CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика, физика, техника. 2022, №1
УДК 517.95
DOI: 10.52754/16947452_2022_1_66
ХИМИЯЛЫК РЕАКЦИЯДАГЫ СЕКИРИК ЖЭНУНДЭ
Алымкулов Келдибай, профессор, ф.-м.и.д.,КР УИАнын мучв-корр.,
Кожобеков Кудайберди Гапаралиевич, профессор, ф.-м.и.д.,
[email protected] ТурсуновДилмурат Абдиллажанович, ф.-м.и.д., профессор
[email protected] АзимовБектур Абдырахманович, доцент, ф.-м.и. к.,
azimov@oshsu. kg
Ош мамлекеттик университети,
Ош, Кыргызстан
Аннотация: Макалада сызыктуу эмес биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тецдеме YЧYн Кошинин маселеси каралат. Каралып жаткан Коши маселесинин дагы бир взгвчвлYгY бул тецдемеде кичи параметр катышат. Бизден ушул кичи параметр нвлгв умтулганда Коши маселесинин чыгарылышынын асимптотикасын тургузуу талап кылынат. Изилденип жаткан Коши маселеси химиялык реакциянын математикалык модели болот. Коши маселесинин чыгарылышы взгвчв чекитке ээ, ушул чекитте чыгарылыш бир абалдан экинчи абалга секирип втвт. Бирок каралып жаткан аралыкта чыгарылышы YзгYлтYксYЗ болот. Мурда биринчи абалдагы (зонадагы) асимптотикалык чыгарылышы тургузулган эле, азыр экинчи абалдагы (зонадагы) асимптотикалык чыгарылышты тургузабыз.
Ачкыч свздвр: химиялык реакциянын моделдик тецдемеси, Коши маселеси, взгвчв чекит, асимптотика.
О ПРЫЖКЕ В ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Алымкулов Келдибай, профессор, д.ф.-м.н., член-корр. НАН КР,
Кожобеков Кудайберди Гапаралиевич, профессор, ф.-м.и.д.,
[email protected] Турсунов Дилмурат Абдиллажанович, д.ф.-м.н., профессор
[email protected] Азимов Бектур Абдырахманович, к. ф.- м. н., доцент
azimov@oshsu. kg Ошский государственный университет,
Ош, Кыргызстан
Аннотация: В статье рассматривается задача Коши для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Дополнительная особенность рассматриваемой задачи Коши состоит в том, что в это уравнение входит малый параметр. Требуется установить асимптотику решения задачи Коши при стремлении этого малого параметра к нулю. Исследуемая задача Коши представляет собой математическую модель химической реакции. Решение задачи Коши имеет особую точку, в которой решение быстро переходит из одного состояния в другое. Однако решение непрерывна в рассматриваемом промежутке. Раньше была построена асимптотическое решение в первой зоне, сейчас мы построим асимптотическое решение на второй зоне.
Ключевые слова: Модельное уравнение химической реакции, задача Коши, особая точка, асимптотика.
ABOUT JUMPING IN A CHEMICAL REACTION
Alymkulov Keldibayprofessor, doctor of physical- math.sci.,member-corresp.of NANKR
Kozhobekov Kudaiberdi Gaparalievich.G., professor, doctor of physical- math.sci.,
[email protected] Tursunov Dilmurat Abdillazhanovich, d. p.-m. s., professor
[email protected] Azimov Bektur Abdyrahmanovich, Ph.D., Associate Professor
[email protected] Osh State University, Osh, Kyrgyzstan
Abstract: The article considers the Cauchy problem for an ordinary nonlinear differential equation of the first order. An additional feature of the Cauchy problem under consideration is that this equation contains a small parameter. It is required to establish the asymptotics of the solution of the Cauchy problem as this small parameter tends to zero. The investigated Cauchy problem is a mathematical model of a chemical reaction. The solution of the Cauchy problem has a singular point at which the solution quickly passes from one state to another. However, the solution is continuous in the considered interval. Previously, an asymptotic solution was constructed in the first zone, now we will construct an asymptotic solution in the second zone.
Keywords: The model equation of a chemical reaction, Cauchy problem, singular point, asymptotic.
TeMeHKY сызыктуу эмес дифференциалдык тецдеме Y4YH Кошииии мaселесии изилдейбиз:
ИТ р T-1
— = s(1 + ß-T)esT , T(0; = 1, (l)
dt ß
мында 0<ß - const, 0<s<<l.
(l) - Кошинин маселеси [4]- жумушта изилденген, ал макалада Кошинин маселесинин чыгарылышынын асимптотикасы te[0,l-s) аралыкта тургузулган. ИзилдeeиY улантып, бул макалада (1)- Кошинин маселесинин чыгарылышынын асимптотикасын t=1 чекиттин чеке-белинде тургузабыз, б.а. te[l-s, l+s].
(l)- маселенин чыгарылышын тeмeикY кeрYИYmтe издейбиз:
T (t) = ф^), (2)
мында ф жан,ы изделYYЧY функция, a = s Ïn, 0 < a < 1.
1 -1
ф функциясын аныктайбыз, 1 -1 = e a/s, 0 < a < 1, dt =1 e"a/sda
s
болгондуктан (1)- тецдеме тeмeнкY кeрYИYmкe келет:
sea/s = e (1 + ß - ф)e^ ^ dy =1 (1 + ß - ф)es(1-1-a
da ß da ß
Айталы
12
ф = --+ sфl + s ф2 +... (3)
1-a
болсун. Анда (3)тY (1) ге коюуп тeмeикYИY алабыз:
12
-— + sф1 + s ф2 + ... =
(1 -a)2
ß
бул жерде
1 ( 1 л 1
1 + ß-----s 2ф2 - ...
1 -a
2
v 1 -a J
1-a--
12
4-8ф +s ф2 Л
1-a
e
1-а—
--№ф1+£ ф2+-
1-а
- е(1"а)2ф + е(1-а)2ф1 (1 - а)2 (ф - ф2 + ф^ +
1
+-e 2
(1-а)2 ф1
(-12ффа2 + 4ффа3 + 20фф2а3 - 10а4фф2 + 2а5фф2 +
-4">2ф2
■Ь2ф2
+10афф2 - 4фф + 12афф - 20а ф^ - 4аф - 8а ф3 + 2а ф + +2а4ф3 + 6а2ф2 + 15а4ф4 - 4а3ф2 - 6а5ф4 + а>! + абф4 - 8аф3 + 12а2ф3 + +ф2 - 2фф2 - 6аф4 + 15а2ф4 - 4аф2 - 20а3ф4 + 2ф + 2ф3 + ф4 )s2 + О (s3 )
экендигин эске алып, l
(1 -а)
2 +^;+s2P2 + ■■■ = -
ß
1+ ß
1 -а
sф - s ф.
x
x(е(1"°)2ф1 + е(1"°)2ф1 (1 - а)2 (ф - ф2 + ф^ + ■■■),
акыркы барабардыктан, кичине параметрдин бирдей даражаларынын коэффициенттерин барабарлап, тeмeнкYHY алабыз:
1 1Л „ 1 л
мындан
ф-
■ln
(1 -а)2" ß
ß
1 + ß
1 -а
-,(1-а) ф1
У
(1 -а)2 (1 -а)((1 + ß)0 -а)-1) (1 -а)
■ln (1 -а)
'l - -+V
V
1 -ln1 + ß
(l-а)--1—7 ln
(1 -а)2 ß ( ) (1 -а)2
Бул жерде ф( 0 ) = 0 жана
ß
1 + ß
-а
, 0 < а <
ß ß
У
1 + ß
ф2 YЧYн тeмeнкY тецдемени алабыз:
ß
1 + ß
-а
ß
1 + ß
fr
ф- =
ß
Vv
1 + ß - -1- ]е(1"а)2ф (1 - а)2 (ф2 - ф2 + ф2а) - ф-e 1 -а
(--а) ф1
л
же
1
1
ф!=(ф2 -ф12+ф12а)-
Ф1
(1 -а)((т + р)(т-а)-
мындан
Ф2 = Ф1 +
Ф1
(Т-а)((! + р)(т-а)-т)
+ Ф2 (1 -а), Ф2 ( 0) = ^
р
демек,
Ф2 - (Р + 1)2
Р
1 + Р
-а
Аналогиялуу тYPдe ф3 тY аныктайбыз:
Фз - Ф2
(р+^т1
. ТТр
Натыйжада тeмeнкY катарды алабыз:
Ф
1
1 -а
+ БФ +8 Ф2 + ...
1
2 С з.
+8 ——2-+ 8 С
1-а
2
1
8С ¡П
V
1+р
+
У
р
1+р
-а
р
V
т+р
-а
р
+ ...,0 ^ а < —— < 1.
1 + р
У
Ошентип, ажыралма тeмeнкY керунушке келет:
1
Ф^а) =--8С ¡п (а - а) + 8
1 - а
2 С 3
^-2-+ 83С
ао-а
' 12
Чао-аУ
+
4
' 1 У
Чао-аУ
(4)
+ .
мында ап
р
1 + р
Теорема 1. (4)- катар а - а = 8 ¡п1, 8 ^ 0, болгондо асимптотикалык
8
катар болот.
1
2
2
Эми (4)те
a = % + sa/%) + sV% ) +... (5)
e3repTYY жYргYзебYЗ, мында ci (%) - белгисиз функциялар.
Анда (4)тен TeMeHKYHY алабыз:
1 с 1
ф( %) = —+ SCT/ % ) + s( 1 + ßJ4 °o -я) + ln P + S3 Сз-
1 -% % P'
+84С4
1
(6)
+ ... P = Qo -%, я2 =P_1
vPy
Эгерде я1 = -(1 + ß)ln P десек, анда
ст = %-е( 1 + ß )ln p + sc21 +... (7)
P
Эгерде (7)де я — g0, анда
P ~ s(1 + ß)lnp P = s( 1 + ß)ln-,s —> 0
s
p ~ sIn—,s — 0 s
(5), (6) катарлар асимптотикалык болушат. ДалилдeeсY мажорант методу менен жYргYЗYлeт.
Натыйжада (1)- Кошинин маселесинин чыгарылышынын асимптотикасы t=1 чекиттин чеке-белинде тургузулду.
Адабияттар
1. Ashwani, K. Kapila Asymptotic Treatment of Chemically Reacting Systems [Text] / K. Ashwani, 1983.
2. Алымкулов, К. The method of uniformization and justification of Lighthill method (in Russian) [Text] / К. Алымкулов // Izvestia AN Kyrg. SSR, 1981, № 1. pp. 35-38.
3. Alymkulov, K. Perturbed Differential Equations with Singular Points in book " Recent Studies in Perturbation Theory" [Text] / K. Alymkulov, D.A. Tursunov // Chapter 1, Edited by Dimo I. Uzunov, Publisher InTech, 2017.
4. Алымкулов, К. Асимптотика решения задачи химической реакции со стационарной достижимостью [Текст] / К. Алымкулов, К.Г. Кожобеков // Вестник Жалал Абадского университета, 2019. - № 3 (42). - С. 128-133.
з
5. Ильин, А.М. Асимптотические методы в анализе [Текст] / А.М. Ильин, А.Р. Данилин - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2009. - 248 с.
6. Коул, Дж. Методы возмущений в механике жидкости [Текст] / Дж. Коул - М.: Мир, 1972. - 276 с.
7. Carrier, C.F. Boundary lave problems in applied mathematics [Text] / C.F. Carrier // Comm. Appl. Math. - 1954. - V.7. - P.11-17.
8. Kevorkian, J. Perturbation methods in applied mathematics [Text] / J. Kevorkian, J.D Cole // Springer, (1985).
9. Де Брейп, Н. Г. Асимптотические методы в анализе [Текст] / Н.Г. Де Брейп -М.: ИЛ, 1961. 247 с.
