Геометрическая модель классической электродинамики в шестимерном пространстве-времени Текст научной статьи по специальности «Физика»

валентной нормы, обладающей тем или иным «хорошим» свойством. Например, М.И. Кадец доказал топологическую эквивалентность всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, используя этот метод. Следовательно, актуальными становятся исследования эквивалентных норм, обладающих разными «хорошими» свойствами (см., например [4]-[7]).

Список литературы

1. Манохин Е.В. Об одной математической игре. Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 11. № 1. С. 92-95.

2. Манохин Е.В. О геометрических и линейно-топологических свойствах некоторых пространств Банаха. Автореф.дисс. к.ф.м.н. -Харьков,1992. -16 с.

3. Haydon E.G. A non reflexive Grothendick space that does not contain .Israel J. Math., 1981, v.40, pp 65-73.

4. Манохин Е.В. Некоторые множества в и константа Юнга. Чебышевский сборник: науч.-теорет. журн. - Т.9. Вып.1. - Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2008.

5. Манохин Е.В. Банаховы матрицы. Изв. ТулГУ Сер. Механика. Математика. Информатика. - Т. 9. Вып.1. - Тула, 2003.- С.129-141.

6. Манохин Е.В. Г-слабо локально равномерная выпуклость в пространствах Банаха//Известия Вузов. Математи-ка.-1998.-№1.-С. 51-54.

7. Манохин Е.В. О вложениях совокупности нечетких множеств// Научное обозрение. -2014. -№ 3. -С. 66-68.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

Попов Николай Николаевич

Кандидат физ-мат наук, старший науч.сотр. ВЦ РАН, Москва

АННОТАЦИЯ

В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (—+++) вводятся две системы ковариантных уравнений электродинамики. Строится геометрическая модель точечного электрического заряда.

ABSTRACT

Within the framework of the six-dimensional space it is introduced two systems of covariant equations of electrodynamics. We construct a geometric model of a point electric charge.

Ключевые слова: шестимерные уравнения электродинамики, геометрическая модель точечного заряда.

Keywords: six-dimensional equations of electrodynamics, a geometric model of a point electric charge..

пространство c метрикой

Ak (*)

Введение

Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++). Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое

(X *) = ехР(Ак*к)ёц (х) ё ( х )

где к 4 7 - произвольное ковекторное поле, ' - ме-

трический тензор Римана, впервые было введено в работе [4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространств размерности не менее шести. В рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями удается объяснить геометрический механизм образования электрического заряда. Показывается, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само понятие электрического поля обязано своим происхождением виду метрики RVF пространства. Таким образом, два фундаментальных понятия четырехмерной электродинамики, а именно, электрический заряд и электромагнитное поле, имеющие различную физическую природу и представля-

ющие собой основные объекты исследования теории электромагнетизма, появляются естественным образом в рамках шестимерного RVF пространства и, следовательно, имеют чисто геометрическое происхождение. Выводится система уравнений электродинамики для случая неподвижного заряда, включающая в себя классические уравнения Максвелла, а также дополнительные соотношения, дающие новую информацию о свойствах электрических зарядов.

1. Уравнения электродинамики в шестимерном RVF пространстве-времени

тл А ( х)

Используя ковекторное поле к , входящее в определение RVF-метрики, выводятся основные уравнения шестимерной электродинамики, вводятся понятия плотности заряда и тока, имеющие чисто геометрическую природу.

тг Ак (х)

По вещественному ковекторному полю к , входящему в определение RVF- метрики, всегда можно построить поле двухвалентного кососимметричного тензора

Fii = Aj ,i - Ai, J, J = U -6

% J

представляющего собой

ротор ковекторного поля . Операция взятия градиен-

та кососимметрического тензора нуль, в силу тождества Бианки.

F

дает тождественный

Fij,k + Fn, i + Fik ,i = 0i, J, k = UA

,j

ik

(1)

Тождество (1) справедливо для пространства произвольной размерности и сигнатуры. Оно никак не связано с видом метрики пространства и остается ковариантным относительно любых невырожденных преобразований координат.

Отметим также, что ковекторное поле А , порождающее тождество (1), может быть выбрано совершенно произвольно.

Еще одно ковариантное соотношение, которое может быть построено, используя кососимметрический тензор

рч

имеет вид

Вр = 0, ] = 1,...,6

Бр1 +... + В4рV = -В5р5 -В6р6],] = 1,...,4

Др15 +... + В4 р 45 =- В6 р 65, ДР16 +... + В4 Р 46 =- В5 Р 56.

из группы.

. Введем следующие обозначения

Р( х ) =

=з 4(

В рч = Зу 1 = 1... 4 1 . (6) В силу ковариантности уравнения (6) относительно любых преобразований из группы ОЬ (4, Я) , уравнение (6) справедливо для любых непрерывных токов. Уравнение (6) является обобщённым уравнением Максвелла четырехмерной электродинамики в пространстве Минковского.

, j = 1,...,4

(2)

В х

где 1 - ковариантная производная по параметру л .

Ясно, что если соотношение (2) имеет место в какой-либо системе координат, то оно сохраняется и в любой другой системе. Однако, в отличие от тождества (1), система уравнений (2) зависит от метрики пространства-времени.

Разобьем систему уравнений (2) на две подсистемы

(3)

(4)

Система (3) остается ковариантной относительно любых

преобразований координат из группы ( ' ) в то время как система (4) ковариантна относительно преобразований

ОЬ ( 2, Я )

ару = з1 /

/дх1 /с .

Прежде чем переходить к анализу свойств уравнений шестимерной электродинамики, необходимо убедиться в их тесной связи с уравнениями электродинамики Максвелла.

2. Модель покоящегося электрического заряда в шестимерной электродинамике и ее связь с аналогичной моделью электродинамики Максвелла

В шестимерном RVF пространстве-времени на компо-

4, = 5,6

ненты векторного поля к , в трехмерном времен-

ном подпространстве накладываются некоторые условия, позволяющие вывести систему трехмерных уравнений Максвелла. Дается геометрическая интерпретация понятию плотности распределения электрического заряда.

В шестимерной электродинамике имеются две системы общековариантных уравнений (1) и (2), причем система уравнений (1) состоит из двадцати, а система (2) из шести соотношений. Классическая электродинамика Максвелла в трехмерном евклидовом пространстве традиционно представляется в виде двух пар уравнений

divE = р, ШН - V. дЕ/. = I

дС

= -Вр51 -Вр61, 1 = 1,...,4.

-с 1 ■ (5)

Из определения 3 следует, что этот объект представляет собой четырехкомпонентное контрвариантное векторное поле в четырехмерном подмногообразии шестимерного RVF пространства.

З1 (х), 1 = 14 Определение 1. Векторное поле , в

четырехмерном подмногообразии шестимерного RVF пространства будем называть четырехмерным вектором плотности тока.

divH = 0, гоЕ - V дНА, = 0

/с /д Н = (Нъ Н2, НзХ Е = (Еь E2, Ез)

(7)

(8)

где - трехмер-

ные векторы плотности напряженности магнитного и элек-

р

трического полей соответственно,

1 = (j1, j2, Ь)

плотность элек-

- трехмерный вектор

будем

Определение 2. Величину называть плотностью заряда.

Эти определения представляют собой дань сложившейся традиции, так как, введенные выше, плотность тока и плотность заряда самым тесным образом связаны с известными феноменологическими понятиями плотности электрического тока и плотности электрического заряда в классической электродинамике Максвелла. В дальнейшем будем пользоваться именно этими понятиями, хотя более последовательно было бы оперировать только с компонентами шестимерного тензора р ^ . Итак, соотношение (3), согласно определению1, можно представить в виде

трического заряда, плотности электрического заряда.

Для того, чтобы получить систему трехмерных уравнений Максвелла (7),(8), исходя из шестимерной системы уравнений (1), (2), в случае покоящегося точечного электрического заряда, необходимо наложить некоторые условия на

А( х)

ковекторное поле .

(xl,..., х6)

Пусть

псевдоевклидова система коорди-

нат в касательном слое координаты самой точки

Т

над точкой

х е М6

причем

ординаты

Х1 Х2 Х3

равны нулю. В дальнейшем ко-будем называть пространственными,

скости

(х5, х6)

временными. Зададим в координатной плоТ

' V

касательного расслоения

однопараме-

трическую группу вращений на угол ' c вокруг начала координат, совпадающего с точкой касания x, тогда X5 (X4 ) = x5 (0) cos ®/cx4 - x6 (0) sin ^C x4,

x6 (x4 ) = x5 (0) sin ^C x4 + x6 (0) cos x4.

x5(x4) x6(x4)

Интегральные кривые v ', v ', задаваемые соотношением (9), порождают векторное поле скоростей,

(x5, x6)

которые в плоскости имеет следующий вид

(-^Cx6,^Cx5)

. Положим, по определению,

(A ) =

- A

V

2,2 x5 + x6

■£( xj, x2, x3), A

2,2 x5 + x6

S( xj, x2, x3 )

A2 = A52 + A2 x2 + x62 = Г02

ния

где 5 6, 5 6 0 - const.

Таким образом, в плоскости касательного расслое

компонент векторного поля

Из определения компонент следует, что

5

E5 =-A54 =о/ A

x

V

x5 + x6

E6 =- 4,4 =7cA-V

2 +--2 x6

x5 + x6

S( xb ^ x3),

■S( xb x2, x3 ),

Я =

x5 + x6

s(

x1, x2, x3

)

при

2 2 2 x5 + x6 = r0

Остальные компоненты кососимме-

Fv

трического тензора F

тождественно равны нулю. Итак,

можно представить в форме

( 0 Я 3 - Я 2 Е1 0 0 1

- Яз 0 Я1 Е2 0 0

Я 2 - Я1 0 Ез 0 0

- E - E2 - Ез 0 - Е5 - Е6

0 0 0 Е5 0 - Я 4

V 0 0 0 Е6 Я 4 0 J

F =

(11)

Четыре соотношения из системы уравнений (1), когда

i, j __________________ 1,..,4

принимает сле-

(10)

x имеется циркуляция векторного поля A вдоль

г

окружности постоянного радиуса 0 . В силу построения, А5, Аб отличны от нуля в области определения функции

5(хьx2,Х3х2 + х2 -г2)

индексы "' пробегают значения дующий вид

^23,1 + ^31,2 + ^12,3 = 0, ^12,4 + ^41,2 + ^24,1 = 0,

^13,4 + ^41,3 + ^34,1 = 0 ^23,4 + ^42,3 + ^34,2 = 0

Эти соотношения представляют собой вторую пару уравнений Максвелла (8). Кроме уравнений Максвелла (8)

С1 - 4

система (1) содержит еще 6 дополнительных соотношений, которые тождественно обращаются в нуль. Действительно, покажем это на примере одного из шестнадцати

. Относительно остальных

положим, по определе-Х1 Х4

нию, что они зависят только от координат , т.е.

Л. = Л.(х1,..., х4),г = 1,...,4 . Введем следующие обозначения:

Е. = ^4 = Л4,г -Лг,4,; = ^...Д Н1 = ^ = Л3,2 -^

Н2 = ^31 = Л1,3 - Л3,1,

Н3 = ^12 = Л2,1 - Л1,2, Н4 = ^65 = Л5,6 - Л6,5.

Л5, Л

уравнений

F

F15,2 + F21,5 + F52,1 = 0

. В силу определения F15, F25

тоже-

тензора формулой (11), компоненты

F21

ственно равны нулю, а не зависит, по определению,

х5

от , следовательно, левая часть уравнения тождественно обращается в нуль. То же самое можно показать в случае оставшихся пятнадцати уравнений. Итак, можно сделать следующий вывод: система уравнений (1) в шестимерном пространстве-времени, в рамках модели электромагнитного поля, с циркулирующей вдоль окружности во временном подпространстве, двумерной компонентой векторного поля

непосредственно

A(x )

эквивалентна второй паре уравнений Максвелла. Для того, чтобы вывести первую пару уравнений Максвелла из системы уравнений (2), нужно исключить эффекты, связанные с присутствием гравитационного поля и внешних зарядов. Это достигается в случае, если псевдо-риманова метрика, входящая в качестве компоненты в метрику RVF пространства, вырождается в плоскую метрику шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры

(---+ + +) тэ

4 '. В этом случае антисимметричный тензор

Fv = f,JFy

принимает вид

( 0 Н3 - Н2 - Е1 0 0

- Н 3 0 Нх - Е2 0 0

Н2 - Н 0 - Е3 0 0

Е\ Е2 Е3 0 - Е5 - Еб

0 0 0 Е5 0 - Н4

V 0 0 0 Еб Н4 0

рУЦ =

(12)

а система уравнений (2) вырождается в следующую систему

= 0, ц = 1,...,6

. (13)

В рамках рассматриваемой модели, с циркулирующей

Л(х)

компонентой векторного поля ^ ' во временном подпространстве, система уравнений (13) представляется шестью уравнениями в следующем развернутом виде

дРи/дху = -Н32 + Н23 + Е14 = 0, дру2/дху = Н31 - Н13 + Е2 4 = 0, дру3/дху = - Н21 + Н12 + Е3 4 = 0, д^4/дХ = Еи + Е22 + Е3 3 - Е5 5 - Е6 6 = 0, дРу5/дху=- Е54 + Н 4 6 = 0,

дР"6/дх* = Еб 4 + Н45 = 0.

(14)

Первые три уравнения системы (14) представляют собой второе уравнение Максвелла из системы (7), в случае отсутствия токов. Четвертое уравнение системы (14) можно представить в виде

= Е5,5 + Е6,6, (15)

где правая часть соотношения (15) представляет собой плотность, точечного электрического заряда, помещенного в начале координат. Уравнение (15) есть ни что иное, как первое уравнение Максвелла из системы (7). Однако, уравнение (15) более информативно, чем соответствующее ему уравнение Максвелла, так как оно дает геометрическую интерпретацию плотности точечного электрического заряда.

Перейдем теперь к рассмотрению последних двух уравнений системы (14), которые не входят в систему уравнений Максвелла (7) и (8). Эти уравнения содержат информацию о взаимосвязи компонент электромагнитного тензора

р И во временном подпространстве. В силу определения

Ее, Еб, Н4

5 6 4 имеем

(

(О2 Л

с2 (Х52 + Хб2 )12 (Х52 + Хб2 )3

( 2Л

с2 (Х52 + Хб2 )12 (х2 + Хб2 )3

3( x2, X, ),

3(X1, x2, х ).

Отсюда следует, что последние два уравнения системы (14) эквивалентны между собой и сводятся к простому алгебраическому соотношению

2 2 2

О Г0 =с . (1б)

Из соотношения (1б) следует, что линейная скорость циркуляции векторного поля в двумерном временном подпространстве равна скорости света. Это утверждение представляет собой основу для понимания почему носители электромагнитного поля - фотоны двигаются в пространстве со скоростью света.

Итак, в рамках шестимерной модели электродинамики в

(---+ + +)

псевдоримановом пространстве сигнатуры удалось вывести уравнения электродинамики Максвелла, в случае отсутствия токов, и понять геометрический механизм образования точечного электрического заряда. Согласно проведенному анализу, в шестимерной электродинамике правильнее было бы, вообще, отказаться от понятия электрического заряда и оперировать только с компонентами

электромагнитного тензора р ^ в шестимерном пространстве-времени. Традиционная интерпретация уравнений Максвелла в четырехмерной теории электромагнетизма как уравнений, устанавливающих зависимость между пространственным распределением плотности зарядов и плотностью распределения электромагнитных полей, т.е. между феноменологическими объектами не имеющими четкого математического определения, в шестимерной электродинамике меняется на более глубокую и последовательную интерпретацию уравнений электромагнетизма как уравнений, устанавливающих связь между различными компонентами

электромагнитного тензора р ^ в шестимерном пространстве. Само понятие плотности электрического заряда, с точки зрения шестимерной электродинамики, оказывается всего лишь удобным феноменологическим понятием для решения задач в рамках четырехмерной электродинамики.

3. Заключение

Предложенная модель шестимерной электродинамики, как было показано в работе [4], достаточно естественно интегрируется в объединенную геометрическую теорию электромагнитных и гравитационных взаимодействий на базе RVF пространства.

В рамках этой модели предложена чисто геометрическая интерпретация понятия электромагнитного поля и точечного электрического заряда. Первое понятие обязано своим возникновением виду метрики RVF пространства. Появление точечного электрического заряда связано с циркуляцией векторного потенциала вокруг выделенной временной оси в трехмерном временном подпространстве. Таким образом, образование электрического заряда происходит в ненаблюдаемой трехмерной временной области шестимерного пространства-времени, а его существование проявляется в тех эффектах, которые наблюдаются в реальном трехмерном физическом подпространстве. Отметим, что дополнительные временные измерения в рассматриваемой модели оказываются компактифицированными.

В перспективе предлагаемая шестимерная модель классической электродинамики, по-видимому, поможет по-новому взглянуть на проблему перенормировки в квантовой электродинамике. Как известно [5], перестановочные функ-

ции и функции Грина имеют сингулярные особенности только на световом конусе четырехмерного пространства времени. В случае шестимерной электродинамики, из-за учета механизма образования электрического заряда, световой конус заменяется на однополостный гиперболоид, что должно привести к радикальному пересмотру техники расчетов. Возможно, возникновение бессмысленных выражений при расчетах в рамках традиционной четырехмерной квантовой электродинамики связано именно с неправильным выбором размерности и структуры реального физического пространства-времени.

Список литературы:

1. Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513527.

2. Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.

3. Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.

4. Н.Н. Попов. Геометрическая модель гравитации и электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. XXIII Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, 26-27 февраля, 2016. ISSN 2413-9335.

5. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1976, 480 с.

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ

Пащенко Зоя Дмитриевна

Канд. физ.-мат. наук, доцент, ГВУЗ «Донбасский Государственный Педагогический Университет», г. Славянск

Рябухо Елена Николаевна

Канд. физ.-мат. наук, доцент, ФГБОУВО «Керченский Государственный Морской Технологический Университет», г. Керчь

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются цепные дроби в кольце гауссовых чисел, а также свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.

ABSTRACT

This article discusses the continued fractions of the ring of Gaussian integers, and also properties of these fractions. The possible cases of reduction (increase) of the order of a finite continued fraction of Gaussian integers.

Ключевые слова: гауссовы числа, алгоритм Евклида, цепные дроби гауссовых чисел.

Keywords: Gaussian numbers, Euclidean algorithm, continued fractions of Gaussian numbers..

Широкое применение в теории чисел нашли цепные дроби. Они используются для представления действительных чисел, при решении диофантовых уравнений, для линейного представления НОД двух целых чисел, для приближенных вычислений рациональных дробей, квадратных корней целых чисел и др.

Для построения цепных дробей рациональных чисел используется алгоритм Евклида. В [4] рассматриваются существование и свойства алгоритма Евклида в произвольных евклидовых кольцах. Поэтому можно рассматривать вопрос о цепных дробях в любом из них. В [1] описана возможность построения конечных цепных дробей в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем и в кольце целых гауссовых чисел. Основным её результатом являются критерии существования разложения в обобщенную цепную дробь фиксированной длины элемента поля частных евклидовых колец, удовлетворяющих некоторым условиям. Кольцо целых гауссовых чисел входит в их число. Вообще, гауссовы числа достаточно интересный объект для изучения.

В данной работе рассматриваются цепные дроби целых гауссовых чисел и свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.

Область целостности

5 ( а + bi ) = а2 + b2

Z[ i ]

с нормой

образует евклидово кольцо. Для произвольных комплексных чисел

|2

5(z ) = | z\ 5(z1 z2 )=5(z )5(z2) 5

с \ z

V z2 J

= 5(z)

5(z2)

8(1 )= 0 г = 0 8 (г)< п < 4п ) < 1 г | < 1

Заметим, что частное произвольных целых гауссовых чисел есть комплексное число с рациональными коэффициентами:

а + Ы ас + bd ad + Ьс .

с + di с2 + d2 с2 + d2 .

С другой стороны комплексное число с рациональными коэффициентами представляется в виде частного целых гауссовых чисел: