CC BY
1ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ
ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА BULLETIN OF OSH STATE UNIVERSITY
e-ISSN: 1694-8610
№3/2023, 65-72
МАТЕМАТИКА
УДК: 517.928.2
DOI: 10.52754/16948610 2023 3 8
ТУРУКСУЗ СПЕКТРГЕ ЭЭ БОЛГОН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН МАСЕЛЕНИН
ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С
НЕСТАБИЛЬНЫМ СПЕКТРОМ
ASYMPTOTICS OF SOLVING SINGULARLY PERTURBED PROBLEMS WITH UNSTABLE
SPECTRUM
Садиева Акбермет Сайиповна
Садиева Акбермет Сайиповна Sadieva Akbermet Sayipovna
Ош мамлекеттик университети
Ошский государственный университет Osh State University asadieva@,oshsu.kg
ТУРУКСУЗ СПЕКТРГЕ ЭЭ БОЛГОН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН МАСЕЛЕНИН
ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ
Аннотация
Макалада бир тектуу эмес сызыктуу сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тендемелер системасы Y4YH баштапкы маселенин асимптотикалык чыгарылышын тургузуу маселеси каралган. Изилденип жаткан маселенин eзгeчeлYГY системанын сызыктуу бвлYГYHYн коэффициенти болгон матрицанын спектри каралып жаткан кесиндиде туруксуз. Тактап айтканда система езвгвчв чечимге ээ. Система бири-биринен кез каранды болбогон тендемелерден турат. Биринчи тендемеде езгече чекит бар, ал эми экинчи тендемеде жок. Биздин максат ушул езгече чекиттин таасирин изилдее. Коюлган баштапкы маселенин чыгарылышы бир калыптагы асимптотикалык ажыралмасы жалпыланган чектик функциялар жана классикалык чектик функция методдорунун жардамында тургузулат.
Ачкыч свздвр: кичине параметр, сингулярдык козголгон Кошинин маселеси, бисингулярдык маселе, туруксуз спектр, жылма тышкы чыгарылыш, чектик функциялар, чек аралык катмар.
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С НЕСТАБИЛЬНЫМ СПЕКТРОМ
Аннотация
В статье рассматривается задача построения асимптотического решения начальной задачи для системы неоднородной линейных сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенность исследуемой задачи состоит в том, что спектр матрицы, являющейся коэффициентом линейной части системы, нестабилен в рассматриваемом отрезке. Точнее сказать система имеет особое решение. Система состоит независимых друг к другу из двух уранений. Первое уравнение имеет особое решение, а второе не иметт особое решение. Наша цель исследовать влияние особого решения. Равномерное асимптотическое разложение поставленной задачи выстраивается с помощью методов обобщенных пограничных функций и классических пограничных функций.
ASYMPTOTICS OF SOL VING SINGULARLY PERTURBED PROBLEMS WITH UNSTABLE SPECTRUM
Abstract
The article deals with the problem of constructing an asymptotic solution of the initial problem for a system of inhomogeneous linear singularly perturbed ordinary differential equations. The peculiarity of the problem under study is that the spectrum of the matrix, which is the coefficient of the linear part of the system, is unstable in the segment under consideration. More precisely, the system has a special solution. The system consists of two equations independent of each other. The first equation has a special solution, and the second does not have a special solution. Our goal is to investigate the impact of a special solution. The uniform asymptotic decomposition of the problem is constructed using the methods of generalized boundary functions and classical boundary functions.
Ключевые слова: малый параметр, сингулярно возмущенная задача Коши, нестабильный спектр, бисингулярная задача, гладкое внешнее решение, пограничные функций, пограничный слой.
Keywords: small parameter, singularly perturbed Cauchy problem, unstable spectrum, turning point, smooth outer solution, boundary functions, the boundary layer.
Маселенин коюлушу. Сингулярдык козголгон, бир TeKTYY эмес, сызыктуу, биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тевдемелердин системасы Y4YH Кошинин темен^ маселесин изилдейбиз:
feyiМ = —*У1(х) + AM, „ m лл (1)
Uy2(x) = -y2(x)+ /2(х), ХЁ [0'A]' (1)
yi(0)= У0, У2(0)= y2 (2)
мында 0<s<<1, f1,f2 e С^[0,1], у0, у0 - const, у1(х), у2(х) белгисиз функциялар.
Эгерде темен^дей белгилее кийирип алсак:
» ^> ="(0 0). Ю
анда (1)-(2) маселе темен^ керYHYшке келет [1]-[3]:
eY' (х) + Л(х)У(х) = F(x), У(0) = У0 (3)
Система бири-биринен кез каранды болбогон тевдемелерден турат. Системанын биринчи тевдемеси боюнча талдоо жYргYЗсек, х = 0 чекитинде асимптотикалык туруктуулук шарты бузулат. ТиешелYY козголбогон тевдеменин —xj/1(x) + /1(х) = 0 чечими ;у1(х) = /1 (х) /х керYHYште болот. х = 0 чекитинде бул чечим езгечелYкке ээ жана баштапкы шартты канааттандырбайт. Ошондуктан бул маселе бисингулярдуу маселе болуп эсептелет [4], [8]. Ал эми экинчи тевдеме кадимки сингулярдык козголгон тевдеме болуп саналат. Белгилеп ^tyy керек, х = 0 чекитинде Л(х) матрицасына тескери матрица жашабайт, б.а. Л(х) матрицасы туруксуз спектрге ээ [5].
Биз x e [0,1] кесиндиде (1)-(2) маселенин чечиминин кичине параметр нелге умтулгандагы бир калыптагы асимптотикалык ажыралмасын тургузабыз.
Маселенин чыгарылышы. Алгач тышкы чыгарылышты тургузабыз, анткени ал бизге ички чыгарылышты тургузууда кандай езгертYп TYЗYY керектигин аныктап берет. Кичине параметр методун колдонуп, тышкы чыгарылышты темен^ катарлар керYHYште издейбиз [7]:
У1(х) = Ую(х) + ^УиМ + £2у12(х) + ^ (4)
У2(х) = У20(х) + ^У21(х) + £2у22(х) + -
ушул (4)- катарларды (1)- системага коюуп уп(х) жана y2i(*) лерди аныктап, закон ченемдYYЛYктY таап алабыз:
р(у1о(х) + ^УпМ + ^2у12(х)(х) + - ) = "х(Ую(х) + ¿УиМ + - ) + ДМ * Ку2о(х) + ^У21(х) + ^2у22(х)(х) + - ) = У20(х) + £у21(х) + - + /2 (*)
мындан, кичине параметр методунун негизги мацызы боюнча, кичине параметрдин бирдей даражаларынын коэффициенттерин барабарлайбыз:
£(У1о(*) + ^УпМ + ^УЬММ + - ) = " *(У10(*) + ¿УпМ + ^2У12(^) + - ) + М*) £0: Ую(х) = /1(*)*-1;
£ 1: Уи(х) = (/1(х)х-1)'х-1 = [/1'(х)х-1 —/1(х)х-2]х-1 = (Д(х) —/((х)х)х-3;
£2: У12М = (Уп(*)* 3)'* 1 = У12М* 5
: yifc(x) = (x)x-(2fc-1), к = 0,1,2, ...
е(у2оМ + ey2iM + e^MM + -) = У20М + £У21(*) + ^2У22(^) + - + /2(*) £0: У20М = -/2(*); е1: У21М = у2оМ = /2'М;
У22(х)= /№);
: У2^(*) = /f^x);, к = 0,1,2,.
Аныкталган белгисиз yii(x) жана y2i(x) фyнкциялаpдын eзгeчeлYктeрYн KepceTYn жазабыз:
У10М = Л(х)х-1 У11М = у1о(*)х-1 = ;уп(х)х-2 У12(Х) = У12(*)Х-3 У13М = У13М*-4
У1*(*) = У^(x)x-(fc+1), fcEW
У20М = M*) У21(^) = У2оМ = Ж*) У22(Х) = /ЛХ)
У23(Х) = /2"'(Х)
У2^ (*)= /2(fc)(x), feEW.
Табылган yii(x) жана y2i(x) фyнкциялаpдын eзгeчeлYктepYн эске алyy менен (4)- катарга алып барып коебyз:
У1М = /i(x)x-1 + еуцМ*-2 + £2;у12(х)х-3 + £3j/i3(x)x-4 + -
(x)x-(fc+1) + -
У2(*) = /2(*) + e/2' (*) + ^Я'ОО+е3/™ (*) + - +£fc/2(fc)(x) + -
Белгилеп KeTYY керек У1(х) € Cœ [0,1],
у2(х) £СЮ[0,1].
Тургузулган тышкы чыгарылыш баштапкы шартты канааттандырбайт жана баштапкы чекиттин чеке белинде асимптотикалык myh63yh жоготот. Бирок тышкы чыгарылыштан биз ички чыгарылыш кандай eзгeрYлмe боюнча ажыралышы керек деген маалыматты алабыз:
гх-2 = Ух = ^t, д2 = г|| = ^2(^t)-2 = t-2.
(1)-(2)- маселенин бир калыптагы толук асимптотикалык ажыралмасын жалпыланган чектик функциялар методун колдонуп тургузабыз [6], [7].
Асимптотикалык чыгарылышты темен^ кeрYHYштe издейбиз:
00 00
У1(х) = £ еуУ1/M + -£ M^y (0 ; у=о ^ у=о
œ œ
У2(х) = £ ^У2уМ + £ ^уM ;
(5)
у=0 у=0
мында у1у (х) жана у2у (х) - жылма тышкы чыгарылыштын мYчeлeрY;
Лу (t) жана &>у(т) - чектик функциялар, t = ^, д = V", т = ^ . (5)- катарларды (1)- тевдемеге алып барып коюуп тeмeнкY системаны алабыз:
+ /i(x)
£ £у+1у1у (х) + £ ^ (t) = -*£ (х) + -£ ¿Щ(t) у=0 у=0 [у=0 ^у=0
œœ
-£efcfcfc + (6)
fc=0 fc=0
œ œ œ œ
£ г^+1у2у(х) + £ e'+^'fr) = - £ £^У2У (x) + £ (T) + /2(x)
У=о
(5)- катарларды (2)- баштапкы шартта алып барып коюуп тeмeнкY катыштарды алабыз:
У1(0) = У10
У10 = У1о(0) + еуц(0) + £2yi2(0) + - + -{^о(0) + №(0) + M2^(0) + - }
д-1: Ло(0) = 0;
д0: ^(0) = у0-ую(0);
д1: ^(0) = 0;
д2: лз(0) = -уц(0);
^(0) = 0, к = 0,1, ... ;
^2fc+i(0) = -yifc(0), к = 1,2, ... ;
У2(0) = у0
У20 = У2о(0) + ey2i(0) + £2У22(0) + - + Юо(0) + e^i(0) + £2^(0) + -£0: Wo(0) = У20-У2о(0);
е1: ^(0) = -y2i(0); г2: ^2(0) = -У22(0);
^fc(0) = -У2^(0), к = 1,2,.;
(6)- системaдaн жылмa тышкы чыгарылыштын мYчeлeрYн aHbiCTan aлaбыз: £2J=o£%-(х) = -xEJ=o^yyiy(*) + А(х) — ZC=o^hfc
У10(х) = (ho -/i(x))x 1; У11(х) = (hi -yii(x))x-1 = ;yii(x);
yifc (х) = (hfc — yífc (х))х 1 = j/ifc (х)
ho = /i(0)
hfc = —yifc-i(0)
Эми чектик фyнкциялaрды тyргyзyyгa киришебиз. (6)- системaдaн тeмeнкY системaны бeлYп aлaбыз [9]:
œ œ œ
^ = — t^ [1%(t) + ^ £fchfc
У=о y=o fc=o (7)
œ œ (7)
= — ^4 (t) У=о У=о
Бaштaпкы шaртты эске aлyy менен тeмeнкY системaлaргa ээ 6оло6уз:
^0(t) + t^o(t) = ho, ^o(0) = 0 (8)
^0(т) = —^ (т), ^o(0) = У2 — y2o(0) ( )
^2fc+1(0 + ^2fc+1(0 = h2fc + 1, ^2fc+1(0) = —yifc (0) ^2fc+lCO = —^2fc+1(T), ^2fc+i(0) = —y2fc + 1(0)
7G
(О + (0 = , (0) = 0, (t) = CO, (0) = -y2fc (0)
(10)
(В) - (10) маселелер тeмeнкY тYрдeгY жалгыз чечимдерге ээ болот:
ft t2 + S2 t2 ft
т2
^o(t) = (У20-У20(0))е 2
^2fc+l(t) = ^2fc+l I e 2 + 2d5-ylfc(0)e 2 = ^fc+le 2 I e2ds-ylfc(0)e 2
T2
^2fc+lC0 = -y2fc+l(0)e 2
T2
M = -У2^ (0)e 2
(8)-(10) маселелерди чечYY YЧYн t — œ, т — œ yмтyлганда тeмeнкY тецдештик орун алат:
(5) системанын асимптотикалык чыгарылышынын бардык мYчeлeрY аныкталды. Корутунду
Макалада сызыктуу бир тектYY сингулярдык козголбогон, спектри туруксуз болгон дифференциалдык тецдемелер системасы YЧYн (1)-(2) Коши маселесинин чыгарылышынын асимптотикасы изилденди. ИзилдeeнYн жыйынтыгында (1)-(2) Коши маселесинин чыгарылышы YЧYн s — 0, х G [0,1] аралыгында (5) - асимптотикалык ажыралма орун ала тургандыгы далилденди. Асимптотикалык ажыралманын бардык мYчeлeрY бир маанилYY аныкталды. Тецдемелер системасында х = 0 eзгeчe чекиттин чекебели толук изилденди. Натыйжада чек аралык функциялардын чек аралык катмардагы абалы ар TYPДYY экендиги далилденди. Тактап айтканда (t) чек аралык функциялар t — œ умтулганда даражалуу мYнeздe кемийт, ал эми (т) чек аралык функциялар экспоненциалдуу мYнeздe кемийт.
Адабияттар
1. Wasow W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations /W.Wasow. - N. Y.: Dover publications, INC, Mineola, 1965.
2. Wasow W. Linear turning point theory / W. Wasow. - N. Y. : Springer-Verlag, 1985. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1090-0.
3. Wasow W. A turning point problem for a system of two linear differential equations, /. Math. Phys., 38 A960), 257—278.
4. Алымкулов К. Об одном методе построения асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач / К. Алымкулов, Д. А. Турсунов // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 12. - С. 3-11. https://doi.org/10.3103/S1066369X1612001X
5. Бобочко В. Н. Нестабильная дифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений / В. Н. Бобочко // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 4. - С. 8-17.
6. Кожобеков К.Г. Асимптотика решения краевой задачи, когда предельное уравнение имеет нерегулярную особую точку. Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:3 (2019), 332-340.
7. Турсунов Д. А., Кожобеков К.Г., Асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши с точкой поворота, Математический анализ, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 156, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 84-88; J. Math. Sci. (N. Y.), 254:6 (2021), 788-792.
8. Турсунов Д.А., Турсунов Э.А., Асимптотика решения бисингулярной задачи коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2017. № 1 (38), 33-41.
9. Турсунов, Д., Зулпукаров, А., Садиева, А. (2022). Асимптотика решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с точкой поворота. Вестник Ошского государственного университета. Математика. Физика. Техника, (1), 43-50. https://doi.org/10.52754/16948645 2022 1 4
