Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2226-8383

Министерство образования и науки Российской Федерации Российская академия наук Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Московский педагогический государственный университет Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Тульский государственный университет Чебышевский фонд

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Научно-теоретический журнал

И

ТОМ XIII ВЫПУСК 4 (44)

Тула 2012

ББК 22.13 УДК 511 434

Главный редактор В. Н. Чубариков

Ответственный секретарь С. А. Пихтильков

Редакционная коллегия:

В. А. Артамонов, Г. И. Архипов, В. Н. Безверхний, М. М. Глухов,

Е. С. Голод, Н. М. Добровольский (зам. гл. редактора),

А. Р. Есаян, А. М. Зубков, В. И. Иванов, В. Н. Латышев,

А. В. Михалев (зам. гл. редактора), Ю. В. Нестеренко,

А. И. Нижников (зам. гл. редактора), В. Г. Чирский, А. Л. Шмелькин

Чебышевский сборник. Т. XIII. Вып. 4(44). — Тула: Изд-во Тул. гос. 434 пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. - 112 с.

ІНВХ 5-87954-388-9

Журнал “Чебышевский сборник” выходит один раз в год в одном томе из четырех выпусков.

В журнале публикуются оригинальные и обзорные работы по всем разделам современной математики, а также информационные материалы.

ББК 22.13 УДК 511

Выпуск осуществлен при финансовой поддержке РФФИ, грант

№ 11-01-00571а.

ISBN 5-87954-388-9

(с) Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Том 13 Выпуск 4

Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов .......................................4

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ ..................................108

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 4 (2012)

УДК 511.9.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СЕТОК И РЕШЕТОК И ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ1

© 2012. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский,

Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский (г. Тула)

Аннотация

В данной работе содержится обзор теории гиперболической дзета-функции решёток. Получено функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток.

Приводятся сведения об истории развития теории гиперболической дзета-функции решёток, рассмотрены связи с гиперболической дзета-функцией сеток и методом оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова.

Ключевые слова: решётка, гиперболическая дзета-функция решётки, сетка, гиперболическая дзета-функция сетки, квадратурная формула, параллелепипед альная сетка, метод оптимальных коэффициентов. Библиография: 102 названия.

Посвящается 95 годовщине со дня рождения Николая, Михайловича Коробова (23.11.1917 - 25.10.2004)

1. Введение .....................................................5

1.1 Решётки ......................................................5

1.3 Тригонометрические суммы сеток и решёток .....................8

1.3 Многомерные квадратурные формулы и гиперболическая дзета-функция

сетки ............................................................11

1.4 Гиперболическая дзета-функция решёток ........................16

1.5 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решёток .............23

1.6 Цели и содержание работы .....................................34

2. Асимптотическая формула для алгебраической решётки............34

2.1 Вычисление вспомогательных интегралов ........................34

2.2 Интегральное представление для (н(Л | а) алгебраической решётки Л .36

2.3 Асимптотическая формула для (н(Л|а) ..........................45

3. Значения ((Л|а) при Л € PZs и а Е N...........................48

1 Работа выполнена по гранту РФФИ 11-01-00571

3.1 Ряд Фурье для полиномов Бернулли.............................48

3.2 Тригонометрические суммы решёток ............................52

3.3 Частные значения гиперболической дзета-функции ..............56

4. Аналитическое продолжение (н (Л + Ь | а) ....................58

5. (н(Л | а) при а = а + й (а < 0) для решёток решений сравнений 66

6. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функцио-

нальное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток ......................................................75

Ь

6.2 Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами ................78

6.3 Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток....................................................84

7. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции

декартовых решёток ..............................................87

8. Алгебраические решётки ......................................93

9. О некоторых актуальных проблемах теории гиперболической дзета-функции решеток ...............................................97

Список цитированной литературы ..................................100

1 Введение

Во введение приводятся необходимые определения, результаты и факты из истории возникновения понятий гиперболические дзета-функции сеток и решёток, дается общий обзор теории этих функций. В последующих разделах приводятся доказательства соответствующих результатов. Содержание статьи частично опирается на материал из монографий [52] и [22], но в ней рассматриваются вопросы с более единообразных позиций. Также в работе используется материал 6 главы монографии [71].

1.1 Решётки

Центральное понятие геометрии чисел — решётка — возникло в связи с теорией приведения положительно определенных квадратичных форм (ПКФ).

Как указывают С. С. Рышков и Е. П. Барановский в своей обзорной работе [77] по ПКФ, впервые понятие решётки ввел К. Ф. Гаусс в своей рецензии [96] на работу Зеебера в 1831 году.

Как известно (см. [6], с. 117), достаточно общее определение вещественной теоретико-числовой решётки в геометрии чисел следующее.

Определение 1. Пусть А1,..., Ат, т ^ в — линейно независимая систем,а векторов вещественного арифметического пространства К5. Совокуп-Л

0,\А1 + ... +

ат Ат,

где aj независимо друг от друга, пробегают все целые рациональные числа, называется т-мерной решёт кой в Rs, а, са,м,и вект оры, X1,..., Xm — базисом, этой решётки.

Если т = в, то решётка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решётки, то, следуя традиции многих изложений (см. [55]), для краткости будем говорить просто о

в

Rs будем обозначать через PRs. Отметим, что в монографии [85] под решёткой понимается произвольная сдвинутая решётка, то есть множество вида Л + х, где Л Е PRs и х Е Rs. Множество всех сдвинутых решёток Л + х из Rs будем обозначать через CPRs.

Очевидно, что Zs — решётка, её ещё называют фундаментальной решёткой.

Решётка Л называется целочисленной решеткой в Rs, если Л — подрешетка фундаментальной решетки Zs, то есть

Л = {mi X1 + ... + msXs\m\,... ,ms Е Z} и X1,. . . , Xs — линейно независимая система целочисленных векторов.

Определение 2. Для, решётки Л взаимной решёткой Л* называется,

множество

Л* = {у \Ух Е Л( у,х) Е Z}. (1)

Л* Л зисом X*,..., X*, определяемым равенствами

( XU) = *j = (1 приг=jj (2)

v / I 0 при г = j.

Нетрудно видеть, что фундаментальная решётка Zs совпадает со своей вза-

имной решёткой и является подрешёткой взаимной решётки любой целочисленной решётки. Кроме того, если Л1 С Л С Zs, то Zs С Л* С Л1; для любого C = 0 имеем (CЛ)* = Л*/С. Для любой решётки справедливо равенство det Л* = (det^)_1.

Использование решёток, сдвинутых решёток и проекций решёток на координатные подпространства позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел, а не только теорию квадратичных форм.

Так, например, если (aj,N) = 1 (1 ^ j ^ в), то решёткой Л с det Л = N явдяется множество Л = Л^,...^; N) решений линейного однородного сравнения

a1 ■ х1 + ... + as ■ xs = 0 (mod N).

Если F — чисто вещественное алгебраическое расширение степени в поля рациональных чисел Q и ZF — кольцо целых алгебраических чисел поля F, то в-мерной решёткой является множество Л(F), следующим способом образованное

С ПОМОЩЬЮ Zp\

Л^) = {(0(1),..., 0(s)) \ 0(1) Е ZF}, (3)

ГД6 0(1),..., 0(s) — система алгебраически сопряженных чисел, и если d - дискриминант поля F (см. [17]), то de^(F) = \fd.

Эти два примера решёток - решётка Л^,...^; N) решений линейного сравнения и алгебраическая решётка Л^) — будут играть центральную роль в данной работе.

Отметим, в частности, что доказательство теоремы Дирихле о строении группы единиц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решётки и теоремы Минковского о выпуклом теле. В монографии Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеева [20] значительная часть теории алгебраических чисел излагается как теория решёток, повторяющихся умножением в в-мерном комплексном пространстве Cs.

В аналитической теории чисел наиболее часто фигурирует решётка всех це-

Zs

Zs

областях. Наиболее широко известными являются задачи о числе K(R) целых точек в круге D(R) = {(x,y) \ х2 + y2 ^ R} и о числе L(R) целых точек с положительными координатами под гиперболой х ■ y = R, которые впервые были решены соответственно К. Ф. Гауссом в начале XIX века [97] и П. Леженом-Дирихле в 1849 году [95].

Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решёток Л + х, нормы N( х) = \х1 ■ ... ■ х^, норменного минимума решётки и норменного минимума сдвинутой решётки.

Л Е PRs

ется величина

N (Л) = inf^ N (х).

x^K\{0}

(Иногда дают другое определение N1 (Л) = N (Л)/det Л, [80].)

Для произвольной сдвинутой решётки Л + b Е СPRs норменным минимумом называется величина

N (Л + b) = inf N (х).

x£(A+b)\{0}

Гипотеза Литтлвуда в этих терминах формулируется так: при в > 1 для любых ненулевых действительных чисел, a1,...,as для решётки

Л(а1, ...,as) = {(q, q ■ «1 + p1,...,q ■ as + Ps) \ q,P1,...,Ps Е Z}

N(Л(а1;..., as)) = 0.

Гипотеза Оппенгейма, из которой вытекает гипотеза Литтлвуда, в терминах решёток утверждает, что при в > 2 всякая в - мерная решё тка Л с N (Л) > 0 подобна алгебраической решётке.

Эти две гипотезы имеют важное отношение к методу оптимальных коэффициентов И. М. Коробова.

Среди целого ряда результатов Б. Ф. Скубенко по геометрии чисел важное значение для приложений теории чисел имеют теоремы переноса, в которых речь идет о связи неоднородных и однородных минимумов унимодулярной решётки, а также теоремы изоляции для алгебраических решёток [79], то есть решёток, подобных решёткам вида (3).

Очень интересные работы Б. Ф. Скубенко [80], [81] были посвящены исследованию норменного минимума решётки, то есть величины N (Л), и содержали в себе очень сложное решение проблем Оппенгейма и Литтлвуда, которое требует тщательной проверки и изучения. В этих работах особую роль играет метрическая структура пространства решёток, критерий компактности Малера и дальнейшее развитие метода паруса.

С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум, или гиперболический параметр решётки , так называется величина ([32], [43])

д(Л) = шт^ д(х),

хёЛ\{0}

которая имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест К5(Т) не содержит ненулевых точек решётки Л при Т < д(Л).

Гиперболическим крестом называется область

^(Т) = {X | д(х) ^ Т},

где д( х) = х1 ■ ... ■ х5 — усеченная норма х, и для вещественного х обозначаем х = шах(1, |х|) ([56], 1963).

Так как шах(1, N (х)) ^ д(х), то шах(1, N (Л)) ^ д(Л) для любой решётки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что

д(Л) ^ тах^е1Л, 1).

Вопрос о вычислении гиперболического параметра решётки решений линейного сравнения рассматривался в работах [47], [50].

1.2 Тригонометрические суммы сеток и решёток

Через 0,5 = [0; 1)5 будем обозначать в-мерный полуоткрытый куб. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество М из 0,5. Под сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (М, р), где р — произ-

ММ с упорядоченной парой (М, 1), то есть с сеткой с единичным и весами: р = 1.

Определение 3. Произведением двух сеток с весам,и (М1,р1) и (М2,р2) из С5 называется сетка с весам,и (М,р):

М = {{х + у}\ х Е М1,у Е М2 }, р(г) = ^ р1(х)р2(у),

{х+у} = г, х Ши у €М2

где {г} = ({^},..., {^}).

Произведение сеток с весами (М1,р1) и (М2 ,р2) обозначается через

(М1, р1) ■ (М2, р2).

Кроме этого, если (М,р) = (М1,р1) ■ (М2,р2), то будем писать М = М1 ■ М2 и

М М1 М2

(М, р)

т

5(т, (М, р)) = ^ р(х)в2пг(т’х), (4)

х £Ы

а, нормированной тригонометрической суммой сетки с весам,и —

в *(т, (М,р)) = Щ5 (т? (М,р)).

N

Положим р(М) = ^2 \р^ |, тогда для всех нормированных тригонометриче-

3 = 1

ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

|5*(т, (М,р))| ^ Щр(М).

Легко видеть, что для любых сеток с весами (М1,р1) и (М2,р2) справедливо равенство

5(т, (М1,р1) ■ (М2,р2)) = 5(т, (М1,р1)) ■ 5(т, (М2р)). (5)

Определение 5. Если справедливо равенство

(М, 1) = (М1, 1) ■ (М2,1),

М1 М2

Таким образом, если М1 и М2 — взаимно простые сетки, то равенство г = = {х + у} имеет те более одного решенпя для х Е М1 и у Е М2. Поэтому для взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство

\м1 ■ м2| = \м1\ ■ \м2\.

При р = 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.

Определение 6. Тригонометрической сум,м,ой сетки М для произвольного целочисленного вектора т называется, величина,

Б(т, М) = ^ е2жг(тх),

х €М

а, нормированной тригонометрической суммой сетки —

Б*(т, М) = МБ(т) М).

Легко видеть, что для любых взаимно простых сеток М1 и М2 справедливо равенство

Б(т,М1 ■ М2) = Б(т,М1) ■ Б(т,М2). (6)

Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки Л, целого вектора т и произвольного вектора х го взаимной решётки Л* величины:

^ Г 1, если т € Л, х*(^\ — \ 1 если х € ,

^л(т) = |0, если т € Zs \ Л, дл(Х) = \ 0, если X € Л* \ Z^

Символ 8л(т) является многомерным обобщением известного теоретико-числового символа Коробова

8М (т)

\

= 1, если т = 0 (mod N),

(т) ^ о, если тф 0 (mod N).

М(Л)

ется множество М(Л) = Л* П 03.

Л

М(Л) является полной системой вычетов взаимной решётки Л* по фундаментальной подрешётке Zs. Отсюда следует равенсто \М(Л)| = detЛ.

Определение 8. Полной линейной кратной тригонометрической суммой

Л

в(т, Л)= ^ е2т(т'х) = ^ е2пг(тх),

х €М(Л) х €Л* /Ъв

т

М(Л)

равенство Б(т, М(Л)) = в(т, Л).

Определение 9. Полной линейной кратной тригонометрической суммой взаимной решётки Л* целочисленной решётки Л будем называть выражение

N

в* ( X, Л) = ^ е2П(тх = ^ е2П(тх),

т € Zs /Л ] = 1

где х — произвольный вектор взаимной решётки Л* и т1,... ,mN — полная систем,а, вылетов решётки Zs по подрешётке Л.

Справедливы следующие двойственнные утверждения. Теорема 15 (см. стр. 55) Для в(т, Л) справедливо равенство

в(т, Л) = 5Л(т) ■ detЛ.

Теорема 16 (см. стр. 56) Для любой целочисленной решётки Л с detЛ = N и для произвольного х € Л* справедливо равенство

в*(х, Л) = 8\(х) ■ ёе1Л.

1.3 Многомерные квадратурные формулы и гиперболическая дзета-функция сетки

В 1957 — 1959 годах вышли первые работы Н. М. Коробова [56] — [59], в которых были применены методы теории чисел к вопросам численного интегрирования кратных интегралов. Выделение класса периодических функций Еа позволило для оценки погрешности приближенного интегрирования использовать методы гармонического анализа и теорию тригонометрических сумм, важный раздел аналитической теории чисел. История создания метода освещена в работе [70].

Банахово пространство Еа состоит го функций f ( х), имеющих по каждой из в переменных х1}... ,х3 период, равный единице, для которых их ряды Фурье

f (х) = V с(т)е2™(т1Х1+-+т°х) (7)

удовлетворяют условиям2

вир \С (ш)|(ші ...т-)а = ||/ (х)\\ва < ж. (8)

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как

В/(Х)\,, = £ \С(т)| « В/(х)ІІЕ?(1 +2С(а))-,

т^Ъв

а поэтому для любого (а > 1) они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, £ (а) — дзета-функция Римана.

Усеченной норменной поверхностью с параметром Ь ^ 1 называется множество М-(Ь) = {х \ д( х) = Ь, х = 0}, которое является границей гиперболического креста К-(Ь).

23дееь и далее для вещественных т полагаем т = шах(1, \т\). Таким образом, величину т можно н^вать усеченной нормой числа т, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

Для натурального Ь на усеченной норменной поверхности имеется г*(Ь) целых ненулевых точек, где 3

*

(t) = £' 1 (9)

meN (t)

— число представлений натурального числа t в гаде t = m{... mS-

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции \\f(X)\\Ea. Справедливо равенство

\\f (x)\\Ea = max ( \C (0)\, sup ( ta max \C (m)\) ) .

s V teN \ meN(t) ))

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f ( X) из Ef(C) по модулю ограничена величиной C (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции

°° с

f (X) = £ —-----------C_______e2ni(m,x)

(mi ■ ... ■ ms)c

\а s)

m=

х = 0

Очевидно, что Еа(С) С Ев(С) при а ^ в- Для любой периодической функции f ( х) € Еа(С) С Ев(С) справедливо неравенство для норм

IIf( x)IIEa > IIf( x)||

Ep-

Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов видя

/(х) = С( 0)+ £ С(т) е2жг(т’Х).

т&М (1)

Рассмотрим квадратурную формулу с весам,и

11 N

[...[ у (xl,...,x-)dxl ...йх- = Рк У Шк')’-- ■ ^-(к)] - ^ [/]. (10)

0 0 к=1

Здесь через RN [/] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла

1 1

[.р (хь...,х-)*,..&„

00

средним взвешенным значением функции /(х1,... ,х-), вычисленным в точках

Мк = Ык),...,Ык)) (к = 1,...,#).

З3дееь и далее ^ означает суммирование по с истемам (ш1:... ,ms) = (0,..., 0).

Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.

Определение 10. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 называется функция ((а,р\М, р), заданная в правой полуплоскости а = а + й (а > 1) рядом, Дирихле

с(а,р\М,р) = (А1:р)1Р = £ у ^•А4'р'п), (11)

^ (ш\... ш3)а ^ па

т1,..,т3 =—ж 4 ' п=1

где

в'(р,М,р,п) = £ в(ш, (М,р))\р. (12)

т (п)

Непосредственно из определения следует неравенство

С(ра,р\М,р) ^ (р(а, 1\М,р). (13)

1М параметром р и писать £(а,р\М) .

Из формулы (11) следует, что £ (а, р\М, р) дзета-функция сетки М с весами р и параметром р ^ 1 является рядом Дирихле, который сходится в правой полуплоскости а = а + г • Ь (а > 1).

Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул.

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /( х) сходится абсолютно, С(ш) —

в(ш, (М, р))

с весам,и, тогда справедливо равенство

я* [/] = С (ОН N в (0, (М,р)) - И + N £ С (Ш)в(ш, (М,р)) =

' ' т±,...,тз=—ж

= С(0) (в'(0, (М,р)) - 1)+ £ С(ш)в'(ш, (М,р)) (14)

т1 ,...,тв =—<х>

и при N погрешность Я* [/] будет стремиться к нулю тогда и только

тогда, когда, взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном $-мерном кубе.

Теорема 2. Если /(х\,... ,х3) € Е3а(С), то для, погрешности квадратурной формулы справедлива, оценка

\я*[/]! < с

N в(0, (М,р)) - 1

С ^^' ^(Ш, (М,р))\

т1,...,тв =—<^

=С

N ^ (ш\ ...ш3)а

т1,...,тв =—<^ 4 7

в*(0, (М,р)) - 1+ С • ((а, 1\М,р), (15)

где сумма в(ш, (М, р)) определена равенством (4)- На классе Е3а(С) эту оценку нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так:

Для нормы ||Я*[/]||я“ линейного функционала, погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (10) справедливо равенство

Наиболее плодотворным оказался метод оптимальных коэффициентов построения для з-мерного куба 03 = [0; 1)3 многомерных квадратурных формул с параллелепипедальными сетками вида:

где Я* (/) — погрешность квадратурной формулы и целые числа а^ (а^, N) = 1 (] = 1,.., з) — оптимальные коэффициенты выбираются специальным образом. Алгоритмы ичисленного интегрирования по этим формулам обладают важным свойством ненасыщаемости (см. [3]).

Первые алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов были созданы в 1959 году Н. М. Коробовым, ему же принадлежат наилучшие по быстродействию из известных на сегодня алгоритмов (см. [66]). Эти алгоритмы основаны на применении леммы А. О. Гельфонда о гиперболическом параметре решётки решений линейного сравнения (см. [65], [66], [67], [37]). По предложению Н. М. Коробова, на основе этих алгоритмов Н. М. Добровольский и Н. Л. Клепикова составили таблицы оптимальных коэффициентов для размерности $ ^ 30 и по модулю N = 2к 3 ^ к ^ 22 [40], что намного превосходит диапазон известных таблиц А. И. Салтыкова. В работе Л. П. Бочаровой, В. С. Ваньковой и Н. М. Добровольского [7] была получена модификация алгоритма Коробова, позволяющая находить не одну оптимальную сетку по модулю N = 2к, а целый класс таких сеток. Ещё один класс быстрых алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов построен в работе [8]. Вопросы построения оптимальных коэффициентов для комбинированных сеток рассматривались в работах [69] и [51], а также в [27] и [28].

Серия важных работ по применению теории дивизоров для поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток принадлежит

С. М. Воронину и Н. Тимергалиеву (см. [14], [15], [16], [86]). Фактически в этих работах указаны алгоритмы поиска целочисленных решёток с большим значением гиперболического параметра решётки. С. М. Воронину принадлежит сама

IIя*[/]||£“ = Nв( 0 (М,р)) - 1 + N ^

\в(ш,(М,р))\ (ш{... ш3)а

= в ' ( 0, (М,р)) - 1 + С (а, 1\М,р).

(16)

постановка задачи использования свойств дивизоров из теории алгебраических полей к алгоритмическим вопросам метода оптимальных коэффициентов.

За рубежом аналог метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова был предложен на три года позже (1962 г.) Е. Главкой, который назвал паралле-лепипедальные сетки с оптимальными коэффициентами сетками с "хорошими точками". Как отмечает Н. М. Коробов в своей обзорной работе [70], "в результате, один и тот же объект вошел в позднейшие публикации и вычислительную практику с различными названиями и ссылками на разных авторов".

Первые результаты по применению теоретико-числовых сеток для вычисления интегралов произвольной кратности были получены в работе [56] для периодических функций, разлагающихся в абсолютно сходящийся ряд Фурье. В связи с изучением погрешности приближенного интегрирования для квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Е3а периодических функций с быстро убывающими коэффициентами Фурье, в работе Н. М. Коробова [57] впервые встречается частный случай гиперболической дзета-функции решётки Л = Л(а1,..., а3; N) для вещественного а > 1:

и а, N) = 1 (] = 1, 2,..., з). Здесь и далее означает, что суммирование

проводится по всем ненулевым точкам.

Важность гиперболической дзета-функции решётки Л = Л(а1;... ,а3; N) объясняется тем, что для параллелепипедальной сетки М( а, N), заданной формулой

имеет место равенство (н (Л\а) = С (а, 1\М ( а,М)), то есть норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с параллелепипедальными сетками равна гиперболической дзета-функции соответствующей целочисленной решетки решений линейного сравнения.

Гиперболическая дзета-функция вида (17) встречается в работах многих исследователей в связи с оценкой погрешности многомерных квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Е\*. В частности, Н. С. Бахвалов ([4], 1959) доказал оценку

где символ Коробова 6N (m) определен равенствами

1 при т = 0 (mod N), 0 при т ф 0 (mod N),

MC.N )- {„,-({£}..{£})

,

И. М. Коробов ([58], 1959) показал, что для таких решёток

> ✓ л I ч 1п3-1 Л . .

<н(Л\а) > ^л)« (19)

при любом выборе целых а 1}..., а3, взаимно простых с N.

а1 , . . . , а3

1п3а ёе1 Л

(н(Л\а) ^ (^ ^л)« ^Р°^ов> 1960),

1п(3-1)а detЛ

(н(Л\а) ^ —(^ ^Л)а— (^‘ Бахвалов, Н. М. Коробов). (20)

В общем виде гиперболическая дзета-функция решёток встречается в работах К. К. Фролова [88], [91]. В кандидатской диссертации К. К. Фролова [91] показано, что для любого а > 1 и произвольной з-мерной решётки Л ряд

£ Х ■ ... ■ Х3)

—а

3)

с€Л

сходится абсолютно.

Рассмотрев алгебраическую решётку вида (3), К. К. Фролов показал, что при Ь > 1 для решётки Л(Ь,¥) = ЬЛ^) с detЛ(t,F) = Ь3 detЛ(F) справедлива оценка

, ч 1п3-1 detЛ(t, F)

(н( (Ь, )\а) < ^Л(Ь^))“ . ^

Развитие метода К. К. Фролова содержится в работах В. А. Быковского [10], [11] и работах И. М. Добровольского [32], [33], [34]. Конструкция из работы [32] демонстрирует, что методы И. М. Коробова и К. К. Фролова являются двумя противоположными полюсами теории квадратурных формул с обобщенными параллелепипедальными сетками и весовой функцией специального вида. При этом задача о вычислении погрешности приближенного интегрирования по таким формулам один раз сводится к теоретико-числовой задаче об оценке гиперболической дзета-функции соответствующей решётки, и не требуется каждый раз заново проводить оценку нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования для каждого нового типа обобщенной параллелепипедальной сетки.

Вопросы интегрирования по модифицированным сеткам рассмотрены в работах [231 и [241.

1.4 Гиперболическая дзета-функция решёток

Термин "гиперболическая дзета-функция решётки" был введен в 1984 году Н. М. Добровольским в работах [32] — [34], в которых начато систематическое изучение функции (н (Л\а).

В частности, получены нижние оценки для гиперболической дзета-функции произвольной 5-мерной решётки:

(н(Л|а) ^ С^а^^Л)-1 при 0 < ае1Л ^ 1,

(н(л|а) ^ С2(а, в)(ае1 л)—" 1п3—1 ае1Л при ае1Л > 1, (22)

где С1(а, 5) С2(а, 5) > 0 — константы, зависящие только от а и 5.

Доказана верхняя оценка для гиперболической дзета-функции 5-мерной решётки;

(н(Л|а) ^ С3(а, 5)С1(Л)3 при д(Л) = 1,

(н(л|а) ^ С4(а,5)д-а(Л)(1пд(Л) + 1)3—1 при д(Л) > 1. (23)

Этот результат является обобщением теоремы Н. С. Бахвалова, то есть неравенства (18). Из оценки (23) получены различные следствия. В частности, из нее автоматически следует результат К. К. Фролова (21), так как гиперболический параметр д(Л(Ь, Е)) = Ь3 при Ь > 1.

Также Н. М. Добровольским доказана теорема: для любой целочисленной решётки Л и натурального п справедливо представление

<н(Л|2п) = -1 + (ае1.Л)-1 £ П (1 - <~1()2“(2Г^‘ВпХ)) • <24>

\ \ 3— 1 ^ (2П)' /

где В2п(х) — полином Бернулли порядка 2п и М(Л) — обобщенная, параллеле-

Л

Л % лежащих в 5-мерном единичном полуоткрытом кубе 03 = [0; 1)3.

В разделе 3.3 (см. стр. 56) этот результат дополнен формулой

сн(Л|2п +1) = -1 + ^ £ II (1 - (-1)п <2п)2n+1

‘ем(Л) 3—1 '

В2п+1({У + х3 }) + В2п+1({У - х3 })

2

0

^(^у) Ау I .

Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета-функцией решётки и дзета-функцией Римана, для которой

22п—1—2п

< М = (-1)п—^,

1

22пП2п+1 г

((2п + 1) = (-1)п+1 (2п + 1)^ В2п+1(У) с^§(пУ) Ау.

0

1

Заметим, что справедливо равенство

Из представления (24) непосредственно вытекает, что для любой целочисленной решётки Л и четно го а = 2п значение (н (Л|2п) — трансцендентное число.

Формула (24) позволяет за 0(п ■ 5 ■ ае! Л) операций вычислять (н (Л|2п). В работе Добровольского И. М., Есаяна А. Р., Пихтилькова С. А., Родионовой О. В., Устяна А. Е. [48] получена формула, позволяющая вычислять (н(Л(а; N)|2) за 0(1п N) операций.

Для гиперболической дзета-функции решётки Л(Ь, Е) в работе [39] Добровольским И. М., Ваньковой В. С., Козловой С. Л. была получена асимптотическая формула

дится по всем главным идеалам кольца ZF. Вывод этого результата содержится в разделе 2.

На первом этапе исследований с 1984 года по 1990 год изучение функции (н (Л|а) проводилось только для вещественных а > 1. Начиная с 1995 года, в совместных работах Добровольского Н. М., Ребровой И. Ю. и Рощени А. Л. ([42], [43], [46]) начался новый этап изучения гиперболической дзета-функции (н (Л|а) решётки Л: во-первых, как функции комплексного аргумента а, во-вторых, как функции на метрическом пространстве решёток.

Таким образом, наиболее общее определение гиперболической дзета-функ-Ла

Л

ся, функция (н (Л|а), а = а + И, задаваемая при а > 1 абсолютно сходящимся

ных значений х полагаем х = тах(1, |х|).

По теореме Абеля ([93], с. 106) гиперболическую дзета-функцию решёток можно представить в следующем интегральном виде

(и(Щ, Е)|а)

1П 1 3.еіЛ(і,Г) (аеіЛ(і,Е))« +

суммирование прово-

(25)

рядом,

х €Л

где ^2' означает, что из суммирования исключен х = 0, а для, всех веществен

где D(T|Л) — количество ненулевых точек решётки Л в гиперболическом кресте K.(T).

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета-функция решёток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

Л

Л

^(Л) = {Л | Л = N( x), X е Л\{0}}.

Л

чений усеченной нормы на ненулевых точках решётки:

Qsp^) = {Л I Л = q(x), X е Л\{0}}.

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, то есть

Qsp^) = {Л1 < Л2 < ... < Лк < ...} И lim Ли = То.

к^ж

Очевидно, что

N (Л) = inf Л, q(K) = min Л = Л1.

X^Ns р(Л) X^Q вр(Л)

Порядком точки спектра называется количество точек решётки с заданным значением нормы. Если таких точек решётки бесконечно много, то говорят,

Л

спектра обозначается через п(Л), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, через q^).

Понятие порядка точки спектра позволяет лучше понять определение гипер-

x

усеченная норма.

Л

У Ixi ■ ... ■ Xsl-a х£Л

расходится при любом а > 1.

Действительно, пусть Л = t ■ Л(Е) - алгебраическая решётка, тогда

Y! |xi ■ ... ■ Xs|-а =Y! Its ■ N(w)l-a, (27)

х£Л w£Zp

где N(w) — норма целого алгебраического числа из кольца ZF. В силу теоремы Дирихле о единицах ряд в правой части равенства (27) расходится при любом а > 1, так как в кольце ZF целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля F степени s имеется бесконечно много единиц е и для

них \М(е)| = 1. Таким образом в этом случае каждая точка норменного спектра имеет бесконечный порядок, что и приводит к расходимости при любом а.

Из этого примера видно, что использование усеченной нормы вектора д(ж) = = х1 •... • х3 вместо нор мы N ( х) = \х1•... • в определе нии (н (Л \ а) существенно, так как тем самым обеспечена абсолютная сходимость ряда гиперболической

Л

Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболи-

Л

Дирихле:

ГО

(н(Л\а) = £'(х, • ... • х.)-а = £' д(х)-а = £ д(\к)Л-а =

х£Л х£Л к=1

= £ д(Х)\-а. (28)

Так как О(Т\Л) = 0 при Т < д(Л), то

СЮ

[ Б(1\Л)&

Сн(Л|а) = а ] ■

я(.л)

Из равенства (28) следует, что для любого комплексного а = а + й в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (26), и справедливо неравенство

Кн(Л\а)\ ^ (н(Л\а).

Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решётки Л гиперболической дзета-функции решётки (н (Л\а) на всю комплексную плоскость. В работах Добровольского И. М., Ребровой И. Ю. и Рощени А. Л. ([43], [46]) эти вопросы исследовались для PZs — множества всех целочисленных решёток, PQs — множества всех рациональных решёток, РО. — множества всех решёток с диагональными матрицами. Доказано, что для любой целочисленной решётки Л € PZs гиперболическая, дзета-функция (н (Л\а) является, регулярной функцией во всей а-плоскости, за, исключением точки а = 1, в которой она, имеет полюс порядка 8.

Для любой решётки Л € PQs гиперболическая дзета-функция (н(Л\а)

а

а = 1 8

Изучено поведение гиперболической дзета-функции решёток на пространстве решёток. В частности, установлено, что

если последовательность решёток {Лп} сходится к решётке Л, то последовательность гиперболических дзета-функций решёток (н(Лп\а) равномерно

сходится к гиперболической дзета-функции решётки (н (Л\а) в любой полуплоскости а ^ а0 > 1.

Другой результат такого типа формулируется следующим образом.

Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а =1, найдется окрестность \а — в\ < 5 такая, что для любой решётки Л = Л(^,..., ^) € PDs

11ш (н (М\в) = (н (Л\в),

м л,м еРое

а

Вывод этих результатов существенно опирается на асимптотическую формулу для числа точек произвольной решётки в гиперболическом кресте как функции от параметра гиперболического креста, полученную Н. М. Добровольским и А. Л. Рощеней ([45]):

, , АЧ 2^Ь- Т „/^2s • Т1^”2Т

О(Т \ Л) = --—-—- + 0 • С (Л)--------- — -----,

(8 — 1)! ёе1 Л ёе1 Л

где С (Л) - эффективная константа, вычисляемая через б азис решётки, и \0\ ^ 1.

В случае целочисленной решётки Л = Zs вопрос о вели чине О(Т \Л) тесно связан с проблемой делителей Дирихле.

N

Пусть О(^ = ^2 1 = ^2 т(п). Хорошо известен результат Дирихле

1^жy^N п=1

) = N 1п N + (27 — 1^ + О(^),

где 7 - константа Эйлера.

Для Л = Z2 мы получаем связь с теоремой Дирихле ([93], с.73). Количество точек решётки Z2 в гиперболическом кресте выражается через сумматорную функцию для числа делителей

О(* \ Z2) = Щ + 4О(*).

В случае Л = Zs мы получаем связь с многомерной проблемой делителей Дирихле ([13], с.117):

s

О(Ь \ Л) = £ Ск2кОк(*),

к=1

ГД6

о к (^ = У Тк (п).

Л ежен- Дирихле ([95]) рассмотрел вопрос о поведении среднего значения функции тк (п) и получил асимптотическую формулу. Проблемой уточнения остаточного члена для числа точек решётки Л = Zs, 8 = 2, 3,... занимались Г. Ф. Вороной, И. М. Виноградов, Э. Ландау, Г. Харди и Д. Литтлвуд,

X. Е. Рихерт, А. Ивич, А. А. Карацуба, Е. И. Пантелеева, Г. И. Архипов и др.

([13])-

В разделе 5 для решёток решений сравнений получены явные формулы для гиперболической дзета-функции в левой полуплоскости. Еще А. О. Гельфонд обнаружил важную связь между величиной гиперболического параметра д(Л) решётки Л(а1,..., aS—1, 1; N) и величиной

Q = min к ■ k1 ■ ... ■ ks_ 1,

^ k=1,...,N —1 1 S 1

где целые к,к1,..., kS—1 удовлетворяют системе сравнений

(mod N)

k1 = a1 ■ k k2 = a2 ■ k

ks—l — as—l • к

с решёткой решений Л(р)(аь... ,as—l, 1; N), которая известна как лемма Гель-фонда. Оказалось, что эта связь проявляется и при аналитическом продолжении в левую полуплоскость.

Теорема 26 (см. стр. 71) В левой полуплоскости а = а + й (а < 0) справедливы, равенства,

(н(Л(а1,... ,as—l, 1; N) \ а) =

= £ MiN-atY, ЛГ‘-1«ЛМК ,...,ajt; N) | 1 — a),

t=1 jtJt,s

( M \s

Zн ^^fal,. . . , as-1, 1; N) | a) = — 1 + y1 + Na Z (z | 1 — a)J —

Ms Ms N

— M:Zs(Z I 1 — a) + Z(л(al,..., as-ь1; N) | 1 — a)n_,

где

„ . 2Г(1 — a) . na

M <“) = w^ SinT •

Из этой теоремы вытекает следующий результат о значении гиперболической дзета-функции этих решёток в отрицательных нечетных точках.

Теорема 28 (см. стр. 74) Для а =1 — 2п, п Є N справедливы, равенства:

сн (Л(аь .. .,а3-1, 1; N) | а) =

£ е £ Пв^({

t=1 jt Jt,s k1,-,kt-1=0 V=1

— (ajl k1 + ... + ajs-1 ks-1)

B

2n

N

/ N 2п—1 в \s

Сн (Л(\а1,..., ^—1,1;N) \ а) = — 1 + (1 + п ) —

— (^ )• + (п )ЕП«.- ({4})-

а, четные отрицательные точки являются тривиальными нулями.

1.5 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решёток

Исходя из аналогии между гиперболической дзета-функцией решёток и дзета-функцией Римана, И. Ю. Реброва по предложению одного из авторов в работах [74], [75] рассмотрела обобщение гиперболической дзета-функции решёток 8

она решала следующие естественно возникающие при таком подходе вопросы: насколько результаты относительно гиперболической дзета-функции решётки переносятся на общий случай? Можно ли получить аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета-функции решётки на всю комплексную плоскость? Каково поведение обобщенной гиперболической дзета-функции решётки как функции на метрическом пространстве решёток? При таком подходе речь идет о целом классе функций (н(Л \ а, Ь), определенных на пространстве решёток, которые зависят от параметра Ь. В данной работе исходим из другого взгляда на этот объект исследования. А именно: естественно смотреть на него как на одну функцию, но на пространстве сдвинутых решёток. При таком подходе можно было бы изменить и название, но мы ограничимся только другими обозначениями.

Определение 12. Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки Л называется функция (н(Л + Ь\а), задаваем,ая в правой полуплоскости а = = а + й (а > 1) абсолютно сходящимся рядом,

Сн (Л + Ь \ а) = ^^ (х1 + Ь1 • ... • Xs + Ь,3) а я(%) а, (29)

Х^Л х€(Л+Ь)\{0]

где ^2' означает, что из области суммирования исключена точка X = — Ь.

Встав на такую точку зрения, мы сразу оказываемся перед необходимостью рассмотреть пространство сдвинутых решёток и возможность задать на нем метрику.

Во второй главе монографии [52] (см. также [22]) рассматривается CPRs — множество всех сдвинутых решёток Л(х) = Л + X, где Л € PRs — произвольная 8-мерная вещественная решётка их € Rs — произвольный вектор. Для удобства читателей приведем без доказательства необходимые обозначения, понятия и результаты из этих монографий.

Из свойств решётки непосредственно вытекает, что Л( x + у) = Л( x) для любого у Є Л, и если Л1 + x1 = Л2 + x2, то Л1 = Л2 ж x1 — x2 Є Л1.

CPRs

произвольного a = 0 определяется вложение

'£a : CPRs ^ PRs+1

следующим образом.

Пусть Л Є PRS, Xj = (Xj1,..., XjS) (j = 1, 2,..., s) — ее базис и x = (x1,...,xs) Є Rs — произвольный вектор. Решётка pa(Л + x) задается базисом Xj (j = 1,... ,s + 1), где Xj = (Xjl,..., Xjs, 0) (j = 1, 2,...,s), X's+l =

(x1,..., xs, a). Тем самым решётка фДЛ+x) определена однозначно и не зависит от выбора базиса X1,..., Xs или замены век тора x на x + у ще у Є Л.

PRs

ством относительно метрики

р(Л, Г) = max(ln(1 + j), ln(1 + v)),

ГД6

j = inf IIA — III, v = inf ||B — III,

Г=А■ Л Л=Б■ Г

( 1 ... 0 \

единичная матрица

и ||А11 = 8 • тах ^\.

1^3,

Теперь с помощью вложения фа и метрики р(Л, Г) ^а ^^^странстве PRs+1 для любого а = 0 можно задать метрику ра (Л + X, Г + у) равенством

Ра (Л + X, Г + у) = р(фа(Л + X), фа (Г + У)).

Теорема 3. Функция ра(Л + X, Г + у) задает метрику на пространстве CPRS.

После введения метрики на пространстве сдвинутых решёток сразу возникает вопрос о вычислении расстояния между двумя сдвигами одной и той же решётки. Второй естественный вопрос: как согласована метрика в пространстве сдвинутых решёток с уже имеющейся метрикой на подпространстве решёток. Эти вопросы удается решить в малой окрестности любой сдвинутой решётки следующим образом.

Для удобства записи преобразований и выкладок будем для любого вектора X = (x1,... , xs) через ( X)j обозначать его координату.

Л

ки Zs под действием линейного невырожденного преобразования А. Если А — соответствующая матрица линейного преобразования, то

Л = А- Zs■

I

О

1

Для соответствия правилам матричного умножения в данном случае необходимо писать векторы столбцы X = ^1,

Вектор-столбцы матрицы

, xs)T Е Л и n = (п1,... , ns)T Е Zs.

(

A

aii

ais

\ asi

s)

aj (aij ,...,asj) {j 1,

ЛЛ

A, а решётке Г — матрица В, и C переводит Л в Г, то этому соответствует матричное соотношение

В = C ■ A.

Лемма 1. Если решётка Л Е PRs задан а s-мерной невырожденной матрицей A : Л = A ■ Zs, то решёт ка фа{Л + х) переводится в реш, ётку фа{Л + у) линейным преобразованием с блочной матрицей

(

В{ х,У) =

V

о

У1-Х1 \

Vs-Xs

а

1

где I — единичная 8-мерная матрица.

Лемма 1 допускает простое обобщение.

Лемма 2. Если решётки ^Г € PRS задан ы, 8-мерными невырожденными матрицам,и А и В, соответственно:

Л = А • Zs, Г = В • Zs,

то решётка фа(Л + X) переводится, в реш,ётку фа(Г + у) линейным преобразованием с блочной матрицей

(

C {A,B,x,y) =

BA

i

{ z)i \ { z)s

о1

где z

-BA 1х + у

В дальнейшем нам потребуется общее свойство метрики на PRS, позволяющее, в принципе, за конечное число операций вычислять расстояние между двумя решётками, заданными своими базисными матрицами. Обозначим через и^р) множество матриц Ж из SLS(Z) с ||Ж|| ^ р.

a

ss

о

о

a

Л Г A B

соответственно:

Л = A • Zs, Г = B ■ Zs

и величины j1 и v1 вычисляются по формулам:

Jl = IIB-1II-IIAH■ (IIBA-1 — 11| + 1),

vi = IIA-1II-IIBH■ (IIAB-1 — 11 + 1),

тогда

где

р(Л, Г) = max(ln(1 Т j), ln(1 Т v)) ^

^ max(ln(1 Т IIBA-1 — 11), ln(1 Т IIAB-1 — 11

j = min IIBWA 1 — 11, v = min IIAWB 1 — III,

W eUs(pi) W €Us(vi)

и найдутся матрицы A{Л, Г), В (Л, Г) такие, что

Г = A^, Г) ■ Л, Л = В{Л, Г) ■ Г, р{Л, Г) = max{ln{1 + ||A(A., Г) - 1||), ln{1 + \\В(Л, Г) - 11|)).

Теорема 4 позволяет решить вопрос о вычислении расстояния между сдвинутыми решётками в е-окрестности для достаточно малого е. Для этого прежде всего введем следующие обозначения.

Пусть Ms,£ (R) — множество всех вещественных квадратных матриц A порядка s с операторной нормой ||A|| = s ■ max \aij| ^ e.

l^i,j^s

Так как при e < 1 для любо го A Е Ms,£ (R) матри ца I + A обратима и

\—1 Т < <2 < П Т < 4- II < 4-11 - е

(I Т A)-1 = I Т A Т A2 Т ... Т An Т ... = I Т A*, ||A*I ^

1 — є’

то при 0 < є < 2 через М* Є(М) обозначим множество всех вещественных матриц А порядка 5 таких, что ||А|| ^ є и ||А*|| ^ є, гДе А* = (I + А)-1 — I. Из определения следует, что М*є (М) С М3Є(М).

Как обычно, для любого действительного числа х расстояние до ближайшего целого обозначается через ||х||. Эта величина выражается через дробную часть х

||х|| = шіп({х}, 1 — {х}).

Непрерывная периодическая функция ||х|| задает метрику на окружности Т = = единичной длины. Аналогично, на з-мерном торе Тя = М?/Ъ3 можно

задать метрику

Р((х),(у)) = шаХ ||хз — Уз ||,

где через { х) обозначена сдвинутая фундаментальная решётка х + Zs — класс эквивалентности, порожденный точкой х Е ^.Окрестность радиуса е точки { х) на Тs обозначим через

Т■3{х,е) = {(у) \ max \\х - yj || ^ е}.

l^J^s

Л

Л* = {х \ { х,у) Е Z, у Е Л}.

Как известно, если

/ Лц ... Xis \

A

/

У Лsl . . . Лss

матрица из базисных векторов Лj = {Лlj•,..., Лsj), то

Л

A

i

Л1. \

V Л*1

л*

/

— матрица из базисных векторов X* = (А*ь ..., Х^) взаимного базиса взаимной решётки Л*, который определяется условием

{ Лj, Л*) = Sij Определим величину

{

1 при i = j, 0 при i = j.

M (Л) = min

Л=АТ Zs

\A-l|

которую по аналогии с мерой обусловленности системы линейных уравнений будем называть мерой обусловленности решётки. В силу дискретности специальной группы SLS ^) существует мат рица А (Л) такая, что Л = А(Л) • Zs и М(Л) = ||А(Л) | • ||А(Л)—11.

Теорема 5. Пусть 0 < е < 3—м(л) и от°бражение задано на М**е по правилу

фл(В) = (I + В) • Л, В € М тогда фл(В) — взаимнооднозначное отображение М\

г*

Ls,e

на U(Л, ln(1 + е)),

где

U(Л,8) = {Г Е PRs \ р(Л, Г) ^ 8}, и для любого В Е M*s (R) справедливо равенство

р(Л,фл(В)) = max(ln(1 + \\В ||), ln(1 + \\В*

где В* = (I + В)-1 - I.

Лемма 3. Для меры обусловленности решётки фДЛ Т A^) ■ x) Є PRs+1, где x Є [О; 1]s справедливо неравенство

M <-^ + ■ г» < <s + 1)2 ■ max (M^,1, мр, sMAлjтг).

При фиксированных Л Є PRS, x Є Gs я. a > О на декартовом произведении

M*e(R) х T“(О, є)

зададим отображение © = ©л ,x в CPRS по правилу:

©Л ,x (B, у) = (I Т B) ■ (Л Т A(^ ■ ( у Т У)),

B Є M*e(R), у Є Ts(О,є).

Через U(Л Т z, б) обозначим б - окрестность сдвинутой решётки Л Т У:

U(Л Т z, б) = {Г Т w Є CPRS I р(Л Т z, Г Т w) ^ б}.

Теорема 6. При

О<є<

О • (1 a \

3 • min —,---------;------.

\2 2 ■ (s Т 1)||A(A.)I| J

M(фа(Л + A{Л) ■ х)) справедливы, вложения

U(Л + A^) ■ х, 8i) С ©л ,x(M*£(R) х Тs(0,Z)) С

С U(Л + A^) ■ х, 82) для любых 81 и 82, удовлетворяющих условиям,:

( . ((s + 1) ■ s ■ a (s + 1) ■ a (s + 1) ■ е )

1 " 4 + ™Ч ИЛ)» ’ИЛ)! + a- ||2 ■ a ■ A(A)-l||j

82 > ln (1 + (s + 1)max (е, »A(A)» ■ (е + е2)

sa

Pa(Л + A{Л) ■ x, (I + В) ■ (Л + ЖЛ) ■ (х + У))) = max (ln (1 + (s + 1) max (В, »(I + В) 'W ' Ш )

,n (! + (s + 1) max (Ш, »(I + В*>' A(A>' У

и

Для построения аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета-функции выделяется достаточно широкий класс решёток — декартовы решётки. Даются следующие определения.

Определение 13. Простой декартовой решёткой называется сдвинутая решётка Л + X вида

Л + X = (^ • Z + X1) X (12 • ^ + X2) х ... х • Z + хs),

где 3 = 0 = 1,..., 8).

Другими словами, если решётка Л + X простая декартова решётка, то она получается из фундаментальной решётки растяжением по осям с коэффициентами Ь1,..., ^ и сдвигом на вектор X.

Определение 14. Декартовой решёткой называется сдвинутая решётка, представимая объединением конечного числа простых декартовы,х решёток.

Определение 15. Декартовой решёткой называется, сдвинутая решётка, у которой найдется сдвинутая подрешётка, являющаяся, простой декартовой решёткой.

Теорема 7. Определения 14 и 15 эквивалентны.

Теорема 8. Любой сдвиг рациональной решётки является, декартовой решёткой.

ЛГ

г = Л =

где

Д(СЬ .. .,ds) =

\ 0 ... ds )

— произвольная диагональная матрица, С1 • ... • ds = 0.

Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц по-8

ДДЕ) = {Д(СЬ ...,ds) \ С1^ ... • ds = 0}.

Относительно операции матричного умножения ДДМ) — мультипликативная абелева группа.

Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц (К) является подгруппой группы (К). Кроме того,

ШЕ) = Бич(Ж)х Е+,

где изоморфизм ф между ^(К) и прямым произведением Ви,3(М.) х Е+ устанавливается по правилу

ф(0(Сь ... ,ds)) =

= (о( с --,..., С ^ .

V V V С •... • ds\ ^с77777с\ ) )

Обозначим через ОМц, £(М) множество всех диагональных матриц 0(С1,...

,ds) с

Ю(СЬ .. .,ds)\\ ^ е, а через БМ*£(К) — множество всех диагональных матриц 0(С1,... ,С,3) с

—Сл —Сц

\\0(С1,... ,ds)|| ^ е, и

в( ,...^^"1

\ 1 + С1 1 + ds у

Так как БМ*£(М) — компактное подмножество множества М*е(Е), а Ts(0,е)

— компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решётки Л + X ее замкнутая е - окрестность траектории (К) • (Л + X) при достаточно малом е будет полным метрическим пространством.

Теорема 9. Произвольная декартова решётка подобна сдвинутой целочисленной решётке.

Л

проекция на любую координатную ось совпадает с Z.

Л Л Л

ное представление

Л = D(tl,...,ts) • Ло, ^,...,ts > 0,

где Л0 — простая, решётка.

М (Л) Л

крытый 8 - мерный куб [0;detЛ)S, таким образом для любой целочисленной Л М (Л) Л

подрешётке detЛ • Zs.

Теорема 12. Пусть

X^ku к-) = [ки..., к,-и N ' —(аА + ... + a^-!ks-!)

, ЛТ( —(а1к1 + ... + as-1ks-1) 1 \

(чк1'-’к-1’ N (-------------N------------) )

тогда для решётки Л = Л(а1,..., а^, 1; N)

М*(Л) = {X(k1,..., к^) \ 0 ^ ки ^ N — 1 (V = 1,..., 8 — 1)} (30)

и справедливо разбиение

Л^ь...^-!, 1; N )= и (NZS + X) =

х&И *(А)

N-1

= и + X(kl,...,ks-l)). (31)

к1,...,кв-1=0

Следствие 1. Справедливо разбиение

Л(а1,.. .,as-l, 1; N) =

N-l /s-l \

U П<та+к>)

.,ks-i =0 \j=l /

N-l

(NZ + kj) j x (NZ — alkl — ... — as-lks-l).

ki,...,ks-i =0

Для решётки Л^,... , as-l, 1; N) рассмотрим ее присоединенную решётку Л^а,..., as-l; N) решений системы линейных сравнений

ml = al ■ ms

m2 = a2'ms (mod N). (32)

ms-l = as-l ■ ms

При (aj, N) = 1 (j = 1,... ,s — 1) решётка Л(p\a-\_,..., as-l, 1; N) также является простой.

Следствие 2. Справедливо разбиение

N-l /s-l \

[J П(№ Z + aj к)

k=0 \j=l )

N -l

A0»(a„...,a,_b N)= U \ \\(NZ + ajk)\ x (NZ + k).

k=0

Для произвольной сдвинутой решётки Л + Ь Е СPRS усеченным нормен-ным минимумом, или гиперболическим параметром, называется величина

д(Л + Ь) = шт д^).

х£(Л+Ь)\{0}

Так как

шах(1^(X)) ^ д(X),

то

шах(1, N (Л + Ь)) ^ д(Л + Ь),

Л

Норменным спектром сдвинутой решётки Л + Ь называется множество значений нормы на ненулевых точках сдвинутой решётки Л + Ь:

^Р(Л + Ь) = {Л I Л = N(x), x е (Л + Ь)\{ 0}},

соответственно усеченным норменным спектром сдвинутой решётки Л + Ь — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках сдвинутой решётки:

Qsp(Л + Ь) = {Л I Л = q(x), x е (Л + Ь)\{0}}.

Очевидно, что

N (Л + Ь)= inf ^ Л,

X^Nsp^+b)

q(Л + b) = min ^ Л.

X€.Qsp^+b)

Порядком точки спектра называется количество точек сдвинутой решётки с заданным значением нормы. Если таких точек сдвинутой решётки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра будем обозначать через и(Л), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, q^). Справедлив следующий аналог леммы 1 из работы [43].

Лемма 4. Для любой решётки Л + Ь и любой точки Л из усеченного норменного спектра Qsp (Л + Ь) порядок то чки Л конечен и Qsp (Л + Ь) — дискретен.

Из леммы 4 следует, что

Qsp(Л + Ь) = {Л1 < Л2 < . . . < Лп < . . .}

и

q^ + Ь) = Ль lim Лп = ж.

Отсюда вытекает, что обобщенную гиперболическую дзета - функцию произвольной сдвинутой решётки Л + Ь можно представить как ряд Дирихле:

ГО

(и (л + ь 1 а)= q( x)-a = Y1 q(^ )Л-а = qw^a.

же(Л+Ь)\{0} k=l XeQsp^+b)

Теорема 13. Для любого a = a + it в правой полуплоскости a > 1 ряд Дирихле для ZИ (Л + Ь I а) абсолютно сходится, а в пол,у плоскости a ^ а0 > 1 равномерно сходится.

Так как при а = а + И и а ^ а0 > 0

£

к=1

д(^к.)

К

ОС

<£ ^ = Сн (Л + Ыао),

к=1 Хк

то из теоремы 13 следует, что для любого комплексного а = а + й в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (29) (см. стр. 23) и справедливо неравенство

\(п(Л + Ь \ а)\ ^ (и(л + Ь \ а).

Теорема 18 (стр. 60) Обобщенная гиперболическая дзета функция, одномерной фундаментальной решётки является, аналитической функцией на, всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс первого порядка с вычетом,, равным 2.

Теорема 19 (стр. 60) Для, произвольной сдвинутой одном,ерной решётки Л + Ь = С • Z + Ь обобщенная, гиперболическая, дзета-функция (и (С • Z + Ь \ а)

является, аналитической на, всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой

у нее полюс первого порядка с вычетом, равным 2

det Л

Теорема 21 (стр. 62) Обобщенная гиперболическая дзета-функция (и (Л \ а) для любой простой декартовой решётки Л = П• Z + а^) является, аналитической функцией во всей а-плоскости а = а + %Ь, кроме точки а = 1,

8

Л

перболическая, дзета-функция (и (Л + Ь \ а) является, аналитической функцией во всей а-плоскости а = а + %Ь, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс 8

После этого исследуется вопрос о поведении обобщенной гиперболической дзета-функции на орбите декартовых решёток. И снова рассмотрение начато с одномерного случая.

аа

а = 1 найдется окрестность \а — в\ < 8 такая, что для, любой сдвинутой решётки Л + Ь Е CPR1

г Иш. , Си(г + д \ в) = Си(л + Ь \ в),

г+а^л+ь

а

аа

а = 1, найдется окрестность \а — в\ < 8 такая, что для, любой декартовой решётки Л + Ь Е CPRS

Нш ^Си ^^ъ. ..,gs) • Л + д \ в) = Си (л + Ь \ в),

Е(д1,...,дв )^Л+д^Л+Ь

а

1.6 Цели и содержание работы

Пусть 8 > 1, Л С Е — произвольная решётка. Основная цель данной работы дать обзор теории гиперболической дзета-функции решёток и построить аналитическое продолжение для случая произвольной декартовой решётки.

Так как нижние и верхние оценки для гиперболической дзета-функции алгебраических решёток совпадают, то возникает проблема вывода асимптотической формулы в данном случае. Решению этой проблемы посвящен раздел 2 (стр. 34 — 48)

Раздел 3 (стр. 48 — 58) содержит конечные формулы, выражающие через полиномы Бернулли, значения гиперболической дзета-функции целочисленных решёток в целых положительных точках.

Построение аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки содержится в разделе 4 (стр. 58

Раздел 5 (стр. 66 — 75) снова посвящен гиперболической дзета-функции, но

а<0

удается получить своеобразный аналог функционального уравнения.

Получению функционального уравнения для случая произвольной целочисленной решетки посвящен раздел 6 (стр. 75 — 86).

В разделе 7 содержит вывод функционального уравнения для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки (стр. 87 — 93).

Алгебраические решётки играют особую роль в теоретико-числовом методе в приближенном анализ и теории гиперболической дзета-функции решёток, поэтому изучению связи между алгебраической решёткой и её взаимной решёткой посвящен раздел 8 (стр. 93 — 97).

Наконец, заключительный раздел 9 содержит обсуждение наиболее актуальных нерешенных проблем в теории гиперболической дзета-функции решеток

(стр. 97 — 99).

2 Асимптотическая формула для алгебраической решётки

2.1 Вычисление вспомогательных интегралов

66).

Обозначим через Бтк (А) к-мерный симплекс заданный равенством Бгтк(А) = {X\х1,...,хк ^ 0, х1 + ... + хk ^ А}.

Лемма 5. Пусть А ^ 0, к ^ 1 и

Silmk (А)

Тогда справедливо равенство

Ак

1кА = ж-

Доказательство. Действительно,

11(А) = I Сх = А. ио

Далее имеем

А А

1к (А) = У Схк J ... ! Сх1... Схк-1 = J 1к-1(А — хк )Схк =

0 Simk-1(А-xk) 0

А

_ Г (А — хк)к-1, _ Ак

= / (к — 1)! к = к! ,

0

что и требовалось доказать. □

Определим бесконечную область А*к.(В) следующим образом:

А*к,.(В )= У Бгтк (В — хк+1 — ... — х.) х (хк+1,... ,Xs).

Хк+1,...,Ха<:0

Лемма 6. Пусть В ^ 1,1 ^ к ^ 8 — 1 и

Ук (В) = J ...1 еа(хк+...+Ха-1)Сх1... Сх3-1.

Ак—(в)

Тогда справедлива оценка

Ук (В) = 0(Вк-1).

Доказательство. Применяя лемму 5 при А = В — хк —... — х.-1у получим

Ук (В)= /.../ ^^+-+х-1) (В — *к —к— ц!х-1)~ Схк ...Сх,-!.

Х] <<0(]=к,...,.-1)

Сделаем замену переменных

У1 = хк + ... + хs-1, У2 = —хk+1, . . . , Уэ-к = —хs-1,

получим

\

Ук (В) = е

0 (В — У1)к-1

ау1

(к - 1)!

J ... J Су2... Су.-к

У2 . ■■■ . Уз-к >0 \У2+--- + У3-к <-У1 )

СУ1

Применяя лемму 5 при А = —у15 находим

Так как

о

П(В) = / е°п • (в — У1)к-' • (—У1)1-к-1 Ап Гк(В) і е (к — 1)! (^ — к — 1)!т'

т!

еау ут*у =(—1)т------1

ат+1:

то

к 1 (_1)«—т г 0

п(в) = £ сг—івт (к _ ^ к — 1)! £ еау‘У-**

т=0

к 1 (—1)3—т (—І)-т(в — т)!

скт— 1 Вт

т=0 к—1 (к — 1)!(в — к — 1)! а3—т+1

к1

(в — т)!

(к — 1)!(в — к — 1)!а3—т+1

пт ____________у

/_^Ск—1 {и 1М/ „ и 1М„.я — т+1 ^ В

т=0

к-1 (8 т)!

ук <В) = £ ^ (к — 1Ж8 Гк 1)!а.-т+1 • Вт =

□

2.2 Интегральное представление для (н(Л \ а) алгебраической решётки Л

Пусть Г. — чисто вещественное албраическое поле степени 8, Г,1 = Г., г]2\..., Г.* — набор его сопряженных полей и для любого алгебраического числа 0 из Г. 0(1) = 0, 0(2\ ..., 0(э) — набор его алгебраически сопряженных чисел. Через ZFs обозначим кольцо целых алгебраических чисел поля Г.. Рассмотрим алгебраическую решётку

Л= {(0(1), 0(2\..., 0(,))\0 Е ZFs} .

Так как для любого ненулевого целого алгебраического числа 0 из ZFs имеем \0(1)0(2)... 0(э)\ = N(0)\ ^ 1 то д(Л) = 1.

Для произвольного Ь > 1 рассмотрим алгебраическую решётку

Л(ь) = {(0(1)ь,0(2Ч,...,0(,)г)\0 е zFs}.

Ясно, что д(Л(Ь)) = ^. Так как detЛ(^) = detЛ, то

дШ..^- «

0

Согласно (22), (23), (33) для гиперболической дзета-функции (и (Л^)|а)

Сиm)Ia) = Y! (t©^...Ш^)-а (34)

&£Zps

алгебраической решётки Л^) справедливы оценки

s-i/ Дп1 detЛ(t) . ,.lns-:l detЛ(t)

C(а,в)^——-т— ^ (и(Л(t)|a) ^ Cl(a, в)^——-т—. v ’ ' (detЛ(^)а п ' (de^(t))a

Для вывода асимптотической формулы для гиперболической дзета - функции алгебраической решётки Л^) нам потребуются следующие обозначения.

Через £]_,..., £s-l обозначим набор фундаментальных единиц кольца ZFs, а через j = £j,... (j = 1,... ,в — 1) — их алгебраические сопряженные

единицы.

Пусть далее везде обозначает суммирование по всем главным идеалам

(ш)

кольца ZFs, а обозначает суммирование по всем единицам кольца ZFs. Как

в

обычно,через R обозначим регулятор поля Fs, т. е.

ln I^I ... ln |£ls-l) I

R

ln|£s_l| ... ln|£s_il)|

Обозначения для различных областей суммирования и интегрирования будут вводиться по мере необходимости.

Лемма 7. Справедливо равенство

Ж ( . __________________\ —а

С(Л(*)!а) ■■■£,—к‘-Ч ■

(ш) к1 ,...,кв-1=—ж х7 = ! /

Доказательство. Как известно, ряд (34) для ((Л(Ь)\а) при а > 1 абсо-

0

Так как ассоциированные целые алгебраические числа порождают один и тот же главный идеал, то

(и (Л(0|а)= (t©(l) . . . t©(s)) а = ^^(t^(l)£(l) . . . t^(s)£(s))

O^Zfs (ы) в

Применяя теорему Дирихле о единицах к внутренней сумме, получим

^2(tu(l)£(l) . ..tw(s)£(s))

оо / . __________________________________\

£ • ••е,—к-

к1у...,кв — 1=—^ —1 /

2 Е (пгши)е';)к1 ■ ■■е—-А

к1,...,кз-1 \3=1 /

Лз)к1 (з)кв-1

к1,...,кз-1 \з=1

□

Пусть ш — произвольное целое ненулевое алгебраическое число и вектор 3

— произвольный вектор из области О(р) целочисленных векторов, заданной равенством

В(Р) = {(3ъ ...,3,) \ 1 ^ П < ...<3Р ^ 8,

1 ^ Зр+1 <...<3, <8, Ьи ...,],} = {1,..., 8}}.

Через В(з,р) = В(3,р,ш) обозначим множество целочисленных векторов, удовлетворяющих условиям:

\гш(з"^е3")к1. . . е.—1кз-1 \ ^ 1 при V = 1,... ,р,

\гш(3)е3к . . . е—кз-1 \ < 1 при V = р + 1, . . . , 8.

Пусть далее

А(3,р) = А(3,р,ш)= Е П \гш{3)^)к1 ...е.——1ка-1 \а (35)

ЬеБ(з,р) и=к+1

И

А(ш) = ^ А(3,р). (36)

р=! з&П(р)

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 8. Справедливо равенство

1

’№)!)

Си(Л(г)\а) — 2 N -— ——— • А(ш).

ЪИК К л ; ^ (г.\м(ш)\)а 1 ;

(ш)

Доказательство. Так как

П \1ш(з)е[з)к1...е—Г1 \ =

з=1

= г5N(ш)\ • N(е1)\к1... N(е.-1)\кз-1 \ = г5\м(ш)\ ^ 1, к

...е31-1 \ < 1 (з = 1.........в),

а

пусто. Поэтому для величины

+о / э ________________________\ с

а(ш)= Е Пгш(3)е(13)к'‘ ...е,—к-

к1,...,кз-1=-ж \3—1 /

справедливо равенство

а(ш) = Е Е Е (II

Р=! 3&0(р) к&Б(з,р) V3 = ! )

Так как для любого ненулевого действительного х имеем

\х\ а при \х\ ^ 1,

\х\-а\х\а при 0 < \х\ < 1,

то для любого к Е В (3, р) справедливо равенство

|Д 1ш(з)е[з)к1... е—Г1^ = (Д \гш3 )е3)к1 ... е-1--1 ^ х

/ э \ а / э \а

I Д \гш(3)е{3)к1 ...е—кз-1 \1 I Д \гш(3)е3)к1 ...е-1--1 И =

\3=Р+1 / XV =р+1 /

/ .-1 \ -а ( . \ а

( . . .ш(,)\ П \еЯ) . ■ е{Л)\кА I П \гш3 )е3)к1 . ..е-!1--1 \

\ Х=1 ) \V=р+1 )

(ш) • N(е 1)\к1 •... -\м(е,—!)\k^-1)

(

Д \гш(3»)е3)к1 ...е-к--1 \

и=р+1

= (г5\м(ш)\)-а Д \гш3)е(3)к1 ...с-1--1 \а.

и=р+1

Отсюда и из (35) следует, что

Е (ПгШ-3)с1)к' ■ З-А

-Б(1р) \з = ! /

£ (г5\м(ш)\)-а Д \Ьш3)е3)к1...е(-к--1 \а

к€Б(з,р) и=р+!

а

а

И так как по лемме 7

то из (36) следует

= А(3,р) г*\м (ш)\)а.

(и(Л(г)\а) = 2 Е a(ш),

(ш)

Си (Л(г)\а) = 2 ЕЕ Е

(ш) р=! ЗеП(р)

А(3,р) (г*\М (ш)\)а

2

А(ш)

(ш)

(г*\М (ш)\)с

□

Пусть

у (3,р,к)= п

у=р+\

Ьи(з Д еЗ)к]

3 = 1

1

Е1п \ет )\=o,

и=р+1

с (3,р,т) = <

а

Е1п \ет )\

и=р+1

28^| Е1п \ет

V и=р+1 )

^ 1п \е<т)\ =o,

У=р+\

1

с(3,р) = П С(3,p,m),

т=1 э—1

(37)

Ьп(х1, . . . , х5-1) = 1п г + 1п \ш(п') \ + X3 1п \еП \ (п = 1, ... ,8), (г > 1).

3 = 1

Заметим, что для любых х1}... , х.-1

5>п(хь ... ,х.-1) = 1пг5 + 1п\Ы(ш)\.

п- 1

Лемма 9. Справедливо равенство

У (I,P, к) = С(3,р)

еаТ, 1=р+1 ] (х1’...’х--1) Схл

э- 1 .

к1- 1 к- — 1 7

а

Доказательство. Преобразовывая У(з,р, к) к экспоненциальному виду, получим

3-і

У3,Р, к) = е"-р+і

52 а(1п і+1п \ш(т"^ + 52 кт 1п ^)

Е а(1пі+1п \ш(т"^) І_І кта Е 1п ^

-у^ = р+і I I е V = Р+І .

т=1

Так как

1 при а = 0,

2

ах

і

еах*х =

а _а

е 2 — е 2

еак еах*х = еак----------------п ри а = 0,

то получим при

а = а Е ІПут)|

V=р+1

в . кт + 2 в .

кта 52 1п І^т^ ^ Г хта 52 1п \4^^

"-р+і = С(з,р,т) J е "=р+і *хт.

кт 2

Отсюда следует, что

^ Е а(1п *+1п \ш(т"^) І—! ^

У(з,Р,к) = е"=р+і С(з,р,т)х

т=1

к\ + 2 кв-і + 2 3

г- 2 г- 2 5—1 в і і т )|

Г Г хта 52 1п \£т \

Пт / - 111 \° т \

е ”=р+і *х1... *хв—1

X ... Ие

и 1 и 1 т=1

кі — 2 кв — і —2

в—1

, ,т) х

т=1

П с (з,р,т):

2 кв — і+ 2 в _ в —і

52 а(1пі+1п \шт^+ 52 хт 1п \єПп )\)

X I ... І е"=р+і т=і *х1. . . *х3—1

кі і кв — і 2

в_ 1 кі + 2 кв — і + 2 в

52 (хі,...,хв—і)

т)

= П С(з,Р,т) - е"-р+і *х1 ...йх3— 1,

т=1 кі—і кв—і — 2

что и требовалось доказать. □

2

2

Определим область П(3,р) С 1, как множество всех точек (хл, ..., х.^), удовлетворяющих соотношениям

з(х1,...,х.-1)^е ^|хз+2|—^1пз)\ (v=р+1,...,8).

Лемма 10. Справедливо следующее интегральное представление

-

-> -> Г Г а 52 ЬЗ» (х1,...,х--1)

А(3,р) = С (з,р,) ... е ”=р+1 йх1 ...йх.-1.

п(3,р)

Доказательство. Из (35) и (37) следует, что

А(з,р)= Е Г(3,р,к).

к&Б(3,р)

С( 3 , р) к

2 -а 52 (х1,...,х--1)

е V=р+1

—* —* Ж I I \-л, / у Зи V 15***5 ^ - — 1)

А(з,р) = С (з,р,) 2_^ ... е "=р+1 вх1 ..^х.-!.

к&Б(1р)к1 - 2 к--1- 2

Так для любого целого к при х Е [к — 2 ,к +1) имеем к = [х +1 ] = х + 2 — {х + 2 }

ТО

Ьп(к1,..., к.-1) = 1п г + 1п \ш(п)\ + Е кт 1п \е(т1)\ =

ш

т-1

1

1п г + 1п \ш^п') \ + Е (хт + 2 — {хт + о }) 1п \е<тп\

т-1 ' ^ '

= Ln(х1, . . . ,х.-1) — Е ("\хт + О } — 2^ ^ 1п \етп> \

т 1 2 2

отсюда следует, что

.-1

к_ — к 2’'™ 1 2

11

1^) | | кт — 2, кт + 2 ) р),

т-,/^ ч т=1 *- '

к&Б(3,р)

[ [ a 52 Ljv (xi,...,Xs — l)

A(j,p) = C (j,p,) ... e v=v+1 dxl ...dxs-l,

n(j,p)

что и требовалось доказать. □

Пусть далее везде

а = ^1 max i | Ь ^Н.

2 l^m^s —1 l^n^s

Определим область Q\(j,p) С Rs-1 (A = 1, 2) следующими соотношениями

Ljv(xi, ... ,xs-l) ^ (—1)A-la (1 ^ v ^ p),

Ljv(xi, ... ,xs-l) ^ (—1)Aa (p +1 ^ v ^ в),

а величины A\(j,p) (A = 1, 2) зададим равенствами

s

f f a 52 Ljv (xi,...,Xs—i)

A\(j,p) = C (j,p) ... e v=p+1 dxl ...dxs-l (A = 1,2).

Па( l,p)

Лемма 11. Справедливы неравенства

Al(j,p) ^ A(j,p) ^ A2(J,p).

Доказательство. Так как

—a ^ Y ({xj + 2} — 2) ln jI ^ a (n = 1,...,в),

то из неравенства

Ln(xl,... ,xs-l) ^ a

следует неравенство

s-l

Us-l) ^1 S xj

из которого следует неравенство

Ln(xl,... ,xs-l) ^ —a

и, наоборот, из неравенства

Ln(xl,... ,xs-l) < —a

следует неравенство

ьп(х1,...,х.-1) < Е ({хз+2}—2)1п з\}

из которого следует неравенство

Ьп(х1,... ,х.-1) < а.

Поэтому справедливы включения

^1(],р) С П(/,р) С ^2(/,р)

и, так как подынтегральная функция положительна, то

А1(1,р) < А(1,р) < А2(1,р),

что и требовалось доказать. □

Определим области ^л(],р) С К5-1 (Л = 1, 2) следующим образом: пусть

для произвольной точки (у1}... ,у.-1) величина

у. = 1п г. +1п N(ш)\ — (у1 + У2 + ... + У.-1).

Тогда точка (у1;...,у.-1) принадлежит П/А(з,р), если выполнены неравенства

{

у^ < (—1)Ла при р +1 ^ V ^ 8.

Лемма 12. Справедливо равенство

Ал(],р) = С(^( ■■■ / еа(,зр+1 +-+уз. Чу1 ■ ■ ■ йу,-1 (Л =1,2),

п'х(з,р)

где Я — регулятор поля.

Доказательство. Сделаем линейную замену в интеграле по области ^л6,р) (Л = 1 2) : уз = Ьу(х1,...,х.-1) (] = 1,...,8 — 1).

Так как

э э / э-1 \

(х1, . . . ,х.-1) = Е ( 1п г + 1п \ш(з)\ + Е хт 1п \е(гт)П =

3=1 3=\ \ т=1 /

э-!

1п гэ + 1п N (ш)\ + хт 1п \Ыет\ = 1п гэ + 1п \ы (ш)\,

т=1

то у3 = Ь3(хі,... ,х3-і).

Поэтому область Пл(з,р), заданная соотношениями

Г (х1 ,...,хз-1) ^ (—1)л-1а при 1 ^ V ^ р,

\ Ljv(х1,..., х3-1 < (—1)ла при р +1 ^ V ^ з,

перейдет в область 0,'л(з,р), заданную соотношениями

\ Уjv ^ (—1)Л-1 я при 1 ^ V ^ р,

\ Уjv < (—1)Ла при р +1 ^ V ^ з,

а так как якобиан линейного преобразования имеет модуль, равный регулятору поля, то лемма доказана. □

2.3 Асимптотическая формула для (н(Л|а)

Пусть для Л = 1, 2 величины Іл (з; р) определены равенствами

где величина Ур(Б) из леммы, 6, а, вел,ичина (А) из леммы 5.

Доказательство. При р = 8 имеем Б(р) = {(1,2,..., 8)} и, следовательно,

Іл(з,р)

! .. ! еа(У]р+і+-+у^-і) йу1.. .йу.

3-1

п'хв,р)

и

е(-1)х(з-р)аа

Вл,р — 1пі3 + 1п ІМ(ш)| + (—1)л(2р — в)а.

Лемма 13. Справедливы равенства

Іл(з,р) = Сл,р ■ Ур(Вл,р) при 1 ^ р ^ з — 1,

Іл(з, з) — Із-1 (Вл,з),

З = (1, 2,...,з) Є Б(р). Поэтому

П'х(1з)

и Пл(з,8) задано соотношениями

У1 + У2 + ... + Уз = 1п і3 + 1п N (ш)|.

Сделаем линейную замену переменных

= уу + (—1)Ла (V =1 < ... ,8 — 1),

тогда область П!Л(-]} 8) перейдет в область ПЛ, заданную соотношениями

Ху ^ 0 (V = 1, . . . , 8 — 1),

'"'V

э— 1

1пгэ + 1п N(ш)\^ЕХ — (—1)Ла ^ (—1)Л !а. (38)

V =1

Неравенство (38) можно записать в виде

э-!

zV ^ 1пгэ + 1п \М(ш)\ + 8 • (—1)Ла.

V=1

Из последнего неравенства следует, что

1л(з, 8) = 1.-1(Ал),

где величина 1э(А) определена в лемме 5 и

Ал = 1пгэ + 1п \М(ш)\ + 8 • (—1)Ла = Бл..

Пусть теперь 1 ^ р ^ 8 — 1. Сделаем линейную замену переменных

{у^+1 + (—1)Ла при V =1,...,р — 1,

уз„+1 — (—1)Ла при V = р,...,8 — 1,

уу1 + (—1)ла при V = 8.

Тогда область Пл(],р) перейдет в область ПЛ точек (хл, ..., х5-1), удовлетворяющих условиям

zV ^ 0 (V = 1,... ,р — 1), zV < 0 (V = р,. . . ,8 — 1), Х. ^ 0.

При этом

р .

Х1 + ... + = Ё(уз^ + (—1)Ла) + Е (3 — (—1)Ла) =

V=1 V=p+1

= 1пгэ + 1п \М(ш)\ + (—1)л(2р — 8)а.

Отсюда следует, что

1л6,р) = У ... У eа(zp+■■■+Zs-1+(-1)X(s-p)adzl... с1х.-1 =

ПЛ,Р

= Ур(Бл,р) • е(-1)Х(.-р)аа, где величина Ур (Б) определена в лемме 6 и

Бл,р = 1пгэ + 1п \М(ш)\ + (—1)Л(2р — 8)а.

□

Теорема 14. Справедливо асимптотическое равенство

> /* / м \ \1п'-1(detл(г)) 1п,-2^е1 л(г)))

(н (л(г)М = С(Л, + Ч ^ЛМа )

где

2(detЛ)а

С(Л,а) = —■;-— > N(з)\-а, Я — регулятор поля.

Я(8 -1)! м

Доказательство. Согласно лемме 8 имеем

Сн(Л(г)\а) = 2 N л -— ——— А(з)

н ; ^ (г.\н(з)\)а 1 ;

А(^) = Е Е А(!.р).

р=! з&о(р)

По лемме 11

А1(3,р) ^ А(3,р) < А2(3,р).

Отсюда следует, что справедливы неравенства

1 '

^(г^з^Е Е ^-р) < с(л(г>\а) <

М 1 1 р=! 3&0(р)

1 э ^

^ (г.\м(з)\)а ^ 5] А2(,р).

(“) р=! 3&0(р)

Из лемм 12, 13, 5 следует, что

Ал(з, 8) = 11.-1 (1пг. + 1п\М(з)\ + 8 • (—1)Ла) =

Я

(1пг' + 1п \М(з)\ + 8 • (—1)Ла),-! (1пг' + 1п \М(з)\).-1 +

Я • (8 — 1)! Я • (8 — 1)!

+0((1п г5 + 1п N (з)\).-2). (39)

Из лемм 12, 13, 6 следует, что при 1 ^ р ^ 8 — 1

Алв.р) = С(Яр-Сл.р¥„(Бл.„) = 0((1пг' + 1п N(чЦГ‘). (40)

Объединяя оценки (39) и (40), получим

1

’№)!)

С(Л(г)\а) = ^(г.^ х

и

х((1п Ь’+1п^_ у"+о(ш ?+ш|^ .

Выделяя главный член по Ь, окончательно находим

. ..... . 2 1п3-1 1 /1п3-2 Ь3)

(Н ( (Ь)|а) = П(8 _ 1), ■ ьза Е (^)|« + ( Ьза )

(ш)

= 2^л)а 1 \ 1п3-1 ае1Л(ь)

Я(в _ 1)1 уN(ш)1а \ ^е^(Ь))" +

(1п3-2 det Л(Ь) и1

что и требовалось доказать. □

+ / \п3_^е^л(ь)х

+°\^ ^е^(Ь))“ / ’

3 Значения ((Л| а) при Л Е PZs и а Е N

Для нахождения частных значений гиперболической дзета-функции целочисленных решёток в натуральных точках потребуется многомерный ряд Фурье с положительными коэффициентами, связанный с полиномами Бернулли; тригонометрические суммы решёток. Здесь рассматривается более общий случай кратной линейной тригонометрической суммы, чем получающейся по определению полной кратной линейной рациональной тригонометрической суммы по модулю ^ из монографии [2](см. [2] с.54 ), который соотвествует решётке д ■ Z3.

3.1 Ряд Фурье для полиномов Бернулли

Лемма 14. Для периодической функции Ьп(х) = Вп({х}) справедливо разложение в ряд Фурье

„| р2пгтх

Мх) = 72—“ • (41)

(2жг)п тп

4 7 т=—с©

Доказательство. Как известно (см. [64], стр. 28), для полиномов Бернулли справедливы равенства:

Вп(1) _ Вп(0) = { 1 при П > 1 (42)

[ 1 при п =1,

В'п(х) = п ■ Вп_1 (х) (п ^ 1), (43)

1

J Вп(х) (1х = 0 (п ^ 1). (44)

о

Рассмотрим коэффициенты Фурье сп(т) разложения функции Ьп(х) в ряд Фурье

2пг-тх

Ьп(х) = Е Сп(т) ■ е~

п

т=—оо

1

сп(т)=У ""(х) ■ е (46)

о

Из (44) вытекает, что сп(0) = 0 при п ^ 1 и, значит,

Ьп(х) = Е' Сп(т) ■ е2пгтх. т=_<х>

Интегрируя (45) по частям и используя (42) и (43), получим

. ч Вп(х) ■ в_2жгтх

Сп(т) =

— 2^1- т

1 1 1

+---------- Вп (х) ■ е_2пгтх йх =

0 2пг ■ т У

оо

1

Вп(1) Вп(0) + I Вп_1(х) ■ е_2пг•тх йх

_2т ■ т 2ш ■ т У п п ;

о

п . ,

сп-1(т) при п > 1,

2^г-тп

2П ■ т Из (46) вытекает, что

1

при п =1.

-п,

Сп(т)

(46)

(2П ■ т)п ’

□

Лемма 15. Для периодической функции Ьп(х) при п = 2к, к Е N Ьп(х) = { }ЬМ + х) + КЬ _ Лу при п = 2к +1, к Е N. (47>

справедливо следующее разложение в ряд Фурье

п!(_1)[^ ] е2пгтх

Ьп(х) = -тг- (48)

' ' гт —

Доказательство. При п = 2к (к € N утверждение следует из леммы 14, так как для любого целого т = 0 справедливо равенство

т2п = т 2п и _ = (_1)1+к = (_1)[п+]

г

Пусть п = 2к + 1, к Е N и

%(*)=£ <(т) ■ е2’гтх, (49)

т=—оо

1

С*п(х) = I ьп(х) ■ е_2пгтх йх (50)

о

разложение в ряд Фурье функции Ь*п(х). Тогда имеем

[ I [ Ьп(у + х)+ Ьп(У _ х) л \ _2пг•тх л

Сп(т) = ---------2-------------с^(пу) йу е йх =

= 1 <^(„у) П Ьп(У + х) + Ь'(У _ х) е_2«™ йх | (51)

оо

1

j Ьп(у + х) + Ьп(у _ х) е_2пг• тх йх = о

1

е2пг • к(у+х) + е2пг • к(у_х)

-2'кг-тх

0 к=_ж

,пХ,ь, ^ йх =

п2

1

Сп(к) е2пг• ку I е2пг• (к_т)х йх+

к=_ж о

1

+ ^ ^' Сп(к) е2пг• ку I е_2пг• (к+т)х ^х к=—ос

Сп(т)е2пгту Сп(_т)е_2пгту =

2 + 2 =

—п I

• -(е2ш• ту _ е_2пг• ту)

2(2жг)птп

Подставляя правую часть (52) в (51), получим

1

С*п(т) = ^ с^у)(е™** _ е—) йу. (53)

о

Из (53) вытекает, что

С*п(_т) = 2(2 п п I ^(пу)(_1)п(е_2пгту _ е2пг•ту) йу 2(2пг)птп ,/

о

1 ' ^(ку)(е2пгту _ е_2пгту) йу = сп(т),

2(2пг)пт

о

так как (_1)п = _1 при п = 2к + 1, к Е N. т > 0

<^(ъу)(е2пгту _ е_2пгту) йу =

/г(егпу + е_гпу)

) (е2тту _ е_2пгту) йу =

(егпу — е_гпу)

о

1

/1 + е_2пгу

^ _2ту (е2тту _ е_2пгту) йу =

о

= г ■ [(1 + е_2пгу) I Е е2пгку ) йу =

0 \к=_(т-1) / г ‘ £ I / е2пгку йу + I е2пг(к-1)у йу | = 2г.

к=_(т-1Цо о /

Отсюда вытекает, что

<(т) = <(_т.) = ~п!(~1)к ;2 = (~1)''п!

пУ 1 пУ ’ 2(2п)п 1т1п (2п)пт

1

1

1

□

Лемма 16. Пусть периодическая функция, с периодом 1 по каждой переменной задана, равенством

I(X) = П (! + (~1)'^«х)) •

тогда при п > 1 f ( х) раскладывается, в ряд Фурье

f ( X) = Е (т • ••• • т3)-пе2пг(гЛ’Х). (54)

т =—<ж

Доказательство. По лемме 15 получим ( 1) 'П+2] (2 )П

1 + (~ ) \[П) Ъ*п(хз)= Е т-пв2ттх1. (55)

Ш= — (Х>

Так как ряд в (55) абсолютно сходится, то перемножая эти ряды при ] = 1,..., в, получим утверждение леммы. □

3.2 Тригонометрические суммы решёток

Прежде всего рассмотрим понятие полной линейной рациональной тригонометрической суммы по модулю д. Согласно [2] (см. стр. 54) полной рациональной тригонометрической суммой по модулю д называется сумма вида

5 = 5 (д,Б (хъ...,х3))= Е ... Е е2"1 Р (Х1'9'Хв) ’ (56)

Х\ = 1 Хв = 1

д

П1 Пв

Б (хь ...,х3)=^2 ... Е а(р1}.. .,р3)х1'11 . ..Хв;

^1=0 ^в=0

здесь а(и1,... ,и3) — целые числа.

Исходя из этого определения, естественно назвать полной линейной рацио-

д

циональной суммы, соответствующий случаю

£

Б(х1,... ,х3) = Е аVхи

и=1

и аи — целые числа.

Таким образом, полная линейная рациональная тригонометрическая сумма по модулю q имеет вид:

S = S(q, a1x1 + ... + asxs) = Е • • • Е e2™ q '

X\ = 1 Xs = l

Такую сумму легко вычислить. Справедливо равенство

q q

X X r\„^-a'\x'\+"'+aSxS

S = S (q,aixi + ••• + asXs) = ^2 •••^2e q = q^q (a1) '"^q (as), (58)

X\ = 1 Xs = 1

ГД6

r ( ) = J 1, при a = 0 (mod q), q [ 0, при a ф 0 (mod q)

— символ Коробова.

Используя многомерный символ Коробова

„ _ j 1, при a £ Л,

Л(а \ 0, при a £ Л,

можно равенство (58) переписать в виде:

qq

S = S(q, a1x1 + • • • + asxs) = ^ • • • E e q = det (qZs) SqZs ( a) (59)

XI = 1 Xs = 1

Последнее равенство легко переносится и на случай произвольной целочислен-Л

Через Gs = [0; 1)s будем обозначать s-мерный полуоткрытый куб. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество M из Gs. Под сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (M, р), где р — произ-

MM с упорядоченной парой (M, 1), то есть с сеткой с единичным и весами: р ф 1.

Определение 17. Произведением двух сеток с весами (М1,р1) и (М2,р2) Gs (M, р)

М = {{x + у}\ x £ М1,У £ М2 }, P(z) = Е P1(x)P2(y),

{X+y} = z,

X €Mi, у EM2

где {z} = ({Z1}, •••, {Zs}).

Произведение сеток с весами (М1,р1) и (М2, р2) обозначается через (М1,р1) • (М2,р2). Кроме этого, если (М,р) = (М1,р1) • (М2, р2), то будем писать М = М1 • М2 и говорить, что сетка М — произведение сеток М1 и М2.

В работе [25] рассматривается мультипликативный моноид сеток с весами относительно операции умножения сеток. Нетрудно видеть, что единичным эле-

({ 0}, 1)

Определение 18. Тригонометрической суммой сетки свесами (М,р) и произвольного целочисленного вектора т называется выражение

Б(т, (М,р)) = Е Р( х)е2т{гЛХ).

х еМ

Легко видеть, что для любых сеток с весами (М\, р\) ж (М2,р2) справедливо равенство

Б(т, (М\, р\) • (М2,р2)) = Б(т, (Мьр1)) • Б(т, (М2,р2)). (60)

Действительно,

Б(т, (М1,р1) • (М2,р2)) = Е р( ?)в2пг^ =

г еМ1 ■ М2

= £ е2',('т'Г> £ Р,(Х)Р2(У) = £ Р><г)Р2 =

(

у еМ± ■ М2 {х+у} = г, У еМ1,у еМ2

х еМ\, у еМ2

£ \ I £ р2(у)в2"(’т-1+у> | = (т, (М,,р,)) • Б(т, (М2,р2)).

х еМ-1 / \у еМ2

□

Определение 19. Если справедливо равенство

(М, 1) = (М1,1) • (М2,1), то сетки М1 и М2 называются взаимно простыми.

Таким образом, если М1 и М2 — взаимно простые сетки, то равенство г = = {х + у} имеет не более одного решения для х Е М1 и у Е М2. Поэтому для взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство \М1 • М2\ = \М1\ • \М2\.

При р = 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.

М

т

Б(т, М) = Е е2жг(гт’х).

х еМ

М1 М2

равенство

Б(т,М1 • М2) = Б(т,М1) • Б(т,М2). (61)

Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки Л, целого вектора т и произвольного вектора х го взаимной решётки Л* величины:

г , _ J 1, если m Е Л, х*(^\ — \ 1, если X Е Zs,

^(m) = \ 0, если m Е Zs \ Л, дл(X)=\0, если X Е Л* \ Zs.

s

s

Символ 8\(т) является многомерным обобщением известного теоретико-числового символа Коробова

6N (m) =

\ 1, если m = 0 (mod N),

^N(m) \ 0, если m = 0 (mod N).

Определение 21. Обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П 03.

Л

М(Л) Л*

тальной подрешётке Zs. Отсюда следует равенсто \М(Л)| = ёе1Л, так как индекс подрешётки Zs решётки Л* равен ёе1 Л и равен числу классов решётки Л* относительно Zs (см. [55] стр. 25, лемма 1).

Определение 22. Полной линейной кратной тригонометрической суммой

Л

s(m, Л)= Е е2ш(т’х) = Е е2пг(тх),

x €M(л) x €Л* /Zs

m

Ясно, что для обобщенной параллелепипедальной сетки M(Л) справедливо равенство S(m, M(Л)) = s(m, Л).

Определение 23. Полной линейной кратной тригонометрической суммой Л* Л

N

s* ( X, Л)= J] e2m(mx) = e2m(mix,

m € Zs /Л j =1

где X — произвольный вектор взаимной решётки Л* и m\,... ,mN — полная система, вылетов решётки Zs по подрешётке Л.

Справедливы следующие двойственнные утверждения.

Теорема 15. Для s(m, Л) справедливо равенство

s(m, Л) = 5Л(ш) ■ det^.

Доказательство. Для любого т € Л и любо го х € М (Л) имеем (т, х) € 2, поэтому

в(т, Л) = Е е2пг(т,х) = Е 1 = Л.

х&М(Л) X &М(Л)

Если т € Л, то найдется у € М(Л) такой, что (т,у) € 2 и, значит, е2жг(т,У) = 1. Отсюда и из свойств полной системы вычетов решётки относительно подрешёт-ки получим

в(т, Л) = Е е2т(тХ) = Е е2т(т’х+д) = е2т(ту в(т, Л).

х&М(Л) х &М(Л)

Следовательно,

(е2пг(ш,у) - 1)8(т, Л) = 0, s(m, Л) = 0.

□

Теорема 16. Для любой целочисленной решётки Л с detЛ = N и для произвольного х € Л* справедливо равенство

в*(х, Л) = ( х) ■ detЛ.

Доказательство. Если х € то е2т(х,тз) = 1 и утверждение очевидно.

Если Л С и Л = то Л* \ = 0 и для люб ого х € Л* \ найдется

т € такой, что ( х, т) € 2- Отсюда и из определения полной системы вычетов следует, что найдется такое, что ( х,т^0) € 2, т. е. е2т(х,тю) = 1, Далее из свойств полной системы вычетов и определения взаимной решётки следует, что

N N

в*( х, Л) = Е е2пг(х,т1) = Е в2жг(х’т ) = в2жг(х’т>°)в*(х, Л)

3 = 1

в*(х, Л) = 0.

3 =1 3 = 1

и, следовательно,

□

Из теоремы 15 следует, что нормированная тригонометрическая сумма Б*(т, М(Л)) обобщенной параллелепипедальной сетки М(Л) целочисленной ЛЛ

тальной решётки

3.3 Частные значения гиперболической дзета-функции

Теорема 17. Для любой целочисленной решётки Линатурального п справедливы представления:

(н(Л | 2п) = -1 + detT Е П (1 - (-1)п ■ У)! ■ В2п(хз0 , ('62')

--М(А) 3=1 ' ( )! '

detЛ ^ \ (2п)!

х&М(Л) 3=1

1 3 / (2п)2п+1

Сн(Л 1 2п +1) = -1 + ЖЛ Е Щ1 - (-1)П ' (2п + 1)! Х

х&М(Л) 3=1 У ^ '

Х I В2п+'({у + х}) + Въ'Му ~ х}) с^(пу) с1у\ , (63)

где Вк (х) — полином Бернулли порядка к, к=2п, 2п+1.

Доказательство. Рассмотрим периодическую с периодом 1 по каждой переменной функцию / ( х), заданную равенством

ГД6

Вк({х}) при к = 2п + 1, п € N К(х)={ [ Вк({у + х})) + Вк({у - х})

2

о

С^(пу) dy при к = 2п +1, п € N.

Согласно лемме 16 для / ( х) имеет место разложение в ряд Фурье

/( х) = Е (т ■ ... ■ тз)-ке2пг(т’х).

т =—оо

Рассмотрим квадратурную формулу

//(х)=de1л Е /(х)-Я

де х€М(Л)

Для погрешности Я приближенного интегрирования согласно теореме 15 имеем

Я = ^ £ £ <т. ■ ■ ■ ■ ■ т)-ке2пг(тх) - 1 =

х£М(Л) т=-ж

= £ (т[ ■ ... ■ тз)-к^ £ е2пг(тх) - 1 =

т=-ж х^М (л)

тз)-к

Е (т[ ■ ... ■ тз) к8л(т) - 1 =

т=-ж

Е (т[ ■ ... ■ тз)-к = (н(Л | к).

т €Л

Отсюда следует, что при к = 2п

(н(Л I 2п) = -1 + 5^ £ П (1 - <-!)“ • • ВЪ1{х„))

х&Ы(Л) 1=1 у ^ ' 7

а при к = 2п +1

1 8 / (2п)2п+1

Сн(Л 1 2п +1) = -1 + 5ЙЛ £ П(1 - (-1)" • (2п + 1)! Х

х&И (Л) 1=1 У ^ '

х I Въ'Му + х}) + В2п+1({у - Х}) <^(пу) йу

0

и теорема полностью доказана. □

Замечание 1. Из равенства (62) следует, что для любой целочисленной решётки Линатурального п значение гиперболической дзета-функции решётки (н (Л | 2п) есть трансцендентное число.

4 Аналитическое продолжение (н(Л + Ь | а)

В этом разделе мы рассмотрим аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета-функции решёток для случая произвольной декартовой решётки Л + х.

Построение аналитического продолжения начнем с одномерного случая, то есть рассмотрим функцию (н(й • Z + х | а), которая в правой полуплоскости а = а + И (а > 0) задана рядом

(н(й • Z + х I а) = ^ (й • п + х)-а. (64)

п=-ж

п=-X

Кроме этого, рассмотрим функцию

((й • Z + х I а) = 1й • п + х[

Для дальнейшего потребуются перподизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица

С (а; Ь) = £> + Ь)-а; (а = а + й, а > 1), (65)

0<п+Ь

п= — оо

п

а

тета-ряд

в(т, Ь) = ^ ехр(-п • т(п + Ь)2) (Квт> 0); (66)

п=—ю

интеграл I(а,Ь) от тета-ряда

СЮ

I(а, Ь) = ! т8/2-1 • в(т,Ь) йт; (67)

о

и ряд Г(а,Ь), заданный равенством

, . ^ еов(2п • п • Ь)

Г («’Ь) = £—^—- ■ №)

п=1

Приведем известные факты из монографии [13] С. М. Воронина и А. А. Ка-рацубы (см. с. 26, 27):

I(а, Ь) = п-а/2 • Г(а/2) • (((а; Ь) + ((а; 1 - Ь)), (69)

2т(а-1)/2 Ю

I(а, Ь) = —0-------+ т-а/2-1/2 х

а - 1 ]

—

х | ехр(2пг • п • Ь) ехр(-п • п2 • т м йт + та/2-1 • в(т, Ь) йт, (70)

^п=0 ) I

I(а, Ь) = 2па/2-1/2 • Г • Г(1 - а,Ь). (71)

Из (70) вытекает, что I(а, Ь) — аналитическая функция на всей а-плоскости,

а (69) и (71) задают аналитическое продолжение функций £ (а; Ь) + £ (а; 1 - Ь) и

Г (а, Ь) на всю комплексную а-плоскость. Заметим, что для получения аналитического продолжения ((а; Ь) требуется еще рассмотреть дЬI(а - 1,Ь).

Так как справедливо равенство

С(а; Ь) + ((а; 1 - Ь) = ( + Ь 1 а), (72)

(н^ + Ь I а) = (^ + Ь I а) + /^ + Ь | а), (73)

ГД6

/^ + Ь I а)= £ (1 Чп + Ц-а),

-1<п+Ь<1

п=-Ь

то отсюда вытекает следующий результат.

Теорема 18. Обобщенная гиперболическая дзета функция одномерной фундаментальной решётки является аналитической функцией на всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс первого порядка с вычетом,, равным 2.

В левой полуплоскости а < 0 справедливо равенство

С(Z + b | а) = 2(2п)“-1 • Г(1 - а) • sin (2 . а)^ • (74)

В правой полуплоскости а > 0 справедливо равенство

(и(2 + Ь | а) =}1 - Ь{-а+]Ь{-а+

СЮ

+_^ - 1 + {Ь} + {1 - Ь} + а •[ (1 -{х - Ь} ~{х + Ь}) вх, (75)

а — 1 I ха+1

1

где

= Г 1 при {Ь} = 0,

\ {Ь} при {Ь} > 0.

В общем случае для (н (в • 2 + Ь | а) справедлив следующий результат.

Теорема 19. Для, произвольной сдвинутой одномерной решётки Л + Ь = = в • 2 + Ь обобщенная, гиперболическая, дзета-функция (н (в • 2 + Ь | а) является, аналитической на, всей а-плоскости, кроме точки а = 1. в которой у нее полюс

первого порядка с вычетом, равным -2—.

ае1 Л

Доказательство. Преобразуем выражение для (н(в • 2 + Ь | а) в правой полуплоскости а = а + й, а > 1, получим

а) = > (в • п

Сн(d • Z + b I а) = ^2 (d • n + b)~

n= — ^>

n=—d

где

^2 (1 -Id • n + bI-a) + ^2 Id • n + bl-a =

-1<d-n+b<1 n= — ^

n=—d n=— db

= f (d • Z + b I а) + С ^ 1 а , (76)

f (d • Z + b I а)= Y, (1 -Id • n + bI-a ) =

— 1<d-n+b<1

n=—d

^ ((ё ■ п + ь)-а -\ё ■ п + ь\-а)

и = — ^>

п = - I

Функция /(й ■ Ъ + Ь \ а) является аналитической, так как равна сумме конечного числа функций, аналитических на всей а-плоскости. Отсюда и из теоремы 18 вытекает аналитичность (н(ё ■ Ъ + Ь \ а). Так как полюс в правой части (76) есть только у функции ( (Ъ + {\ а), то он остается и у функции (н(Л + Ь \ а), при этом вычет будет равен |. Так как detЛ = ё, то теорема полностью доказана. □

Для перехода от одномерного случая к 5-мерному потребуются дополнительные обозначения. Дело в том, что равенство

(н I П(^' ■Ъ + а) ) = П ^н(Ф ■ Ъ + а)

\3=1 / з=1

справедливо только для случая ■ Ъ (3 = 1,..., в). Чтобы рассмотреть

общий случай, положим

■Л,з = {,Ъ = (3ъ ■■■,3з) \ 1 ^ 31 <■■■<31 ^ 5 1 ^ Зг+1 < ■■■<3з ^ 5

{31,---,38} = {1, 2, ■ ■ ■ , в}}

Другими словами, множество ^ состоит го целочисленных векторов Зг-, координаты которых образуют перестановку чисел от 1 до в, причем координаты с первой по Ь-ю и с Ь + 1-й по в-ю образуют возрастающие последовательности. Для любого действительного а положим

5(а) = |

1 при а Е Ъ,

О при а Е Ъ,

то есть 6(а) — характеристическая функция множества целых чисел. Теорема 20. Справедливо равенство

Сн ■Ъ + а \ а))

=- ц6 (|)+п ( 6 (|)+^ ■ ъ+а \ а0 =

= Е Е (П <н ^ ■ ъ+^ \а)] (П 6 (^■

г=1 V=1 / \и=г+1

Доказательство. По определению

(8 \

Д(ё,- ■ Ъ + аз) \ а) = ^ (в,1П1 + а1 ■ ■■■ ■ ёвП + а3)

3=1 / п1,...,п3 = -ж

(П1,...,Пе) = -( ^ ,...,^ )

Отсюда следует, что

(н ■ Ъ + аз) \ а^ = - П 6 (^) +

+ {^1п1 + а1 ■ ■ ■ ■ ■ ёвпв + а^ а =

П1,...,Пв=-<Х>

в ( ч в / \

-П6(х) +П ( £ (зг-ОТ)

3=1 ' з' 3=1 \пц=-ж у

(

в / \ 8 / \

П6 (з+ П 6(ал + £ №пз + аз)

з=1 \из / 7=1 \и^ п.=-^

\

'Ч = -

= - ][[ + Й(+ <н(‘з ■ Ъ + аз I а)) ■

Так как для любых А1} ■ ■ ■, А8, В1, ■ ■ ■, В8 справедливо равенство

П (Аз + в ) = £ £ (I! з) (I! з) =

з=1 г=0 \^=1 / \^=*+1 /

А1 ■ ■■■ ■ А + £ £ (П А>) ( П Вз^ ,

г=1 4^=1 / =г+1 /

___з м I I зV

Зг£]г,в

□

Теорема 21. Обобщенная гиперболическая дзета-функция (н (Л \ а) для любой простой декартовой решётки Л = Пв^^з ■ Ъ + аз) является аналитической функцией во всей а-плоскости а = а + й, кроме точки а = 1, в которой в

Доказательство. Из теорем 20 и 19 вытекает, что в правой полуплоскости а = а + И (а > 1) (н(Л \ а) представимо в виде суммы произведений,

аналитических во всей а-плоскости функций, кроме точки а = 1, в которой у каждой из функций полюс первого порядка. И так как в этой сумме есть точно одно произведение из в функций, то (н (Л \ а) будет аналитической функцией

а = 1 в □

Теорема 22. Для любой декартовой решётки Л обобщенная гиперболическая дзета-функция (и (Л + Ь | а) является аналитической функцией во всей а-плоскости а = а + И, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс в-порядка.

Л

ставима в виде

х&И *(Ло)

где М*(Ло) — полная система вычетов решётки Ло то иодрешётке detЛo • и М*(Л0)| = (detЛ0)s_1. Отсюда вытекает, что

Каждое из ^е^0)5-1 слагаемых в (77) является аналитической функцией во всей а-плоскости, кроме точки а = 1, в которой у каждого слагаемого пол юс в-порядка, причем, как нетрудно видеть, каждое слагаемое

где вк( £,detЛ0,ж, Ь) — некоторые константы, не зависящие от а, а функция д(а,Ь,х, Ь) — аналитическая во всей а-плоскости. Отсюда вытекает, что

а

□

Теперь перейдем к изучению поведения обобщенной гиперболической дзета-функции как функции на пространстве сдвинутых решёток, точнее нас будет интересовать вопрос о поведении на орбите декартовых решёток. И снова рассмотрение начнем с одномерного случая.

Л = D(tl,...,ts) • Л0, и,...£ > 0,

Л0

Л0 = и (det Л0 • Zs + х),

х&И *(Ло)

(и (Л + Ь I а)

(det Л)(а — 1)я

2я

где

вк( £ , det Л0,х, Ь),

х&И *(Ло)

х&И *(Ла)

Теорема 23. Для, любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — в\ <5 такая, что для любой сдвинутой решётки Л + Ъе СРКх

Г Нт ь (и(г + 9 \ в) = (и(л + Ъ \ в), (78)

Г+А^л+Ь

а

Доказательство. Известно, что дЬI(а,Ъ) — аналитическая функция на всей а-плоскости (см. [13], с. 26). Следовательно, в любой е-окрестности точки (а,Ъ) I(а, Ъ) равномерно непрерывна. Но отсюда и из формул (69), (72) вытекает, что (и(Ъ + Ъ \ а) равномерно непрерывна в любой е - окрестности точки (а, Ъ), если а = 1.

Если

(ъ+I9I)

то

г + 9 = 9( ъ +

9 ^ d

(Ъ +1 d О

->•

Заметим, что

Цй • Ъ + Ъ \ а) = /(с1, • {ъ + d ) \ а\

1

— и (и (ъ +1 21 \

Отсюда, из (76) и равномерной непрерывности f (d• Ъ+Ъ \ а)

а) вытекает равномерная сходимость в (78). Теорема доказана. □

Теперь все готово, чтобы соответствующие результаты доказать для орбит декартовых решёток.

Начнем со случая простой декартовой решётки.

Теорема 24. Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — в\ <5 такая, что для любой простой декартовой решётки Л + Ъ е СРЯв

- л ^и(В(91,---,9з) • Л + д \ в) = Си(л + Ь \ в'), (79)

&(д1,...,дв )• Л+а^Л+Ь

а

Доказательство. Так как по определению простой декартовой решётки имеем

то

Л + Ь = ^\ • Ъ + Ъ1) х ^2 • Ъ + Ъ2) х ... х ^в • Ъ + Ъв) = ]^[(Л3- + Ъз),

3 = 1

в

(и (Л + Ь \ а) = —е( Ъ) + П(е(Ъ7) + (и ^3 • Ъ + Ъз \ а)),

(80)

3=1

где

е(Ъз )= { 1 ПРИ {} = 0,

0 при | 51 Г = 0,

е(Ъ) = е(Ъ1) • ... • е(Ь,) = { 1 "РИ Ъ5 Л’

0 при Ъ е Л.

{

Из (80) и теоремы 23 непосредственно вытекает теорема 24, так как

0(дь ...,дв) • Л + 9 — Л + Ь

равносильно тому, что

9з • Л3 + 9з —— dзЪ + Ъз (3 = 1,..., $).

□

Теорема 25. Для любой точки а из а-плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — в\ < 5 такая, что для любой декартовой решётки Л + Ъ е СРКв

Нт ^и(^(91,...,9в) • Л + д \ в) = Си(л + Ь \ в), (81)

&(д1у...удв )• А+а^Л+Ь

а

Доказательство. По теореме 11 решётка

Л = °(£ъ..., £в) • Лсь где Лс — простая решётка. Поэтому

0(91,... ,дв) • Л = Б(д1 • и,... ,9в • £в) • Лс.

Лс

вых решёток

Лс = М ( ТТ ^зЪ) + хк

П / в \

и (П(dзЪ)+Хк)

к=1 \з=1 /

где п — индекс простой декартовой подрешётки Г = Г[ (d3 Ъ) то решётке Лс, а

3=1

х1,... ,хп — полная система представителей классов решётки Лс по подрешётке Г. Отсюда следует, что для любой диагональ ной матрицы 0(д1}... ,дв) имеем следующие разложения:

°(д1,...,дв) • Л + д =

П / в \

и ( П(9313dзЪ) + 0(9^1,... , 9вЬв)хк + д I

к=1 \ 3=1 )

Си (0(91,...,9в) • Л + д \ а)

пв

У СиШ (9313 dз Ъ) + 0(9^1,..., 9вЬв)Хк + д \ , (82)

к=1 3=1

□

5 (н(Л \ а^и а = а + И (а < 0) для решёток

решений сравнений

В этом разделе мы получим явный вид СИ (Л \ а) в левой полуплоскости для решёток Л(а1;..., ав—1,1; N) и Л^а^..., ав-1; N). Так как эти решётки — частные случаи декартовых решёток, то по теореме 22 существуют аналитические продолжения

Си(Л(а1,... ,ав-1,1; N) \ а) и Си(Л(р)(а1,... ,а.—1; N) \ а)

на всю комплексную а-плоскость, за исключением точки а = 1, в которой у них полюс порядка в.

а

Си(Л(аь ... ,ав-1, 1; N) \ а) =

в N—1 / £ \ в

££ £ ПСи^ъ + 3( к) \ а) I П 5N(х3»( к)),

£=1 , в к1,...,ка=С \ь>=1 ) и=г+1

где

х3 ( к) = |

к3 при 1 ^ 3 ^ в — 1,

— (а1к1 + ... + ав—1 кв—1) при 3 = в.

Си (Л(р)(аь..., ав—1; N) \ а) =

в N—1/ £ \ в

£ Е Е ПСи+ ,3(к) \ а) П 5N(У3„(к)),

£=1 ^ к=с \ь>=1 / и=г+1

где

= j а3 к при 1 ^ 3 ^ в — 1, при 3 = в.

Доказательство. Действительно, по следствиям 1 и 2 (стр. 31, стр. 31)

Л(аь ... ,as-Ъ 1; N) =

N-l /s-l \

U II(NZ + kj)

.,ks-i =0 \j=l /

N-l

(NZ + kj) ) x (NZ — alkl — ... — as-lks-l),

ki,...,ks-1 =0

N-l /s-l \

U II(Nz + aj k)

k=0 \j=l )

N -l

Л<p)(а1,...,а,.1; N) = U | ]"f(N Z + ajk) ) x (NZ + k),

k=0

и, значит,

N-l s s

£ П<н II(NZ + Xj(k)) I a ;

..,ks-i=0 v=l \j=l /

N-l s

С ^(ah... ,as-l,1; N) | a) = ^2 ПСн| I l(NZ + xj( k)) I a

ki,...,ks — i=0 v=l

N-l s / s \

С (Л^ц,. ...a,.!; N) | a) = £ П Сн Щ (NZ + yj (k)) | a

k=0 v=l \j=l /

Применяя теорему 20, получим

Сн(Л(al,... ,as-l, 1; N) | a) =

= £ £ £ (Й Сн (NZ + j (kk) I a)) Д 4 (jk)

t=l jt j^s ki,...,ks—i=0 V=l / v=t+l \ /

Сн(Л{p)(al,..., as-l; N) | a) =

= £ £ £ (Й Сн (NZ + »„ (k) | a)) I! « ( yjM).

t=l jt€jt ,s k=0 \v=l / v=t+l V 7

()

«(jf) = «N (Xjv (k)), = 5n (№„ (k)),

то утверждение леммы доказано. □

Лемма 18. Для любого целого x в левой полуплоскости a = а + it (а < 0) справедливо равенство

> /дга | ч 2Г(1 — a) na в2жгN

Сн(NZ + X | a) = 7—^------J- sin— > —-----

1 1 ' (2n)l-aNa 2 ^ nl-a

х ' П= — ОО

Доказательство. В правой полуплоскости (а > 1) по определению имеем

—а

(и ^Ъ + х \ а) = £ N • п + х)

п= — ж

рп=-N

^а Е |п+ХГ=^(Ъ+N \ а) ■

п = — ^

п=—N

Применяя принцип аналитического продолжения, получим справедливость это-

а<0

< (ъ+Х'“)=< (* {N})+< (* 1—{N}) =

2Г(1 — а) . па е вт 4

У'

п 11

2пг N

(2п)1—а 2 ^ \п\]

^ 7 Г> --1 1

то утверждение леммы доказано. □

Лемма 19. В левой полуплоскости а = а + И (а < 0) справедливы равенства

в

(и(Л(а1,..., ав—1,1; N) \ а) = ^ М(а)tN—а£х

г=1

£ £ ... £ \п31 •... • п3г\а 1з1(п31 ,■■■,nзt ,3£,а1,...,ав—1; Ю;

3г€-Лг,в пп = -^ пзь =—^

в

(и(Л(р)(а1,..., ав—1; N) \ а) = ^ М(а)tN—а£х

£=1

. . . п3 а-1

£ £ ... £ \п31 •... • п3г\а 132(п31 ,■■■,n3t ,3£,а1,...,ав—1; N),

3ь€Ль,з пп =—^ пм =—^

где

„ г. . 2Г(1 — а) . па

М (“> = 7^ атт,

Б1 (пь ..^щ, 3£,а1 ,■■■, ав—1; N) =

N 1 п-х^1(%) + ... + п±х^1 (к) в

= £ е2-^1 » П 5N3®),

к1,...,кв=С и=£+1

-* 2_-п1У1(к)+...+пгун (к) ^

Б2(п1,. .. ,щ, 3£,а1,... ,ав—1; Ю ^ ет N Д 5N (У3„ (к)).

к=0 у=^+\

а

е2пі пх

Доказательство. Так как при о < 0 ряд У]1 — абсолютно сходится,

—^ ті 1—а и=—ж \,1\

то подставляя ряд из леммы 18 в выражение из леммы 17, перемножая абсолютно сходящиеся ряды и делая, соответственно, суммирование по к или по к внутренним для каждой из функций в утверждении леммы, получим искомое тождество. □

Лемма 20. Справедливы равенства

Бі(нь... ,щ,іг,аг.. ,as—l; N) =

I щи і =1,

£—1

N£—1 П 5N(п„ — а3„п) при Ь> 1, 3£ = в,

и=1 £—1

N£—1 П 5N(п„а3± — а3^п) при Ь> 1, 3£ < в,

и=1

(пь ... ,п, 3£,а1,..., ав—1; N) =

1 щи Ь < в,

N5N (п1а1 + ... + пв—1ав—1 + пв) при Ь = в.

Доказательство. Рассмотрим для первой суммы четыре возможных случая.

При Ь = 1 и 3£ = в получим

N—1 в—1

—* V--> ^ . —п1 («1 к1 +...— 1к3 — ^ -■-■-

Б1(т, л,а1,...,ав—1; N) = £ е2п---------N---------l[5N к) = 1,

к1,...,кв — 1=С и=1

в— 1

так как Л 5N(ки) = 0 только при к1 = ... = кв—1 = 0.

К=1

При Ь = 1 и 3£ < в получим

Б1(п1,31, а1,..., ав—1; N) =

N—1 , в—1

--_п1 к~л —

е2т м Д 5N (ки)5N ( — а1к1 — ... — ав—1кв—1) = 1,

к1,...,кв — 1=С и=1

”=31

так как

в1

Y\ ^ ( — а1к1 — ... — а8—1к8—і) = 0

и=1

”=31

только при к1 = ... = к3—1 = 0, в силу (а3, N) = 1 (і = 1,..., в — 1). При і > 1 и і = в получим

Б1 (н1,... ,н, іі,а1,... ,а3—і, N) =

п1к3л+...+пг — 1 кз, 1 —гч(а1к1 + ...+ав — 1 ке — 1)

= £ е2’^----------------^--------------------------- П 5N (кV) =

к1,...,ка — 1=С и=£+1

N— 2_. к31 (п1—а31 пь)+...+к31—1(п1—1—а3—1 пг)

= > е N =

к31 ,”.кЗЬ—1 =с

—г ж > к(пV —аз п+) _—_

= П £ е2п---------^ = ^—11[ 5N п — а31^щ).

и=1 к=с V=1

При Ь > 1 ж 3£ < в получим

^ ^1 2 . п1 кз1+...+пгкк

Б1(п1,...,щ,3иа1,...,ав—1; N )= ^ е пг N х

к1,...,кв — 1=С

( П 5N (3))

\v=t+1 /

х ( Ц 5N(k3v) ) 5N( — а1к1 — ... — ав—1кв—1)

\v=£+1

^1 2 . п1кз1+... + п—1кзг

= £ е Жг м 5N ( — а31 к31 — ... — а31 к3г )-

к11 ,...,к]г =с

Ъ

1 ^ Ъ ^ N — 1, Ъа3г = 1 (mod N).

Так как (а34, N) = 1, то такое Ъ имеется и

5N ( — а31 к31 — ... — а3г к3ь) = 5N ( — Ъа31 к31 — . . . — Ъа3—1 к3—1 — к3ь).

Отсюда вытекает, что

Б1 (п1,... ,п, 3£,а1,..., ав—1; N) =

N —1 2пг п1к31 +... + п1 — 1кзг — 1 —пь(Ъаз1 кз1+... + Ъаз—1 кк — 1)

£

е— N

£—1 N — 1 £—1

5--(п — ,,,,

'-V Ъa3v

_____ ____ к(п^—Ъаз п+) ___

П £ е2т ^ 1 Д 5N п — Ъaзv п*)

v=1 к=с v=1

£-1

N£ 1 П 5N (а3г п^ — aзv п),

V=1

и утверждение леммы относительно первой суммы доказано. Для второй суммы рассмотрим два возможных случая.

к31 >...>кз±-1 =с

в

При Ь < в рассмотрим П 5N(yзv (к)). Так как

V=t+1

5.N(у(к)) = { 5/к) при. 3 = в

3^^ | 5N(к) при JV = в,

в

0 ^ к ^ N — 1,то Л 5N(у^(к)) = 0 только при к = 0, но это означает, что

V=t+1

Б2(п1,.. .,щ, 3£,а1,..., ав—1; N) = 1

при Ь < в.

При Ь = в

Б2 (пь ... ,п£, 3£,а1,..., ав—1; N) =

N —1

X—^ 2 . п1а1к + ...+п8 — 1а8 — 1к+пзк ^ ^

У у е пг N = N5N(ап + ... + ав—1пв—1 + п),

к=0

□

По аналогии с одномерным случаем определим для произвольной сдвинутой решётки Л + а функцию £ (Л + а \ а) в правой полуплоскости равенством

С(Л + а \ а) = £ 9(х)"

хЕ.Л + а (x)v = 0(и=1,...,в)

Если через П(з*) обозначить координатное подпространство

ПШ = \ x3v = 0 Ь + 1,■■■, в)},

а через (Л + а)3 — проекцию пересечения (Л + а) Р| П(з*) в К£, то тогда для

любой сдвинутой решётки справедливо равенство

в

Си(л + а \ а) = ^ ^ (((л + % \ а).

£=1

Теорема 26. В левой полуплоскости а = а + й (а < 0) справедливы, равенства,

Си(Л(аь..., ав—1, 1; N) \ а) =

^М’^^ (Л<р)(ал ’■■■,aз^; М) \ 1 — а),

£=1

в

Мв Си(Лр\а1,..., aв—l, 1; N) \ а) = —1 + ^ + N1’С(ъ \1 — а)^ —

Мв Мв N

— М’а Св (Ъ \ 1 — а) + С (лК ..., ав—1,1; N) \ 1 — а) ^.

Доказательство. Применим к каждой из функций

(и (Л(а1,... ,ав—1,1; N) \ а) и (и (Л(р) (аь ... ,ав—1; N) \ а)

ав = 1

в

(и (Л(а1,..., ав—1, 1; N) \ а) = £ М* N—а£х

£=1

+ £—1

х £ £ .. ^ £ \п31 • ... • п3ь \а—1 • ^1 П 5N (а3ь— 3 п*) =

п31 =—гх пп =—гх 1^=1

в

= £ М£ N ^ *—1^ ((Л(р){ал, ■■■’aз,; N) \ 1 — а).

*=1 ле^,з

Аналогично,

в

(и (Л(р)(аи ..., ав—1; N) \ а) = ^ М* N—а£х

£=1

х £ £' ■■■ Е' \п3, • ■■■ • п3,\а—1 + МвN—авх

ЗьеЗь,в п31 =—^ пЗЬ =—ж

х ^ ..^ £ \п1 • ... • пв\а—1 • N5N(ап + ... + ав—1пв—1 + п) =

т=—<х> пв=—<Х>

в

= £ М*N—а* • 01 • <(Ъ\ 1 — а)*+

£=1

+МваN—ав • N • С(Л(аь ..., ав—1,1; N) \ 1 — а) =

= —1 + (1 + MаN—аС(Ъ \ 1 — а))в — М3аN—авС(Ъ \ 1 — а)в+

+Мв N—авN • С (Л(а1,...,ав—1,1; N) \ 1 — а),

□

Следствие 3. При а = —2п, п е N

Си(Л(аь ..., ав—1,1; N) \ —2п) = 0,

Си(Л(р)(аь ... ,ав—1,1; N) \ —2п) = 0,

(тривиальные нули гиперболической дзета-функции решёток

Л(а1,... ,ав—1,1; N) и Л(р')(а1,... ,ав—1,1; N)).

Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно вытекает из теоремы 26, так как для любого п Е N

м (-2п)=) 8Ь(-пп)=°.

□

Теорема 27. Для любой целочисленной решётки Линатурального п справедливо равенство

1 /(—1)n+1(2n)2n\s ^ -Л

V (2п)! ) ^

V ^ ' 7 x&M(Л) j=1

\M (Л)| V (2n)!

Доказательство. Дословно повторяя рассуждения из доказательства теоремы 17 для функции

(( 1)га+1(2П)2га) 5 8 +СХ.! р2пг(т,х)

*М^ЫгЧ П ^})= £ ••• £ тЬтг •

4 4 7 7 2 = 1 т! =—ж те=—ж 1 1

□

Лемма 21. Для решётки Л = Л^^)(а1,..., а8-1, а8; N)

^я-!^ | [ -(а1к1 + ... + а3-1к3-\) 1 ( |

м*) = {({Щ ,{

N

0 ^ kv ^ N — 1 (v = 1,..., s — 1)} .

Доказательство. Пусть натуральное b удовлетворяет условиям bas =

1, 1 ^ b ^ N — 1. решётка Л явяется решёткой решений системы линейных сравнений

x1 = ba1xs,

........ (mod N)

xs-1 = bas-1Xs.

и имеет базис

Xj = (N5j ,...,NSsj) (1 ^ j ^ s — 1),

As = (ba1,..., bas-1,1).

Взаимный базис взаимной решётки Л* суть

&1j Ss-1 j ba

As = (0,..., 0,1).

Отсюда вытекает, что

M(Л) = ^ ^kl ks-1 ^ —(a1bk1 + ... + as-1bks-1^ \

0 ^ ки ^ N — 1 (и = 1,..., в — 1)} .

Если сделать замену переменных

к^ = N{^N1^} ° ^ к„ < N — 1 (V =1,...,в — 1),

□

Теорема 28. Для, а = 1 — 2п, п Е N справедливы, равенства,

(и(Л(а1,..., а3-1, 1; N) | а) =

Е^П^Е Е П в*« 1\ )х

t=1 j&jt s ki,...,kt-i=0 V=1

—aj1 k1 + ... + ajs-1 ks-1

(—1yN2nt-t Nr — о f\kvaj,

B

2n

N

N2n-1B2

/ N 2n-1 в \

Ch (^p\a1, ■ ■ ■, as-1,1;N) \ a) = — 1 + (1 + n J

— (^) + (n )'g П B„ ({ak J

Доказательство. Bo - первых, заметим, что

м(1 — 2n) = 2ГПМ sin (n(1 — 2n)) 2(2n —1)!<—1)'

(2п)2п \ 2 у (2п)2п

Применяя теоремы 26 и 27 и лемму 21, получим

Zh (A(a„ .. .,a,rll 1; N) | a) = £ ( 2(2n —'^1^ N(2'-1)‘x

t=1

V- .Tt-1 I 1 N-1 ((—1)n+1(2n)2nV

x ^ 1N-1 ^ ( (2n)! J x

jt Jt,s V k1,...,kt-1=0 V

x (ПB^({^})) B^({—jk1 + "N +ktr1}))

E^— E E ПМ^Мx

t=1 jtJt,s k1,...,kt-1=0 V=1

—aj1 k1 + ... + ajt-1 kt—1

B

2n

N

и первая часть теоремы доказана. Аналогично, имеем

Си(Л^р\аі, ■ ■ ■, ав—і, 1; N) | а) — —1 + ^1 + N

, 2(2п — 1)!(—1)" а) — -1 + I 1 + N 2п—1^---------—^------->— х

2п- _______

(2п)2п

(—1)п+1(2п)2п в \ Х (2п)! В2п)

„„2п-1)(2(2п — 1)!(— 1)"У /(—1)п+1(2п)2п В V |

— N ( (2п)2п ) Ч (2п)! Вп) +

| (2(2п — 1)!(—1)п)’ м-і) ( —Т^п)2"

+ 1 (2п)2" )'N I (2п)! ) Х

N —1 в ({ 7

х е п вп({ п

к=0 з = 1 4 ^

— 1+ ( 1 — N2п—1 — (—^п—1 ^У +

а3 к

+ 1 —— ^ И і

' к=0 3=1 4 ^

и теорема полностью доказана. □

Из теоремы 28 вытекает, что

(и(Л(аі,. ■ ■ ,а8—і, 1; N) | а) и (и(Л(р)(аь ■ ■ ■, а3—Ь 1; N) | а)

при а — 1 — 2п, (п Є N — рациональные числа. Кроме того, как частный случай, при в — 1, Л — Z получим известный результат

В

с ^ | 1 — 2п) — 2( (1 — 2п) — —^ ■

п

6 Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток

При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции в работах [30], [31] использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки Л то подрешётке det Л • Zs и затем функциональное

уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Кроме этого необходимо отметить, что понятие дзета-функции решётки позволяет упростить рассуждения и формулы.

Как обычно через N (X) = \х1 . ..х8\ будем обозначать мультипликативную норму вектора X. Она отлична от нуля только для точек общего положения, то есть точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, дадим новые определения.

Л

((Л\а), а = а + И, задаваемая при а > 1 рядом,

С(Л\а) = У \Х1 • ... • хв\_а. (83)

х £Л, N(х)=0

Вообще говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки Л, так как соответствующий ряд может расходиться для любого значения а = а + (см. пример на стр. 19), но для произвольной декартовой решётки Л она, очевидно, существует при а > 1.

Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функция решётки, а дзета-функция решётки является.

с(Т • Л\а) = Т-*аС(Л\а). (84)

Понятие дзета-функции решётки есть частный случай при Ь = 0 понятия обобщенной дзета-функции решётки.

Определение 2. Обобщенной дзета-функцией решётки Л называется, функция, м Л + Ь

aj, а = а + it, задаваемая при а > 1 рядом,

Z (а + b а) = У \xi ■ ... ■ xs|_". (85)

x €Л+Ь, N(x)=0

Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной решётки Л непосредственно выражается через сумму дзета-функции решётки Л и дзета-функций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат.

Положим

Jt,s = {jt = (jl, ... ,js) \ 1 ^ jl < ... <jt < s, 1 ^ jt+l < ... <js < s,

{ji,...,js} = {1, 2,...,s}}.

Другими словами, множество Jt,s состоит го целочисленных векторов jt, коор-

s

первой по t-ю net + 1-й по s-ю образуют возрастающие последовательности.

Если через П^) обозначить координатное подпространство

П(Й = {х I = 0 (и = і + 1,..., з)},

а через (Л + а)^ — проекцию пересечения (Л + а) Р| П^*) в К*, то тогда для любой сдвинутой решётки справедливо равенство

г=1 ,8

6.1 Периодизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица

В дальнейшем будет использоваться периодизированная по параметру Ь дзе-та-функцпя Гурвица

Нетрудно выписать различные явные формулы для аналитического продолжения на всю комплексную плоскость кроме точки а = 1 периодизированной

Ь

одизированная дзета-функции Гурвица имеет полюс первого порядка с вычетом

1

Приведенные ниже формулы покрывают всю комплексную плоскость, задавая явный вид аналитического продолжения £*(а; Ь).

^2 п а, при {Ь} = 0,

С*(а;Ь)= £ (п + Ь)~а

п=1

^2(п + {Ь}) а, при {Ь} > 0

(а > 1).

0<п+Ь

п=0

С*(а; Ь)

' £ (п + Ь)-а,

а> 1,

0<п+Ь

V.

6.2 Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами

Рассмотрим частный случай рядов Дирихле с периодическими коэффициентами вида

( Ь \ ~ е2пг—т

№) = Е V <*> 1) ^

4 7 т=1

и докажем для этого ряда Дирихле в нужной для дальнейшего форме частный случай общей теоремы (см. [93, с. 88]) об аналитическом продолжении рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на всю комплексную плоскость.

Лемма 22. При а > 1 справедливо тождество

С (а) пр и 8п(Ь) = 1,

/ ь\ С (а)

= I * £ ■ с * Н)

п ) | — ^2 е п С* а, — при 6п(Ь) = 0.

{па = \ п)

Доказательство. Действительно, при 8п(Ь) = 1 утверждение тривиально

2Пг —т

как е — =1.

Пусть 8п(Ь) = 0 тогда е2жг— = 1. Далее имеем:

/ 7 \ п ОС 2п* Кз + 'шп) п ОС

(а, е~.----------------------V = — Ё е“" V, . .а =

V п) и т=« +тп)а п и т=0 й+т

Ё е™" С*(а-0

.= 1

и лемма полностью доказана. □

Из доказанной леммы и свойств периодизированной дзета-функции Гурвица следует, что существует аналитическое продолжение у функции I [а, п) на всю комплексную а-плоскость, за исключением быть может точки а = 1, где может быть полюс первого порядка.

Лемма 23. При а > 0 и 8п(Ь) = 0 справедливо тождество

^2ш -

г>г. 2п{—— 2п1 — 0 --[Ь]

е п —е п | Опг-^

;Ь

+ е2жг^ [г]

У еюа+тя = (а + ^У -\а+2-Лг. (89)

11

Доказательство. Рассмотрим функцию

* М—1 *

/(г)= е2'г —иЛи = £ е2'* — + е2'г—Ли

V _1 */

2п* ——] „2пг—

’’ | 2пг^- г .'I

+ е п [г],

е п - е п . 2пг—й

2пг— -г е п 1

которая непрерывна для любого г ^ 1 и кусочно дифференцируема во всех точках, кроме натуральных значений аргумента.

Пусть к — натуральное жк<е<Л<к + 1, тогда в силу формулы интегрирования по частям имеем:

-dt

ta+1 ta

d

f (t)

+ (a + ta+2dt —

-m _

i „2m^^ f en —e*“ ‘n | „2-ni^1 Г „~\

+ e n ld) ---------------------------------+ e n {c}

e n — 1 e n — 1

da+1 ca+1

d 2ni^ .b[t]

d e n —e n I ^2ni^^fj-1

/*------------------+ e n {t}

+ (a + 1)/ e П —1 ^+2---------------------------*■

Переходя к пределу no d и по с, получим

fc+1 .bit] e2ni-n —e2ninb + e2ni n e2ni—t —e2nin

02ni^— b + e

e n 2ni— л 2ni— л

e dt — e " —11Л----------------------------------------e, n—1 +

J ta+1 (k + 1)a+1 ka+1

fc

fc + 1 2ni—t 2ni^n -b[t] r ^ 2ni -(k~+1 2ni^n 2ni—k 2ni^

fc + 1 e n —e n I 2ni-^ {+ ^ e n —e n e n —e n

+ 1) f e2”i& — 1 + e n {t} dt — e2nin —1 e2< —1 +

+ (a + 1) ----------------—— ---------------dt — ——------------———-------------------- ——------+

J ta+2 (k + 1)a+1 ka+1

fc

fc+1 e*nf—e2nin + e2,11'’'b—t {t}

+ (a + 1) J e n 1 ta+2 dt■

fc

Суммируя no k от 1 до то, получим равенство несобственных интегралов

те e2ni-n —e2nin, 2ni

e n / — s I e2nin — 1

. -лг = (а + 1П —е—п----+2-лг

/ га+1 га+2

11

□

Теорема 29. Для натуральных п, целых Ь с 8п(Ь) = 0 и аналитического продолжения функции I {а, Ь) на всю комплексную плоскость справедливы представления

1 (а' п)

С

Г те 2піт

Є п

т=1

т-

ає п

Є2пі М Є п

Іа + 1

йі —

а(а + 1)Є

ь те е2 2піь г ~

п І

■Ь[Ь] п - ь

г2пгь п — е п

е2пгп-1

+ є2піп {і}

(2п)--1Г(1 — а)

(те

Е

т=1

іа+2

пі(а-І)

Є 2

йі —

„2пі — Єп

=і (т — (ПІ)

~2пі — і Є п — 1

— пі(а — 1)

Є 2

т=0

=0 (т + {п})

1

)

а> 1, а> 0,

а> — 1, а < 0.

(90)

Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I (а, п) существует в силу предыдущей леммы и свойств периодизированной дзета-функции Гурвица.

При а > 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции I (а, .

Для доказательства второго случая, применив теорему Абеля, получим

1{а-П)

те Є

І 1<т<і

2пі ь

а

Іа+1

-йі-

аЄ

2пі -

Є2пі М Є п 1

іа+1

йі

о • ь те о -ь[г]

„,„2жіь г „2пі

аЄ п Є п

йі —

„2пі — Єп

_2пі— -і

Є п 1

и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при а > 0.

Третий случай непосредственно вытекает из второго и леммы 23, так как соответствующий интеграл сходится при а > — 1.

Перейдем к доказательству последнего случая. Для этого запишем выражение периодизированной дзета-функции Гурвица в комплексной форме

С (а; Л =(2Т)“-Т(1 — а) ( є

Є

Е

т=1

т

1

+Є

те 2піт

-пг(а — 1) ^Є п

Е

т=1

т

1

)

(91)

Суммируя по найдем

(а.Ь) =— Ё є2"%(* (а, Л

\ п/ па ^ \ п)

(• "

пг(а — 1)

X І Є 2

Є2пі^ **1 а \ (2п)- Г(1 — а)

є п С а, — ) =-----------х

пп

те

2пі^ 2піт ■ -пг(а-1)

У ^У

т1-т=1 3 = 1

2 П і 2 /1 і--*- і _ ---------

Є п Є п +Є 2

= (2п)а-1Г(1 — ам є

Є

і т . л

т=1 3 = 1

г(а-1)

Е

т=1

(т-{ п })

У -1-- У Є2піп Є-2пі^ = т1 -

те

£ )

п

2

2

1

2

и теорема полностью доказана. □

Полученный результат применим к ещё одному виду рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть

= Ё т- (*а> 1).

' ' т —_г*

пт

т=

(92)

Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболи-

а>1

тригонометрическими суммами решёток, а именно, для любой целочисленной Л

8л(т)

(и(Л|а) + 1 = £ (х1 •

х еЛ

1

-- \ -

X '

Е Е

)-а +1 = Е

теъ8

є‘2пі(гп,:с)

(т1 • ... • т3)с

Л ^ ^ (т1 ■ ... ■ тЛс

х ем (л) т еъ8 к 1

Е П Е

те •^піту ху

detЛ ' т3

х ем (Л) 3=1 ту = -те 3

У Х\і*(а

detЛ ^ А1 I , detЛ) ’

х ем (Л) 3=1 у '

(93)

где Ьу ( X) = Х3 detЛ — целое ЧИСЛО (І = 1,...,з) для любой точки X = (х1,..., х5) Є М(Л).

Теорема 30. Для натуральных п, целых Ь с 5п(Ь) = 0 и аналитического продолжения, функции >* [а, п) на всю комплексную плоскость справедливы представления

ЬЛ

>*(%)

' те е2пі

Єп

Е

т=

а

т

Є2пі—

Єп

— 1 и і-+1

1

те

а(а+1) Г д(і,Ь,п) Иі

є2/і п — 1] і-+2 ,

1

1 + 2(2п)а-1Г(1 — а) сов

йі,

п(а — 1)

где

„2піь І „2пі02-/і— і

Є п І Є п — Є п + Є

д(і, Ь, п) =

* п(

м

п

1

Е у——

п=-те упт + Ь)

1

а> 1,

а> 0,

а > —1

а < 0,

(94)

2пі

м

п - Є

—2пі-

+Є

2пі

ь([*]+1)

є2пі п — 1

є-2пі ^ Єп

{і}.

1

п

Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I* (а, п) существует так как для неё справедливо следующее представление.

>* (а, —) = > (а,Ь) +1 + > (а, —Ь)

п п п

(95)

При а > 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции

I* а ю-

Для доказательства второго случая, применив теорему 29 к равенству (95), получим

ь

ає2пі— те є2пі — є2пі—

аЄ п Є п Є п

> а,— =-----------ь---- / —тг^і-------------ь-------+ 1+

Є2пі— - 1 У і-+1 є2пі—

1

е2пі— і

Є п 1

о • ь те о ■—[—]

гмо—2пі — г —2пі —

аЄ п Є п

з - 2пі — і І і-+1

п 1 і

йі —

„ - 2пі— Єп

э - 2пі — і

п1

аЄ п

2пі

ь

п2пі ь

є2пі ь— є^"ь

Є — є —

йі------;——-----------+ 1 —

2пі— -і Є — — 1

те ь [—]

[ є-2пі— , 1

є2пі— ті і-+1 + є2пі—

Є — — 1 и ь Є —

1

а

7ь~

а

є2пі ь(— + 1> є-2пі

Є п Є п

2пі — _ 1

Є'п

і- +1

йі

и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при а>0

Аналогично получается третий случай:

, те е п — е п і 2піь1—1 Ґ4-1

/Ц = <*,+ 1У2Пі — гє п{і}л_+ 1+

V п/ є2пі — — 1 У і-+2 є2пі — — 1

1

ь те е-2пг——Т-е-2пг— І -2пі—[—1 т . ь

а(а + 1)є-2пі — [ е-2пг—-1 +є п { } є-2пі—

е-2Пг— -1

с-2пі— і І і-+2 „-2пі-

Є п — 1 J ь Є —

+ ^~ь------------------ I Є П-1-,2-----------------------йі —

1

,ь[і]

те е2пг^п -е2Пг— , „2пі

а(а + 1)є2пі — Г е2пг— _ 1

+ є2пі— {і}

&2пі —л І і-+2

Є — — 1 ^ ь

-йі—

.ь—

________________ п і „- 2пі^ Г-і\

а(а + 1) Г е 2пг — -1 { } а(а +1)

------ь------ ---------------------тг;---------------аі =----------ь-----X

^2піь і І і-+2 &2пі — і

Є — — 1 J ь є — — 1

>

ь

2пг— ( 2пг—— 2пг— + -2пг—— -2пг — \

те е Ле п -е п+Є п -е У + (є2/і “ — Є-2пі

X ------------------------------е^-------------------------------------------------------------+- - -йі.

/ і-+2

1) {і}

Перейдем к доказательству последнего случая. Так как при 8п(Ь) = 0 справедливо равенство { — п} = 1 — |п}) то При а < 0 получим

I* (а,Ь \ = I (а,Ь- \ +1+ I (а, —- \ =

п п п

пг(а — 1) <ж —пг(а — 1) \

V———— +Е—?—-—— | + 1+

т=1 ,т—апль- т=0 т+апль 7

Ы(т —{Ь})1- Щ (т + {Ж

(те пг(а-1) те —пг(а—1) \

ё———— +ё—є—-—— )=і+ т=1 Ут — { — п}Ь1-- ут + { — пТ-)

т—і—пуг" т=о т+ьп})1

г(а-1) те —пг(а—1)

+ (2п)--1г(1 — а) (У у + { Ь }ь1-- +£ ут , {Ь П — +

■п.

■=> т+{—яг* т=о т+{ту

1 пг(а — 1) 1 —п/1(а — 1')

Є 2 є 2

=-те —т —{ — Ш)1-- т=-те —т —{Ш)1--

= 1 + (2п)--1Г(1 — а)

п ) ) т-

пг(а — 1) (уэ —пг(а — 1) ^

Є 2 є 2

Е ( ,,м—-+£

---------\ 1-- / .> /--\ 1--

т+{—п}) т=-те Vт+ {п))

Заметим, что

ОО ОО те 1_-

1 1 п1-

-----------\ 1—- /----------------------------\ 1—- у--^“ь 1—-

т + { п^) т=—те ( т + | Ь } ) т=—те \пт + Ь)

поэтому

>* (а,Ь] = 1 + 2(2п)--1Г(1 — а) сов П(а—^ • п1-- V п2

' ' т — — г

п ! 2 г=-те (пт + Ь)

1

□

Замечание 2. Последнее равенство не изменится, если его переписать в виде

Ь) _ і , о,о-1^/1 .л_п(а — 1) „1-- 1

>*( а,Ь) =1 + 2(2п)--1Г(1 — а) сов п(а 1) • п1-- Ё _______________________

V п) 2 т=-ж, (пт + Ь)

пт + — = 0

1

1

которое остается верным и при 5n(b) — 1:

г («' П) — 1 + 2С(а) — 1 + 2(2l)a—1Г(1 “a)cos £ т—

' ' m=1

1 + 2(2п)a —1Г(1 -a) cos —■ n1—a

m = nm = 0

j (----\1—a

-L, (nm)

6.3 Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток

Теперь мы получим явный вид Сн (Л | а) в левой полуплоскости для произвольной целочисленной решётки Л, при этом нам потребуются присоединенная решётка Л(р), которая определяется соотношением

Л(р) = ае1Л • Л*. (96)

Для любой целочисленной решётки Л её присоединенная решётка Л(р) также является целочисленной. Так как эти решётки — частные случаи декартовых решёток, то как известно существуют аналитические продолжения

£н(Л 1 а) и £н(Л(р) 1 а)

на всю комплексную а-плоскость, за исключением точки а = 1, в которой у них полюс порядка в.

Для удобства введем следующие обозначения:

N = ае^, М(р)(Л) = ае1 Л • М(Л), М*(Л) = Л П [0; ае1 Л)5. (97)

Ясно, что справедливы следующие разложения:

Л= и ( X + NZS), Л(р) = и (х + NZS). (98)

хеш *(Л) ХеШ Ы(Л)

Пусть 7 Е Через П(7*) будем обозначать координатное подпространство

П(з*) = [X I х^ = 0 (V = г + 1,..., в)].

Если положить Ц = (7*+ь ... ... ,7*), то ^ Е 35—г5 и

К5 = пШ®п$)

— разложение в прямую сумму координатных подпространств. Заметим, что если через (Л + а).1) и (Л + а).) обозначаются проекции сдвинутой решётки

на кооридантные подпространства П(7*) и П(_7**) в соответствии с разложением

пространства в прямую сумму этих координатных подпространств, а ее пересечения с координатными подпространствами через (Л + а). = (Л + а) Р| П(7*) и

(Л+а).* = (Л+а) Р| П(7*), то вообще говоря (Л+а)(1 = (Л+а). и (Л+а)(2) = (Л+ а).*. Равенство возможно тогда и только тогда, когда Л+а = (Л1+а1) х (Л2 + а2), Л1 + а1 = (Л + а)и Л2 + а2 = (Л + а).*.

Напомним, что

„ . 2Г(1 — а) . па

М (а) = ^2Л)^ 81ПТ

и для произвольной целочисленной решётки Л дзета-функция С (Л | а) в правой полуплоскости задается равенством

С(Л I а) = У |х1 ■■■Хз\

хЄЛ, N(х)=0

Теорема 31. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

С (Л I а) = N (- (а)МС (Л«| 1 - а) . (99)

Доказательство. Из формулы (93) и теоремы 30 легко следует

С (Л I а) = П (<* - 1)

1 ^ п ^2(2п)а-1Г(1 - а) 008 П(1 о а) N 1-ах

N ^ V 2

X &И(Л) ]=1

те

X

\

1

і N • т + Ь; їх))

N■■m+bj (х)=0 у 'у у

:(х))

N

х£Ы (Л)

те і

X

Е

тЬ...,тв=-оо (N ■ т1 + Ь1(х)... N ■ т3 + Ь3(ж)^

N ■т1 +Ь1 (Х) = 0 \ 1 ^ ^ s\JJ

= N (-(а)N1-а)" С (Л(р)|1 - а) . (100)

□

Переходя к взаимным решёткам, эту теорему можно записать в новой форме:

Л

в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

— (аУ

С (Л | а) = -N1. С (Л I 1 - а). (101)

, * I

Доказательство. Действительно, Л(р) = N ■ Л*, поэтому

N 1-ау ^ (л(р)|1 _ а) = N 1-ау У \х\ ■... ■ х3\а-1

= Е N■■■■■ N" '= Е У■■■■■ = <(Л*| 1 _»)■

х £Л(р),М(х)=0 у &А*,Ы(у)=0

что и доказывает утверждение теоремы. □

Согласно предыдущим обозначениям (Л)-ь = Л Р| П^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л-ь будем обозначать ^-мерную решётку, которая получается из решётки (Л)-ь отбрасыванием у каждой точки

5 _ £ нулевых координат, а через N — её определитель. Таким образом Л(р) —

Зь Зь

"присоединеная" ^-мерная решётка, = ёе1Лзь и М-ь N

Теорема 33. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

(„ (Л \ а) = у М(а)‘ У (ЛЗР)| 1 _ а) . (102)

1=1 ЗЬ^Ь,з

Доказательство. Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует

(н(Л \ а) = У У С (Л-ь|а). (103)

£=1 ЗЬ^Ь,в

Применяя к каждому слагаемому в правой части предыдущую теорему, полу-

□

Используя теорему 32 и обозначая через Л* ^-мерную взаимную решётку, получим новую форму функционального уравнения для гиперболической дзета-функции целочисленной решётки.

Теорема 34. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

х , N(х)=0

а-1 «—,

а—1

<н (Л \ а) = £Е МГ < (Л*ь| 1 _ а). (104)

£=1 Зь£-1ь,е Зь

Доказательство. Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует

Сн(Л \ а) = У У с(Л*| а). (105)

£=1 ЗЬ^Ь,з

Применяя к каждому слагаемому в правой части теорему 32, получим доказы-

□

£

7 Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток

Прежде всего нам потребуется основной результат о виде произвольной декартовой решётки (см. теорему 11 на стр. 30). Согласно этой теореме декартову Л

Л = Б^,... ,б,8) ■ Л0, й1,...,б,8 > 0,

где Л0 — простая решётка, а Б^1,... ,й3) — диагональная матрица.

По аналогии с предыдущими обозначениями (Л0)-ь = Л0 Р| П^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л0-ь будем обозначать £-мерную решётку, которая получается из решётки (Л0)-ь отбрасыванием у каждой точки 5 _ £ нулевых координат. Таким образом л0?>3 — "присоединеная" ^-мерная решётка.

Рассмотрим сначала более простой случай, когда все элементы dз ^ 1 (] = = 1,...,5).

Л

вида, Л = Б^,... ^3) ■ Л0, где Л0 — простая решётка и все элементы, dз ^

1 (] = 1,..., 5), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

(„(Л \ а) = у М(а)‘ У П№»(Л“ | 1 _ о), (106)

£=1 Зь^ь.а ”=1

где М0,Зь = det Л0,Зь -

Доказательство. Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует

5 £

(н(Л \ а) = У У ГЧ (Л0,Зь| а) . (107)

£=1 Зь^ь.з и=1

Применяя к каждому слагаемому в правой части теорему 31 (стр. 85), получим

□

Теперь получим функциональное уравнение с использованием взаимной решётки.

Л

вида, Л = Б^,... ^3) ■ Л0, где Л0 — простая, решётка и все элементы dз ^ ^ 1 (] = 1,..., 5), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

(^а^ЕЕМ^ < (Л1. I1 _ а).

detЛз 3 V £=1 п^Ъ,, 31

(108)

Доказательство. Прежде всего заметим, что Л* = (Б^,..., ds) • Л0)* = = Б ^ 1,..., А. ^ • Л0 и det (Б^1,..., ds) • Л0) = dl • ... • ds • det Л0.

Если перейти к проекциям Лз, то получим: Л^ = Б^1,... ) • Л0

11

Л* = (Б,...^„) • л3 * = Б ( -------1--,...,---1-- )

3, V 3 3 °з>*) \ ^ N ^ ^ - ^

\и31 1У0,3, а3, 1У0,3г /

• Л(р)

0,31

Л0 - = Б3 ,...^3, )Л

*31 3,

det ('Б(3,...,3) • Л0 ,-) = 3 •... • 3 • ^Л0 ,3, = 3 •... • 3 • ^,3,,

\ а— 1 /■ I л^*

п

с (%1 _ а) = 3 •... • dзt)а 1 с (Л*41 _ ^.

Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует

(н(Л ! а) = Ё Е П(3)—“С (ло3,

а.

(109)

£=1 л&Л,з и=1

Применяя к каждому слагаемому в правой части теорему 32 (стр. 85), получим

(н(Л \ а) = У У )

-а М (а)

£=1 П&Л,з и=1

N

Е Е П( 3)

£=1 Я&^,з У= 1

-а. М (а)

N

0,3

а ъг/ М

(dзl • ... • 3)а—1 < (Л*

3,

1а

1- а =

£=1 Л&Л,з

что доказывает утверждение теоремы. □

(110)

Б1 =

= {3\0 < dj < 1} = 0. Для этого рассмотрим ещё один вид рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть

/ 1,\ те е2пг^

Г(а^,~) = У -=а (Ка> 1, d> 0).

' ' т = — (-V

ш=—оо

Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-функция декартовых решёток при а > 1, если воспользоваться тригонометрическими суммами решёток, а именно, для любой декартовой решётки Л = 0(й1,... ,Лэ) • Л0, где Ло — простая решёт ка, а 0(й1,... ,Лэ) —

диагональная матрица:

бло (т)

Си(Л|а) + 1 = У] (х1 • • • • • хэ) а + 1 = У]

х &Л т

(^1Ш1 • ... • й8тв)а

1 _____ ____ ~2пг(гп,х)

1 £ £ е

с1е‘л° х Мло) (л1"ч • ■■■ •

£ П £ = ;гЧ £ П'"(«л ,тЩг),

тло) 1=1 т.,=-~ л>т ае‘л° гмл„) 1=1 ^ |1еи°'

(112)

где Ь1 ( х) = Х1 detЛ0 — целое чис ло (] = 1,...,з) для любой точки х = (х]_,... , хэ) Е М(Л0).

Как уже отмечалось ранее (см. стр. 76), гиперболическая дзета-функция решетки не является однородной, а дзета-функция является. Из предыдущих рассуждений видно, что однородная дзета-функция решётки играет при аналитическом продолжении ключевую роль. В общем случае гиперболическую дзета-функцию решетки нельзя представить как сумму однородных компонент, как это удается сделать для целочисленных решеток, но для декартовых решеток мы дадим определение ^-компонент.

Как и раньше, для декартовой решётки Л через Л^ будем обозначать проекцию пересечения ЛР|П(;’4) в К*.

Определение 24. Будем ^-компонентой гиперболической дзета-функции решётки Л называть функцию (Л|а), а = а + И, задаваемую при а > 1

рядом,

<н,п(Л|а)= У |Х1 • ... • х*1~а. (113)

х &ЛН, ( х)=0

Нетрудно видеть, что для ^-компоненты гиперболической дзета-функции Л

^<Л'а> = deгЛ- £ п (г* (“^, dtХ:) - ^ <114>

0 , 1 х €И (л0 ,) У=1 \ \ 0 >Л/ /

Кроме этого имеет место разложение на компоненты

(и (Л|а) = У У (и,п (Л|а). (115)

*=1 (*, э)

Определение 25. Будем 33-компоненту гиперболической дзета-функции решётки к называть главной компонентой и обоз начать через (н, 8(Л|а).

Ясно, что справедливо равенство

(пЗг(Л|а) = Сн,і(Л]г |а)- (116)

Теорема 37. Для натуральных п, целых Ь с 8п(Ь) = 0, положительных d и аналитического продолжения, функции I** (а^. П) на всю комплексную плоскость справедливы, представления

=і+і (і'(аП- ^+1 (аа-‘іП . (и?)

где

/(^Э = £ і (і ^)

и 1 (а. d■ П = 0 при d ^ 1.

Доказательство. Действительно, при а > 1 из определения следует

Г*(алЬ) = 1+ £ в2піп + £

і

п

п) ^ ^ Ыш1с

^НИз] Н>[з]

/ 1 \ е2жіЬт

і+ £ в2'іі (і -ыМ + £ в п

, т V ^т1а) 6^-

Ыт^ I ^

К|т|^[±] \т\>1

=1+Ыа {1‘(?П— 0 +г{а'л'П)'

Так как в правой части последнего равенства стоят аналитические функции, которые определены на всей комплексной а-плоскости кроме точки а = 1, где полюс первого порядка, то теорема доказана. □

Введем дополнительные обозначения. Определим при 1 ^ г ^ |^| и 1 ^ Ь ^ в — г множество целочисленных векторов

1,гэ(01) = ^ 3*,г = (]1,... ,3э) | 1 ^ 31 < . . . < 3* ^ в, 1 ^ 3*+г+1 < ... < Зэ ^ в,

1 ^ 3*+1 < ... < 3*+г ^ в, {31, ...,3з} = {1, 2,...,в},

3+ Е Б1 при 1 ^ V ^ г|.

Другими словами, множество 1*, г,э(Б1) состоит го целочисленных векторов 3*,г,

в

ты с первой по Ь-ю, с Ь + 1-ой по Ь+г-ю и с Ь + г + 1-й в-ю образуют возрастающие последовательности. Кроме этого, все координаты с Ь + 1-ой по Ь + г-ю принадлежат множеству Бь Очевидно, что 1*,г,э(Б1) = СЭ,_Г

Ьт

Теорема 38. Для главной компоненты гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л вида Л = В(Л1.... .Лз) ■ Л0. где Л0 — простая решётка и все элементы, dj > 0 (і = 1.....з), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

Сн,.(Л | а) = ((Л*| 1 - а) + 1

det Л

det Л0

з — т 3 /

■ Е П(' )—а П ’ (<

j ( П-, )К =1 и=в — Т+1 '

js — r,r ^^в — г,г,в(^1)

где N = det Л0.

det Л,

£ ^М(а)‘—т N0

ЄИ(Ло) Г=1

) С (

з—тлтЗ—г—а(з—г)

а. Л,„ ■Ь^Х) ( ( N0 %з—т + Ьз—т ( х) 1 - а)

(118)

Доказательство. Согласно равенству (114) и теореме 37 для главной компоненты гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки Л = 0(й1,... ,Ыэ) • Л0 на всей комплексной а-плоскости кроме точки а = 1, в

(н, з(Л|а) =

1

det Л

Е П(>**{ал ■ ЬЩ - 1)

/- \Л( Л -Л '=1 \ \ 0 / /

(119)

х еИ(Ло) j=1

а<0

(н,з (Л|а)

1

det Лп

х еИ(Ло) 3=1

£П( ? «-££) - 0+’(ал ■ £)>

)

-+ ’(а Л — + ’ [а'.1’3 ■ det Ле/

, Л- ,

Ла т=-и, N ■ т + Ь'(х)|

N0-т+Ь~ (х)=0

(120)

Для раскрытия произведения в правой части формулы (120) воспользуемся следующим равенством

(

П

3=1

М(а) м 1-а УГ

Ла 0 ^

1

V

3 т = -ж,

Nо■m+Ьj (х)=0

|No ■ т + Ьз( x)|

1-а+’ (М.

(а Л

\ . 3.detЛ0/

/

п

'ЄОі

М (а)

~Ла

^—а у ---------------------------

, т=-», ^0 ■ т + Ь' (Х

У Nо■m+Ьj (х) = 0

1

п

ММ

4‘ 0

1—а

Е

т = — ^>

Мо-т+Ь, (х)=о

, N • т + Ьу (х

1а

^ т)_а £

1=1 т, = — ж(1^,^в),

Мо-т, + Ь, (х)=о

1

N

т /

+ У М(а)э_гN

э_г э_г_а(э_г)

|(^ • т1 + Ь1(х)) • ... • (N0 • тэ + Ьэ(х))|

К( х)

1а

г=1

э_г э

Е Пл*)_а П! (<

1-г,г ^- — т, т,-(01Ь1=1 и = э_г + 1

IV •.

det Л0 \

)

и

1

,|(^ • ту1 + Ь11( х)) • ... • (Н0 • т1-—т + Ь1-—т( х))|

1а

(1^v^s —т),

Щ'т,„ +Ь,„ (х)=о

Из (120) и (121), полагая Ь*(х) = (Ьу1 (х),... ,Ьуь(х)), получим

1

(121)

Си,э(Л|а) =

Е

det Л0

£ (

х €М(Ло) \

М (а)‘^_аэП Л )■

1=1

т, = — ж(1^,^в),

Мо-т, + Ь, (х) = о

|(^ • т1 + Ь1(х)) • ... • (N0 • тэ + Ьэ(х))|

1а

№1

+ £ МN

_г э_г_а(э_г)

г=1

Е № гШ («а, Л) •

_ т / т-\ XV-1 V- С_Г+1 ' '

\\

Е

3- — т,т€^ — т,т,-(01Г=1 ^э_г + \.

1

т^ = — ^(1^v^s —т)

Мот,1, +Ь,„ (х) = о

— т),|(N0 • т11 + Ь11 (х)) • ... • ^0 • т1- — т + Ь1- — т ( х))|

1а

//

,МЛ £ \М(аУК_а‘ ^ )->< + Ьэ(х)| 1 — а) +

е 0 х €М(Ло) V ' ■

1

3 = 1

т /

+ £ М (“)‘_г N

э_г АТэ_г_а(э_г)

г=1

э_г э

Е Ш )_а П! (<

з-—т,т ^-—т,тАЯ1Г=1 ^э_г+1

Ь1у ( х)

1 det Л0

)

•({N0^_г + Ьэ_г (х)

1а

Так как

det Л0

У М(а)э^э_аэ Д(Л)_а((т%э + Ьэ(х)| 1 — а) 1=1

х &М(Ло)

1

1

1

ёе1 Л0

1

М(оТМГ‘ №)-“С (ЛО”! 1 - а) = мео^С (Л‘| 1 - а), (123)

1=1

то утверждение теоремы полностью доказано. □

Теорема 39. Для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки к вида Л = 0(6\,..., 63) ■ Л0, где Л0 — простая, решётка и все элементы, 6] > 0 (] = 1,..., в), в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

Доказательство. Утверждение теоремы следует из формулы разложения на компоненты (см. (115) стр. 89) и применения теоремы 38 к каждой компоненте в соответствии с формулой (116) (стр. 90).

Для алгебраических решёток и сама решётка, и её взаимная решётка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат. Для обоснования этого достаточно показать, что координаты любой ненулевой точки взаимной решётки для алгебраической решетки образуют полный набор алгебраически сопряженных чисел из одного и того же алгебраического чисто вещественного поля степени в над полем рациональных чисел Q.

Пусть а = (а0,а\,..., а3-\) — целочисленный вектор, такой что многочлен

5

(124)

8 Алгебраические решётки

8—1

(125)

неприводим над полем рациональных чисел и все корни 0^ (и = 1,..., в) многочлена (125) действительные.

Обозначим через Т( а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел ©1,... ,0£ — корней многочлена Ра(х):

Т( а)

1 01

V

©1-1

1 0£

©Г1 )

(126)

а через 0 = (01,..., 0£) — вектор полного набора алгебраически сопряженных чисел — корней многочлена Ра(х).

Л(Т( а))

Л(Т( а))

Е0:

V =1

т,

■)

т1 ,

.

(127)

Так как координаты любой ненулевой точки х Е Л(Т( а)) — алгебраически сопряженные целые алгебраические числа, то произведение х1.. .х3 — ненулевое целое рациональное число.

Обозначим через = Q(0V) алгебраическое расширение степени в поля рациональных чисел Q (и = 1,... ,в). Так как все корни неприводимого многочлена Ра(х) — действительные числа, то мы имеем набор из в изоморфных чисто вещественных алгебраических полей степени в.

Заметим, что, вообще говоря, Л(Т( а)) = Л а выполняется только

включение Л(Т( а)) С Л . Равенство будет иметь место только тогда, когда

числа 1, 01,..., 01-1 будут образовывать базис кольца целых алгебраических чисел 2^(1).

а

Т( а)

го набора алгебраически сопряженных чисел, а все элементы ^-ого столбца матрицы принадлежат одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,..., в). Так как точки решетки Л(Т(а)) — целочисленные линейные комбинации строк матрицы Т( а), то координаты каждой точки х Е Л(Т( а)) — полный набор алгебраически сопряженных чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежит одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,..., в).

Покажем, что этим свойством обладает и взаимная решётка. Как обычно,4 аз (0) = (—1)-7'а3-^ — элементарные симметрические многочлены степени ] от корней многочлена Ра(х) (0 ^ ^ в).

£

Лемма 24. Пусть (0) = ^ 01, ] ^ 0 и симметрическая матрица Q(а)

и=1

4здесь пользуемся естественным соглашение, что а3 = 1.

задана равенством

Ж а)

( 50(0)

£1(0) V 5,-1(0)

• • 5,-1(0)

• • 5,(0)

•• 52,-2(0)

тогда Ж(а) — невырожденная симметрическая рациональная матрица и справедливо равенство Ж (а) = Т( а) ■ Т( а)т.

Доказательство. Действительно, пусть Ж( а) = (^)8Х8. Тогда по правилу произведения матриц имеем

а

V]

■ 0- = Sv+]-2(0)

к=1

и равенство Ж( а) = Т( а) ■ Т( а)т доказано. Из него следует невырожденность и симметричность матрицы Ж( а). Так как степенные суммы корней многочлена, как симметрические функции, рационально выражаются через элементарные симметрические функции, то матрица Ж( а) — рациональная, и лемма полностью доказана. □

Обозначим через ии](0) элементы матрицы Ж( а)-1. Ясно, что из симметричности функций Б] (0) вытекает симметричность функций ии^ (0).

Лемма 25. Справедливо равенство

Т *( а)

( Е и1 к(0)0-к=1

Е и-2к(0)ek-1

к=1

£и,к(0)0^ ^

к=1

Е и2к(0)0к-1) к=1

V

Е и,к(0)0к

к- 1

Е и,к (0)0

к-1

в

к=1

к=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из равенства Ж( а) = Т( а) ■ Т( а)т вытекает Т-1(а) = Т( а)т ■ Ж( а)-1, Так как Т*(а) = (Т-1( а))т и Жт( а) = Ж( а), то из предыдущего следует

Т*( а) = (Т( а)т ■ Ж(а)-1)т = Ж(а)-1 ■ Т( а)

( иц (0) .

и21 (0) .

и1 в(0) ^ и2 в(0)

( 1

01

\ и, 1(0) ... и88(0) ) \ 01

*8- 1

1

08

08-1 )

( Е и *(0)0к-1 к= 1

Е ик(0)®к-

к=1

Е и1 *(0)вк,-1 \

к=1

Е ик(0)0к-1) к=1

\

Е иак(0)01 к=1

к-1

Е и3к(0)0 к=1

к-1

Е

/

и лемма доказана. □

Лемма 26. Произвольная точка х решетки Л(Т*(а)) имеет вид

х

(Ё (Ё и"к (0)™^) в1;-',---, Ё (Ё и"к (0)™Л 0к-1)

\к=1 \и=1 / к=1 \^=1 / /

где т1,... ,т3 — произвольные целые числа.

Доказательство. Утверждение леммы вытекает из вида матрицы Т * (а), так как произвольная точка решётки Л(Т*(а)) является линейной целочисленной комбинацией строк матрицы Т*(а). □

Лемма 27. Пусть 1(0) — наименьший общий знаменатель для рациональных чисел, Бо(0),... ,Б3-1 (0), тогда точка х решетки Л(Т*( а)) будет целочисленной тогда и только тогда, когда, х имеет вид: х = 1(0) ■ (т,... ,т) и т

Других точек х решётки Л(Т*( а)), у которых хотя бы одна координата, рациональная, не существует.

Доказательство. Из леммы 26 вытекает, что координаты каждой точки х Е Л(Т *( а)) — полный набор алгебраически сопряжен пых чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежит одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,..., в). Поэтому, если х Е Л(Т*( а)) — раци-

х1 = . . . = хЕ

т1 , . . . , тЕ

Е и 1(0)ти

У=1

Е и2(0)ти

и=1

Е ииз(0)ть

К и=1

х1

0

0.

Так как из определения обратной матрицы имеем

и=1

где 6ку — дельта Кронекера, то ти = х^^_1(0) (и = 1,...,в). Из целочпс-ленности т1,... ,тЕ следует, что х1 = Ь(0)т для некоторого целого т, что и

□

Из предыдущих лемм следует, что точки взаимной решётки имеют координаты, образующие полный набор алгебраически сопряженных чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежит одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,..., в).

9 О некоторых актуальных проблемах теории гиперболической дзета-функции решеток

В работе [24] были очерчены контуры некоторых актуальных направлений дальнейшего развития теоретико-числового метода Коробова в приближенном анализе. Сейчас мы остановимся более подробно на нерешенных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток.

Проблема правильного порядка. Как известно, на классе алгебраических решёток достигается правильный порядок убывания гиперболической дзета-функции решёток при росте детерминанта решёток (см. формулы (19) и (21) (стр. 16)). Более того, для этих решеток справедлива асимптотическая формула (25) (стр. 18). Из непрерывности гиперболической дзета-функции на пространстве решёток следует, что правильный порядок убывания гиперболической дзета-функции решёток достижим на классе рациональных решёток. Действительно, достаточно брать рациональные решетки из очень маленьких окрестностей алгебраических решёток.

Возникает естественный вопрос, а на классе целочисленных решёток правильный порядок убывания достижим, или нет?

Если достижим, то надо указать алгоритм построения таких оптимальных параллелепипедальных сеток, для которых будет правильный порядок погрешности приближенного интегрирования на классах Е^. Другими словами, в этом случае необходимо построить алгоритм вычисления модуля N и оптимальных коэффициентов по модулю М, для которых выполняется оценка

(1пЕ-1 N )

с (А(1,а1,...,аа-1; М )И = О ^ Ма у , (а > ^.

Если такой порядок недостижим, то мы получим некоторый аналог теоремы Лиувиля — Туэ — Зигеля — Рота для алгебраических решёток, так как отсутствие правильного порядка будет означать, что алгебраические решетки нельзя хорошо приближать целочисленными.

Проблема существования аналитического продолжения. Как показано

выше, для любой декартовой решётки существует аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки. Более того, для произвольной декартовой решётки получено функциональное уравнение, задающее это аналитическое продолжение в явном

ВИД6.

Естественно возникают вопросы о существовании аналитического продолжения для гиперболической дзета-функции в следующих случаях:

для решёток С. М. Воронина Л(Б,д), где Б — произвольное алгебраическое поле степени в над полем рациональных чисел ^ ад — простое натуральное число и целочисленная решетка Л(Б,д) соответствует идеалу £ С Ър с нормой N(£) = д, если фундаментальная решётка Ъа соответствует кольцу Ър целых алгебраических чисел поля Б. Сам С. М. Воронин вместе со своим учеником И. Темиргалиевым рассмотрел случай кольца целых гауссовых чисел и случай круговых полей (см. [14], [15], [16], [86]). Это объясняется тем, что и квадратичное поле гауссовых чисел, и круговые поля относятся к числу наиболее изученных алгебраических полей. В частности, там имеются теоремы

об описании соответствующих идеалов и о распределении их норм в арифметических прогрессиях, явно заданных алгебраическим полем.

для решётки совместных приближений Л(01,... ,0а), заданной равенством

Л(в1, ...,в8) = {(д,д01 - Р1,..., дв3 - Ра) | д,р1, ...,ра Е Ъ},

где 01,... ,в3 — произвольные иррациональные числа. Важность таких решеток уже обсуждалась в связи с проблемой Литтелвуда (см. стр. 7).

Легко видеть, что взаимная решетка А*(01,..., 93) имеет вид Л*(в1, ... ,0а) = {(д - 0р - ... - 0 а, Ра, Р1, . . . ,Ра) | д,Р1, ...,Ра Е Ъ}.

Естественно предполагать, что гиперболические дзета-функции этих решеток связаны некоторым функциональным уравнение между значениями в левой и правой полуплоскостях.

для алгебраической решётки Л(1,Б) = 1Л(Б), где решётка Л(Б) задана равенством (3) (см. стр. 7) или равенством (127) (см. стр. 94).

для произвольной решётки Л. Если для произвольной решётки гиперболическая дзета-функция не продолжается на всю комплексную плоскость (что весьма сомнительно), то требуется описать класс всех решёток, для которых гиперболическая дзета функция аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, кроме точки а = 1, в в

По-видимому, ключом к решению проблемы аналитического продолжения является дальнейшее изучение возможности предельного перехода для гиперболических дзета-функций декартовых решеток в левой полуплоскости по сходящейся последовательности декартовых решёток.

Если такой предел всегда существует, то, переходя в функциональном уравнении слева и справа к пределу, получим функциональное уравнение для предельной решётки. Наиболее перспективно должно быть получение функционального уравнения только в терминах взаимных решёток, так как сходимость последовательности решёток эквивалентна сходимости соответствующих взаимных решёток. Здесь необходимо подчеркнуть, что основная сложность должна быть в случае, когда предельная решётка недекартовая и имеет тольку одну главную компоненту. Например, все алгебраические решётки относятся к этому случаю.

Проблема поведения в критической полосе. На важность этой проблемы указывал в беседах Н. М. Коробов. Он высказывал гипотезу, что аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решётки в критическую полосу из правой полуплоскости и аналитическое продолжение в критическую полосу гиперболической дзета-функции взаимной решетки или присоединеных решеток из левой полуплоскости позволит получать константы в соответствующих теоремах переноса.

Проблема значений тригонометрических сумм сеток. Нормированные тригонометрические суммы параллелепипедальных сеток имеют два значения: 0 и 1. Для нормированных тригонометрических сумм двумерных сеток Смоляка таких значений три: 0, 1 и -1. Для неравномерных сеток

имеется или хорошая равномерная оценка О ( .— ), или они равны 1.

Очень важно получить оценки нормированных тригонометрических сумм для алгебраических сеток.

Если эти суммы имеют спектр значений не сосредоточенный около точек О и 1, то алгебраические сетки нельзя хорошо приблизить параллелепипе-дальными сетками, а алгебраические решётки нельзя хорошо приблизить целочисленными решётками.

В заключении авторы выражают свою глубокую благодарность профессорам Г. И. Архипову и В. Н. Чубарикову за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям, // Аналитическая теория чисел и теория функций: 10. Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1990. N 185. С. 5-12.

[2] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. И. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1986.

[3] Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

[4] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3-18.

[5] Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н., Применение теоретикочисловых сеток к задачам приближенного анализа // Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964. Т. II. С. 580 — 587.

[6] Боревич 3.11.. Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

[7] Бочарова Л. П., Ванькова В. С., Добровольский Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов // Мат. заметки. 1991. Т. 49. Вып. 2. С. 23-28.

[8] Бочарова Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебы-шевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 1(21). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 4 — 109.

[9] Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.

[10] Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных куба-турных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток. Владивосток: ВЦ, 1985. (Препринт.)

[11] Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1-13. (Препринт.)

[12] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

[13] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: ФизМатЛит, 1994.

[14] Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. N 5. С. 189-194.

[15] Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. N 4.

[16] Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. N 2. С. 34-41.

[17] Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1940.

[18] Гельфанд И. М., Фролов А. С., Ченцов Н. Н. Вычисление интегралов методом Монте-Карло // Изв. вузов. Математика. 1958. N 5(6). С. 32-45.

[19] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

[20] Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени // Научн. тр. / Мат. пн- г им. В. А. Стеклова. 1940. Т.П.

[21] Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.; Л.: Изд-во. АН СССР, 1947.

[22] Добровольская Л. П., Добровольский М. 11.. Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283с.

[23] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебы-шевский сборник 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.

[24] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. 11.. Ого-родничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90 — 98.

[25] Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3 Вып. 2 (4) С. 43—59.

[26] Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток / / Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГУ, 2002. С. 22 — 23

[27] Добровольский М. И. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 - 90.

[28] Добровольский М. И. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.И.Толстого. С. 95-121.

[29] Добровольский М. И. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.

[30] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // ДАН. Т. 412, №3, Январь 2007. С. 302 - 304.

[31] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №3. С. 18 — 23.

[32] Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090-84.

[33] Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Еа (с) и Щ(с). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6091-84.

[34] Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дне. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.

[35] Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Авто-реф. дне. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, 1985.

[36] Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения// Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. С. 67-70.

[37] Добровольский Н. М.,Ванькова В. С. Об одной лемме А.О. Гельфонда. Деп. в ВИНИТИ 08.01.87, N 1467-В87.

[38] Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решёток. // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик, конф. Ташкент, 1990. С. 22.

[39] Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327-В90.

[40] Добровольский Н. М., Клепикова Н. Л. Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов // ИОФАН СССР. 63. Москва, 1990. (Препринт.)

[41] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб.тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. С. 53.

[42] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. С. 49.

[43] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 1996. С. 77-87.

[44] Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56-67.

[45] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. С. 363-369.

[46] Добровольский Н. М., Реброва И. К)., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. С. 522-526.

[47] Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.

[48] Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 51-71.

[49] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. К).. Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100-113.

[50] Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5 Вып. 3. Тула, 1999. С. 38-51.

[51] Добровольский И.М., Коробов И.М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток // Чебышевский сборник. Научные труды по математике. Т. 2. — Тула, 2001. — С. 41 — 53

[52] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. - 195с.

[53] Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 1(21). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 110 - 152.

[54] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМат-Лит, 1983.

[55] Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

[56] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. №6. С. 1062-1065.

[57] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, №6. С. 1207-1210.

[58] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19-25.

[59] Коробов Н. М. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления кратных интегралов. Резюме докл. на заседании Моск. мат. об-ва. // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2 (86). С. 227-230.

[60] Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. №5. С. 1009-1012.

[61] Коробов Н. М. О некоторых задачах теории чисел, возникающих из потребностей приближенного анализа: Сообщение на IV математическом съезде (не опубл.).

[62] Коробов Н. М. О применении теоретико-числовых сеток // Вычислительные методы и программирование: Сб. Моск. ун-т. 1962. С. 80-102.

[63] Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах в приближенном анализе // Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз. 1963.

[64] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

[65] Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). С.83-118.

[66] Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 267. 1982. №2. С. 289-292.

[67] Коробов Н. М. Об одной оценке А. О. Гельфонда // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1983. N3. С.3-7.

[68] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

[69] Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83-90.

[70] Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Историко-матем. исследования. СПб., 1994. Вып. XXXV. С. 285301.

[71] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

[72] Н. К. Огородничук, Е. Д. Ребров ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилами остановки // Материалы международной научнопрактической конференции Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, С. 254 — 258.

[73] Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток Тез. докл. III Между нар. конф. / / Современные проблемы теории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.

[74] Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99-108.

[75] Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

[76] Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

[77] Рышков С. С., Барановский Е. П. Классические методы теории решётчатых упаковок // УМН. Т. 34. В. 4 (208). 1979. С. 3-63.

[78] Скубенко Б. Ф. О произведении п линейных форм от п переменных // Труды МИАН СССР. N 158. 1981. С. 175-179.

[79] Скубенко Б. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени п ^ 3 Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 112. 1981. С. 167-171.

[80] Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 168. 1988. С. 125-139.

пп

при п ^ 3 II Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 183. 1990. С. 142-154.

[82] Смоляк С. А. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах Wsа и Еа Ц ДАН СССР 131, 1960, N 5 С. 1028-1031

[83] Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР Т. 148, N5,0. 1042 - 1045 (1963)

[84] Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. кандидатская диссертация

[85] Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

[86] Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Матем. сб. 1990. Т. 181. N 4. С. 490-505.

[87] Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Из-во И. Л., 1953.

[88] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. N 4. С. 818-821.

[89] Фролов К. К. О связи квадратурных формул и подрешёток решётки целых векторов // ДАН СССР. 232. 1977. N 1. С. 40-43.

[90] Фролов К. К. Оценка сверху дискренанса в метрике Ьр, 2 ^ р < то //

ДАН СССР. 252. 1980. N 4. С. 805-807.

[91] Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1971.

[92] Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

[93] ЧудаковН. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М.: ОГИЗ Госте-хиздат, 1947.

[94] Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. N 4. С. 784-802.

[95] Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mitteleren Werthe in der Zahlentheorie // Abh. Akad. Berlin (Werke. 2. 49-66) 1849. Math. Abh., 69-83.

[96] Gauss C. F. Untersuchungen tiber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen von Ludvig August Seeber // Gottingische gelehrte Anzeigen. 1831. Juli 9.

[97] Gauss C. F. Werke. Bd 2. Gottingen, 1863. S. 269-291.

[98] Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, -Springer-Verlag Berlin, 1981.

[99] Huxley M. N. Exponential sums and lattice points II. Proc. London Math. Soc. 66. 1993. No. 2. P. 273-301.

[100] Larcher G. Niederreiter. Optional coefficients modulo prime powers in the three-dimensional case // Ann.mat.pura ed appl. 1989. N 155. P. 299-315.

[101] Minkowski H. Geometrie der Zahlen. Leipzig - Berlin, 1896.

[102] Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)

Институт экономики и управления

Геофизический центр РАН

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Тульский государственный университет

Поступило 17.11.2012

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ

Журнал ’’Чебышевский сборник” является общематематическим. В журнале публикуются оригинальные и обзорные работы по всем разделам современной математики и информатики на русском или английском языке.

Журнал “Чебышевский сборник” выходит один раз в год в одном томе и четырех выпусках.

Редакция журнала “Чебышевский сборник” предлагает авторам ознакомиться с данными правилами и придерживаться их при подготовке рукописей, направляемых в журнал.

1. Общие положения

1.1. Рукопись сопровождается краткой аннотацией на русском и английском языках размером не более 15 строк. Все материалы представляются в редакцию в двух экземплярах.

1.2. Текст статьи начинается с шифра УДК, затем следуют заглавие статьи, инициалы и фамилии авторов, с указанием в скобках города проживания, аннотация. На отдельной странице приводятся фамилии и инициалы авторов в латинской транскрипции и перевод на английский язык заглавия статьи и аннотации. Статья должна быть подписана на первой странице авторами с надписью “в печать”. Рукопись необходимо тщательно выверить, так как корректура авторам не высылается. Все страницы рукописи, включая таблицы, список литературы, рисунки и подписи к рисункам, следует пронумеровать. После списка литературы приводятся названия учреждений, в которых выполнена работа.

1.3. На отдельном листе указываются сведения о каждом из авторов: фамилия, имя, отчество- полностью, ученая степень, звание, должность, полное название учреждения, полный почтовый адрес, номер телефона с кодом города, адрес электронной почты (e-mail). Обязательно следует указать автора, ответственного за переписку и переговоры с редакцией.

1.4. Отклонения в оформлении рукописи от приведенных правил позволяют редколлегии принять решение о снятии с публикации статьи в текущем томе журнала (статья может быть опубликована в следующем томе).

2. Требования к оформлению рукописей

2.1. Редакция принимает к публикации статьи, подготовленные только в системе LTeX(версия не ранее 1.2); при этом в редакцию одновремен-

но с распечаткой статьи представляются также соответствующие файлы. Статьи, подготовленные на компьютере в других текстовых редакторах, а также машинописный или рукописный варианты не принимаются.

2.2. При подготовке статьи в AMS- MEX е следует использовать класс article (см. пример в конце).

В статье запрещается переопределять стандартные команды и окружения. Пример подготовки статьи находится на \¥еЬ-страничке home.tula.net/gslie

2.3. Нумеруемые формулы необходимо выделять в отдельную строку. Номер формулы ставится у правого края страницы. Нумерация только арабскими цифрами в порядке возрастания с единицы. Нумеровать следует только те формулы, на которые в тексте имеются ссылки. Запрещаются прямые ссылки по номеру на формулы из других работ. Запрещается использовать в формулах буквы русского алфавита.

2.4. Все рисунки и таблицы должны иметь подпись. Файлы с рисунками необходимо представить в формате *.РСХ . Максимальный размер рисунка или таблицы вместе с подписью не должен превышать 80% размера А4. Не допускается заканчивать статью рисунком или таблицей.

2.5. Список литературы оформляется с в соответствии с требованиями журнала в порядке цитирования, с обязательным указанием следующих данных: для книг — фамилии и инициалы авторов, название книги, место издания, издательство, год издания; для статей — фамилии и инициалы авторов, название статьи, название журнала, год издания, том, номер (выпуск), страницы начала и конца статьи (для депонированных статей — обязательно номер регистрации).

3. Пример оформления литературы

[1] Боревич 3. П., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М. Наука, 1985.

[2] Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток // Чебышевский сборник. 2001. Т. 2. С. 41-53.

[3] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М. Физматлит, 1994.

[4] Archipov G. I., Buriev К., Chubarikov V. N. Exponential sums in some binary additive problems over prime parameters // Materials of international scientific workshop on analytic number theory and its applications. Moscow. M. S. U. 1997. P. 12-13.

[5] Голод E. С. Комплекс Шафаревича и его применения. Дисс. ... д. ф.-м. н. М.: МГУ, 1999.

4. Пример оформления статьи

\documentclass[12pt,]{article}

\usepackage[russian]{babel}

\textwidth=150mm \textheight=220mm \oddsidemargin=-5mm \topmargin=-10mm

\newtheorem{theorem}{\indent {\sc Теорема} \renewcommand{\thetheorem}{\rm \arabic{theorem}}} \newtheorem{lemm}{\indent {\sc Лемма}}

\renewcommand{\thelemm}{\rm \arabic{lemm}} \newtheorem{corollary}{\indent {\sc Следствие}} \renewcommand{\thecorollary}{\rm \arabic{corollary}} \newtheorem{note}{\indent {\sc Замечание}}

\renewcommand{\thenote}{\rm \arabic{note}}

\begin{document}

УДК 519.14

\begin{center}

{\large \bf 0 ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ ГРУПП С

\medskip ОДНИМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЕМ} \footnote{Pa6oTa вьшолнена при финансовой поддержке РФФИ, грант $\cal N$

00-01-00767.}

\medskip

{\large В.~Н.~Безверхний, Н.~Б.~Безверхняя (г. Тула)}

\end{center}

\begin{abstract}

В работе доказывается гиперболичность некоторых классов групп с одним определяющим соотношением.

\end{abstract}

Пусть $С=\1ап§1е А; !1\гап§1е$~— конечно определенная группа с множеством образующих $А$ и множеством определяющих

соотношений $11$. Слово ${ы\д.п Р(А)}$, $Р(А)$~----------свободная

группа, равно единице в $0$ тогда и только тогда, когда

\Ье§д.п{едиа-Ьд.оп}

\labeHeql}

¥=\ргос!_{1=1}''п 3_д.'Ч\уагерзд.1оп_д.}!1_д.''-[\уагерзд.1оп }3_1''{-\уагерз11оп_1}

\end{equatlon}

в свободной группе $Р(А)$, где $3_1\1п Р(А)$, $\уагерз11оп_1=\рт 1$, $!1_дЛд.п И$, $1=\оуегНпе-[1 ,п}$.

{\эс Определение 1} {\д^ (\с^е{Кар}). Пусть $й$~--------

конечнопорожденная группа, $Х$~— конечное множество ее

образующих и $\е11 _х$~----- словарная функция длины в $0$. Пусть

$Н$~---- конечно порожденная подгруппа группы $0$ и $У$~-------

множество образующих группы $Н$ и $\е11 _у$~— словарная функция длины в $Н$. Будем говорить, что $Н$ квазивыпукла в $0$, если существует $с>0$ такое, что для любого $Ь\д.п Н$ имеем $1/с~\е11 _х(Ь)\1ед \е11 _у(Ь)\1ед с\е11 _х(Ь)$.}

\begin{lemm} (\cite{Bezv}). Пусть $F=\langle а_1, a_2,\ldots ,

a_n\rangle$~— свободная группа, $а_1, a_2,\ldots , а_п$~---------- ее

свободные образующие. $H=\langle a_l,\ldots ,a_k, f(a_l,\ldots ,a_n)\rangle$~— собственная подгруппа группы $F$ такая, что $k<n$ и $f~*\notin Mangle a_l,\ldots ,a_k\rangle$, тогда, если $c$ минимален в $НсН$, $НсН\пе НН$ и $сНс~{-1}\сар Н\пе Е$, то

$сНс~{-1}\сар Н$~----- циклическая подгруппа.

\end{lemm}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Kap}

Kapovich~I. A non-quasiconvexity embedding theorem for hyperbolic groups // Math. Proc. Comb. Phil. Soc. 1999.

V.\ 127. P.“461“ —“486.

\bibitem{Bezv}

Безверхний~В.~Н. Решение проблем сопряженности слов в одном классе групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвуз. сб. науч. тр. Тула, 1997. С.~4~--~38.

\end{thebibliography}

\noindent Тульский государственный педагогический университет им. JI .Н .Толстого.

\end{document}

Адрес редакции: г. Тула, пр. Ленина, 125, учебный корпус № 4 ТГПУ им. Л.Н.Толстого, комната 310, Редакция Чебышёвского сборника.

Электронные адреса (E-mail): [email protected]