АЙРЫМ ТУУНДУЛУУ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН ҮЗГҮЛТҮКТҮҮ ЧЕЧИМДЕРИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.928

Б01: 10.52754/16947452_2022_4_199 АЙРЫМ ТУУНДУЛУУ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕРДИН

УЗГУЛТУКТУУ ЧЕЧИМДЕРИ

АзимовБектур Абдырахманович, ф-м.и.к., доцент

[email protected] Турдубеков Бурканбек Токторович, улук окутуучу

[email protected] Жумабаева Айпери, магистрант [email protected] Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызстан

Аннотация. Макалада Хопфанын белгилYY моделдик тецдемеси изилденет. Хопфанын тецдемесинин квази сызыктуу биринчи тартиптеги бир тектYY жекече туундулуу дифференциалдык тецдеме. Хопфанын тецдемеси бвлYкчвлврY бири-бири менен вз-ара аракеттенбеген газдын кыймылынын бир ченемдYY математикалык модели болот. Хопфанын тецдемесинин взгвчвлYгY ал тецдеменин баштапкы берилгендери YзгYлтYксYЗ болсо дагы чыгарылышы YЗYЛYYгв ээ болот. Эгерде чыгарылыш YзгYлтYксYЗ болсо, бирок туундусу YзгYлтYктYY болсо, анда ал чыгарылышты алсыз YЗYЛYYгв ээ болгон чыгарылыш деп атайбыз. ИзилдввнYн максаты - Хопфанын тецдемесинин чыгарылышын изилдвв. Чыгарылыштын алсыз жана кYчтYY YЗYЛYYлврYн аныктоо. Колдонулуучу усулдар: взгвртуп тYЗYY усулу, дивергенттик форма усулу.

Ачкыч свздвр: Хопфанын тецдемеси, дивергенттик форма, квазисызыктуу тецдеме, жекече туундулуу тецдеме, алсыз YЗYЛYY, кYчтYY YЗYЛYY.

РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Азимов Бектур Абдырахманович, к.ф-м.н., доцент

[email protected]

Турдубеков Бурканбек Токторович, ст. преподаватель

tburkant@,gmail.com Жумабаева Айпери, магистр [email protected] Ошский государственный университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация. В статье исследуется известное модельное уравнение Хопфа. уравнения Хопфа - квазилинейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Уравнение Хопфа представляет собой одномерную математическую модель движения газа, частицы, которые не взаимодействуют друг с другом. Особенность уравнения Хопфа состоит в том, что даже если исходные данные

этого уравнения непрерывны, его решение будет разрывным. Если решение непрерывна, но производная разрывная, то решение назовём слабо разрывным. Цель исследования заключалась в исследовании решения уравнения Хопфа. Определит слабые и сильные разрывы решения. Применяемые методы: метод преобразований, метод дивергентных форм.

Ключевые слова: уравнение Хопфа, дивергентная форма, квазилинейное уравнение, уравнение с частными производными, слабый разрыв, сильный разрыв.

DISCONTINUOUS SOLUTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS

Azimov Bektur Abdyrahmanovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

[email protected] Turdubekov Burkanbek Toktorovich, Senior Lecturer tburkant@,gmail.com Zhumabaeva Ayperi, master student [email protected] Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract. The article examines the famous model equation of Hopf. Hopf equations -quasiline homogeneous differential equations in private production first order. Equation Hopf represents its own one-dimensional mathematical model of gas motion, particles that do not interact with each other. The specificity of the Hopf equation is that even if the results of this equation are uninterrupted, its solution will be fragmented. If the decision is uninterrupted, but the production is fragmented, then the decision is weakly fragmented. The purpose of the study was to examine the Hoppa equation solution. Determine the weak and strong gaps in the solution. Applicable methods: method of transformations, method of divergent forms.

Keywords: Hopf equation, divergent form, quasilinear equation, partial differential equation, weak discontinuity, strong discontinuity.

Киришуу- Сызыктуу тендемелер Y4YH коюлган баштапкы же чек аралык маселелердин чыгарылыштары YЗYЛYYгe ээ болушу mymkyh, эгерде баштапкы же чек аралык шарттарындагы функциялар YЗYЛYYгe ээ болсо.

Бирок квази сызыктуу тендемелер Y4YH баштапкы же чек аралык шарттар YЗГYЛTYKCYЗ, жылма болушса дагы маселенин чыгарылышы YЗYЛYYгe ээ болот.

YЗYЛYYHYH мYнeзYн изилдееде эн женекей Хопфанын

du du п п

— + u— = 0, 0 < u, x, t. (1)

dt dx

квазисызыктуу тендемеси ьщгайлуу.

ЖeнeкeйлYк YЧYн 0<и орун алган учурду изилдейбиз. Анда чыгарылыштын 0<х жана 0< шарттарын канааттандырган баштапкы жана чек аралык маанилер биринчи квадрантка жайгашат. Бул маанилер x-uí=const мYнeздeeчYлeр боюнча алып eтYлeт.

Изилдеенун каражаттары жана ыкмалары:

Биринчи учур. Баштапкы жана чек аралык маанилер YЗГYлтYксYЗ функциялар, и(х,0) монотондуу кемибейт, u(0,t) монотондуу eспeйт, алар YЗГYлтYксYЗ, координата башталышында экeeсYHYн маанилери дал келет.

МYнeздeeчYлeрдYн (х^) тегиздиктин ар бир чекитиндеги жантык (кыйшайунун тангенс бурчу) 1/u(x,t) га барабар болот.

Бул учурда жантык сол жактан он, жакка карай монотондуу жана YЗГYлтYксYЗ кемийит. Ошондуктан биринчи квадрант мYнeздeeчYлeр менен тыгыз толтурулган. (х,t) тегиздиктин ар бир чекити аркылуу жалгыз гана мYнeздeeчY eтeт.

Бул мунездеечу берилген чекитке чек аралык маанини алып eтeт. Чыгарылыш биринчи квадрантта бир маанилуу аныкталган жана YЗГYлтYксYЗ. Эгерде чек аралык маанилер жылма болсо (жана координата башталышында макулдашылган болушса, б.а. маанилери дал келсе), анда чыгарылыш дагы жылма болот.

Экинчи учур. Чек аралык маанилер жогоруда кeрсeтYлгeндeй монотондуу, бирок YЗYЛYYгe ээ. ЖeнeкeйлYк YЧYH

x<x0 болгондо: и(0, t) = а, и(х,0) = а;

x>xo болгондо: и(х,0) = Ь > а болсун.

Мында YЗYЛYY жогорудагы монотондуулук шартын бузбайт.

(x,t) тегиздигинде YЗYЛYY мYнeздeчYдeн сол жакта кыйшаюу (жантык) На га барабар болот; ал эми YЗYЛYY мYнeздeчYдeн он жакта кичинерек кыйшаюу (жантык) \/Ь болот.

Баштапкы берилгендердин YЗYЛYY чекитинен эки мYнeздeeчY жYргYзeбYЗ. Чиймеде жоорак кылып кeрсeтYЛгeн:

Сол жактагы стрелканын сол жагында жана он жактагы стрелканын он жагында тегиздиктин ар бир чекити аркылуу бир гана мYнeздeeчY eткeн. Б.а. чыгарылыш

аныкталган жана жалгыз. Эки жоон стрелканын арасында бир дагы мYнeздeeчY еткен эмес жана чыгарылыш аныкталган эмес.

Маселенин коррективдуртугун талап кылабыз, б.а. баштапкы берилгендердин жетишээрлик кичи козголуусуна карата чыгарылыштын туруктуулугун. Бул талап чыгарылышты улантууга мYмкYнчYЛYк берет. Баштапкы берилгендердин узУлУУсУн жалгаштырабыз, б.а. чексиз кичине интервалда монотондуу узгултуксуз функция менен алмаштырабыз. Ошондо бош бурчтун ичинде мYнeздeeчYлeр пайда болот жана ар бир мYнeздeeчYHYн кыйшаюуусу мYнeздeeччYдeгY чыгарылыштын маанилерин аныктайт.

Улантылган чыгарылыш

(доопределенное решение) тeмeнкY кeрYHYшкe ээ болот:

х - х0 < а: и(х, t) = а;

а < х - х0 < Ы: и(х,t) = (х - х0)/V, Ы < х - х0: и(х, ?) = Ы

Ошондуктан ал (х0,0) чекиттен башка бут тегиздикте YЗГYЛTYKCYЗ. Демек, баштапкы берилгендердин мындай YЗYЛYYCY убакыттын eтYYCY менен жалгаштырылат экен. Бирок YЗYЛYYHYH изи калып калат: Чийимедеги жоон мYнeздeeчYлeрдe чыгарылыштын туундусу YЗГYЛTYKTYY боюнча калат. Калган бардык чекиттерде чыгарылыш жылма болот, эгерде баштапкы берилгендер жылма болушса.

Эгерде чыгарылыш YЗГYлтYксYЗ болсо, бирок туундусу YЗГYЛTYKTYY болсо, анда ал чыгарылыш алсыз узулуугв (слабый разрыв) ээ болгон чыгарылыш деп аталат.

Алсыз YЗYЛYYлeр сызыктуу тецдемелердегидей квазисызыктуу тецдемелерде дагы мYнeздeeчYлeр боюнча таралат.

Учунчу учур. Айталы жогорудагы монотондуулук шарты аткарылбасын. ЖeнeкeйлYк YЧYH тeмeнкYHY алалы х<х0 болгондо: и(0, t) = а, и(х,0) = а;

х>х0 болгондо: и(х,0) = Ь, бирок а > Ы > 0 болсун. Бул учурда мунездеечулер теменку кeрYHYшкe ээ болушат

Жоон мYнeздeeчYлeр пайда кылган бурчтун арасында ар бир чекит аркылуу эки даана мYнeздeeчY eтeт. Бул мYнeздeeчYлeрдe

202

функциянын маанилери ар тYPДYY болот. Жоон мунездеечулер пайда кылган бурчтун сыртында чыгарылыш бир маанилуу аныкталган, ал эми бурчтун ичинде бир маанилуу эмес аныкталган.

Бул учурда узгултуксуз чыгарылышты тургузууга болбойт. Баштапкы берилгендерди жалгаштыруу жардам бербейт. (.х0,0) чекиттен алыстаганда деле мунездеечулердун абалы езгербейт, ошондуктан бир маанилуу эместик сакталат. Ошондуктан бир маанилуу чыгарылыш узгултуктуу болот, б.а. ал дифференциалдык тендеменин жалпыланган чыгарылышы болот.

Жалпыланган чыгарылыш кандайдыр бир интегралдык тендемени канааттандыарт. Бул интегралдык тендеме берилген дифференциалдык тендемеден эквиваленттуу езгертуп тузуу менен алынат.

Бир эле тендеменин ар турдуу дивергенттик формасы ар турдуу узгултуктуу чыгарылыштарды берет. Бирок жылма чыгарылыштар ар турдуу дивергенттик формага жалгыз болот. Дивергенттик форма физиканын

сакталуу законуна туура келет, ал туура чыгарылышты аныктайт.

Теменку дивергенттик форманы жазып алсак: — + —

Зt Зх

Жалгыз узулууге ээ болгон чыгарылышын издейбиз. Мейли узулуу сызыгынын кыйшаюуусу I) ылдамдыгына туура келсин. Б.а. узулуу толкун сыяктуу "чуркасын".

Мунездеечулердун абалы боюнча нзделуучу чыгарылыш теменку керунушке ээ болот.

V 2 у

= 0.

X XQ ^ ,

и( х, t) = а;

X XQ ^ .

^ ь

Зи З Зt Зх

V 2 у

= 0 барабардыкты жактары х жана И=Ох болгон тик

бурчтуктун аянты боюча интегралдайбыз:

|(и - и)бх +11(и1 - и1л=(а - Ъ)к + ^{Ъ2 - а2)х = 0.

Мындан узулуунун таралуусунун ылдамдыгын аныктап алабыз:

Б = (Ъ + а) / 2.

Эгерде чыгарылыштын езу узулууге ээ болсо, анда ал чыгарылыш кучтуу узулууге ээ болгон чыгарылыш деп аталат. Газдардын

динамикасында мындай чыгарылышты сокку толкун (ударная волна) деп аташат.

Квазисызыктуу тецдемелердин кYчтYY Y3YЛYYCY мYнeздeeчYлeрY боюнча таралбайт. Ушундай жалпыланган чыгарылыштар гана баштапкы берилгендердин кичине козголуусуна карата туруктуулугу квазисызыктуу тецдемелердин теориясында далилденген.

Тертунчу учур. u(x,0) функциясы Y3ГYлтYксY3, бирок кандадйдыр бир интервалда кемийт. Бул учур YЧYнчY учурга алып келинет. Мурдагы дай эле мYнeздeeчYлeрдYн кесилиши кYчтYY Y3YЛYYгe алып келет.

Мындан узулуунун таралуусунун ылдамдыгы: D = (b + a) / 2 болот.

Бул учурда баштапкы берилгендер Y3ГYЛтYксY3 жана жылма болсо деле убакыттын eтYYCY менен чыгарылыштарды ^чтуу Y3YЛYY пайда болот.

YзYЛYYлeрдYн саны дагы убакыттын eтYYCY менен eзгeрYШY мYмкYн. Жыйынтыктоо

Ou O

1-Эскертуу. Эгерде--1--

Ot Ox

V 2 У

= 0 ордуна башка дивергенттик

О Ou

форманы алсак, мисалы:— (ln u) +--= 0 анда сокку толкундун ылдамдыгы

Ot Ox

eзгeрeт. Бирок алсыз сокку толкундар YчYн сокку толкундун ылдамдыгы

1 2

D = — (b + a) га салыштырмалуу 1+О(в ) эсе айрымаланат, мында e=(b-

a)/(b+a). Б.а. бираз эле eзгeрeт.

2-Эскертуу. Сызыктуу тецдемелердин Y3ГYЛтYктYY чыгарылыштарын жылма жана Y3ГYЛтYксY3 чыгарылыштардын предели катарында кароого болот.

Адабияттар

1. Alymkulov, K. Perturbed Differential Equations with Singular Points in book [Text] / K. Alymkulov, D.A. Tursunov // Recent Studies in Perturbation Theory. Chapter 1. Edited by Dimo I. Uzunov, Publisher InTech, 2017.

2. Уизем, Дж.Б. Линейные и нелинейные волны [Текст] / Дж. Уизем; перевод с англ. В.В. Жаринова ; под ред. А.Б. Шабата. - Москва : Мир, 1977. - 622 с..

3. Построение точных решений некоторых уравнений гиперболического типа, содержащих разрыв, распространяющийся по неоднородному фону / Ю.А.Криксин [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2018. № 17. 14 с. doi:10.20948/prepr-2018-17.

4. Hopf E., The partial differential equation // Communiations on Pure and Applied Mathematks. 1950, 3, pp. 201-230.

5. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1957, № 12, C. 3-73.

6. Polyanin A.D., Zaitsev V.F., Moussiaux A. Handbook of first order partial differential equations // Differential and Integral Equations and Their Appliations 2002 vol.1.

7. . Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина // Мат. модел., 2012, т. 24, № 12, с. 124-128.