CC BY
11
10. Holger, Schwenk, Yoshua, Bengio,. Boosting Neural Networks. In Neural Computation, 2000.
11. Koza, J.R.,. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection, MIT Press. London, 1992.
12. Elena Loseva, Leonid Lipinsky, Anna Kuklina. Eensembles of neural networks with application of multi-objective self-configurable genetic programming in forecasting problems. In 11th International Conference. ICNC, 2015a.
13. Rui Li, Michael T.M. Emmerich, Jeroen Eggermont, Thomas Back, M. Schutz, J. Dijkstra, J.H.C. Reiber. Mixed
Evolution Strategies for Parameter Optimization. In Evolutionary Computation, 1993.
14. Ashish, G. and Satchidanada D. Evolutionary Algorithm for Multi-Criterion Optimization: A Survey. In International Journal of Computing & Information Science. 2004, vol. 2, no. 1.
15. A. Asuncion, D. Newman. UCI machine learning repository. University of California, Irvine, School of Information and Computer Sciences. URL: http://www.ics.uci. edu/~mlearn/MLRepository.html.
О НЕКОТОРОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИГРЕ
Манохин Евгений Викторович
К.ф-м.н, доц. зав. кафедрой «Математика и информатика», Тульский филиал Финуниверситета
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматриваются некоторые свойства выпуклости банаховых пространств в связи с некоторой математической игрой.
ABSTRACT
In this report some properties of convexity of Banach spaces in connection with some mathematical game are considered.
Ключевые слова: пространство Банаха, нормированное пространство, локально равномерная выпуклость пространства Банаха.
Keywords: Banach space, normed space, locally uniform convexity of space of Banach.
Рассмотрим свойства выпуклости банаховых пространств в связи с одной математической игрой. Даная работа является продолжением статьи [1]. Пусть Х - банахово
пространство с нормой
. Рассмотрим следующую ма-
Такую игру мы назовем (F(r), Х, Х*,
)-игрой. Мож-
тематическую игру. Два игрока А и В выбирают подмножество Г ^ Х*, так чтобы Х обладало свойством F(Г) в норме
эквивалентной ,где F(Г) обозначает одно из свойств WLUR(Г) или Н(Г). Игрок А стартует с выбора непустого Г1 ^ Х*, так чтобы Х обладал свойством F(Г1) в норме эк-
вивалентной ,т.е. делает Г1-ход. Потом игрок В выбирает подмножество Г2 ^ Х*, так чтобы Х обладал свой-
ством F(Г2) в норме эквивалентной и Г1 ^ Г2
Х*, если речь идет о свойстве WLUR(Г) или Г2 ^ Г1 ^ Х*, если речь идет о свойстве Н(Г), т.е. делает Г2-ход.
Игрок В(А) выигрывает, если игрок А(В) не может сделать ход.
Пусть Х - банахово пространство с нормой
Рассмотрим следующую математическую игру. Два игрока А и В выбирают подмножество Г ^ Х*, так что-
бы Х обладал свойством Н(Г) в норме эквивалентной Игрок А стартует с выбора непустого Г1 ^ Х*, так чтобы
Х обладал свойством Н (Г1) в норме эквивалентной ,т.е. делает Г1-ход. Потом игрок В выбирает подмножество Г2 ^ Х*, так чтобы Х обладал свойством Н (Г2) в норме
эквивалентной и Г2 ^ Г1 ^ Х*, т.е. делает Г2-ход.
Игрок В(А) выигрывает, если игрок А(В) не может сделать ход.
Такую игру мы назовем (H (Г), Х, Х*,
)-игрой. Мож-
но рассматривать (Р(Г), Х*, Х, )-игру. В статье [1] в игре было рассмотрено свойство WLUR(Г). В этой статье рассмотрим игру с Н(Г)-свойством.
но рассматривать (Н (Г), Х*, Х, )-игру.
Напомним определения. В работе используются стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел, X* - пространство, сопряженное к банахову пространству Х,
С^) - банахово всех непрерывных вещественных функций на хаусдорфовом компакте S с равномерной нормой,
\\А 1 =sup {I >1,s е
Пусть Т - произвольное множество. Тогда 1®(Т) - банахово пространство всех ограниченных вещественных функций на Т с нормой
sup { x( y)\:Yе Т }
\\x\\ = i
Когда Т = N - множество целых положительных числе, просто будем писать 1да.
Говоря «подпространство», будем всегда подразумевать замкнутое линейное подпространство.
Пусть Е - векторное пространство над полем вещественных чисел R, ||-|| и |||-||| - две нормы на Е.
Говорят, что нормы ||-|| и |||-||| эквивалентны, если они определяют в Е одну и ту же топологию. Для того, чтобы две нормы ||-|| и |||^||| на векторном пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие 2 константы а>0 и Ь>0, что
a\\x\ < x
< ¿||x||
,( xn X,
11= 1, x„
->x„
• lim |
x„ -xo ||= 0
ством), если для любой последовательности
X)
любого элемента
X е X
условия
lim f (x ) = f (xn) для всех f е Г и
n—<»
lim Ixnl = 1 Ы|
n—
влекут сильную сходимость
lim
X
- X0|| = 0.
п^-да
Заметим, что Н (Г) - свойство тем «сильнее», чем «меньше» Г:
если Г1 ^ Г, то Н (Г1) ^ Н (Г).
Если Г = Х*, то будем говорить, что пространство Х обладает Н - свойством. Н - свойство пространства Х экви-
Эквивалентно перенормировать банахово пространство X - это означает, ввести на X новую норму, эквивалентную исходной норме.
Обратимся теперь к Н - свойству.
Единичная сфера гильбертова пространства Н обладает следующим легко обнаруживаемым свойством: на ней совпадает слабая и сильная сходимости последовательных элементов.
Говорят, что банахово пространство X обладает Н - свойством, если на его единичной сфере S(X) совпадают слабая и сильная сходимости последовательностей:
Известно, что Н - свойством обладает каждое локально равномерно выпуклое (ШЯ) банахово пространство. Напомним соответствующее определение:
хо е Х ,(хп )о с Х Л х„ ||= У х„ + хо 2 ^ ИтН х„ - хо ||= 0
Обратное, вообще говоря, неверно: в пространстве 11 совпадают слабая и сильная сходимости (свойство Шура), но оно не LUR и даже не строго нормированное.
Банахово пространство Х обладает Н - свойством относительно множества Г ^ Х* (или иначе говоря Н(Г) - свой-
n=1 С X и
валентно совпадению слабой и сильной сходимости на его единичной сфере.
Напомним, что и-булева алгебра множеств с единицей имеет SCP-свойство, если для любой дизъюнктной после-
А
довательности п множеств из и найдется бесконечное
А
подмножество ® из N такое, что п, п е ® имеет наименьшую верхнюю границу в и. Чрез В(и)-обозначим замкнутую линейную оболочку характеристических функций
1(А) =1(х) ={1: х е А: А е и } в пространстве 1да (S). Очевидно, если Х = I и игроки А и В играют в (Н (Г),
Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход. Другие аналогичные результаты.
Теорема 1. Если булева алгебра и, содержащая бесконечную последовательность дизъюнктных множеств имеет SCP-свойство, Х = В(и) и игроки А и В играют в (Н (Г),
Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.
Доказательство.
Содержится для теоремы в другой форме в работе [2]. Теорема 2. Если S-вполне-несвязный компакт, и^) ( алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств S ) имеет SCP-свойство, Х = С^) и игроки А и В играют в (Н (Г),
Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.
Доказательство.
Получается из теоремы 1 и того факта, что пространство С^) линейно-изометрично В(и^)).
Теорема 3. Если S-экстремально-несвязный компакт, Х =
С^) и игроки А и В играют в (Н (Г), Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход. Доказательство.
Получается из теоремы 1 и того факта, что если S-экс-тремально-несвязный компакт, то и^) имеет SCP-свойство. Теорема 4. Найдется Х = С^) ^-бесконечный компакт)
не содержащий подпространств изоморфных ,такой что,
если игроки А и В играют в (Н (Г), Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.
Доказательство.
В работе [3] Хейдон сконструировал бесконечный вполне-несвязный компакт S такой, что пространство С^) не
содержит подпространств изоморфных 1, но алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств S имеет SCP-свойство
Заключение.
Не ставя перед собой задачу исчерпывающего рассмотрения всех аспектов игры, отметим, что одним из серьезных технических инструментов теории пространств Банаха является «метод эквивалентных норм», который заключается в возможности введения в банаховом пространстве экви-
валентной нормы, обладающей тем или иным «хорошим» свойством. Например, М.И. Кадец доказал топологическую эквивалентность всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, используя этот метод. Следовательно, актуальными становятся исследования эквивалентных норм, обладающих разными «хорошими» свойствами (см., например [4]-[7]).
Список литературы
1. Манохин Е.В. Об одной математической игре. Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 11. № 1. С. 92-95.
2. Манохин Е.В. О геометрических и линейно-топологических свойствах некоторых пространств Банаха. Автореф.дисс. к.ф.м.н. -Харьков,1992. -16 с.
3. Haydon E.G. A non reflexive Grothendick space that does not contain .Israel J. Math., 1981, v.40, pp 65-73.
4. Манохин Е.В. Некоторые множества в и константа Юнга. Чебышевский сборник: науч.-теорет. журн. - Т.9. Вып.1. - Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2008.
5. Манохин Е.В. Банаховы матрицы. Изв. ТулГУ Сер. Механика. Математика. Информатика. - Т. 9. Вып.1. - Тула, 2003.- С.129-141.
6. Манохин Е.В. Г-слабо локально равномерная выпуклость в пространствах Банаха//Известия Вузов. Математи-ка.-1998.-№1.-С. 51-54.
7. Манохин Е.В. О вложениях совокупности нечетких множеств// Научное обозрение. -2014. -№ 3. -С. 66-68.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Попов Николай Николаевич
Кандидат физ-мат наук, старший науч.сотр. ВЦ РАН, Москва
АННОТАЦИЯ
В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (—+++) вводятся две системы ковариантных уравнений электродинамики. Строится геометрическая модель точечного электрического заряда.
ABSTRACT
Within the framework of the six-dimensional space it is introduced two systems of covariant equations of electrodynamics. We construct a geometric model of a point electric charge.
Ключевые слова: шестимерные уравнения электродинамики, геометрическая модель точечного заряда.
Keywords: six-dimensional equations of electrodynamics, a geometric model of a point electric charge..
пространство c метрикой
Ak (*)
Введение
Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++). Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое
(X *) = ехР(Ак*к)ёц (х) ё ( х )
где к 4 7 - произвольное ковекторное поле, ' - ме-
трический тензор Римана, впервые было введено в работе [4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространств размерности не менее шести. В рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями удается объяснить геометрический механизм образования электрического заряда. Показывается, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само понятие электрического поля обязано своим происхождением виду метрики RVF пространства. Таким образом, два фундаментальных понятия четырехмерной электродинамики, а именно, электрический заряд и электромагнитное поле, имеющие различную физическую природу и представля-
ющие собой основные объекты исследования теории электромагнетизма, появляются естественным образом в рамках шестимерного RVF пространства и, следовательно, имеют чисто геометрическое происхождение. Выводится система уравнений электродинамики для случая неподвижного заряда, включающая в себя классические уравнения Максвелла, а также дополнительные соотношения, дающие новую информацию о свойствах электрических зарядов.
1. Уравнения электродинамики в шестимерном RVF пространстве-времени
тл А ( х)
Используя ковекторное поле к , входящее в определение RVF-метрики, выводятся основные уравнения шестимерной электродинамики, вводятся понятия плотности заряда и тока, имеющие чисто геометрическую природу.
тг Ак (х)
По вещественному ковекторному полю к , входящему в определение RVF- метрики, всегда можно построить поле двухвалентного кососимметричного тензора
Fii = Aj ,i - Ai, J, J = U -6
% J
представляющего собой
ротор ковекторного поля . Операция взятия градиен-
та кососимметрического тензора нуль, в силу тождества Бианки.
F
дает тождественный
Fij,k + Fn, i + Fik ,i = 0i, J, k = UA
,j
ik
(1)
