ^ a^,v < av,v

0 0 . . . an-i,n—i an-i,n , (1 ^ ^ < v ^ n)

V 0 0 . . . 0 an,n )

выполняются соотношения aiyi = 1, (aiv,... ,avv) = 1 (2 ^ v ^ n).

Доказательство. Как известно [23], каждая целочисленная решётка имеет треугольный базис, который задается матрицей A. Из требования простоты решётки следует, что ai;i = 1, так как проекцией на первую ось является ai;iZ.

Если через Nv обозначить наибольший общий делитель элементов v-ого столбца матрицы A, то есть Nv = (a1v,...,avv), то проекцией на v-ую ось является NvZ. Поэтому Nv = 1 и теорема доказана. □

Теорема 9. Любая целочисленная решётка Л подобна простой решётке, которая однозначно определяется решёткой Л.

Теорема 10. Для любой декартовой решётки Л существует единственное представление

Л = D(ti,t2) • Ло, ti,0 > О, где Л0 — простая решётка.

Обозначим через М* (Л) множество точек решётки Л, попавших в полуоткрытый квадрат [0; det Л)2, таким образом для любой целочисленной решётки Л множество M* (Л) является полной системой вычетов решётки Л по подрешётке det Л • Z2.

Теорема 11. Пусть

x(k) = [k,N |, тогда для решётки Л = ЛД, 1; N)

М*(Л) = {x(k) | 0 ^ k ^ N - 1}

(18)

116

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

и справедливо разбиение

Л(а, 1; N)= У (NZ2 + х) =

x&M* (Л)

N -1

= U (NZ2 + x(k)). (19)

k=0

Следствие 1. Справедливо разбиение

N-1

Л(а, 1; N) = U (NZ + k) х (NZ - ak).

к=0

Для решётки Л(а, 1; N) рассмотрим ее присоединенную решётку Л(р) (а; N) решений линейного сравнения

ш\ = am (mod N).

При (а, N) = 1 решётка A(p')(a; N) также является простой. Следствие 2. Справедливо разбиение

N -1

Л(р)(а; N) = U (NZ + ак) х (NZ + k).

к=0

(20)

Для произвольной сдвинутой решётки Л + b £ CPR2 усеченным нормен-ным минимумом, или гиперболическим параметром, называется величина

д(Л + b) = min q(x).

xe(A+b)\{0}

Так как

max(1,N(x)) ^ q(x),

то

max(1, N(Л + b)) ^ д(Л + b),

для любой решётки Л.

Норменным спектром сдвинутой решётки Л + b называется множество значений нормы на ненулевых точках сдвинутой решётки Л + b:

Nsp(Л + b) = {А | А = N(x), х £ (Л + Ь)\{0}},

соответственно усеченным норменным спектром сдвинутой решётки Л + b — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках сдвинутой решётки:

Qsp(Л + b) = {А 1 А = q(x), х £ (Л + b)\{0}}-

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

117

Очевидно, что

N (Л + b) = inf ^ Л,

X^Nsp^+b)

д(Л + b) = min ^ Л.

X£Qsp(Л+b)

Порядком точки спектра называется количество точек сдвинутой решётки с заданным значением нормы. Если таких точек сдвинутой решётки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра будем обозначать через п(Л), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, ^(Л). Справедлив следующий аналог леммы 1 из работы [15].

Лемма 1. Для любой решётки Л + b и любой точки Л из усеченного норменного спектра Qsp^ + b) порядок точки Л конечен и Qsp(Л + b) — дискретен.

Из леммы 1 следует, что

Qsp(Л + b) = {Л1 < Л2 < ... < Лп < ...}

и

д(Л + b) = Л^ lim Лп = ж.

Отсюда вытекает, что обобщенную гиперболическую дзета - функцию произвольной сдвинутой решётки Л + b можно представить как ряд Дирихле:

Zh(Л + b I а)= Y. q(X)-a = £ q(\k)Л-а = £ q(\)\-a.

же(Л+Ь)\{о} k=1 \&Qsp^+b)

Теорема 12. Для любого а = а + it в правой полуплоскости, а > 1 ряд Дирихле для ZH (Л + b | а) абсолютно сходится, а в полуплоскости, а ^ а0 > 1 равномерно сходится.

Так как при а = а + it и а ^ а0 > 0

У

k=i

q(4)

К

k=1

д(Лк)

Л?

ZH(Л + b 1 ао),

то из теоремы 12 следует, что для любого комплексного а = а + it в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (17) (см. стр. 113) и справедливо неравенство

izh(Л + b 1 а)| ^ zh(Л + b 1 а).

Теорема 13. Обобщенная гиперболическая дзета-функция одномерной фундаментальной решетки является аналитической функцией на всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс первого порядка с вычетом, равным 2.

118

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Теорема 14. Для произвольной сдвинутой одномерной решётки Л + b = d-Z+b обобщенная гиперболическая дзета-функция (н (d-Z+b | а) является

аналитической на всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс

первого порядка с вычетом, равным.

det Л

Теорема 15. Обобщенная гиперболическая дзета-функция (н(Л | а) для любой простой декартовой решётки Л = ф[2=1(dj ■ Z + aj) является аналитической сфункцией во всей а-плоскост,и а = а + it, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс 2-порядка.

Теорема 16. Для любой декартовой решётки Л обобщенная гиперболическая дзета-функция (н(Л + b | а) является аналитической сфункцией во всей а-плоскости а = а + it, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс s-порядка.

После этого исследуется вопрос о поведении обобщенной гиперболической дзета-функции на орбите декартовых решёток. И снова рассмотрение начато с одномерного случая.

Теорема 17. Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность 1а — в <5 такая, что для любой сдвинутой решётки Л + b е CPRi

lim

Г+а^Л+Ь

(н (Г + g I в) = (н (Л + b I в)

1

причем эта сходимость равномерная в окрестности точки а.

Теорема 18. Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность 1а — в1 <5 такая, что для любой декартовой решётки

Л + b е CPR2

lim ^н(D(qi, q2) ■ Л + g 1 в) = (н(Л + b 1 в),

0(д1,д2)^Л+д^-Л+Ь

причем эта сходимость равномерная в окрестности точки а.

1.5. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток

Теперь мы опишем получение явного вида Zн (Л | а) в левой полуплоскости для произвольной целочисленной решётки Л, при этом нам потребуются присоединенная решётка Л(р) , которая определяется соотношением

Л(р) = det Л ■ Л*. (21)

Для любой целочисленной решётки Л её присоединенная решётка Л(р) также является целочисленной.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

119

В работе [3] показано, что в этом вопросе существенную роль играют ряды Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть

ii = £

4 / т = — гио

„2пг

e n

(^а > !)•

m

(22)

Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-функция целочисленных решёток при а > 1, если воспользоваться тригонометрическими суммами решёток (см. [3], стр. 81). Эти ряды имеют аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость за исключением, быть может, точки а =1, где может быть полюс первого порядка.

Хотя всё дальнейшее справедливо для произвольной размерности, мы будем излагать материал только для двумерных решёток, делая соответствующие упрощения.

Так как эти решётки — частные случаи декартовых решёток, то как известно существуют аналитические продолжения

(и(Л | а) и Си(Л(р) | а)

на всю комплексную а-плоскость, за исключением точки а = 1, в которой у них полюс порядка 2.

Для удобства введем следующие обозначения:

N = detA, M(р)(Л) = det Л • M(Л), M*(А) = Л П [0; detA)2. (23)

Ясно, что справедливы следующие разложения:

Л= U (x + NZ2) , Л(р) = U (x + NZ2) • (24)

хеш *(А) хеш Ы(Л)

Пусть j Е {1, 2}. Через n(j) будем обозначать координатное подпространство

n(j) = {Х 1 xv = 0 (v = j)}.

Ясно, что

R2 = П(1)0П(2)

— разложение в прямую сумму координатных подпространств. Заметим, что если через (Л + а)(1) и (Л + а)(2) обозначаются проекции сдвинутой решётки на кооридантные подпространства П(1) и П(2) в соответствии с разложением пространства в прямую сумму этих координатных подпространств, а её пересечения с координатными подпространствами через (Л + а)1 = (Л + а) Р| П(1) и (Л + а)2 = (Л + а)Р|П(2),то вообще говоря (Л + а)(1) = (Л + а)1 и (Л + а)(2) = (Л + а)2. Равенство возможно тогда и только тогда, когда Л + а = (Л1 + а1) х (Л2 + а2), Л1 + а1 = (Л + а)1 и Л2 + а2 = (Л + а)2.

120

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Напомним, что

2Г(1 — а) па

а) = ———----sin —

; (2п)1-а 2

и для произвольной целочисленной решётки Л дзета-функция ((Л | а) в правой полуплоскости задается равенством

С(Л 1 а)= ^ |XlX2|-a.

х£Л, N(x,=0

Теорема 19. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

Z(Л | а) = N(M(а)Мl-af Z (Л“| 1 — а) . (25)

Доказательство. См. [3]. □

Переходя к взаимным решёткам, эту теорему можно записать в новой форме:

Теорема 20. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а < 0 справедливо сфункциональное уравнение

M (а)2

Z(Л | а) = ~У~( (Л*1 1 — а). (26)

Доказательство. См. [3].^

Функциональное уравнение для дзета-функции произвольной декартовой решётки Л сразу получается из теоремы 20.

Теорема 21. Для дзета-функции произвольной декартовой решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

M (а)2

Z(Л | а) = ^ТС ^ 1 — а) ■ (27)

Доказательство. Действительно,

Л — D(di, d,2) ■ Ло, di, d,2 > 0,

где Л0 — простая решётка, а D(d1, d2) — диагональная матрица. Справедливы соотношения:

Л* = D(d-\d--1) ■ Лф

Z(Л | а)

С(Л0 | а)

Z (Л* 11

det Л = d1d2 det Л0,

а) = ((Л0 | 1 — а)ДД2)1-а.

(d1 d2)a

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

121

По теореме 20

M (а)2

< (А»|а) = жд-с (А;|1 -а)-

Отсюда следует, что

□

с (Л | a)(d1d2)a-Z (Л | а)

M (а)2 det Л0 M (а)2 det Л

Z (Л* | 1■

Z (л*|1

а)^^)“ 1, а).

Согласно предыдущим обозначениям (A)j = ЛР|Пф) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Aj будем обозначать одномерную решётку, которая получается из решётки (A)j отбрасыванием у каждой точки нулевой координаты, а через Nj — её определитель. Таким образом Ajp) — "присоединена^" одномерная решётка, Nj = detAj и Nj IN.

Как известно [23], каждая целочисленная решётка имеет треугольный базис: Л1 = (M1,a), Л2 = (0,N2), 0 ^ a < N2, det Л = N = M1N2 и Х[ = (N1,0), Л2 = = (b,M2), 0 ^ b < N1, detA = N = N1M2. Справедливы следующие соотношения: M1 = (b, N1), M2 = (a,N2). Пользуясь этими базисами гиперболическую дзета-функцию целочисленной решётки Л можно записать в виде

(н (Л | а) £ 1 £ 1

Е

m,n€Z,(m,n)=(0,0)

(mM1 ■ ma + N2n)

E

m,n€Z,(m,n)=(0,0)

(mN1 + nb ■ M2nj

Выделяя одномерные компоненты и главную компонету, получим

(н(Л 1 а) = 2((а) ^ ) + С(Л 1 а),

Z(Л I а) = £ \ N щ =

m,n&,(m,m+N2n)=(0,0) (mM1 ■ m + N2n)

£

1

m ,n€.Z, (mN\ +nb, n)=(0,0)

(mN1 + nb ■ M2nj

Теорема 22. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

Сн(Л | а) = 2M(а-Х(1 - а) 1 ^ + M(«)2N 1-2Х (Л«| 1

а

Доказательство. См. [3]. □

Используя теорему 20 и переходя к взаимной решётке, получим новую форму функционального уравнения для гиперболической дзета-функции целочисленной решётки.

122

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Теорема 23. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

(и (л | а)

2M(a)Z(1 - а) (-1— + -1-) v av J \N— N—)

+

M (а)2 N

Z (Л*11

а).

(29)

Доказательство. См. [3]. □

1.6. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции диагональных решёток

В этом разделе рассмотрим одномерный случай функционального уравнения гиперболической дзета-функции (и (dZ | а) и двумерный случай функционального уравнения гиперболической дзета-функции (и(d{Z х d2Z | а).

Лемма 2. Для гиперболической дзета-функции (и(Л | а) произвольной декартовой решётки Л вида Л = d • Z и дзетл-функции ((Л | а) справедливо равенство

(и(Л | а) = ((Л | а) + f (а,d), (30)

где аналитическая по а сфункция f (а,Ф) задана равенством

при d ^ 1,

f (а,d) =

£ i1 -щ-)’ при0<d<1

«Н«[ 1 ] v 117

(31)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, при d ^ 1 для любого целого m = 0 имеем dm = |dm|, поэтому

Си(л | а) = ^ х-— = ^ dm а = ^ ^■тф- = С(л | а) = С(л | а) + f (а, d).

x еЛ m eZ m eZ

При 0 < d < 1 для любого целого т = 0 имеем

— Г Idml, при mi > 1,

dm = j 1 при 1 ф mф i ,

1, при 1 ф |m| ф

поэтому

Си (л | а) = ^ dm а = ^ - + ^ U - -dm-)

m eZ m eZ l<|m|<[i] 4 ' ' 7

С(л | а) + f (ot,d)-

0

□

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

123

Теорема 24. Для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л вида Л = d • Z, где d > 0, в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

Си(Л | а) - f (a,d) = ММ (Zh (л* 1 - а) - f (1 - а,<К1)). (32)

Доказательство. Действительно, если Л = d • Z, то Л* = d-1 • Z.

По теореме 20 (см. стр. 120) при s = 1 получим

С(Л | а) = ММ( (Л*| 1 - а).

Так как по лемме 2 имеем

Си(л \ а) = С,(Л \ а) + f (а, d), (и(л* \ 1 - а) = С(Л* \ 1 - а) + f (1 - а, d-1),

то теорема доказана. □

Лемма 3. Для гиперболической дзета-функции (и(Л \ а) произвольной декартовой решётки Л вида Л = d1 • Z х d2 • Z и дзета-функции ((Л \ а) справедливо равенство

(и (л \ а) = С(Л \ а) + С(Л1 \ а) + С(Л2 \ а) +

+ f (а, d1)Z (Л2 \ а) + f (а, d2)( (Л1 \ а) +

+f (а, d1)f (а, d2) + f (а, d1) + f (а, d2) =

= С (Л \ а) + СИ (Л1 \ а) + СИ (Л2 \ а) +

+f (а, d1)(H(Л2 \ а) + f (а, d2)(H(Л1 \ а) - f (а, d1)f (а, d2). (33)

Доказательство. Действительно,

(и (л \ а)

(1 + ^ d1 m а\ (1 + ^ d2m а\

\ m €Z ) \ m €Z )

1=

= (1 + С (Л1 \ а) + f (а) d1)) (1 + С (Л2 \ а) + f (а, d2)) - 1 =

= С (Л \ а) + С (Л1 \ а) + С (Л2 \ а) + f (а, d1)( (Л2 \ а) + f (а, d2)( (Л1 \ а) + + f (а , d1)f (а , d2) + f (а , d1) + f (а , d2) = С (Л \ а) + СИ (Л1 \ а) + СИ (Л2 \ а) +

+f (а, d1)(H(Л2 \ а) + f (а, d2)(H(Л1 \ а) - f (а, d1)f (а, d2).

□

Теорема 25. Для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л вида Л = d1 • Z х d2 • Z, где d1,d2 > 0, в левой полуплоскости,

124

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

а < 0 справедливо функциональное уравнение

Сн(Л | а) - (ы(Л1 | а) - (ы(Л2 \ а) — f (a,di)(n(Л2 \ а) —

M (а)2

-f (а, d2)ZH (Л1 \ а) + f (а, dl)f (а, d2) = (ZH (Л*\ 1 - а) -

-Сн (Л1 \ 1 - а) — Сн (Л2 \ 1 - а) —

-f (1 — а, d-1)ZH (Л2 \ 1 — а) — f (1 — а, d21)ZH(Л2 \ 1 — а) +

+f (1 — a,d2l)f (1 - a,d21)) ■ (З4)

Доказательство. Действительно, если Л = d1 ■ Z х d2 • Z, то Л* = d-1 • Zx xd-1 • Z.

По теореме 20 (см. стр. 120) при s = 2 получим

M (а)2

Z (Л'а) = Z (Л*\1 — а).

Так как по лемме 3 имеем

(н(Л \ а) = ((Л \ а) + (н (Л1 \ а) + (н(Л2 \ а) +

+f (а, d^^(Л2 \ а) + f (а, d^)^Л \ а) — f (а, d1)f (а, d2),

Zн (Л* \ 1 — а) = Z(Л* \ 1 — а) + Zн (Л* \ 1 — а) + (н(Л* \ 1 — а) + +f (1 — а, d21)zн(Л2 \ 1 — а) + f (1 — а, ^21)Сн(Л1 \ 1 — а)— —f (1 — а,d:[1)f (1 — а,&21)-

то теорема доказана. □

1.7. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток

Прежде всего нам потребуется основной результат о виде произвольной декартовой решётки (см. теорему 10 на стр. 115). Согласно этой теореме декартову решётку Л однозначно можно представить в виде

Л — D(d1, d2) • Ло, d1, d2 > 0,

где Л0 — простая решётка, а D(d1, d2) — диагональная матрица.

Из теоремы 8 (стр. 115) следует, что простая решётка Л0 является решёткой решений сравнения

—am1 + m2 = 0 (mod N) (a, N) = 1

или эквивалентного сравнения

m1 — bm2 = 0 (mod N) (b, N) = 1,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

125

где ab = 1 (mod N) и 1 ^ b ^ N — 1.

По аналогии с предыдущими обозначениями (r0)j = Л0 Р| n(j) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л0j будем обозначать одномерную решётку, которая получается из решётки (Л0)j отбрасыванием у каждой точки нулевой координаты. Ясно, что Л0 j = NZ.

Лемма 4. Для любой одномерной целочисленной решётки Л = NZ для её взаимной и присоединенной решёток справедливы равенства

л* = Nz, л(р) = z.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, detr = N. Соотношение Л* = NZ очевидно, а второе следует из равенства Л(р) = det Л • Л*. □

Таким образом Л0р = Z — "присоединеная" одномерная решётка.

Теперь перейдем к гиперболической дзета-функции декартовой решётки. Рассмотрим сначала более простой случай, когда все элементы dj ^ 1 (j = = 1, 2).

Теорема 26. Для гиперболической дзета-функции декартовой решётки Л вида Л = D(d1,d2) • Л0, где Л0 — простая решётка и все элементы dj ^ 1 (j = 1,2); в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

(и (л | а)

2M(a)Z(1 — а) [ . .—+ , . .— ) +

v ' V(Ndi)а (Nd2)aJ

+M(а)2 {dOdON 1-2Д Z (л0Р)

(35)

где N = det Л0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См. [3]. □

Теперь получим функциональное уравнение с использованием взаимной решётки.

Теорема 27. Для гиперболической дзета-функции декартовой решётки Л вида Л = D(d1,d2) • Л0, где Л0 — простая решётка и все элементы dj ^ 1 (j = 1, 2), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

Си(л 1 а) =2М(а)С(1 — а) ^

1

+

1

\ + М(а)2 z.. _ .

J + ietrz (Л| 1—а) •

(Ndi)a (Nd2)

(36)

а

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См. [3]. □

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда множество Di = = {j|0 < dj < 1} = 0. Таким образом, D1 = {1} или D1 = {2}, или D1 = {1, 2}.

126

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Для этого рассмотрим ещё один вид рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть

г( “-Ф^) = Е

„2nibbm

e

т= — пп

а (№“ > 1, d > 0). dm

(37)

Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-функция декартовых решёток при а > 1, если воспользоваться тригонометрическими суммами решёток, а именно, для любой декартовой решётки Л = D(di, d2) • Ло, где Ло — простая решётка, а D(di, d2) — диагональная матрица:

Си(Л“) + 1 = ^2 (xi • Х2) a + 1 = ^2

6Ао (т)

X €Л 1

Е Е

m €Z2 e2ni(rn,x)

(dimi • d2m2)c

(ЫЛо xМл) П^2 (dm • d2m2)a

1

det Л0

E П E

x (Л0) j=i mj=-ж

^ e^nimj Xj

1

dj m

jj

det Ло

e n{“-dj,ded)

X€М(Л0) j=i V 0/

(38)

a

где bj (Х) = Xj de^0 — целое число (j = 1,2) для любой точки Х = = (xi,Х2) е M(Ло).

Гиперболическая дзета-функция решётки не является однородной, а дзета-функция является. Из предыдущих рассуждений видно, что однородная дзета-функция решётки играет при аналитическом продолжении ключевую роль. В общем случае гиперболическую дзета-функцию решётки нельзя представить как сумму однородных компонент, как это удается сделать для целочисленных решеток, но для декартовых решеток мы дадим определение j, t-компонент.

Как и раньше, для декартовой решётки Л через Лj будем обозначать проекцию пересечения Л Р| n(j) в R. Следующие определения несколько отличаются от общих из работы [3].

Определение 16. Будем одномерной компонентой гиперболической дзета-функции решётки Л называть функцию (и^j\“), “ = а + it, задаваемую при а > 1 рядом

(и (л \“) = x -а■ (39)

X £Лj, |x|=0

Нетрудно видеть, что для одномерной компоненты гиперболической дзета-функции решётки Л справедлив аналог формулы (38).

(и(Л N

1

det Л0

Е

X €М(Ло^)

г (“d,-jXXL\ - 1

V j det Л0^ /

(40)

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

127

Кроме этого имеет место разложение на компоненты

(и (Л\а) = (и (Л1|«) + (и (Л2\а) + (н,2(Л\а), (41)

где Zн,2(Л\а) — главная компонента.

Определение 17. Будем двумерную компоненту гиперболической дзета-функции решётки Л называть главной компонентой и обозначать через (н,2(Л\а)-

Ясно, что справедливо равенство

Си,2(Л\а) = ^2 (x1 ■ x2) -а • (42)

x £Л, N(x)=0

Теорема 28. Для натуральных п, целых Ь с 8п(Ь) = 0, положительных d и аналитического продолжения функции l** (a,d, b) на всю комплексную плоскость справедливы представления

где

г{алП=1+е а°-п)- о+2алпП)

2*"dd) = £ ^* О -ща)

4 У КМ<1] 4 1 1 У

и f (а, d, П =0 при d ^ 1.

(43)

Доказательство. См. [3]. □

Согласно определения множества D1 на стр. 125 возможно три случая: Di = {1}, Di = {2} и Di = {1,2}.

Теорема 29. Для главной компоненты гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л вида Л = D(d1,d2) ■ Л0, где Л0 — простая решётка и все элементы dj > 0 (j = 1,2), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение при D1 = {1}

ШЛ \ а) = ДФZ (Л*\ 1 - а)+ 1

det Л

■(d2)-af (a,di,

det Л0

£ М(а)Ло1'

x &M(Ло)

bi(x) det Л0

(NoZ + b2(x)\ 1 - а)

(44)

128

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

при D1 = {2}

<я,2(Л | a) = Z (Л*I 1 - а)+ 1

det Л

det Л0

Е M (a)Ni

x еМ(Ло)

■(di)-“f (a, d2,d(L\ z (NoZ + bi(x)I 1 - a)

при Di = {1, 2}

<я,2(Л | a) = Z (Л*1 1 - a) + 1

det Л

det Л0

x ем (Ло)

M(a)Noi-a ■ ((d2)-°f U di,de^l Z (NoZ + feWI 1 - a) +

+ (di) a f (a> d2, de t Л ) Z ( N0Z + bi(x)| 1 — a)) +

+ f f'di'iS) f (-*■££ ))■

(45)

(46)

—a

где N0 = det Л0.

Доказательство. См. [3].п

Заметим, что формула (46) справедлива во всех трех случаях и при условиях теоремы 26 (стр. 125).

Теорема 30. Для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л вида Л = D(di , d2) ■ Л0 , где Л0 — простая решётка и все элементы dj > 0 (j = 1 ,2), в левой полуплоскости, а < 0 справедливо функциональное уравнение

ZH(ЛИ = £ £ M%Z (Л*. |1 - a) +

det Лj

t=1 jteJ (t,2) jt

Dj 1

1

det Ло j

t=i jteJ(t,2) °jt xеМ(ЛоА) r=1

t—r\rt—r—a(t—r)

£

jt — r,reJt — r,r,t(Dl j )V 1

t— r t

П( j— П f <

v=i v=t—r+1 \

M(a)t—rN t

j (x)

j ’ det\

0,jt

Z

NoJtZt—r + bt—r (X)| 1 - a)

(47)

где Noj = det\,jt.

Доказательство. См. [3]. □

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

129

1.8. Алгебраические решётки

Для алгебраических решёток и сама решётка, и её взаимная решётка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат. Для обоснования этого достаточно показать, что координаты любой ненулевой точки взаимной решётки для алгебраической решётки образуют полный набор алгебраически сопряженных чисел из одного и того же алгебраического чисто вещественного поля степени s над полем рациональных чисел Q.

Пусть а = (а0, а1,... , а—) — целочисленный вектор, такой что многочлен

S—1

Pa(x) = av xv + xs

v=0

(48)

неприводим над полем рациональных чисел и все корни 0V (v = 1,..., s) многочлена (48) действительные.

Обозначим через T(а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01,... ,0S — корней многочлена Pa(x):

т (а)

1. . . 1

01 . . 0S

011-1 . . 0S-1 )

(49)

а через 0 = (01,..., 0S) — вектор полного набора алгебраически сопряженных чисел — корней многочлена Pa(x).

Рассмотрим алгебраическую решётку Л(Т(а)), заданную равенством

Л(Т (а))

|x = 01 1mv , "^ ^ 0 1mv^j

mi,

,ms £ Z

1

(50)

Так как координаты любой ненулевой точки x £ Л(Т(а)) — алгебраически сопряженные целые алгебраические числа, то произведение x1 . . . xs — ненулевое целое рациональное число.

Обозначим через fOv) = Q(0V) алгебраическое расширение степени s поля рациональных чисел Q (v = 1,...,s). Так как все корни неприводимого многочлена Pa(x) — действительные числа, то мы имеем набор из s изоморфных чисто вещественных алгебраических полей степени s.

Заметим, что, вообще говоря, Л(Т(а)) = Л ^fO1^ , а выполняется только

включение Л(Т(а)) С Л ^fO1^ . Равенство будет иметь место только тогда, когда

числа 1, 01,... , 01-1 будут образовывать базис кольца целых алгебраических чисел ZF(i).

а

130

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Из предыдущего следует, что каждая строка матрицы Т(а) состоит из полного набора алгебраически сопряженных чисел, а все элементы v-ого столбца матрицы принадлежат одному и тому же алгебраическому полю FaV) (v = 1,... , s). Так как точки решётки Л(Т(а)) — целочисленные линейные комбинации строк матрицы Т(а), то координаты каждой точки X £ Л(Т(а)) — полный набор алгебраически сопряженных чисел, а v-ая координата для любой точки этой решётки принадлежит одному и тому же алгебраическому полю FaV) (v = 1,..., s).

Покажем, что этим свойством обладает и взаимная решётка. Как обычно,4 aj (0) = (—1)jas-j — элементарные симметрические многочлены степени j от корней многочлена Pa(x) (0 ^ j ^ s).

^ 0 и симметрическая матрица Q(a)

... Ss-i(ё) \

... Ss( ё )

. . )

... S2s-2( ё )/

Лемма 5. Пусть Sj (ё) = Ё 0V, j

задана равенством

V=1

Q(a) =

l So( ё) Si( ё)

V Ss-i(ё)

тогда Q(a) — невырожденная симметрическая рациональная матрица и справедливо равенство Q(a) = Т(а) ■ Т(а)т.

Доказательство. См. [3]. □

Обозначим через UVj (ё) элементы матрицы Q(а)—1. Ясно, что из симметричности функций Sj ( ё) вытекает симметричность функций UVj ( ё).

Лемма 6. Справедливо равенство

( EUi fc ( ё) 0 k-1

Т*(а) =

k=1

Е U2k( ё)01

k=i

ki

EUsk ( ё) 0 k-1

\ k=1

Е U1 k ( ё) 0 k-1 ^

k=1

Е U2k( ё)0k-1)

k=1

T.U.k ( ё) 0k-1 .

k=1 /

Доказательство. См. [3].^

Лемма 7. Произвольная точка X решётки Л(Т*(а)) имеет вид

x

(Ё (Ё Uvk ( ё )тЛ 0Ц\..., Ё (Ё Uvk (ё)т*) 0J-1 J

\k=1 \v=1 J k=1 \v=1 J J

где m1,... ,ms — произвольные целые числа.

4здесь пользуемся естественным соглашение, что as = 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

131

Доказательство. См. [3].п

Лемма 8. Пусть t(0) — наименьший общий знаменатель для рациональных чисел So(0),• • • ,Ss-1(0), тогда точка X решётки Л(Т*(a)) будет целочисленной тогда и только тогда, когда X имеет вид: x = t(0) • (m,... ,m) и m — целое число•

Других точек X решётки Л(Т*(a)), у которых хотя бы одна координата рациональная, не существует,•

Доказательство. См. [3].п

Из предыдущих лемм следует, что точки взаимной решётки имеют координаты, образующие полный набор алгебраически сопряженных чисел, а v-ая координата для любой точки этой решётки принадлежит одному и тому же алгебраическому полю (v = 1,..., s).

1.9. Цели и содержание работы

В работе [12] была получена асимптотическая формула (12) (стр. 108) для произвольной алгебраической решётки.

Целью данной работы является уточнение этой формулы для алгебраической решётки квадратичного поля.

Во втором разделе последовательно проводится осуществление указанной программы исследований.

2. Асимптотическая формула для алгебраической решётки

2.1. Интегральное представление для (н(Л | а) алгебраиче-скои решетки Л квадратичного поля

Пусть F — чисто вещественное квадратичное поле , F(1) = F, F(2) = F набор его сопряженных полей и для любого алгебраического числа 0 из F 0(1) = = 0, 0 (2) — набор его алгебраически сопряженных чисел. Через Zf обозначим кольцо целых алгебраических чисел квадратичного поля F.

Рассмотрим алгебраическую решётку

Л= {( 0(1), 0 (2))|0 g Zf} .

Так как для любого ненулевого целого алгебраического числа 0 из Zf имеем 10 (1)0 (2)| = IN(0)| ^ 1, то д(Л) = 1.

Для произвольного t > 1 рассмотрим алгебраическую решётку

Л(^ = {( 0(1Ч, 0 (2)t)|0 G Zf} .

132

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Ясно, что q(A(t)) = t2. Так как detA(t) = t2 detA, то

det A(t)

q(A(t))

det Л

(51)

Согласно (7) (стр. 107), (9) (стр. 107), (51) для гиперболической дзета-функции Си (Л(^|а)

(и A(t)|a) = £' (te<i) • te<5))-“ (52)

OgZf

алгебраической решётки Л(t) справедливы оценки

^ . . ln det Л(Я ^ .. ... . _. j . lndetЛ(t)

С*2(а) ——. , чч ^ Си(Л^)|а) ^ Сфа) —— ... .

21 '(de^(t))“ H Wl ' 4V '(de^(t))“

Для вывода асимптотической формулы для гиперболической дзета - функции алгебраической решётки Л^) нам потребуются следующие обозначения.

Через £0 > 1 обозначим фундаментальную единицу кольца Zp, а через £(1) = = £, £(2) — набор алгебраически сопряженных единиц.

Пусть далее везде обозначает суммирование по всем главным идеалам (ш)

кольца Zp, а обозначает суммирование по всем единицам кольца Zp. Как

в

обычно,через R обозначим регулятор поля F, то есть

R

ln |£0^ =ln

-0 l — 111 P 0

Обозначения для различных областей суммирования и интегрирования будут вводиться по мере необходимости.

Лемма 9. Справедливо равенство

с(ЛШа) = 2^ (tw(1)£01)k • ^(2)£02)k)

(ш) к=—<х

Доказательство. Как известно, ряд (52) для Z(Л^)|а) при а > 1 абсолютно сходится, поэтому сгруппируем все слагаемые с ассоциированными e. Так как ассоциированные целые алгебраические числа порождают один и тот же главный идеал, то

сн(Л(t)|а) = Е' (te(l) • te(2))—a = ЕЕ( tu(1)£(1) • tu(2)£(2^j 0 .

O&F (ш) в

Применяя теорему Дирихле о единицах к внутренней сумме, получим

YJ(t^(1)£(1) • t^(%(2)) “ = ^ (^«(±1)4^ • t^(2)(±1)£02)k)

к=—оо

2 £ (tK<%01)k • ^(%02)к)

к=—ос

—ex

— <х

—а

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

133

Что и доказывает утверждение леммы. □

Пусть ш — произвольное целое ненулевое алгебраическое число и вектор j — произвольный вектор из области D(p) целочисленных векторов, заданной равенством

D(1) = {(1, 2), (2,1)}, D(2) = {(1,2)}.

Через B(j,p) = B(],р,ш) обозначим множество значений к, удовлетворяющих условиям:

{

\Ьш(jv)£0jv)к| ^ 1, при v = 1,... ,р,

\Ьш(jv)£(jv)к | < 1, при v = р + 1,. . . , 2.

Пусть далее

A(J,P) = <

Е

k&B(j,1)

Ьш(32)£^к

£0

1,

k&B(j,2)

при р = 1, при р = 2

и

А(ш) = £ Y, Aj'P)-

p=1 jeD(p)

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 10. Справедливо равенство

\а) ' 1

(н(A(t)\a) 2Ys (t2\N(ш)\)£

А(ш).

Доказательство. Так как

\ (ьшт£^к) ■ (Ьш12>£(2>к) \ = t2\N(ш)| ■ N(£0)\к = t2\N(ш)| > 1,

то множество целых к таких, что выполнено условие

\Ьш(з)£0з)к\ < 1 (j = 1,2),

пусто. Поэтому для величины

(г(ш) = ^Ьш(1)£д1)к ■ Ьш(2)£д2)к^

к=—оо

справедливо равенство

а(ш) = (Ьш(1)41)к ■ Ьш(2)£0)к^

р=1 l&D(p) к€В(з,р)

(53)

(54)

а

—а

134

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Так как для любого ненулевого действительного х имеем

(х)_<

J \х\ a при |x| ^ 1, \ \х\-а\х\а при 0 < \х\ < 1,

то для любого k Е B(j,p) справедливо равенство

tuW£0)к •

(П

tuj(jv )£{0jv )k

Ц tuj)£j)k

\v=p+1

= (t2\N MNN (£„)Г

Заметим, что

t2 L(1U2)|

)a

■(

a ( П )£0V)k|)

\v=p+1 /

•П

/ \j=p+1

Г(п

tuj(jv )£j)k

)

tu(jv )£j )k

)'

(^NMO -a П

v=p+1

П tuj) £0V )k

v =p+1

Отсюда и из (53) следует, что

tuj)£{0j2)k

при p = 1, при p = 2.

(Ы1)^ • tu(2)£0)k^ = £ (t2\N (W)Q ~a П \t<>) £0V )k

k£B(j,p) k£B(],p) v=p+1

A(j,P)

(t2\N Ш

И так как по лемме 9 (стр. 132)

(и (A(t)\a) = 2^2 a(ш),

(ш)

то из (54) следует

си (лйм = 2х;£ y,

М p=1 j&D(p)

что и доказывает утверждение леммы. □ Пусть

Y(j,P,*)^ П \tJjv)£°")k

v=p+1

A(j,P) (t2\N (u)\)a

2

M

A(u)

(t2\N (u)\)a

tuj) £(j2)k

при p = 1 , при p = 2,

(55)

a

a

a

a

a

a

a

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

135

Ln(x) = lnt + ln |w(n)| + xln |e(n)| (n = 1, 2), (t > 1). Заметим, что для любого x

L\(x) + L2(x) = lnt2 + ln IN(w)|.

Лемма 11. Справедливо равенство

k+ 2

aR

2sh (IR)

elLj2 (x')dx, при p = 1,

Y (j,P,k) = <

k-2

k+ 2

dx,

при p = 2.

k-2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, при p =2 утверждение леммы тривиально.

Преобразовывая Y(j, 1,k) к экспоненциальному виду, получим

Y (j 1,k) = el(ln t+ln \Yj2)\+k In = el(ln t+ln \Rj2d)ekl In \£0!2)\.

Так как при b = 0

k+ 2

ebxdx = ebk ebxdx = ebk ■

e2 - e-2 2ebk sh (|)

k-2

то получим при b = a ln |£0i'2') |

(' ) k+2

eki ln \£''2\ a ln |£0 | f exi ln \£<'j2',\

2sh( I^ )*_,

exi ln \£oj2 \dx.

Далее заметим, что

поэтому

aR

aR

2 sh (IR) 2 sh — i2r)’

=ki ln \e''2')\ aR

2sh (f)

k+2

k-2

exi ln \£(0j2)\d:

x.

b

136

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Отсюда следует, что

Y(j, 1,k) = ea(lnt+ln|ш°2)|) •

aR

к+ 2

вЖа ln ^dx =

2 sh (aR)

k-2

aR

k+2 k+2

2sh (f)

ea(ln t+ln ^пЦ+х ln leoJ'2)|)d'

aR

x

k-1

2sh (f)

eaLj2 (x)dx

k-2

что и требовалось доказать. □

Определим область Q(j,p) С R, как множество всех значений х, творяющих соотношениям при p =1

при p =2

{

{

Lji(х) > ({х + 1} - 1)ln l^(jl)|

2 } 2) 111 |С0 1

Lj2(х) ^ ({х + ^ - 2)ln |e0j2)|,

Li(x) ^ ({х + 2} - 1) ln |е01)|,

L2^) ^ ({х + 2} - ^ ln |42)|

Лемма 12. Справедливо следующее интегральное представление

aR

2 sh (OR)

eaLj2(х^х, при p = 1,

A(j,P) = <

n(j,p)

dx,

при p =2.

У n(j,2)

Доказательство. Из (53) и (55) следует, что

A(j,p)= Y (j,p,k)-

keB(j,p)

Находим по лемме 11:

k+2

E JeaLn(х)с1/х’ при p=1’

A(j,p) = <

k£B(j,1)k- l

k+ 2

E

dx,

при p = 2

k^B(j ,2)k— 2

удовле-

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ

137

Так как для любого целого k при x Е [k — 1 ,k + 2) имеем

. г 1 1 г У

k = [x + = x + 2 — {x +2

то

Ln(k) = ln t + ln |u(n)| + k ln |e(n)| = ln t + ln |u(n)| + ^x + 2 — |x + 2|^ ln |e(n)|

= Ln(x) — ^ |x +2j — 0 •ln \e{n) i

отсюда следует, что

U

k£B(J,p)

k — 2,k + 0 = ^d,p),

а, значит

aR

2 sh (OR

eaLj2 (x)dx, при p = 1,

A(j,p) = <

n(j,i)

dx,

при p = 2,

, n(J,2)

что и требовалось доказать □ Пусть далее везде

1

a =2 | ln !Л

21<n<2

Так как ln | + ln |e(2) | = 0, то | ln |RR || = | ln |RR || и a = R, где R = ln |RR | — регулятор поля F.

Определим область Q\(j,p) C R (A = 1, 2) следующими соотношениями при p = 1

Lji(x) ^ (—1)A_4

при p = 2

{

{

Lj2 (x) ^ (—ЁЧ

Li(x) ^ (—1)A_1a, L2(x) ^ (—1)A_1a,

а величины A\(j,p) (A = 1, 2) зададим равенствами

aR

2 sh (OR)

eaLj2 (x)dx, при p = 1,

Ax(j,p) = <

Пл(/,1)

(A =1, 2).

dx,

при p = 2,

, Пл(/,2)

138

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Лемма 13. Справедливы неравенства

Mlv) ^ A6,p) < Мз/р)-Доказательство. Так как

то из неравенства следует неравенство

-а ^|т + 2J - 01п ^ ^ а, (п

Ln(x) ^ а

Ln(x) ^|х + ^| - 0 1n

из которого следует неравенство

и, наоборот, из неравенства

Х + 2j 2

Ln(x) ^ -а Ln(x) < —а

следует неравенство

Ln(x) < ( <ix + ^j - ^ 1n

из которого следует неравенство

Ln(x) < а.

1,2),

Поэтому справедливы включения

tt1(j,p) С М(3,р) С ^2(/,р)

и, так как подынтегральная функция положительна, то

Ai(3,P) < A(3,P) < A2(3,p), что и требовалось доказать. □

Определим области Qlx(j,p) С R (А =1, 2) следующим образом: пусть для произвольной точки yi величина

У2 = ln t2 + 1п NД)| - yi.

Тогда точка yi принадлежит Qx(j,p), если выполнены неравенства при p =1

Г Ул ^ (-1)Л-\

I yj2 <

при p =2

Г У1 ^ (-1)Л-:а \ У2 ^ (-1)Л-1а.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

139

Лемма 14. Справедливо равенство

а

2sh (f)

eayj2 dy, при p = 1,

A\6,p) = <

1

R

^x(j,i)

dy,

(A =1, 2),

при p =2,

где R — регулятор поля.

Доказательство. Сделаем линейную замену в интеграле по области A\(j,p) (A = 1 2)

yi = L\(x).

Так как

Ll(x) + L2(x) = (lnt + ln |ш(1)| + xln |e(l)|) + (int + ln |ш(2)| + xln |e(2)|) =

= ln t2 + ln N(ш) | + x ln N(e) | = ln t2 + ln N(ш) |,

то У2 = L2 (x).

Поэтому область Q\(j,p), заданная соотношениями при p =1

I /(x) ^ (—1)Л-1а

\ Lh (x) < (-1)Ла,

при p = 2 {

Г Li(x) ^ (—1)Л-1а,

\ L2(x) ^ (—1)Л-1а

перейдет в область ПЛ(j,P), заданную соотношениями при p = 1 {

\ У/1 > (—1)Л-1а,

\ У/2 < (—1)Ла, при p = 2 {

/ У1 ^ (—1)Л-1а,

\У2 > (—1)Л-1а,

а так как коэффициент линейного преобразования равен регулятору поля, то лемма доказана. □

Пусть для A = 1, 2 величины 1л (j, p) определены равенствами

eayj2 dyl, при p = 1,

h(J,p)

п'х(зА)

J

, О'х0,2)

при p = 2.

140

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

Лемма 15. Справедливы равенства

h(], 1)

1)лаа

а

h(j, 2) = ln t2 + ln \N(w)\ + (—1)Л2а.

Доказательство. При p =2 имеем D(2) = {(1,2)} и, следовательно, j = = (1,2) e D(2).

Поэтому

h(j, 2) = J dyi П'хв,2)

и ^ЛСь 2) задано соотношениями

У1 ^ (-1)Л—1 a,

У1 + У2 = ln t2 + ln\N (w)\.

Сделаем линейную замену переменных

z1 = У1 + (—1)Ла,

тогда область ОЛ (j, 2) перейдет в область ОЛ, заданную соотношениями

Z1 ^ 0,

lnt2 + ln \N(ш)\ — (z1 — (—1)Ла) ^ (—1)л—1a.

Неравенство (56) можно записать в виде

z1 ^ ln t2 + ln \N(ш)\ + 2 • (—1)ла.

Из последнего неравенства следует, что

h(j, 2) = ln t2 + ln\N(w)\ + 2 • (—1)Ла.

Пусть теперь p = 1. Сделаем линейную замену переменных

Л

(56)

z„ =

f Уп — (—1)Ла при v = 1, \ Уп + (—1)Ла при v = 2.

Тогда область ОЛ (j, p) перейдет в область ОЛ точек z1, удовлетворяющих условиям

z1 < 0 , z2 ^ 0.

При этом

z1 + z2 = (Уп! + (—1)Ла) + (Уп2 — (—1)Ла) = ln t2 + ln\N (ш)\.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

141

Отсюда следует, что

hO, 1) =

ea(zi+(—1) a>dzi = е(-1) аа eaxdx

,(— 1)A аа

а

так как а > 0, то интеграл абсолютно сходится и

о

о

еа

eaxdx = lim eaxdx = lim —

J N^-<x J N^-<x а

— ж —N

—N

а

Лемма полностью доказана. □ Лемма 16. Справедливо равенство

_(!)( —1)Af

^о

A\6,p) = <

2 sh (OR) ’

при p = 1,

(A = 1,2),

ln t2 + ln\N (ш)\ A

R

+ (—1)A, при p =2,

где R — регулятор поля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, по лемме 14 и определению величины

h(j,p)

а

AA(j,p) = <

2 sh (OR)

1

h(j,1), при p = 1

^ Rh(J, 2),

при p =2.

Применяя лемму 15, получим доказываемое утверждение:

а е

(—1)Aaa

AA(J,p) = <

2 sh (OR) а

1

при p = 1 ,

R- (lnt2 + ln \N(ш)\ + (—1)A2a), при p = 2. R

ji)(—i)xa

fc0 -I

щагу. при p = 1.

ln t2 + ln\N (ш)\ , . A

R

+ (—1) , при p = 2,

□

о

n

A.1

о

1

142

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

2.2. Асимптотическая формула для (н(Л|а)

Обозначим через (о0 (aF) дзета-функцию Дедекинда главных идеалов квадратичного поля F:

U(MF) = У NИ|-“,

(ш)

тогда

Со 0 (a|F ) = -У ln(N (u))\N (o)|-a.

(ш)

Теорема 31. Справедливо асимптотическое равенство

2(det Л)а(0о (a\F) lnde^(t)

Си (Л(^|а) =

2(det Л)а R(det Л(^)

2(det Л)а(оо (®F)

+

R (de^(t))a

(ln(det^ Соо (a|F) + Со0 (a|F)) + 02(a)

(det Л(^))с

(■

01 (a) +

sh

aR\ I ’

где |01(a)| ^ 1 и -дуа ^ 02(a) ^ £0 2, £о — фундаментальная единица квадра-

£0

тичного поля F и R — регулятор этого поля.

Доказательство. Согласно лемме 10 (стр. 133) имеем

1

Си(A.(t)|a) — 2 \ Л -— —-г-— А(ш)

SHV Wl ' ^ (tsN М|)а 1 ;

и

A(o) — Y.T, A(J.P).

p=1 jeo(p)

По лемме 13 (стр. 138)

A1(J,P) < A(J,P) < A2(J,P)-Отсюда следует, что справедливы неравенства

12

2 - . и (t2N(-)|)аР=1

aY Y Ai(j,p)^z(Лсо|а)^

p=1 jeo(p)

«2E

1

(ш)

(t2 N (oW

Y Y Mlp)-

p=l j€D(p)

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЕТКИ ...

143

Согласно лемме 16

Ахj 2) = lnt2 + ln\NM\ + 2 • (~1)Aq = Int2 + ln \NM\ + (-Г)Х

R

R

Ml i)

eQ

Объединяя оценки (57) и

1

Z(A(t)\a) = 2 V . ,, * . • |

M (t2|NM\)“ ^

2sh (f)'

получим ln t2 + ln \N(w)\

R

+ 9i(m, a) +

92 (^, a)

sh (aR) 1 ’

)

Ji) f

где \01 (w,a)\ ^ 1 и -ща ^ в2(ш,а) ^ e,

£0

Выделяя главный член по t, окончательно находим

1

) 2 ln t2 ч л

Сн( (t)\a) = R • ^ М \N (ш)\а 1 R t2*^ \N Ы\

(ш) 1 У Л (ш) \ 1 Л

+ 2 _ м ln\N М\+

R t2a 2-^ ' *T/ 4

+—У 1 (

+ t2aM \N(ш)\а l (ш) \

92 (a)

t2a M \N(w)\“ \ 1V ' ' sh (aR)

(ш) \ \ 2 J

91 (a) +

)

2(detA)“ZD0 (a\F) lndetA(t)

(57)

R

(det A(t))c

2(detA)c

R(det A(t))

. 2(det А)а(д0(a\F) (det A(t))a

(ln(detA) CDo (a\F) + Cdo (a\Fl +

(

91 (a) +

92(a)

sh (aR

aR\ I 5

где \91 (a)\ ^ 1 и -j-w ^ 92(a) ^ eQ1) 2, что и требовалось доказать. □

£

0

3. Заключение

Анализ полученных результатов показывает, что в случае квадратичных полей удается существенно уточнить асимптотическую формулу для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки квадратичного поля.

Ясно, что дальнейшие исследования должны быть в случае квадратичных полей направлены на изучение дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля и её производных.

В разделе 1. 6 получен ещё один новый результат — функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции одномерной и двумерной диагональной решётки. Естественно, продолжить эти исследования как на многомерный случай, так и на новые классы решёток. Особенно важно изучить эти вопросы для случая алгебраических решёток и решёток совместных приближений Дирехле.

144

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

В заключение авторы выражают свою глубокую благодарность профессорам Г. И. Архипову и В. Н. Чубарикову за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов.Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.

2. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огород-ничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретикочислового метода в приближенном анализе / / Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные, технические и медицинские науки. 2012. № 6, ч. 2. Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: труды X международной конференции. С. 90-98.

3. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.

4. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18-23.

5. Добровольский М. Н. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ 2009.

6. Добровольский М. Н. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ 2009.

7. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.

8. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.

9. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, 1985.

10. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения// Теория чисел и ее приложения: тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. C. 6770.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ ... 145

11. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решёток. / / Теория чисел и ее приложения: тез. докл. республик. конф. Ташкент, 1990. C. 22.

12. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, № 2327-B90.

13. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: сб. тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.

14. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. C. 49.

15. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток / / Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 77-87.

16. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте / / Мат. заметки. 1998. Т. 63, вып. 3. C. 363-369.

17. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. 1998. Т. 63, вып. 4.

C. 522-526.

18. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Дис. ... доктора физ.-мат. наук. Тула, 2000.

19. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Автореф. дис. ... доктора физ.-мат. наук. М., 2000.

20. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. - 195 с.

21. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях / Чебышев-ский сборник. 2012 .Т. 13,вып. 3(43). С. 47 — 52.

22. Г. Дэвенпорт Высшая арифметика. М.: Наука, 1965.

23. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

146

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

24. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2004.

25. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Современные проблемы теории чисел: тез. докл. III Междунар. конфд'996 С. 119.

26. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение / / Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4, вып.3. С. 99-108.

27. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

28. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МПГУ, 1999.

29. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

30. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

31. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир,

1974.

REFERENCES

1. Dobrovolskaya, L. P., Dobrovolsky, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovolsky, N. N. 2012, "Multidimensional Number-theoretic grid and lattice algorithms for finding the optimal coefficients." , Tula: Izd-vo Tul. state PED. University n. a. L. N. Tolstoy, 283 p. (Russian)

2. Dobrovolskaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovolsky, N. N., Ogorod-nichuk, N. K., Rebrov, E. D. & Rebrova, I. Yu. 2012, "Some questions Number-theoretic methods in approximate analysis" , Scientific notes, Orel state University. Ser. Natural, technical and medical science. № 6, part 2. Algebra and number theory: modern problems and applications: proceedings of the X international conference. pp. 90-98. (Russian)

3. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M. & Dobrovolsky N. N. 2012, "Hyperbolic Zeta-function grids and sheets the calculation of the optimal coefficients" , Chebyshevskii Sb. Vol. 13, is. 4(44). pp. 4-107. (Russian)

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ ... 147

4. Dobrovol’skii, M. N. 2007, "A functional equation for the hyperbolic zeta function of integer lattices." , Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. no. 5, pp. 18-23, p. 71 (Russian); translation in Moscow Univ. Math. Bull. 62 (2007), no. 5, pp. 186-191.

5. Dobrovol’skii, M. N. 2009, "Some number-theoretic methods of approximate analysis." , Dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow, Moscow state University.

6. Dobrovol’skii, M. N. 2009, "Some number-theoretic methods of approximate analysis." , Author. dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow, Moscow state University.

7. Dobrovol’skii N. M. 1984, "Hyperbolic Zeta function lattices." , Dep. v VINITI 24.08.84, № 6090-84. (Russian)

8. Dobrovol’skii N. M. 1984, "Theoretical-numerical nets and their applications." Dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Tula.

9. Dobrovol’skii N. M. 1985, "Theoretical-numerical nets and their applications." Author. dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow.

10. Dobrovol’skii N. M. 1985, "Theoretical-numerical nets and their applications." Number theory and its applications: proc. Dokl. Vsesoyuz. Conf. Tbilisi, pp. 6770.

11. Dobrovol’skii, N. M. & Van’kova, V. S. 1990, "About hyperbolic Zeta-functions of algebraic lattices." Number theory and its applications: proc. Dokl. republics. Conf. Tashkent, pp. 22.

12. Dobrovol’skii N. M., Van’kova, V. S. & Kozlova, S. L. 1990, "Hyperbolic Zeta-function of an algebraic lattices." , Dep. v VINITI 12.04.90, № 2327-B90. (Russian)

13. Dobrovol’skii, N. M. & Roshchenya, A. L. 1995, "On the number of lattice points in hyperbolic cross" , Algebraic, probabilistic, geometrical, combinatorial and functional methods in number theory: Coll.proc. Dokl. II Intern. Conf. Voronezh, pp. 53.

14. Dobrovol’skii, N. M. & Roshchenya, A. L. 1996, "On the analytical continuation of hyperbolic Zeta functions of rational lattices" , Modern problems of theory numbers and its applications: Mo. proc. Dokl. III Intern. Conf. Tula, pp. 49.

15. Dobrovol’skii, N. M. & Roshchenya, A. L. 1996, "On the continuity of the hyperbolic zeta function of lattices." , Izv. Tul. Gos. Univ. Ser. Mat. Mekh. Inform. Vol. 2, no. 1, Matematika, pp. 77-87, 274, 283-284. (Russian)

148

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский и другие

16. Dobrovol’skii, N. M.; Roshchenya, A. L. 1998, "On the number of points in a lattice in a hyperbolic cross." , Mat. Zametki. Vol. 63, no. 3, pp. 363-369. (Russian); translation in Math. Notes. 1998. Vol. 63, no. 3-4, pp. 319-324.

17. Dobrovol’skii, N. M.; Roshchenya, A. L. & Rebrova, I. Yu. 1998, "Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices." , Mat. Zametki. Vol. 63, no. 4, pp. 522-526. (Russian); translation in Math. Notes 63 (1998), no. 3-4, pp. 460-463.

18. Dobrovol’skii N. M. 2000, "Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications." , Dis. ... doctor of physical-Mat. Sciences. Tula.

19. Dobrovol’skii N. M. 2000, "Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications." , Author. dis. ... doctor of physical-Mat. Sciences. Moscow.

20. Dobrovol’skii, N. M. 2005, "Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications." , Tula: Publishing house of Tula state PED. Univ. L. N. Tolstoy, — 195 p.

21. Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N. & Yushina, E. I. 2012, "On a matrix form of a theorem of Galois on purely periodic continued fractions" , Chebyshevskii Sb., vol. 13, no. 3(43), pp. 47-52. (Russian)

22. Davenport, H. 1965, "The higher arithmetic." M.: Iz-vo "Nauka".

23. Kassels, Dh. V. S. 1965, "Vvedenie v geometriyu chisel." , (Russian) [An introduction to the geometry of numbers] Translated from the English by A. N. Andrianov and I. V. Bogacenko. Edited by A. V. Malyshev Izdat. “Mir”, Moscow 421 pp.

24. Korobov, N. M. 2004, "Teoretiko-chislovye metody v priblizknnnom analize." (Russian) [Number-theoretic methods in approximate analysis] Second edition. Moskovskii Tsentr Nepreryvnogo Matematicheskogo Obrazovaniya, Moscow, 285 pp.

25. Rebrova, I. Yu. 1996, "Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices" Modern problems of number theory: proc. Dokl. III Intern. Conf. Tula: Publishing house of Tula state pedagogical University, pp. 119.

26. Rebrova, I. Yu. 1998,"Continuity of the generalized hyperbolic zeta function of lattices and its analytic continuation." Izv. Tul. Gos. Univ. Ser. Mat. Mekh. Inform., vol. 4, no. 3, Matematika, pp. 99-108. (Russian)

27. Rebrova, I. Yu. 1999, "The space of lattices and functions on it" Dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow. MPSU.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ ... 149

28. Rebrova, I. Yu. 1999, "The space of lattices and functions on it" Author. dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow, MPSU.

29. Roshchenya, A. L. 1998, "Analytic continuation of the hyperbolic Zeta-fun-ctions of lattices." Dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow. MPSU.

30. Roshchenya, A. L. 1998, "Analytic continuation of the hyperbolic Zeta-fun-ctions of lattices." Author. dis. ... candidate. Phys.-math. Sciences. Moscow. MPSU.

31. Chandrasekkharan, K.; Candrasekharan, K. 1974, "Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel." (Russian) [Introduction to analytic number theory] Translated from the English by S. A. Stepanov. Edited by A. I. Vinogradov. Izdat. “Mir”, Moscow,. 187 pp.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Тульский государственный университет Московский педагогический государственный университет Поступило 10.01.2013