ҮЧ КӨЗ КАРАНДЫСЫЗ ӨЗГӨРҮЛМϴЛҮҮ ЖЕКЕЧЕ ТУУНДУЛУУ СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫН ЧЫГАРУУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_103

YЧ КЭЗ КАРАНДЫСЫЗ eЗГeРYЛМeЛYY ЖЕКЕЧЕ туундулуу СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕЛЕРДИН

СИСТЕМАСЫН ЧЫГАРУУ

Аширбаева АйжаркынЖоробековна, ф.-м.и.д., профессор,

aijarkyn. osh@,mail. т, М.М. Адышев атындагы Ош технологиялык университети, Садыкова Гульхан Курбанбековна, улук окутуучу,

gsadykova.osh@gmail.com, Ош мамлекеттик университети, Ош, Кыргызстан

Аннотация: Азыркы учурда кошумча аргумент кийирYYусулу eнYгYп жатат, ал ар кандай тYрдeгY сызыктуу эмес, жекече туундулуу тецдемелерди интегралдык тецдемелерге келтирYYHYн принципиалдуу мYмкYнчYЛYктeрYн берет жана ошону менен бирге, динамикалык системалар теориясындагы маселелердин кецири классынын чыгарылыштарынын жашоосун далилдейт, муну башка усулдар менен жасоо мYмкYн эмес. Yч кез карандысыз eзгeрмeлYY биринчи тартиптеги сызыктуу эмес жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелердин системасы каралат. Баштапкы маселенин жалгыз чечиминин бар экендиги кошумча аргумент кийирYY ыкмасы менен далилденет. Алынган жыйынтыктар боюнча айкын маселенин чечимин тургузууга болот. Ошондой эле башка жекече туундулуу дифференциалдык тендемелердин системасынын чечимдерин изилдeeдe колдонууга болот.

Ачкыч свздвр: Дифференциалдык тецдемелер системасы, сызыктуу эмес, жекече туундулар, кошумча аргумент кийирYY ыкмасы, кысып чагылтуулар принциби.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ТРЕМЯ НЕЗАВИСЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аширбаева Айжаркын Жоробековна, ф.-м.и.д.,профессор,

aijarkyn.osh@mail.ru, 103

Ошский технологический университет имени М.М. Адышева, Садыкова Гульхан Курбанбековна, старший преподаватель,

gsadykova. osh@,gmail. com, Ошский государственный университет,

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В настоящее время развивается метод дополнительного аргумента, который дает принципиальную возможность сведения различных типов нелинейных уравнений с частными производными к интегральным уравнениям, и в то же время на основе этого метода доказывается существование решений широкого круга задач теории динамических систем. Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с тремя независимыми переменными. Методом дополнительного аргумента доказано существование единственного решения начальной задачи. На основе полученных результатов можно построить решение конкретной проблемы. Данный метод также можно использовать для изучения решений других систем дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: Система дифференциальных уравнений, нелинейное, частные производные, метод дополнительного аргумента, принцип сжатых отображений.

SOLUTION OF A SYSTEM OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES WITH THREE INDEPENDENT VARIABLES

Ashirbayeva Aizharkyn Zhorobekovna, d.ph.-m.s. professor,

aijarkyn.osh@mail.ru, Osh Technological University named after M.M. Adysheva, Sadykova Gulkhan Kurbanbekovna, Senior Lecturer

gsadykova.osh@gmail.com, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

Abstract: At present time, the method of an additional argument is being developed,

which makes it possible in principle to reduce various types of nonlinear partial differential

equations to integral equations, and at the same time, on the basis of this method, the

existence of solutions to a wide range of problems in the theory of dynamical systems is

proved. There is considered a system of nonlinear partial differential equations of the first

order with three independent variables. The existence of a unique solution to the initial

problem is proved by the method of an additional argument. Based on the results obtained, it

104

is possible to construct a solution to a specific problem. This method can also be used to study solutions to other systems of differential equations.

Keywords: System of differential equations, non-linear, partial derivatives, additional argument method, contraction mapping principle.

Киришуу

Учурда кошумча аргумент кийирYY усулу eHYTYn жатат, ал ар кандай турдегу сызыктуу эмес, жекече туундулуу тендемелерди интегралдык тендемелерге келтируунун принципиалдуу мумкунчулуктерун берет жана ошону менен бирге, динамикалык системалар теориясындагы маселелердин кенири классынын чыгарылыштарынын жашоосун далилдейт, муну башка усулдар менен жасоо мумкун эмес [1, 2].

Изилдеенун каражаттары жана ыкмалары.

Кошумча аргумент кийируу усулу жана башка усулдар менен да изилденбеген, теориялык кызыгууну туудуруучу, жекече туундулуу дифференциалдык тендемелердин системаларынын класстары бар. Кошумча аргумент кийируу усулун жекече туундулуу дифференциалдык тендемелердин системаларына жайылтуу жумуштун актуалдуулугун аныктайт.

Маселенин коюлушу.

Теменкудей сызыктуу эмес тецдемелер системасын карайбыз:

2

D\axx (t, x, y, щ, u2),an (t, x, y, щ, u2 )]щ (t, x, y) = ^ a1¿ (t, x, y, щ, щ ) + f (t)

k=i (1)

D\a2l (t, x, y, щ, щ), a22 (t, x, y, щ, щ )]u 2 (t, x, y) = b(t, x, y, щ, щ), мында

(t, x, y) e G (T) = \0,T] x R2, жана оператор:

глг т д д д

D\(,(] =--v (--v ю2 — .

dt dx dy

(1) системасын теменкудей баштапкы шарттары менен карайбыз:

щ (0, x, y) = x + y,

2 (2) ^(0, x, y) = p(x, y), (x, y) e R .

Коюлган (1), (2) баштапкы маселени чыгаруу учун кошумча аргумент кийируу усулун колдонобуз. (1). (2) маселесин интегралдык

тевдемелер системасына келтиребиз. Ал эми интегралдык тецдемелер системасына кысуучу чагылтуулардын принцибин колдонуу менен чыгарылыштардын локалдык жашашынын жана жалгыздыгынын жетиштYY шарттарын алабыз.

Бул усулдун eнYГYШY жана колдонулушуна М.И. Иманалиевдин, П.С. Панковдун, А.Ж. Аширбаеванын бир топ эмгектери арналган [1-3]. Жыйынтыктар жана талкуулар.

[3] деги функциялардын класстарын колдонуу менен темен^ теореманы далилдейли.

Теорема. Эгерде p(x,y)) е C(1) (R2), а.. (t, x, y, щ, щ ) е С(1) (G3 (T) х R2), b(t, x, y, щ, щ) е С (1)(G3 (T) х R2), i, j = 1,2.

Анда (с (1)(G3(T*)))2 мейкиндигинде (1)-(2) - маселе жалгыз

чыгарылышка ээ боло тургандай, 0 < T* < T саны жашайт. Далилдее.

Теореманы далилдееде кошумча аргумент кийирYY усулун колдонобуз. [4-6] эмгектеринде аталган усулду жекече туундулуу тецдемелер системасынын класстарына колдонуу каралган.

Адегенде (1) тецдемелер системасынын биринчи тецдемесин чыгарабыз. (1) тецдемесинин биринчи тецдемеси (2) шарты менен темен^ интегралдык тендемеге кошумча аргумент кийируу усулу менен келтирилет:

t

u(t,x) = x- \ а,(v,p(v,t,x,y), p(v,t,x,y),u(v, p, p),u

1(t, x) = x - Jall(v, Pl(v, t, x, У), P2(v, t, x, y), U1(v, P^ P2X Un (v, Pl, P2))dv +

0

t

+y - J al2(v, Pl(v, t, x, y X P2(v, t, ^ y ), U1(v, Pl, P2I Un (v, Pl, P2))dv +

0

t

+J Яц (V Pl(v, t, x, y), P2(v, t, x, yX U1 (Л Pl, P2 ), Un (v, Pl, P2 ))d v +

0

t t +jal2(v, Pl (vt, x, у ), P2 (vt, x, у X Ul(v, Pl, P2 X Un(v, Pl, P2 ))dv+j f (s)ds

мындагы

p1(s, t, x, y), p2(s, t, x, y) - тeмeнкY интегрaлдык тецдемелер

системaсынын чечими

t

Pl (s, t, x, y) = x - Jan (v, Pl (v, t, x, y), P2 (v, t, x, y),

s

U1(v, Pl,P2),u2(v Pl, P2))dv,

t

P2 (S t, x, y) = y - J al2 (V, Pl ^t, x, У), P2(v, U x, У),

x, y) = y - \a„ (v, p (v, t, x, y), p (v, t, x, (4)

ul(v, Pl, P2), u2 (v Pl, P2))dv,

(s, t, x, y ) e Q22(T ), мындa

Qn(T) = {(tl,t2,13,..,tn,x,у)|О < tl < t2 < t3 <...< tn < T, (x,y) e R2}.

(3) тевдемесинен тeмeнкYHY aлaбыз:

t

u (t, x, y) = x + y + J f (s)ds. (5)

О

(4) системaсы тeмeнкY системaны кaнaaттaндыргaн жaлгыз чечимге ээ болот:

D[an (t, x, y, u, Щ ),a12 (t, x, y, u, u )]Pi (s, t, x, y) = О, px (s, s, x, y) = x, D[an (t, x, y, u, u2 ),.a2 (t, x, y, u, u )]P2 (s, t, x, y) = О, p2 (s, s, x, y) = y.

Kошyмчa aргyмент кийирYY УСулунун негизинде биз белгисиз u1 (t, x, y) функциясын (5) тYPYндe тaaп aлдык.

Тaбылгaн u1(t, x, y) функциясын (1) системасынын экинчи

тецдемесине коюп, u2(t, x, y) белгисиз функциясы YчYн тeмeнкY тецдемени aлaбыз:

D[~21 (t, x, y, u2 ), a22 (t, x, y, u2 )]u2 (t, x, y) = b (t, x, y, u2 ), (б)

мындa

t

~2¿ (t, x, y, ^ ) = a2¿ (t, x, y, x + y + J f (s)ds, ^ ),

О

t

b (t, x, y, u2 ) = b (t, x, y, x + y + J f ( s)ds, u2 ), i = 1,2.

О

<

s

(6), (2) маселесине кошyмча аргумент кийирYY усулун колдонуп, тeмeнкY интегралдык тецдемелер системасына келтиребиз:

u2(t, x, y ) = ф(^(О, t, x, y), q2^, t, x, y)) +

t

+\b(v, 4i (V, t, x, y\q2 (v, t, x, y\

О

u2 (v, q (v, t, x, y), q2 (v, t, x, y))dv,

t

qx(s,t,x,y) = x-\à2x(v,qx(v,t,x,y),q2(v,t,x,y), (7)

s

u (v, q (v, t, x, y), q2 (v, t, x, y)))dv,

t

q2(sj,x,y) = y-ja22(v,ql(vj,x,y),q2 (v, í, x, j/),

s

u (v, q (v, t, x, y), q2 (v, t, x, y)))dv, (s, t, x, y) e Q2(T ).

ql(s,t,x,y),q2(s,t,x,y) - функциялары тeмeнкY тецдемелерди

канааттандыраарын ^pYYTe болот:

D[a21 (t, x, y, щ, u2 ), .a22 (t, x, y, щ, u2 )]qx (s, t, x, y) = О, qx (s, s, x, y) = x, D[a21 (t, x, y, щ, щ ), .a22 (t, x, y, щ, щ )]q 2 (s, t, x, y) = О, q 2 (s, s, x, y) = y.

(7) системасында t eзгeрYлмeсYн s менен, x eзгeрYлмeсYн ql(s,t, x, y)

функциясы менен, y eзгeрYлмeсYн q 2(s, t, x, y) функциясы менен алмаштыралы жана [3] жумушунда берилген

функциялары YЧYн тeмeнкY барабардыктар далилденген:

a21 (t, x, y, щ, u2 ), a22 (t, x, y, щ, u2 ) e С(1) (G3 (T) x R2 )

ql(s,T, ql(T, t, x, y),q2(T, t, x, y)) = ql(s,T, x, y), q2(s,т, ql(т, t, x, yX q2(т, t, x, У)) = q2(s,т, x, У X (s, t, x, y) e Q3(T ).

г*;

(8) барабардыгынын жардамында (7) системасынан тeмeнкY интегралдык тецдемелер системасын алабыз:

co(s, t, x, y) = ^(0, t, x, y), q2(0, t, x, y)) +

t

+J b^v^iyj, x, _y), q2(v,t,x, y), Q)(y, t, x,

0

f (9)

qx(s,t,x,y) = x - ¿^(v^iV^x,y),q2(v,t,x,y),co(v,t,x,y))dv,

s t

q2 (s, t,x,y) = y-^ a22 (v, ql (v, t, x, y), q2 (v, t, x, y), co(v, t, x, y))dv,

s

Мындагы

ct)(s, t, x, y) = щ (s, q (s, t, x, y), q (s, t, x, y)).

(9) системасын бир вектордук барабардык тYPYндe жазып алабыз:

0 = AO, (10)

мында 0 = (0j,02,03) - вектор-функция, анын компоненттери белгисиз функциялар Щ =a(s,t,x,y), 02 = qx(s,t,x,y), 03 = q2(s,t,x,y), ал эми

A = (A1, A2, A3) операторунун компоненттери:

40 = ^(0, t, x, y ),0з(0, t, x, y)) +

t

+^bl{y,62{y,t,x,y),e^{y,t,x,y),ei (v, t, x, y))dv,

0

f л i\

Агв = x - f a21(v,02(v,t,x, y), 63 (v, i, x, y), (v, i, x, y))dv,

s t

A36 = y-ja22 (v, 02 (v, t, x, y), 63 (v, t, x, (v, t, x, y))dv,

s

(10) системасы G2 (T) областында T < T YЧYн ||0-00||< М

барабарсыздыгын канааттандырган жалгыз, YЗГYлтYксYЗ чечимге ээ болот. Норма темен^ барабардык менен аныкталат:

Щ = max max {Щ1, i = 1,2,3 г

11 11 0<i<3 (t,x)eG3 (T) 1 1

Анда:

|АЩ-^< M 0T,

|a2 0- x| < mt ,

\Лъв- y < M2T,

b1(t,x,y,u2) <M0 = const, \a2ii(t,x,y,u2)| <Mt = const, i = 1,2.

A оператору S(60, M) шарынын элементтеринин ортосундагы

аралыкты кысып тураарын далилдейбиз.

TeMeHKY барабарсыздыктар орун алат:

Лв1 - лв21 < q (t )| в1 -в2\, |Л2^1 - Л2^2| <п2(т )| l1 -в2||, Лl1 -Л3в21 < Q3(T)|l1 - в21|,

мында

q (т)=l + l + (K + K + K )т

Q2(T) = (N1 + N2 + ^з)Т, пз(Т) = (H1 + H2 + Hз)Т,

x,у) е Lip(L х,Ь2 ), L,L2 > 0, L,L - const,

b (t, x, у, u2) е Lip( K

~21(t, x, y, u2) E LiP(N1 x , N2

x , K 2

у, N3

у, K3

), к, K, K > 0, к, K, K - const

), n , N, N > 0, n , N, N - const,

a 22 (t, x, у, щ) е Lip( H

x , H 2

у, H 3

U2

), H, H2, H > 0, H, H2, H3 - const.

Q (T) = 1, i = 1,2,3 тецдемелеринин чечимдерин тиешелYY тYPдe T1,T2,T3 менен белгилейли.

Мындан биз T < T*= min{T ,Т2,T3} учурда , кысып чагылтуу

принцибинин негизинде (10) тецдемесин жалгыз чечимге ээ болот. Теорема далилденди. Корутунду

Жогорудагы алынган жыйынтыктар боюнча айкын маселенин

чечимин тургузууга болот. Ошондой эле башка жекече туундулуу

110

u

2

u

2

дифференциалдык тендемелердин системасынын чечимдерин изилдееде колдонууга болот.

Адабияттар

1. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными [Текст] / М.И. Иманалиев. - Бишкек: Илим, 1992. -112 с.

2. Иманалиев М.И. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Кортевега - де Фриза [Текст] / М.И. Имана-лиев, П.С. Панков, Т.М. Иманалиев // Доклады Российской АН. - 1995. - Т. 342. - № 1. - С.17-19.

3. Аширбаева А.Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента [Текст] / А.Ж. Аширбаева - Бишкек: Илим, 2013. - 134 с.

4. Аширбаева А.Ж. Решение системы интегро-дифференциальных уравне-ний методом дополнительного аргумента [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Ж. И. Мамбетов // Вестник ОшГУ. Специальный выпуск - Ош, 2013. - № 1. -С. 91-94.

5. Аширбаева А.Ж. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных методом дополнительного аргумента [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Ж.И. Мамбетов // Естественные и ма-тематические науки в современном мире. Новосибирск, 2017. - № 1(48). - С.111-124.

6. Мамбетов Ж.И. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со многими пере-менными [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Ж.И. Мамбетов // Междуна-родный научно-исследовательский журнал. 2018. - № 3(69). - С. 6-10.