ӨЗГӨЧӨ ЧЕКИТКЕ ЭЭ БОЛГОН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ЧЕКТИК МАСЕЛЕНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА BULLETIN OF OSH STATE UNIVERSITY

ISSN 1694-7452 e-ISSN: 1694-8610

№4/2023, 87-95

МАТЕМАТИКА

УДК: 517.928.2

DOI: 10.52754/16948610 2023 4 10

езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон чектик

МАСЕЛЕНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С

ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF A SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH A SINGULAR POINT

Бекмурза уулу Ыбадылла

Бекмурза уулу Ыбадылла Bekmurza uulu Ybadylla

аспирант, Ош мамлекеттик университети

аспирант, Ошский государственный университет Graduate Student, Osh State University ybekmurzauulu@,oshsu.kg

езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон чектик

МАСЕЛЕНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНЫН АСИМПТОТИКАСЫ

Аннотация

Макала бисингулярдык козголгон эки чекиттYY чектик маселенин чыгарылышынын асимптотикалык ажыралмасын тургузууга арналган. Кичи параметр жогорку тартиптеги туундунун астында катышкан экинчи тартиптеги сызыктуу бир тектYY эмес кадимки дифференциалдык тецдеме YЧYн кесиндиде эки чекиттуу Дирихленин чектик маселесинин чыгарылышынын бир калыптагы асимптотикалык ажыралмасы тургузулат. Каралып жаткан маселенин взгвчвлYГY тиешелYY козголбогон биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тецдеме кесиндинин сол учунда взгвчв чекитке ээ. Биз ушуга окшош чектик маселелердин асимптотикалык чыгарылыштарын тургузуунун жвнвквйлвштYPYлгвн алгоритмин сунуштайбыз, ал эки функциянын суммасынан турат жана биздин чек ара функциялар взгвчв чекиттин чеке-белинде "чек ара катмары" касиетине ээ, б.а. чек ара катмарынын сыртында даражалуу мYнвздв жок болот.

Ачкыч свздвр: ассимптотикалык чыгарылыш, дирихленин эки чекипуу чектик маселеси, бисингулярдык козголгон маселе, кичи параметр, взгвчв чекит.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДА ЧИ С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

Аннотация

Статья посвящена построению асимптотического разложения решения бисингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи. строится равномерное асимптотическое разложение решения двухточечной краевой задачи Дирихле на отрезке для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что соответствующая невозмущенная задача для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка имеет особую точку на левом конце отрезка. Нами предлагается более простой алгоритм построения асимптотического решения подобных краевых задач, который состоит из двух составных функций и наши пограничные функций построенные в окрестности особой точки обладают свойством «погранслойности», т.е. степенным характером исчезают вне пограничного слоя.

ASYMPTOTIC OF THE SOLUTION OF A SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH A SINGULAR POINT

Abstract

A uniform asymptotic expansion of the solution of the two-point Dirichlet boundary value problem for a linear inhomogeneous ordinary differential equation of the second order with a small parameter at the highest derivative is constructed on the segment. The peculiarity of the problem under consideration is that the corresponding unperturbed problem for an ordinary differential equation of the first order has a singular point at the left end of the segment. We propose a simpler algorithm for constructing an asymptotic solution to such boundary value problems, which consists of two composite functions, and our boundary functions constructed in the neighborhood of a singular point have the "boundary layer" property, i.e. power-law disappear outside the boundary layer.

Ключевые слова: асимптотическое решение, двухточечная краевая задача Дирихле, бисингулярно возмущенная задача, малый параметр, особая точка.

Keywords: asymptotic solution, two-point Dirichlet boundary value problem, singularly perturbed problem, small parameter, singular point.

Киришуу

Сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдемелер физиканын, техниканын ж.б. илимдин тармактарында кездешет [1]-[4]. БYГYнкY кYндe сингулярдык козголуулар теориясы математиканын бир бутагына айланды. Буга далил катары акыркы жылдарда жарык керген макалалардын, монографиялардын санын кескин eсYYCYн далил катары келтирсе болот [1]-[18].

Маселенин коюлушу

ТeмeнкY эки чекиттYY чектик маселени изилдейбиз

еу''(х) + ху' (х) - у(х) = /(х), 0 < х < 1 (1)

у(0) = а, у(1) = Ь, (2)

мында е - кичи оц параметр, a жана Ь - белгилYY турактуу сандар,/еС[0,1]. (1) жана (2)- Дирихленин маселеси деп да аталат. Маселенин езгечвлугу

1) Кичи параметрдин жогорку тартиптеги туунду белгиси астында катышуусу, эгерде кичи параметрди формалдуу тYPдe нелге барабарласак, анда биз биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тецдемени алабыз:

ху'0 (х) - у0( х) = / (хX (3)

(3)- тецдеменин чыгарылышы (2)- чек аралык шарттарды жалпы учурда канаттандырбайт;

2) (3)- дифференциалдык тецдеме х=0 чекитиниде регулярдык eзгeчe чекитке ээ [4]-[6].

(1)- тецдемеде у'(х) тин астындагы коэффициенти (0,1) аралыгында оц болгондуктан, (1)-(2)- козголгон маселедеги чек аралык катмар [0,1] кесиндинин сол учунда жайгашкан деп божомолдойбуз, б.а. х=0 чекиттин чеке белинде [4]-[7].

Алгач тeмeнкY жардамчы лемманы келтиребиз [11]:

1-Лемма. (3)- дифференциалдык тецдеме тeмeнкY шарт менен жалгыз чыгарылышка ээ болот:

у0(1) = Ь, (4)

жана бул чыгарылышты тeмeнкY кeрYHYштe жазууга болот:

%(х)=х

1 Т J

(5)

Тыянак. (5)- чыгарылышты тeмeнкY кeрYHYштe жазууга болот:

у0 (х) = / '(0)х 1п х + Q(х), мында Q е Сх [0,1].

Чындыгында,

у0( х) = Ьх + х \Щйт = Ьх + х Г \Щ + + ^ (т)

1 Т 1 [ Т Т у

= / '(0) х 1п х + О (х)

Мындай eзгeртYп жазып алганыбыздын себеби у0 е С[0,1], бирок у0 0 С*[0,1] eзгeчeлYктY кeрсeтYY.

Бул деген чыгарылыш кесиндиде YЗГYлтYксYЗ, бирок у0(х) функциясынын туундусу кесиндиде YЗГYлтYксYЗ эмес, х=0 чекитинде YЗYЛYYгe ээ.

Демек, (1)-(2)- маселе бисингулярдык.

(1)-(2)- маселенин чыгарылышын тeмeнкY формалдуу катар кeрYHYШYндe издейбиз:

V (х) = v0 (х) + £У1 (х) + £2У2 (х) +... + £пУп (х) + ... (6)

мында У£(х) (£=0,1,...) - азырынча белгисиз функциялар, 0<в<<1.

(6)-катарды (1)-тевдемеге алып барып коебуз:

ф %( х) + ^ х) + ... + "п( х) +...} + х {V 0 х) + ^ 1 х) + ... + п х) + ...} -

- ^(х) + evl{ х) +... + (х) +...} = / (х),

мындан кичи параметрдин бирдей даражаларынын коэффициенттерин барабарлап, тeмeнкY катыштарды алабыз:

xv 'о(х) - Vo(х) = /(x), (7)

V%-1 (х) + xv', (х) - V, (х) = 0, £ е N. (8)

(7) жана (8)- биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тевдемелер. (1)-(2)-маселеде чек аралык катмар [0,1 ] кесиндинин сол учунда жайгашкандыгы YЧYн, биз (7) жана (8)- тевдемелердин чыгарылыштарынан тиешелYY тYPдe тeмeнкY шарттардын аткарылуусун талап кылабыз:

Vo(1) = Ь, V£ (1) = 0, £ е N. (9)

1-лемманын негизинде (7), (8) жана (9) маселелердин чыгарылыштары жашайт, жалгыз болот жана ал чыгарылыштарды тeмeнкY кeрYHYштe жаза алабыз:

йт =

v0 (х) = х

\ х

Ь + \У2 / (т)йт

V 1

Vo (х) = / '(0)х 1п х + О, (х), 00 е С^ [0,1];

V£

(х) = -х\т\_1(г)йт ^ V£(х) = д(х), д е С"[0,1],£ е N.

J V

1 х

Ошентип биз (6)- катардын мYчeлeрYн аныктап алдык:

V (х) = / '(0) х 1п х + 0О( х) + (х) + 4 02 (х) + ... + Оп (х) +... (10)

х х х

Бул жерден тургузулган катардын х е (Vs,1] аралыкта гана асимптотикалык катар боло тургандыгы келип чыгат.

Аныктама. (10)- катар (1)-(2)- маселенин тышкы чыгарылышы деп аталат.

Демек, тургузулган тышкы чыгарылыш (1)-(2)-маселени х е (-Js,1] аралыкта гана канааттандырат, б.а. тышкы чыгарылыш [0,1] кесиндини толук камтыбайт.

Толук кесиндиде (1)-(2)- маселени канааттандырган чыгарылышты тургузуу YЧYн жалпыланган чектик функциялар методун колдонобуз.

(I)-(2)-маселенин чыгарылышын эки функциянын суммасы кeрYHYШYндe издейбиз:

y ( х ) = u ( х ) + n(t ), (11)

мында

и(х) - эч кандай eзгeчeлYккe ээ болбогон жылма тышкы чыгарылыш, n(t) - чек аралык катмардагы ички чыгарылыш, t = х / ц, ц = Vs .

(II)ди (1)-(2)- маселеге алып барып коебуз:

su "(х) + хи '(х) - u(х) = f (х) - g(х), 0 < х < 1, u(1) = b, u е Cœ[0,1], (12) n ''(t ) +1 n '(t ) -n (t ) = g (t ц ), 0 < t <ц-1, n (0) = a - u (0), lim n (t ) = 0 (13)

t^œ

мында g( х ) = g0 + sg1 + ... + s п§пх + ..., gk - азырынча белгисиз коэффициенттер.

(12)-маселенин чыгарылышын тeмeнкY катар кeрYHYШYндe издейбиз:

u ( х ) = u0( х ) + su1( х ) + s2u2( х ) +... + snun ( х ) +... (14)

мында ад(х) (k=0,1,...) - азырынча белгисиз функциялар, 0<s<<1. (14)-катарды (1)-тевдемеге алып барып коебуз:

s{u"0(х) + ... + snM "п(х) + ...} + х{и'0(х) + ... + snM П(х) + ...} -

- {uo(х) + ... + Sun(х) + ...} = f (х) - goх - sëiх -...- s gп х -...,

мындан кичи параметрдин бирдей даражаларынын коэффициенттерин барабарлап, тeмeнкY катыштарды алабыз:

хu \(х)- u0(х) = f (х) - g0х, u0(1) = b, (15)

u \_1(х) + ^ 'к (х) - uk (х) = -g¿х, uk (1) = 0, к е N. (16)

1-лемманын негизинде (15)- жана (16)- маселелердин чыгарылыштары

\+}f (Т -g°Tr|, щ (х)=-х'¡гu:щtêкldT> к

u 0 ( х) — х

болот.

N

Эгерде £0 = / '(0), gk = -u _1(0), £ е N болсо,анда

uk е С"[0,1] (£ = 0,1,2,...) ^ и е С"[0,1].

Ошентип биз эч кандай eзгeчeлYккe ээ болбогон (14)- жылма тышкы чыгарылыштын жана g(x) функциясынын бардык мYчeлeрYн аныктап алдык.

(13)-маселенин чыгарылышын тургузабыз.

Бир тектYY г"(t) + t2'(t) — 2 (t) = 0 тевдеменин сызыктуу кeз каранды эмес чыгарылыштарын тeмeнкY кeрYHYштe жазууга болот:

I

2х(Х) = t, 22^) = е-2/2 +1\е"х2/2йт .

мында 2,

(' )=

1 - С + е2г +..., t ^ 0 1_ е-,/2г 3 1 •3 • 5

3 е -г/2 (1 ~ + +... + (- 1)п+1 (2 П +1)!!

Г г

t

2 п

Вронскианы: Ж(21,22) = -е 1 /2. Ошондуктан (13)-тевдеменин жалпы чыгарылышы

Ф) = 22

71(^ - 21(t;J +с2/0 +С2 22 (О

Ж

Ж

болот. Ал эми чек аралык шарттарды канааттандырган чыгарылыш тeмeнкY кeрYHYштe болот:

= -22(^¡^(тМтц>х2йт + ^^(тМтц>х2йт + (а- и(0))г2

t / "

= [2Х(0^2,(т2/2йт - 2221 (т272йт2£+1 g£

"

+(а - и(0))22^) - 222£щ(0)

+

Тургузулган ^х) жана n(t) функцияларын (11) ге алып барып коебуз:

œ t t 00

y ( х ) = kuk( х ) + [ zx(t ) }(т) те T/2d т - z2(t ) }0 t) те T/2dx]J> 2+1 gk

k=0 k=0 (17)

k

+(a - u0(0))z2(t) - z2(t)£>2kuk (0)

к=0

х

мында u0(х) = хЬ + х}г"2(f (т) - f '(0)r)dr,

1

х

(х) = -х}r"2(u''k-1 (т) - umk-1(0)r)dr, к е N uk е Cœ[0,1] (k = 0,1,2,...).

uk

(17)-катар чындап (1)-(2)- маселенин чыгарылышынын асимптотикалык ажыралмасы экендигин далилдee YЧYн (17)нин калдык мYчeсYн баалайбыз. Мейли

y (х ) = уи (х ) + Rn ( х ) (18)

болсун, мында Rn^) - калдык мYчe,

уи (х) = £ sk (х) + [zx (t)}} z2 (t)теT/2dT - z2 (t)} z, (т)теT/2d!]£ ц2kg +

k=0 œ k=0 n

+(a - u0 (0))z2 (t) - z2 (tЦ2kuk (0).

k=0

(18)-туюнтманы (1)-(2)- мселеге алып барып коюуп, калдык мYчe YЧYн тeмeнкY маселени алабыз:

sR''пПх) + хR'пПх) - Rnn = O{sn+1), 0 < х < 1, Rn(0) = 0, Rn(1) = 0. (19)

(19)-маселеге максимум принцибин [16] колдонуп, калдык мYчe YЧYн тeмeнкY асимптотикалык бааны алабыз:

Rn (х) = O (sn+1), 0,0 < х < 1.

Натыйжада биз тeмeнкY теореманы далилдедик:

Теорема. 0згeчe чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон (1)-(2)- чектик маселенин чыгарылышы YЧYн тeмeнкY асимптотикалык ажыралма орун алат:

n

Л-2 , ^ 0/^1 +

y ( х ) = kuk( х ) + [ zx(t ) }(т) те ^2dx - z2(t ) }0 t) те 2т]£ц 2kk

k=0 œ k=0

+(a - u0(0))z2 (t) - z2 (tц22 (0) + O(e"+1), s 0.

k=0

Корутунду. Биз бисингулярдык козголгон эки чекиттYY чектик маселенин чыгарылышынын асимптотикалык ажыралмасын тургуздук. Каралып жаткан маселенин eзгeчeлYГY тиешелYY козголбогон биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык тецдеме

кесиндинин сол учунда регулярдык езгече чекитке ээ. Иррегулярдык езгече чекиттер [12]-[15] жумуштарда каралган.

Адабияттар

1. Shiromani R., Shanthi V., Ramos H. A computational method for a two-parameter singularly perturbed elliptic problem with boundary and interior layers // Mathematics and Computers in Simulation. 2023, Vol. 206, pp. 40-64.

2. Liu Z., Wei J., Zhang J. A new type of nodal solutions to singularly perturbed elliptic equations with supercritical growth // Journal of Differential Equations. 2022. Vol. 339. pp. 509-554.

3. Smith J. Singular Perturbation Theory (Cambridge University press, Cambridge, 1985).

4. Nayfeh A.H. Perturbation Methods, Pure and Applied Mathematics (Wiley-Inter science Series of Texts, Monographs and Tracts, New York, 1973).

5. Алымкулов К., Асылбеков Т.Д., Долбеева С.Ф. Обобщение метода погранфункций для решения краевой задачи для бисингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 4. С. 484-487.

6. Алымкулов К., Зулпукаров А.З. Равномерное приближение решения краевой задачи сингулярно возмущенного уравнения второго порядка в случае, когда невозмущенное уравнение имеет регулярную особую точку // Исслед. по инт.-дифф.уравнениям. -Бишкек: Илим. 2004. Вып. 33. С.118-123.

7. Tursunov D. A. and Bekmurza uulu Ybadylla Asymptotic Solution of the Robin Problem with a Regularly Singular Point // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, No. 3, pp. 613-620.

8. Турсунов Д.А. Асимптотическое решение линейных бисингулярных задач с дополнительным пограничным слоем // Изв. вузов. Математика. 2018. № 3. С. 70-78. DOI: 10.3103/S1066369X18030088.

9. Турсунов Д.А. Асимптотическое решение бисингулярной задачи Робена // Сиб. электрон. матем. изв. 2017. Т. 14. С. 10-21. DOI 10.17377/semi.2017.14.002

10. Турсунов Д.А. Асимптотическое разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с тремя точками поворота // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. С. 271-281.

11. Bekmurza uulu Ybadylla, Kozhobekov K.G., Tursunov D.A. Asymptotics of solutions of boundary value problems for the equation sy'' +xp(x)y' - q(x)y = f // EURASIAN MATHEMATICAL JOURNAL. Vol. 13, No 3 (2022), 82 - 91.

12. Kozhobekov K.G., Tursunov D.A. Asymptotic solution of a singularly perturbed Cauchy problem with a turning point // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Т. 254. № 6. С. 788792.

13. Kozhobekov K.G., Tursunov D.A. Asymptotics of the solution of bisingularly perturbed first boundary value problem // Журнал Лобачевского по математике. 2022. Т. 43. № 2. С. 5065.

14. Кожобеков К.Г., Турсунов Д.А. Асимптотическое решение задачи Неймана с нерегулярной особой точкой // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2021. Т. 201. С. 98-102.

15. Kozhobekov K.G., Tursunov D.A., Omaralieva G.A. Asymptotics of the solution of bisingular boundary value problems with a biboundary layer // Журнал Лобачевского по математике. 2023. Т. 43. № 11. С. 3198-320.

16. Protter M.H., Weinberger H.F., Maximum-Principles in Differential Equations (Diff.Equat.Ser. Prentice-Hall, Inc. X, N. J., 1

17. Садиева, А. (2023). Туруксуз спектрге ээ болгон сингулярдык козголгон маселенин чыгарылышынын асимптотикасы. Вестник Ошского государственного университета, (3), 65-72. https://doi.org/10.52754/16948610 2023 3 8. EDN: WQDATO.

18. Абдилазизова, А. (2022). Биринчи тартиптеги сингулярдык козголгон сызыктуу дифференциалдык тевдеменин чечиминин асимптотикасы. Вестник Ошского государственного университета, (1), 5-11. https://doi.org/10.52754/16947452_2022_1_5. EDN: PJWGKB.