Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 2 (2010)

УДК 511.9.

РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ДЕКАРТОВЫХ РЕШЁТОК1

М. Н. Добровольский (г. Москва)

Аннотация

В данной работе получено функциональное уравнение для дзета-функции произвольной декартовой решётки. Ранее аналогичный результат автор получил относительно дзета-функции и гиперболической дзета-функции только для произвольной целочисленной решетки ([8], [9]).

1 Необходимые сведения о решетках

Сначала напомним некоторые определения.

Определение 1. Пусть А1,..., \т, т ^ в — линейно независимая система, векторов из . Множество Л всех векторов вида а1А1 +... + атАт, где 1 ^ г ^ т независимо пробегают все целые числа, называется т-мерной решёткой в Ж3, а векторы А1;..., Ат — базисом, этой решётки.

Если т = в, то решётка называется полной, в противном случае — неполной. В этой работе под решётками понимаются полные решётки. Очевидно, что Ъ3

— решётка, её ещё называют фундаментальной решёткой.

Пусть Л произвольная целочисленная решетка в Ж3, т,е, Л подрешетка фундаментальной решетки Ъ3, тогда

Л = {т1А1 + ... + т3А3|т1;..., т3 € Ъ] и А1,...,А3 - линейно независимая система целочисленных векторов.

Определение 2. Для решётки Л взаимной решёткой Л* называется, множество 2

Л* = {у IV х € Л(у,х) € Ъ ] . (1)

1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790

23десь и далее скалярное произведение (у, х) = у\х\ + ... + уяхя.

Очевидно, что взаимная решётка Л* для решётки Л задается взаимным базисом А*,..., А*, определяемым равенствами

А* Л

г3

1 при і = О при і =

(2)

Нетрудно видеть, что фундаментальная решётка Ъ3 совпадает со своей взаимной решёткой и является подрешёткой взаимной решётки любой целочисленной решётки. Кроме того, если Л1 С Л С Ъ3, то Ъ3 С Л* С Л*; для любо го С = 0

имеем (СЛ)* = Л*/С, Для любой решётки справедливо равенство для детерминантов решёток: detЛ* = ^е^)-1.

Остановимся на понятии декартовой решетки и приведем без доказательства необходимые факты из [2].

Определение 3. Простой декартовой решёткой называется сдвинутая решётка Л + X вида

Л + X = (^ ■ Ъ + х1) х (£2 ■ Ъ + х2) х ... х (£3 ■ Ъ + х3), где^ = 0 = 1,...,в).

Другими словами, если сдвинутая решётка Л + X — простая декартова решётка, то она получается из фундаментальной решётки растяжением по осям с коэффициентами ^,..., £3 и сдвигом на вектор X

Определение 4. Декартовой решёткой называется, сдвинутая решётка, представимая, объединением, конечного числа простых декартовых решёток.

Определение 5. Декартовой решёткой называется, сдвинутая решётка, у которой найдется сдвинутая подрешётка, являющаяся простой декартовой решёткой.

Теорема 1. Определения 4 и 5 эквивалентны.

Теорема 2. Любой сдвиг рациональной решётки является, декартовой решёткой.

Две решётки Л и Г называются подобными, если Г = £(^,...,4) ■ Л

где

к = тЖ'-'І

( <1\ ... О \

Г,

£(^і,... ,4)

а

О

— произвольная диагональная матрица, 11 ■ ... ■ 13 = 0.

Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка 5 будем обозначать

ДДЕ) = {0(1Ь..., 4) | 4 ■ ... ■ (13 = 0}.

Относительно операции матричного умножения 03(М) — мультипликативная абелева группа.

Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц 0и3(К) является подгруппой группы 03(М), Кроме того,

03(Е) = 0и3(Е) х Е+,

где изоморфизм ^ между 03(М) и прямым произведением 0и3(К) х М+ устанавливается по правилу

^(0(1Ь ... ,13)) =

в ( ^ =,..., ,</|^1-...-4

\yZ\di • • • • • 4| \f\di • • • • • 4|)

Обозначим через 0М3)£(1) множество всех диагональных матриц 0(11,... ,13) с

||°(11,...,13)| ^ е,

а через ОМ*£(М) — множество всех диагональных матриц 0(11;..., 13) с

||0(1Ь... ,13)|| ^ е, и

Так как 0М3* £(К) — компактное подмножество множества М3* е(Е), а Т3(0,е)

— компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решётки Л + X ее замкнутая е - окрестность траектории 03(М) ■ (Л + X) при достаточно малом е будет полным метрическим пространством.

Теорема 3. Произвольная декартова решётка подобна сдвинутой целочисленной решётке.

Л

Ъ

Л

Л

Л

существует единственное представление

Л = 0(^1,...,£,) ■ Ло, *1,...,*3 > 0, (3)

где Л0 — простая решётка.

Дадим следующее определение,

Л

О (с?) ■ Z3 называется минимальной, если, для, любой декартовой подрешётки 0(4) ■ Z3 решётки Л выполнены соотношения,

Если минимальная декартова подрешётка существует, то ее определитель будет минимальным среди всех определителей декартовых подрешёток решётки Л

Л

лъная декартова, подрешётка.

Обозначим через М* (Л) множество точек решётки Л, попавших в полуоткрытый 5 - мерный куб [0^е1Л)3, таким образом для любой целочисленной решётки Л множество М* (Л) является полной системой вычетов решётки Л по подрешётке ёе1 Л ■ Z3,

Докажем следующую теорему о разбиении произвольной декартовой решетки Л + X па простые декартовые решетки.

Теорема 7. Для, любой декартовой решётки Л+X существует единственная, простая реш,етка, Л0 такая, что решетка Л подобна простой решетке Л0 с диагональной матрицей 0(^1,..., £3). Справедливо разбинение на непересека-ющиеся, декартовы, подрешётки:

где X = 0(£ь..., £3) ■ £.

Л

решёткой, то по теореме 5 имеет место единственное представление (3) с одно-

Л0

Так как простая решётка разбивается на непересекающиеся классы вычетов по подрешётке ёе1 Л0 ■ Z3:

Л э 0(1) ■ Z3 э 0(11) ■ Z3.

(ёе1 Л0 ■ Z3 + у),

(5)

УеМ *(Ло)

то из (3) и (5) следует утверждение теоремы.

2 Гиперболическая дзета-функция решётки

Рассмотрим произвольную решётку Л С К3, 5 ^ 2.

Л

функция (я(Л|а), а = а + И, задаваемая при а > 1 абсолютно сходящимся рядом

(я(Л|а) = ^ (х1 ■ ... ■ х3)-“, (6)

Х еЛ

где ^2' означает, что из суммирования исключен X = 0, а для всех вещественных значений X полагаем, X = тах(1, 1x1).

Определение 9. Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки Л

называется, функция (я ( Л + Ъ сходящимся рядом

а у а = а+И, задаваемая при а > 1 абсолютно

(я (Л + Ъ а) = ^ (Х1 ■ ... ■ Х3)-а. (7)

х ел+ь

Как обычно через N(X) = |х1 ...х3| будем обозначать мультипликативную норму вектора X. Она отлична от нуля только для точек общего положения, т. е, точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, дадим новые определения.

Л

((Л|а), а = а + й, задаваемая при а > 1 рядом

С(Л|а) = ^ |Х1 ■ ... ■ Х3|-а. (8)

Х еЛ , N(Х)=0

Вообще говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки Л, так как соответствующий рад может расходиться для любого значения а = а + й, но для произвольной декартовой решётки Л она очевидно существует а>1

Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной ре-ЛЛ дзета-функций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат. Более точно это утверждение будет приведено далее в тексте работы.

Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функция решётки, а дзета-функция решётки является.

с(Т ■ Л|а) = Т-3аС(Л|а), С(0(*1, ..., *3) ■ Л|а) = (*1... (Л|а).

Определение 11. Обобщенной дзета-функцией решётки Л называется функция ( ( Л + Ъ

а у а = а + И, задаваемая при а > 1 рядом,

( (л + Ъ а) = ^ |х1 ■ ... ■ Х31—а. (9)

Х еЛ+Ь, N(Х)=0

При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки Л то подрешётке detЛ ■ Z3 и затем функциональное уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, Кроме этого необходимо отметить, что понятие дзета-функции решётки позволяет упростить рассуждения и формулы.

3 Сетки и тригонометрические суммы решёток

Для реализации этого подхода приведем необходимые сведения о тригонометрических суммах решётки.

Через С3 = [0; 1)3 будем обозначать ^-мерный полуоткрытый куб. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество М из С3, Под сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (М, р), где р — произ-

ММ с упорядоченной парой (М, 1), т. е, с сеткой с единичными весами: р = 1,

Определение 12. Произведением двух сеток с весами (М1,р1^ (М2,р2) из С3 называется сетка с весам,и (М, р):

М = {{х + У}| х е М1, у Е М2 }, р(у) = ^ р1(х)р2(у),

{Х+у} = г,

ХеМх, г/ еМ2

где {у} = ({^1},..., {^3}).

Произведение сеток с весами (Мьр^ и (М2, р2) обозначается через (М1,р1) ■ (М2,р2). Кроме этого, если (М,р) = (М1,р1) ■ (М2,р2), то будем писать М = М1 ■ М2 М М1 М2

( М, р)

и произвольного целочисленного вектора т называется, выражение

Б(т, (М,р)) = ^ р(Х)е2пг(т’Х). х ем

Легко видеть, что для любых сеток с весами (Мьр^ и (М2,р2) справедливо равенство

Б(т, (М1,р1) ■ (М2,р2)) = Б(т, (М1,р1)) ■ Б(т, (М2,р2)). (10)

Определение 14. Если справедливо равенство

(М, 1) = (М1,1) ■ (М2,1),

М1 М2

Таким образом, если М1 и М2 — взаимно простые сетки, то равенство г = {X + у} имеет не более одного решения для X € М1 и у € М2. Поэтому для взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство |М1 ■ М2| = |М1| ■ |М2|.

При р = 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.

М

целочисленного вектора т называется величина,

Б(т,М) = ^ е2пг(т’Х).

х ем

М1 М2

равенство

Б (т, М1 ■ М2) = Б (т, М1) ■ Б (т, М2). (11)

Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки Л, целого вектора т и произвольного вектора X из взаимной решётки Л* величины:

„ ( п) = Г 1, если т € Л, .* (Х) = Г 1, если X € Z3,

дл(т) = | 0, если т е Z3 \ Л, дл(х) = \ 0, если X € Л* \ Z3.

Символ £л(т) является многомерным обобщением известного теоретикочислового символа Коробова

„ ( ) = Г 1, если т = 0 (mod N),

N(т) | 0, если т = 0 (mod N).

М(Л)

вается, множество М(Л) = Л* П С3.

Л

М(Л) Л*

тальной подрешётке Z3, Отсюда следует равенсто |М(Л)| =

= det Л.

Определение 17. Полной линейной кратной тригонометрической суммой

Л

Кт, Л)= £ е2™(т,х) = ^ е-

г->2пг(гт,Х)

е

х ем (Л) х ел*^3

т

М(Л)

равенство Б(т, М(Л)) = з(т, Л),

Определение 18. Полной линейной кратной тригонометрической суммой Л* Л

N

5* (X, Л)= £ е2™(т’х) = ^ е2™(т’Х),

т е Zs /Л j = 1

где X — произвольный вектор взаимной решётки Л* и т 1,...,тN - полная си,стем,а, вычетов решётки Z3 по подрешётке Л.

Справедливы следующие двойетвеннные утверждения.

Теорема 8. Для з(т, Л) справедливо равенство

з(т, Л) = £Л(т) ■ detЛ.

Доказательство. Для любого т € Л и любо го X € М (Л) имеем (т, X) € Z, поэтому

5(т, Л) = ^ е2пг(т’х) = ^ 1 = detЛ.

х ем (Л) х ем (Л)

Если т € Л. то найдется у € М(Л) такой, что (т,у) € ^ етачит, е2пг(т,:^ = 1,

Отсюда и из свойств полной системы вычетов решётки относительно подрешёт-

ки получим

5(т, Л) = ^ е2™(т,Х) = ^ е2пг(т,х+?/) = е2пг(т,?/)5(т, Л).

х ем (Л) х ем (Л)

Следовательно,

(е2пг(т’?/) -1)5(т, Л) = 0, 5(т, Л) = 0.

□

Теорема 9. Для любой целочисленной решётки Л с detЛ = N и для, произвольного X € Л* справедливо равенство

5*(Х, Л) = $Л (X) ■ detЛ.

Доказательство. Если X € Zs, то е2пг(х’т) = 1 и утверждение очевидно.

Если Л С Zs и Л = Z's, то Л* \ Zs = 0 и для люб ого X € Л* \ Zs найдется ш € Zs такой, что (X, ш) € Z. Отсюда и из определения полной системы вычетов следует, что найдется такое, что (X, гп,^0) € е. е2пг(х’т'о) = 1, Далее из

свойств полной системы вычетов и определения взаимной решётки следует, что

N N

5*(Х, Л) = ^ е2пг(Х’т') = ^ е2™(х’т +™0) = е2™(г’т*>)5*(Х, Л)

.?=1 .? = 1

и, следовательно,

з*(Х, Л) = 0.

□

4 Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами

В дальнейшем будет использоваться периодизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица

С*(а;Ь) = ^ (п + Ь)-“, (^ > і)-

0<га+6

Нетрудно выписать различные явные формулы для аналитического продолжения на всю комплексную плоскость кроме точки а = 1 периодизированной

Ь

риодизированная дзета-функции Гурвица имеет полюс первого порядка с вычетом равным 1. Приведенные ниже формулы покрывают всю комплексную плоскость, задавая явный вид аналитического продолжения (*(а; Ь).

Е (n + b)'

0<n+b

+ - а (а + 1) J 2ха+2

С*(а; b) = <

+

а > і, {b} = 0, а>-і, - а(а + 1) J . {6}/0,<г>-1,

(12)

2(2ir)“-1r(l-a) sin f £ ajfe* +cos ш £ ajfei! _ a <0.

Рассмотрим частный случай рядов Дирихле с периодическими коэффициентами вида,

b

2-7гг — Є n

m=1

ma

(а > і)

(13)

и докажем для этого ряда Дирихле в нужной для дальнейшего форме частный случай общей теоремы (см, [7, с, 88]) об аналитическом продолжении рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на всю комплексную плоскость.

Лемма 1. При а > 1 справедливо тождество

, b \ (С (а) пр w£n(b) = 1,

lV’n) = <•(“•-) npuS„(b) = 0. (14)

^ j=1 \ nj

Доказательство. Действительно, при £n(b) = 1 утверждение тривиально, так

2тг? ^ 1

как е « =1,

Пусть £„(&) = 0, тогда е27гг« ^ 1, Далее имеем:

7 \ П ОС о—b(j+mn) n QO

‘(а--)=ЕЕг—V=-Ee“- Е

\ n / ^' ( j + mn)a na '

п I ^ ^Aj + mn)a па ^ ^ (L + m\

j = 1 m=0 w 7 j=1 m=0 Vn )

n

1

j=1

Доказательство. Рассмотрим функцию

[t]-1

/(()= fe^du= + fe^du

J k=1 ^

,2-7гг^1 „2-7гг —

[t]

+ e2™^{i},

и лемма полностью доказана, □

Лемма 2. Дрм а > 0 и £n (b) = 0 справедливо тождество

]е^ 7е2"Ег7" +e2-^w

J =(« + !)/ е И~\а+2-(15)

11

которая непрерывна для любого £ ^ 1 и кусочно дифференцируема во всех точках, кроме натуральных значений аргумента.

Пусть к — натуральное ик<с<^<к + 1, тогда в силу формулы интегри-

1

t

рования по частям имеем:

„2-7гг— £(+\

е '-Л т

^«+1

^«+1

Є п

4+1 + (а + 1)

е2^_е2^ Л1ИГ„1 ^■4-! +е

а+1

С

27гг— 0 - Ь[£] ,

п —Є п | 27Гг^^ Г-Л

+ е "{Ч

£а+2

-СІІ.

Переходя к пределу по д и по с, получим

к+1

р2тгг^

Єп

^«+1

k

к+1 е2пі

м

п —е п

е27гіі^-е27гіп , 2т — .«{£-. +е " (/С + 1)“+1

м

Є27Г'п -1

/С" + 1

+ (а + 1)

С п — 1

„2-7гг

Єп

£а+2

{О -

-----сЙ = —

г ь(^ + 1) 27гг — 2ттг^ 2тгг-^-

г п —е ^ е п —е п

Є2,ГІП-1

(к + 1)

а+1

еМп-1 ка+1

к+1 е2

ггШ- 27гг — Гг п — е п

+ (а + 1)

Є п — 1

+Є

2тггМ

(і)

£«+2

-ей.

Суммируя по к от 1 до то, получим равенство несобственных интегралов

Єп

■ Ш

г,'М

іа+1

оо ел,'‘—-ел‘'‘п , „2тгг^ Г+1

Г ----------------^ е " Ш

сИ = {а + 1) —-— ---------;——---------------сИ

1

£«+2

и лемма полностью доказана.

□

Теорема 10. Для, натуральных и, целых Ь с £га(Ь) = 0 и а,политического продолжения функции I [а, на всю комплексную плоскость справедливы представления

I [ а,-и

Е

е2жг^

Єп

'-1

/

:_____Г5- (]+ —

і“+і аь 2тг г£

? Ь ’

е"-гп -1

а(а+1)е27Ггі е2,гіп — 1

/

27гг — г, - Ь[£]

^-----^+е2,Гг п {*}

*“ + 2

(2п)а—>Г{1 -а) £

7гг(сс —1) Є 2

ьЕ

его — 1

— 7гг(сс —1)

Є 2

=1 ("*-{#}) КШ)

а > 1, а> 0,

а > — 1, а< 0.

(и)

а

а

с

ь

27гг —

ь

ь

ь

ь

ь

27гг —

еп

1 — а

Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I (ск, -) существует в силу предыдущей леммы и свойств периодизированной дзета-функции Гурвица. При а > 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции I {а, ^ Для доказательства второго случая, применив теорему Абеля, получим

ЕОт}

в п ь оо Ш1

^.^27гг— г ^27гг^ 1

7 » I 7, ае ^ е гг — 1

I ск, — = а -----<И=--е----- -п--ш =

гг У У £“+1 е2^ - 1 У ^а+1

11

пр2жг — г р2-7гг— р2жг —

ае п I е п е п

-ей-

2жг— і / /а+1 р2жг — і

Є п — 1 ^ ь Є п — 1

1

и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при а > 0,

Третий случай непосредственно вытекает из второго и леммы 2, так как соответствующий интеграл сходится при а > —1,

Перейдем к доказательству последнего случая. Для этого запишем выражение периодизированной дзета-функции Гурвица в комплексной форме

Ґ п\ ( ; -п 00 с2тгг^ 00 -2жг^\

/ 1 \ і і пг(а — 1) х—^ Є п — пг(а — 1) х—^ Є п \

С = (2,)~‘Г(1 - а) + Е — . (17)

4 7 \ т= 1 т= 1 /

Суммируя по 1, найдем

і(а^\=1.'£е2’^С («Л) = (21Г)°"‘Г(1 - «) х

и / иа ^—' \ и / и

І=1

ОО п

тгг(а-І) \ ^ I \ ^ ПІ

X I е 2 \ --- \ е2?гг" е2?п " +

/ ^^1—а ^

т=1 .7 = 1

о ^ п

г(а-1) \ ^ I ^ 27гг^„-2тгг^

■ е 2 > -------- > е « е «

/ ^^1—а ^

т= 1 І=1

ОО г(ск — 1) ^^ 1 —7гг(сс —1)

і 7тг(а — 1) х ^ — пг(а — 1) х ^

= (2тт)“- Г(1— а) 6 2 _ гІгчі-^ +е " 5]

т= 1 ' 1п/' т=0 ' 1п/'

и теорема полностью доказана, □

Полученный результат применим к ещё одному виду рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть

Ґ Ь\ 00 р27™—

г(«.^ = Е ^ <18)

' / т=—о

Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-функция целочисленных решёток при а > 1, если воспользоваться тригонометрическими суммами решёток, а именно, для любой целочисленной Л

£л (т)

<я(ЛН + 1 - £ (я, • х,)-° + 1-^2 -(,7 . . т )

х еЛ теZs

1 ___ ___ л2пг(гт’Х)

ЕЕ

detЛ ^ ^ (т 1 • ... • т3)с

X еМ(Л) теZs '

1*

П<*,£|Н

(20)

det Л ^ т" det Л ^ V det Л /

X ем (Л) з=1 т? = -о 3 х еМ (Л) з=1 4 7

где (X) = хз- det Л — целое число (^' = 1,..., в) для любой точки X = (х1,..., х5) € М(Л).

Теорема 11. Для натрралъных п, целых Ь с £га(Ь) = 0 и аналитического продолжения функции I* (а, но ес?о комплексную плоскость справедливы представления

оо е

Е ---------, <т>1,

/_У ---г\ ' '

—Е—/--------------*гп---------------------------------------<и, сг > О,

е п — 1 ^ Т

оо

<*(<*+-!) Г £(*Л

2жг — , Л *“ + 2 ’ ’

е П —1 ^

о

1 + 2(2тг)"-1Г(1-о;)со8^^ • п1~а Е . 1 .1 , ^<0,

т=-о (пт+ь)

где

^27тг— (^2т — \ ^—2яxi^L ^>—2'к1 — \

е п I е п — е п + е п — е п I

9(«Лп) = --------------------—д—-------------------------+

е п — 1

ЖШ+И -2пгЬЩ г ,

е п — е п I {ь}.

Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I* (а, существует так как для неё справедливо следующее представление.

1'{а’^) = 1(а'^) + 1 + 1(а'~1)- (21)

При а > 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции **(“.;)■ " "

Для доказательства второго случая, применив теорему 10 к равенству (21), получим

Ь \ Г л2тгг— 2-7гг —

Ь \ ае п е п , е п

/* ( О!, — ) — -£--- I ———(Й — -------1-----Ь 1 +

П) е^г- _ I У £«+1 е2тгг- _ Х

1

пр—2жі- г р—2жі — р—2жі-

аЄ п Є п Є п

- 1 У і"+1 * е_27ГІ« - 1

1

пр2жі — г р2-7гг— р2жг —

аЄ п Є п Є п

с2тгг-^ і /«+1 с2тгг^ і

Є п — 1 и ь Є п — 1

1

°? -2жг^ і ^ 2тггЬ(М + 1) -2тгг^

О! [ Є гт гг 1 О! Г егт гг - е гт гг

-аЬ + ——т--------------- = ——т------------ ---------------—-;------------СІЇ

~2т: г— і / /оН-1 ^27гг— і ^27гг— і / /л+1

Є п 1 Є п 1 Є п 1

и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при а>0

Аналогично получается третий случай:

27Г г^І 27Г г— 0 • Ь[£] , ^

, оо е и — е и і „2-і:г(4-\ „ . і,

Ц _ «(а + 1)е2?ггп [ е2жіп-і ^ е " , 1,

СК, — ) — --------------г---------- / ----------------------—-----------------СІЇ — --------г------- -|- ІТ

П / р2?ггп - 1 ./ І"+2 р2?ггп - 1

*

I

а(а + 1)Є

— 2пі

п—А Ь [^] —27Гг —

ъ оо е гіТг П -Є г7Тгп

" [ Є-2жІп-1

+ е~2^{Ь}

—2жг — і п1

іа+2

-СІІ —

р—2жі —

Єп

— 2жг — і п1

о; (а + 1)е2™;

ОО е2жі^-е2жіп

[ е2жі^-1

+Є

2пі

т

(і)

2жі —

Єп

1

■ Ці]

а (а + 1)

2ж і — і

Є п 1

гп -і

+Є

іа+2

м

— 2пі

іа+2

(і)

-сіі—

л = а(«+11х

Єп

Є27ГІЙ ( е27ГІ^-Є27ГІп+е-

• М

X

е2-4-1

,2пг

ь(М+і)

Є

—2пі

м

(і)

іа+2

-сІЇ.

п

ь

— 27гг —

Ое

п —е

п

е

ь

2пг

О

п

Перейдем к доказательству последнего случая. Так как при £га(Ь) = 0 справед-

ливо равенство { — = 1 — то при а < 0 получим

Г (аЛ)=1(аЛ)+1+1(а,-Ь) =

п п п

7гг(а-1) оо -7гг(а-1)

в 2 у - в 2

(21г)“-1Г(1-а) V----- -------1—Ч-У'---- -------г- + !+

ОО 7гг(д-1) оо -7гг(а-1)

ы^га-а'^ 62 ^ е 2

+ (27г)"_1Г(1 — а) V--------------------------------------------г- = 1 +

5^1-а :

п .

оо 7гг(а-1) оо -7гг(а-1)

__1 7гг(сс —1) _\ —7гг(сс —1)

е 2 ^ е 2

+ 5] 7 Г 1-а+Х]

= 1 + (2п)а-1Г(1 — а) Заметим, что

п) ) т=-о \ I п

^ 7гг(а —1) оф —7гг(а —1) ^

е 2 ^ е 2

Е т==^+Е

(' -----------\ 1 —ОС / ^ /------\ 1 —ОС

т+{-п}) т=-00{т+{^}) )

1 —а

п1

т=—оо ^ТП Т { ~ т=—оо (ТП ~\~ { — и т=—оо (“Ь Ь)

>му

Г Г а, = 1 + 2(2тт)а-1Г(1 -а) сое ^ ~ ^ • гг1”" V п2

' ' т — — г

т=_оо упт + 6)

1—а

и теорема полностью доказана. □

Замечание. Последнее равенство не изменится, если его переписать в

виде

о

1 —г\

п

г (<*,-)= 1 + 2(2тг)“-1Г(1 —а) С08 ж{а 1} • п1- £ ---------------------------- ,

V п/ 2 т=-оо, (шв + &)

пт + Ь=0

которое остается верным и при £п(Ь) = 1:

0 \ 1 , 1 , о^_\а —^ -Л _п(а — 1) ^ 1

I* (а,-'] =1 + 2((а) = 1 + 2(2тт)“-1Г(1 -а) со8 ^^ V —?

п 2 т1

4 ' т— 1

= 1 + 2(27г)а~1Г(1 —а) со8 ^ ~ ^ • п1~а ^

т = — ^>, пт = 0

/-\ 1 — СК

(пт)

5 Аналитическое продолжение в случае целочисленных решеток

Теперь мы получим явный вид (Л | а) в левой полуплоскости для произ-

Л

решётка Л(р), которая определяется соотношением

Л(р) = det Л ■ Л*. (22)

Для любой целочисленной решётки Л её присоединенная решётка Л(р) также является целочисленной. Так как эти решётки — частные случаи декартовых решёток, то как известно существуют аналитические продолжения

(я(Л | а) и (я(Л(р) | а)

па всю комплексную а-плоскость, за исключением точки а = 1, в которой у них полюс порядка в.

Для удобства введем следующие обозначения:

N = det Л, М(p)(Л) = detЛ ■ М(Л), М*(Л) = Л П [0^Л)’. (23)

Ясно, что справедливы следующие разложения:

Л= у (X + ^’), Л(р) = у (X + ). (24)

хем *(Л) хем (р)(Л)

Через будем обозначать множество целочисленных векторов ] = (^'1, ^'2, ..., ^8) таких, что координаты ^'1, ^'2, ..., ^ являются перестановкой чисел 1, 2, ..., в с дополнительными условиями упорядоченности ^ < ^2 < . . . < ^ ^4+1 < ^*+2 < ... < Л- Нетрудно видеть, что 14;3| = С’.

Пусть ^ € 3^. Через П(^4) будем обозначать координатное подпространство

ПШ = {х 1 3 = 0 ь 1... > в)}.

Если положить ...,^^...,^), то ^ м и

К’ = пШ®пй*)

— разложение в прямую сумму координатных подпространств. Заметим, что если через (Л + а)-1) и (Л + а)-2) обозначаются проекции сдвинутой решётки

па кооридантные подпространства П^) и П(^*) в соответствии с разложением пространства в прямую сумму этих координатных подпространств, а её пересечения с координатными подпространствами через (Л + а)- = (Л + а) Р| П(^) и

(Л+а)-* = (Л+а) П П(;*), то вообще говоря (Л+а)(1) = (Л+а)- и (Л+а)(2) = (Л+

а)з*. Равенство возможно тогда и только тогда, когда Л+а = (Л!+01) х (Л2 + а2), Л1 + а! = (Л + а)3 и Л2 + а2 = (Л + а)3*.

Напомним, что

„^ . 2Г(1 — а) . па

"(а) = 1й0^8тТ

и для произвольной целочисленной решётки Л дзета-функция ((Л | а) в правой полуплоскости задается равенством

С(Л 1 а) = X! |х1

ХеЛ, N(Х)=0

■ ж8| а.

Л

в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

<(Л | а) = ^(М(а)Лг1-»)'< (Лм 1 - а) . (25)

Доказательство. Из формулы (19) и теоремы 11 легко следует

х ем (Л) з=1 4 4 7

^ Е П(2(2тГГ-1Г(1-а)со8^у^№1-“х

X ем (Л) 3=1 '

~ 1 \ 1 Е / 4 1-а =м Е (М(а)^-“)вх

т = -^>,

N-т+Ь^ (Х)=0

/-----------—\ 1-Л дг

■ т + (ж)^ у хем(Л)

* Е 1

т^ ,т^ = — ^

N -т- + Ь~ (х )=0

(./V • га! + Ъ^х)... N ■ т3 + Ь3(х)^

1—а

^(М(а)Л'1-“)* < (Л<*»| 1 - а) . (26)

□

Согласно предыдущим обозначениям (Л)з = Л Р| Щ^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л3 будем обозначать ^-мерную решётку, которая получается из решётки (Л)зг отбрасыванием у каждой точки в — Ь нулевых координат. Таким образом Л(р) — "присоединеная" ^-мерная

Зг

решётка.

Теорема 13. Для, гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

Ся(л | а)=£ КЯ-" £ N ,-1С (л?>|1 - а).

^=1 7* -

(27)

Доказательство. Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует

*=1

а

(28)

Применяя к каждому слагаемому в правой части предыдущую теорему, получим доказываемое утверждение, □

6 Аналитическое продолжение в случае декартовых решеток

Случай произвольной декартовой решетки Л — 0(4^..., 4)Л0, где Л0 — произвольная простая решетка, а 0(4,..., 4) _ диагональная матрица с 4, ..., 4 > 0, более сложен для получения яв ного вида, £я (Л | а) в левой полуплоскости, при этом нам потребуются присоединенные решётки Л0р) — det Л0 • Л0 и Л= det Л • А*. Из равенств det Л = (4 • • • 4) сіеі Л0, Л* = О ..., Л£

следует равенство = (4 ... 4)-О ■ ■ ■, ^

Для удобства введем следующие обозначения:

N0 — detЛo, М(р)(Л0) — detЛo • М(Л0), М*(Л0) — Л0 П [О^є^)5, (29)

из которых следует равенство N — 41... 45Я0,

Ясно, что справедливы следующие разложения:

Л0 — и (X+N0^), Л0Р) — и (X + N0^). (30)

ХеМ *(Ло) хем (р)(Л0)

Пусть ^ є 4)5. Через П^, 4) при 4 — (41,..., 48), 41,..., 48 > 0 будем обозначать координатный брус

Имеет место следующее разбиение пространства на 25 неперееекающихея координатных брусов

»' = и и

В соответствии с этим разбиением получаем представление гиперболической дзета-функции решетки в виде теоремы 14.

Напомним, что

„ . 2Г(1 — а) . па

м(“) = 1^япт

и для произвольной декартовой решётки Л вида. Л = Д(4,..., 4)Л0 дзета-функция ((Л | а) в правой полуплоскости задается равенством

С(Л 1 а) = Е |хі

хЄЛ, N(Х)=0

■ ж8| а.

Дальнейшие осложнения возникают из того, что выражение гиперболической дзета-функции декартовых решёток Л = Д(4,..., 4)Л0 при о > 1 через

( ь\

ряды Дирихле /* а, — более сложное, чем формула (19). Введем при (I > О

V п/

аналитическую на всей комплексной а—плоскости функцию г [ а, —, с? ] с поп

мощью равенства

г I а,

6 = V е2т^ (=_________—^ = У е2жг^ (1____________________________________— ) . (31)

п ) ^ V ((Іт)а <іата) | \ (1ата '

<1

т=-оо ' - \т\<-

Теорема 14. Для декартовой решетки Л = Д(4,..., 4)Л0, где Л0 — простая, релиетка, при а > 1 для, гиперболической дзета-функция (я (Л | а) справедливо равенство

Ся(Л|а) + 1 = -г—т— V (32)

41 1 ; аеіЛо ^ 11 V V йеіЛо 3 (В V ЛеіАо) ) К ’

х ЄМ(Л0) 3 = 1 44 0 / 3 \ 0//

где 63 (ж) = ж^- ёе1 Л0 — целое чи ело = 1,..., в) для, любой т очки, ж = (х1,...,

Є М(Л0)-

Доказательство. Действительно,

6Ао(т)

х ЄЛ тЄй

і ___ л2пг(т,ж)

Е Е

і 5 ^ л2пгт, х,’

Е П Е (зз)

Так как

^ л2пгт, х, ____ л2пгт, х, ___ л2пгт, х,

^—л О и и ^—л О J J ^—л о ^ ^

~Т^Г = л“^г" +

4т7 , 4т7 , 4т,

ті = -оо і і Н<^7 Н^іт

у- ^2^rimjXj + у Є2т^ = г ( Ь3(х) \ + 2. . г Л 6, (ж) \ (34)

й°-т^ \ ’ det А0 ’ ) сі" \ ’ det Ас ' ’

Н<ат Н>ат ' '

где 6, (ж) = ж, det Л0 — целое число (^' = 1,..., в) для любой точки ж = (ж1;...,

ж5) Є М(Л0), то из (33) и (34) вытекает

(я(Л|сї) + 1 = -г—т— У П^^,^,йЛ+і.г('а,^')У (35)

йе‘Л»г€вд»),-Н V йеІЛ„’ V Щ \ У ’

что и доказывает утверждение теоремы,

Л=

Д(4,..., 4)Л0, где Л0 — простая решётка, в левой полу плоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

<(Л | а) = і(М(а)ЛГ1-“)‘< (Л“| 1 - а) . (36)

Доказательство. Из однородности дзета-функции следует:

с (Л | а) = (4 ...^)-Ч (Л0|а),

С(Л(р) | 1 - а) = (І1... 4)(а-1)(5-1)С(Л0Р)|а). (37)

Положим Д = 41... 4, тогда N = Д • N0 Воспользуемся функциональным уравнение для дзета-функции целочисленной решетки, получим

«Л I а) = Д-“«Ло|а) = 0-'—(М(а)М^У ( (а1*| 1 - а) = = ІГ“^(Л/(а)Лг1_‘>І>““1)’С (л.

1 - а =

л—ос^ { ]\/г/^,\ ат1—<% пск—1Л 8 /■ ( ^(р)

1\ ' V 0

= ^(М(а)ЛГ1_а)в£>(а~1)(в_1)С(АоР) I 1 - а) =

= ^(М(а)Ж1-“)Ч(А(р)|1-«)). (38)

□

Согласно предыдущим обозначениям (Л)з = Л Р| И(^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л^ будем обозначать ^-мерную решётку, которая получается из решётки (Л)^ отбрасыванием у каждой точки ^ — £ нулевых координат. Таким образом Л^р) — "присоединеная" ^-мерная решётка.

Теорема 16. Для, гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение

Ся (л 1 а) — —1 +

1

ёе1 Л0

Е П

X ЄМ(Ло) і=1

6? (х) \ 1

г | а, —-——, (і-: + -—Ь

det Л0 ) (Щ

2(2п)а-і . п(а - 1) п .1-а

Н-----—----Г(1 — а) сое--- ----^еіЛ0

=-оо Л0т + 6? (ж)) у

(39)

Доказательство. Согласно теореме 14 в правой полуплоскости а > 1 справедливо равенство

Ся(Л|а) + 1

Все функции в правой части апалитичпо продолжаются на всю комплексную а—плоскость. Поэтому гиперболическая дзета-функция декартовой решетки Л — Д(4,..., 4)Ло аналитически продолжается на всю комплексную а—плоскость с сохранением равенства (40). Подставляя в правую часть функциональ-

Ъ](х)

ное уравнение для /* а

ёе1 Л0

получим доказываемое утверждение.

□

Замечание. Полученное функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решеток оказалось существенно более сложным чем функциональное уравнение для дзета-функции декартовых решеток и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. Поэтому его нельзя считать окончательным и необходимы дальнейшие исследования с целью его упрощения.

В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу за неоценимую помощь в работе.

1

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

111 Воронин С. М., КарацубаА. А. Дзета-функция Римана. М.: ФизМатЛит, 1994.

[2] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения. — Тула: Изд-во Туп, гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. - 195 с.

[3] К а рапу ба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМатЛит, 1983.

[4] Коробов И, М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004,

[5] Титчмарш Е, К, Теория дзета-функции Римана, М.: Из-во И, Л,, 1953,

[6] Чандрасекхаран К, Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

[7] Чудаков И, Г, Введение в теорию Ь-функций Дирихле, — М.: ОГИЗ Гоете-хиздат, 1947,

[8] Добровольский М, И, Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток, // ДАН, Т. 412, №3, Январь 2007, С. 302 - 304.

[9] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №3. С. 18 — 23.

Поступило 21.11.2010