Цепные дроби гауссовых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ции и функции Грина имеют сингулярные особенности только на световом конусе четырехмерного пространства времени. В случае шестимерной электродинамики, из-за учета механизма образования электрического заряда, световой конус заменяется на однополостный гиперболоид, что должно привести к радикальному пересмотру техники расчетов. Возможно, возникновение бессмысленных выражений при расчетах в рамках традиционной четырехмерной квантовой электродинамики связано именно с неправильным выбором размерности и структуры реального физического пространства-времени.

Список литературы:

1. Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513527.

2. Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.

3. Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.

4. Н.Н. Попов. Геометрическая модель гравитации и электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. XXIII Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, 26-27 февраля, 2016. ISSN 2413-9335.

5. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1976, 480 с.

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ

Пащенко Зоя Дмитриевна

Канд. физ.-мат. наук, доцент, ГВУЗ «Донбасский Государственный Педагогический Университет», г. Славянск

Рябухо Елена Николаевна

Канд. физ.-мат. наук, доцент, ФГБОУВО «Керченский Государственный Морской Технологический Университет», г. Керчь

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются цепные дроби в кольце гауссовых чисел, а также свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.

ABSTRACT

This article discusses the continued fractions of the ring of Gaussian integers, and also properties of these fractions. The possible cases of reduction (increase) of the order of a finite continued fraction of Gaussian integers.

Ключевые слова: гауссовы числа, алгоритм Евклида, цепные дроби гауссовых чисел.

Keywords: Gaussian numbers, Euclidean algorithm, continued fractions of Gaussian numbers..

Широкое применение в теории чисел нашли цепные дроби. Они используются для представления действительных чисел, при решении диофантовых уравнений, для линейного представления НОД двух целых чисел, для приближенных вычислений рациональных дробей, квадратных корней целых чисел и др.

Для построения цепных дробей рациональных чисел используется алгоритм Евклида. В [4] рассматриваются существование и свойства алгоритма Евклида в произвольных евклидовых кольцах. Поэтому можно рассматривать вопрос о цепных дробях в любом из них. В [1] описана возможность построения конечных цепных дробей в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем и в кольце целых гауссовых чисел. Основным её результатом являются критерии существования разложения в обобщенную цепную дробь фиксированной длины элемента поля частных евклидовых колец, удовлетворяющих некоторым условиям. Кольцо целых гауссовых чисел входит в их число. Вообще, гауссовы числа достаточно интересный объект для изучения.

В данной работе рассматриваются цепные дроби целых гауссовых чисел и свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.

Область целостности

5 ( а + bi ) = а2 + b2

Z[ i ]

с нормой

образует евклидово кольцо. Для произвольных комплексных чисел

|2

5(z ) = | z\ 5(z1 z2 )=5(z1 )5(z2) 5

с \ z

V z2 J

= 5(z1) 5(z2)

5(г)= 0 ^ г = 0 5(г)< п <4п

5(г) < 1 г | < 1

Заметим, что частное произвольных целых гауссовых чисел есть комплексное число с рациональными коэффициентами:

а + Ы ас + bd ad + Ьс .

с + di с2 + d2 с2 + d2 .

С другой стороны комплексное число с рациональными коэффициентами представляется в виде частного целых гауссовых чисел:

а_+Ь/ = аА +

а Ъ аЪ

Z[ / к 0[ / ] „

Поэтому полем частных л будет поле -1. Числа этого поля будем называть гауссовыми дробями или рациональными гауссовыми числами.

[ * ]

В определении

к; я^ ^ яп]

цепной гауссовой дроби Я, * 0, , * п

Определим целую часть

как гауссово число, ближайшее к * . Тогда дробная часть

*' числа * определяется как разность

не требуется условие , Но в доказательстве представления такой цепной гауссовой дроби в виде рациональной гауссовой дроби используется

условие Я * 0 . Рассмотренные ниже свойства цепной гауссовой дроби позволяют устранить это противоречие.

Логично предположить, что любое комплексное число можно представить в виде цепной гауссовой дроби, если последовательно выделять целые и дробные части данно-{*} = * — [* ] го числа и чисел, обратных к дробной части предыдущего.

комплексного числа

*

5{*}< 2

владеет свойством 2 . Алгоритм деления с остат-

ком а на в заключается в выборе неполного частного

í ( Л \

Я =

а в

г = а - в я

и остатка Дробь вида

Г = I а

Яо +

1

Я\ +

Го Г,-2

Я,

эффициенты 7

5

гГ\

V Ъ у

5

г \

г

как целые части 1

V г-1 У

<

2

5

то

Ъ

V Го У

, 5

с \

Г-1

Г

V } У

> 2

, в результате чего Я, * 0, , = 1,2, ■

5(я,)> 1, , = 1,2,

5

При таком подходе, так как

Я,, , > 1

v{*}у

> 2

будут удовлетворять условию

коэффициенты

5Я )>1

т.е.

Я, * о

Гауссовы цепные дроби от классических цепных дробей отличает неоднозначность представления одного и того же комплексного числа. Например,

: = [-2;3 +/,21, 2 + /] = [-2;3 +/,/,-/,2] =

Я2 +

Я е Z[/] „ „

где 1 к , назовем цепной гауссовой дробью

(ц.г.д.). Такая дробь обозначается [Яо;Яl,Я2, • "]. Если эта дробь конечная ( -го порядка), то, очевидно, последний

коэффициент Яп * 0 .

На основании анализа алгоритма Евклида, аналогично случаю рациональных чисел, легко доказывается, что рациональные гауссовы числа, и только они представляются в виде конечных цепных гауссовых дробей.

Заметим, что в процессе использования представле-

а

ния рациональной гауссовой дроби Ъ мы находим ко-

9 - 20/ -5 +12/

= [-2; 3,0,/,/, -/, 2] = [-2;3, - 2/, 2] = = [-2 - /; -/,3 -/, - 2/, 2]

Таким образом представления отличаются не только коэффициентами, но и длиной цепной дроби.

Также отметим, что число 0 имеет несколько представлений в виде цепной гауссовой дроби. Если х = ±/

У = ±1, то 0 = [Х; Х] = [У; У]. Это представление также говорит о том, что никакая цепной гауссовой дроби по-

рядка 2 больше не может иметь вид

[?0; t2,•••, 'к, X, X ]

или

[?0; ^ '2, • * *, ^, У,-У]

Ъ ' г,-1

] 1 . Поскольку

В данной статье выделяются ограничения на коэффициенты Як с целью получения цепной гауссовой дроби минимальной длины для каждой гауссовой дроби.

Далее рассмотрим некоторые свойства, которые выполняются как для конечных, так и для бесконечных цепных гауссовых дробей. Отметим, что любая цепная дробь

а может быть записана в виде а ['0;tl,t2,■",^ к,в]

где

в = [tk+1, tk+2,•, К 1 'п * 0

или

в = [К+1, 'к+2,-]

в

. Будем цепную дробь " называть

отрезком цепной дроби а (закрытым или открытым со-а значит ответственно).

£е{± 1, ±/} _ „ Z[i ]

1. Пусть ' - обратимый элемент 1 -1,

а ['0; tl, • • •]. Тогда цепная гауссова дробь числа

1

1

as = st0 + -

нулей подряд могут быть описаны с помощью предыдущих свойств.

ti +-

= st,

t2 +-

1

4. Пусть

X = ±i

X2 =-1

. Тогда

. Пусть

в = [x, ^2, Чз, q^-J

. Тогда воспользуемся свойством

0 -1 s-1

s t +-1

t2 + —

st0 +-

s 1t1 + -

st2 +-

s

Далее опишем свойства, которые касаются любого отрезка цепной гауссовой дроби а .

2. Пусть

в = Чх +■

. Тогда

1, умножим цепную гауссову дробь на х х , полу-

чим:

в = х (-х)[ х q2, qъ, д4,...] = = х[1, xq1, - xqз, xq4,...].

Возможно, такое представление может оказаться полезным:

а =[ Х; tl, t2, ^3 , ^4, • • • ] =

— х[1; х^, Х12, Х^з, Хt4, • • • ]

но оно не упрощает и не укорачивает цепную гауссову

дробь. Оно лишь позволяет первый коэффициент ± ^ заменить на 1, и то с изменением оставшегося отрезка.

5. пусть в = [^q2,qз,q4,•■•l q2 =х. тогда

Р = ql +-Ц-=

X +-

0 +

Чз +

1

= Ч1 + -

Чз +

1

X + -

Чз +

= Ч1 + ■

= Ч1 + Чз +

[Ч4.-]

Чз[Ч4,-] + 1

Чз[Ч4,-] + 1

= [ Ч1 + Чз> Ч4>—]

Видим, что последовательность коэффициентов (ts ,0, ts+2 ) длины з заменяется последовательностью

's + ts+2 ) длины 1 и цепная гауссова дробь избавляется от нулевого коэффициента. Заметим, что все сказанное касается тройки коэффициентов, где 0 стоит в её середине. Поэтому мы не можем избавиться от '0 0 в цепной гауссо-

„ Л a = [0;t„t2,...] t1 ф 0

вой дроби 2 J, если 1 , хотя в случае

t1 = 0 a = [0;0, t2, 'з,...]= [t2 ; 'з,...]

1 имеем j j.

з. Из предыдущего свойства следует

в = [ч1, 0,0, Ч4,-]=[Ч1, Ч4,-] -т

г- ' j l^1' j т.е., пара нуле-

вых коэффициентов в любом случае (то ли в начале, то ли

в середине ' Ф 0 ) опускается. Возможные изменения записи цепной гауссовой дроби при наличии трех и больше

= Ч1 +-

ХЧз[Ч4,-] + X + [Ч4,-]. Умножим числитель и знаменатель последней дроби на

( - X ). Тогда

-Щз^-А - X

в = Ч1 +

= Ч1 +

Чз[Ч4,-] + 1 - x[Ч4,-] -XЧз[Ч4,-] - X + X2[Ч4,-] + [Ч4,-]

= ч1 - X +

= Ч1 - X

Чз[Ч4,-] + 1 - X[44,-]

[Ч4,-] =

Чз[Ч4,-] + 1 - X[44,-]

1

1 " ■ 1 Чз - X +

[Ч4,-]

= [Ч1 - X Чз - x, Ч4, • • • ]

В результате получаем замену тройки коэффи-

циентов

(ts , X, 's + 2 )

на последовательность двух

1

1

1

1

1

1

X,' , о X )

х ' х+2 )

цепная гауссова дробь а избавля-

= Я +

УЯ3[д4,-] + у + у 2[я^ •..]- [Я4, • •,]

ется от коэффициента Отдельно рассмотрим

± /

в = [Яl, х ]= Я1 + 1 = Я1 + ^т = [Я1 - х]

X X

Кроме того имеем:

а — [X; X, '2, '3, • * *] — [0; '2 X, '3, • ■ *] а = [X; X, X, /3, /4,-.] = [0;0, /3, /4,„.] = ['3; /4,„.]

= Я1 + У +

= Я + у-

Я3[Я4,-.] + 1 + У[Я4,-]

-[Я4,-] =

Я3[Я4,-] + 1 + У[Я4,-]

1

-Я3 - У +

1

[Я4 , Я5 , Яб,-]

а

[?0 ; ^1,—, ^-1, , ]= ['0 ; ^1,—, -1, X]

* X

при х

Цепная гауссова дробь в знаменателе последней дроби умножается на (-1). Учитывая свойство 1 и то, что

(-1)-1 =-1

, получаем окончательно:

в = [Я1 + У,- Я3 - У,-Я4,- Я5,- Яб

в = [Яl, Я2, Яз, Я4,-1 Я2 = X, Я3 =

X

. Тог-

6. Пусть да по предыдущему свойству 5

в = [Я1 - X Я3 - X, Я4 , Я5,-]= [Я1 - X, 0, Я4 , Я5,-],

а по свойству 2 в = [я1 + Я4 X, Я5, Яб, •"].

7. Пусть в = [Я1,Я2, Яз, Я4, Я5,-]. Я2 = Я3 = Я4 = x . Тогда, используя предыдущее свойство 6, получим

уЫя^ Я5, Яб

Если

а

=[- у; У , ^ ^ '4,• * *] = [0;-'2- У ,-'3,-'4, • •].

9. Пусть ¿Ч^ Я2, Яз, Я4,-]. Я2 = У, Я3 = - У. Тогда, используя предыдущее свойство 8 и свойство 2, получа-

ем

в = [Я1 + У, 0 Я4, - Я5, - Яб ,-] =

= [Я1 + У - Я 4, - Я5, - Яб^^]

можно получить

. Заметим также, что из свойства 6 в = [x, x, x, Я4, Я5, • * *] = [Я4, Я5,"']

, У,-У, +3 )

Здесь четверка коэффициентов \ я" ' ' ' х+3/ заменяется последовательностью одного коэффициента

Это свойство можно сформулировать следующим обра- - ' + у)

\ х х + 2 V /

/- и и I X, X, X | __тт "

зом: в любой ц.г.д. тройка V ' ' ' опускается. На тройки

(X, X, X I

есть единственное ограничение по месту расположения: они не могут находиться в конце цепной гауссовой дроби, так как цепная гауссова дробь не заканчивается дву-

от коэффициентов

и цепная гауссова дробь а избавляется ± 1

10. Пусть Я Я 2, Яз, Я4,■], Я2 = У, Я3 = - У, Я4 = У

в = [Яl, - Я5, - Яб,-]

мя

коэффициентами x. Все другие случаи

Я, = x

могут

быть описаны с помощью предыдущих.

8. Пусть У ±1. Тогда У 1. Пусть

в = [Яl, Я2, Яз, Я^'Л Я 2 = У

в = [Я1

Тогда, по свойству 9, получаем Если Я1 =- У, Я 2 = У, Я3 =- У

в = [- я4,-Я5,-] ^

предыдущего случая, ^ 14 15 -1. Т.е. получаем,

то, опять же из

(у-y,у) (или (-y,y,-у)

. Тогда

в = Я1 +-

1

У + -

1

1

= Я1 +-

я3 +-

[Я4,-] Я3[Я4,-] +1

УЯ3[Я4,-.] + у + [Я4,-].

Умножим числитель и знаменатель последней дроби на

что тройка коэффициентов (или )

опускается, а все коэффициенты, следующие за ними, меняЯ, = ±1

ют знак на противоположный. Все другие случаи

уже могут быть преобразованы с помощью случаев 8, 9, 10.

Данный анализ дает возможность получить следующее утверждение.

Утверждение. Любая цепная гауссова дробь может быть представлена с помощью такой цепной гауссовой дроби, коЯ, е{0, ± 1, ±/ },, * 0

торая содержит коэффициенты .

Следствие. Любая цепная гауссова дробь может быть представлена с помощью такой цепной гауссовой дроби

У

. Получим

[Я0;

в = Я1 +

УЯ3[Я4,-] + У

Я3[Я4,-] + 1 + У[Я4,-]

Я^ Я2, Я3

рой, кроме Я0 , не меньше 2 ( ,

, Я4,-]

норма всех коэффициентов кото-

5(я,)> 2 > 1, , > 1

Выделим возможные случаи преобразования отрезка

в цепной гауссовой дроби и укажем величину уменьшения её в конечном случае. Не типичное преобразование отрезка, совпадающего со всей цепной гауссовой дробью а,

выделено особо. Пусть, как и раньше, е е 1,±г}, х = ±i,

У = ±1. Тогда имеют место следующие преобразования.

1. Умножение на обратимый элемент:

е[г0; , ¿2, ¿з,.]= [ ^ 1,125, 1, • • •]

2. Устранение нулей:

в = [ ql,0, qз, ч^-] =[ Ч + qз, Ч^-] в = [ ч,0Д ч^—НЧ^ Ч^--]

Длина уменьшается на 2.

3. Устранение х = ± :

в = [ ql, х qз, Ч^-] =[ ql- x, qз- x, Ч^-]

а = [ х, x, ¿2 , ¿з^-- ] = [0' ¿2 — Х, ]

а = [^0; ¿1, • •, ^-1, ^, Х] = 1Л; ¿1, • • •, ^-1, ¿ь - Х]

£ ^ х

Длина уменьшается на 1.

в = [ ql, х x, ч^--] =[ ч + q4- x, qъ, ЧЬ,-\

в = [ ql, x, х x, q5, q6,•] =[ql, q5, q6, ...] в = [x, х x, Ч^ Ч5,„. ] = [Ч^ q5,• ]

Длина уменьшается на з. 4. Устранение У = ±1:

при

в = [ ql, У , qз, q4, q5, Ч6,-] = = [ч + - qз- -q4, - q5, - q6, •••]

а = [-У; У, ¿2, ¿з, ¿4,—] = [0; -¿2 - У, -¿з, -¿4, •••] « = [¿0; ^ ¿2, ¿к, У ] = = [¿0;^¿2,¿к + У], ¿к *-у

Длина уменьшается на 1.

в = [ ql, У , - У , q4, q5, Ч6,-] = = [ql + У - q4, - q5, - q6,•••] в = [ ч^ у , -у, y, ч5, ч6, •••] = [ - ч5, - ^ •••] y, -у , ч^ ч5, ч6,••] =[-ч4, - Ч5, - Ч6, •••]

Длина уменьшается на з.

Полученные результаты могут стать полезными при анализе свойств подходящих дробей цепной гауссовой дроби, представляющих любое комплексное число.

Список литературы:

1. Васьковский М.М. Конечные обобщенные цепные дроби в евклидовых кольцах. / М.М. Васьковский, Н.В. Кон-дратёнок // Математика и информатика.- Вестник БГУ -Сер. 1. - 201з. - № з. - С.117-12з.

2. Богданов П.С. О представлении целых гауссовых чисел в системе счисления Питти / П.С. Богданов П.С. - Компьютерная оптика. - 2010. - том з4, №4. - С.561-565.

3. Пащенко З.Д. Решето Ератосфена для гаусових чисел. / З.Д. Пащенко, О.В. Плахотя // Збiрник наукових праць фь зико-математичного факультету СДПУ - Слов'янськ: СДПУ, 2012. - №2. - С. 82-86.

4. Родосский К.А. Алгоритм Евклида. - М.: Наука, 1988. - 240 с.