Геометрическая модель гравитации и электромагнитизма в шестимерном пространствевремени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГРАВИТАЦИИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-

ВРЕМЕНИ

Попов Николай Николаевич,

ВЦ РАН им. Дородницына,

THE GEOMETRIC MODEL OF GRAVITY AND ELECTROMAGNETIC FIELDS IN

SIX-DIMENSIONAL SPACE-TIME

N.N. Popov,

Dorodnicyn Computing Centre of RAS

АННОТАЦИЯ

Вводится пространство Римана-Вейля-Финслера. По метрике пространства определяются коэффициенты связности, зависящие как от пространственных координат, так и от локальных скоростей. Находятся уравнения геодезических, описывающих движение пробного тела в присутствии гравитационных и электромагнитных полей. В рамках шестимерного пространства вводятся две системы ковариантных уравнений электродинамики.

ABSTRACT

We introduce the Riemann-Weyl-Finsler space. Connection coefficients, which depend on the spatial coordinates as well as from the local rates, are figured out by a metric of the space. The equations of geodesies describing the motion of a te& body in the presence of gravitational and electromagnetic fields are found. Within the framework of the six-dimensional space it is introduced two sy^ems of covariant equations of electrodynamics.

Ключевые слова: RVF-пространства, RVF-метрика, условие однородности и изотропности пространства, геодезические, шестимерные уравнения электродинамики.

Keywords: RVF-spaces, RVF-metric, condition of homogeneity and isotropy of space, the geodesies, six-dimensional equations of electrodynamics

Введение

Одна из причин обращения к теме разработки основ единой теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой устранения тех принципиальных недостатков, которые возникли в объединительных теориях в первой половине двадцатого столетия. Достаточно интересные подходы объединения этих теорий, предложенные Эйнштейном [1], Эддингтоном [2], Вейлем [3], Картаном [4] и др., на базе четырехмерных многообразий, были продолжены затем в объединительных теориях на основе использования пространств более высокой размерности. Так появилась пятимерная модель Калуцы- Клейна [5-6], объединившая гравитацию и электромагнетизм, и ее различные обобщения, вплоть до суперсимметричных моделей [7-8] в теории супергравитации, предложенной Фридманом, Ньюванхойзеном и Феррарой [9], а также Дезером и Зумино [10].

В этих моделях к четырехмерному пространственно-временному многообразию М добавляется, в качестве компоненты прямого произведения, некоторое компактное многообразие В. Полученное многообразие представляет собой исходное расширенное пространство, на основе которого можно строить единые теории калибровочных полей. При этом, калибровочные поля индуцируются группами симме-трий пространства В. Так, например, минимальное число измерений простанства В, необходимое для построения калибровочной теории суперобъединения на основе структурной группы SU(3) SU(2) Щ1), как было отмечено Виттеном [11], равно 7. Отношение к геометрической природе дополнительных измерений суперпространства неоднозначно. Проще всего различие между основными измерениями многообразия М и дополнительными измерениями В можно сформулировать на языке теории расслоений. Если много-

образие отождествить с пространством расслоения, М считать его базой, а В типичным слоем, то пара (М, В) определяет тривиальное расслоение над базой М. Типичный слой В может быть не связан непосредственно с геометрической структурой базы М, поэтому дополнительные измерения слоя В не обязаны иметь прямую геометрическую интерпретацию, ассоциированную с геометрической природой основных измерений, что сильно осложняет задачу создания единой чисто геометрической полевой теории взаимодействий. Отметим, что к настоящему моменту времени не удалось пока построить ни одной достаточно перспективной геометрической конструкции, за исключением, быть может, четырехмерной геометрической теории гравитации [12].

В данной работе будем следовать концепции, сводящейся к следующим положениям:

1) единая теория физических полей материи, имеющая чисто геометрический характер, представляет собой теорию расслоений, использующую в качестве базы расслоения пространственно-временное многообразие;

2) геометрическая структура базы расслоения, с учетом физических требований, выбирается таким образом, чтобы структурные группы расслоений, индуцирующие калибровочные поля, были бы группами симметрий базы расслоения;

3) калибровочные поля представляют собой связности структурных групп, функционально связанных с реальными физическими полями.

В основе предлагаемой геометрической модели гравитационных и электромагнитных полей лежит понятие динамического, метрического шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++), представляющую собой базу расслоения. Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вей-

ля[3] и Финслера [13], [14]. Напомним, что пространство Вейля определяется семейством конформно эквивалентных

Я(х8х) л(х)

метрик 4 /0 4 ' , где \ / - произвольная положи-

(х)

Пусть

М'

п-мерное связное

С3

8,

(Х у) = Л,(x, у)8/ (х)

Л(х, у)

х I

тельная функция, а 4 - поле метрического тензора на многообразии. Такого типа пространство было использовано Вейлем для построения единой теории гравитационных и электромагнитных полей. Основным недостатком теории является требование неоднородности физического пространства, т.е. отсутствие единого масштаба для различных точек пространства, что не подтверждается имеющимися на сегодняшний момент данными наблюдений.

Финслерова геометрия является геометрией метрических пространств, обладающих внутренней локальной анизотропией [14], [15]. Финслеров метрический тензор зависит не только от точек основного многообразия, как это имеет место в римановом пространстве, но и от значений локальных скоростей в этих точках. Соответственно, физические поля в финслеровом пространстве, помимо пространственно-временных координат, оказываются зависимыми от локальных скоростей. Недостатком использования финсле-рова пространства для построения единой теории поля является требование локальной анизотропии. Отметим, что на сегодняшний день отсутствуют какие-либо убедительные указания на локальную анизотропию физического пространства-времени. Кроме того использование финслеровой геометрии в полевых теориях типа Калуцы-Клейна [16] отличается большим разнообразием возможных структур и возникающей, вследствие этого, проблемой идентификации новых элементов структуры с физическими наблюдаемыми.

В предлагаемом подходе для совместного описания гравитационных и электромагнитных взаимодействий вводится пространство, сочетающее в себе элементы структур пространств Вейля, Римана и Финслера. Дается определение геодезической, показывается, что при движении по геодезическим, пространство остается однородным и изотропным. Выводится система уравнений геодезических, учитывающая присутствие гравитационных и электромагнитных полей. Показывается, что взаимодействие электромагнитного поля с током (А^ взаимодействие), в рамках рассматриваемого формализма, возможно только в пространствах размерности больше четырех. В случае отсутствия гравитационного поля, уравнения геодезических принимают форму уравнения Лоренца, описывающего движение единичного заряда в электромагнитном поле.

1. RVF пространства

Пространства, сочетающие в себе свойства пространств Римана, Вейля и Финслера, в рамках которых можно единым образом описать единую теорию гравитационных и электромагнитных взаимодействий, вводятся следующим образом:

где - положительная функция двух перемен-

8 (х, У)

ных, то тензор } будем называть обобщенным ме-

трическим тензором в данной точке х и для данного вектора

у.

Таким образом, обобщенная метрика является не только функцией точки пространства, но и вектора направления, заданного в этой точке.

Определение 1. Многообразие М , в котором задано

поле метрического тензора

8 Iх

(x, У)

дважды непрерывно

дифференцируемого по аргументам х,у , дважды ковариант-ного, симметрического и невырожденного, будем называть пространством Римана-Вейля-Финслера (RVF).

В пространстве RVF можно ввести дифференциальную билинейную форму

= 8/ (х, х)^ 1 ё

(2)

где

х (5) -

произвольная непрерывно диф-

ференцируемая линия в некоторой локальной области пространства.

Линию х (5) будем называть геодезической, если ее х(5)

вектор скорости параллелен вдоль нее самой, т.е. вы-

V х (х)] = х 1 + г/хк х = 0

полняется условие ху ' К ,

V х (х)/

где - ковариантная производная вдоль вектора

■ г]

х, ^ - связность, вообще говоря, зависящая от двух аргументов х и х . Для того чтобы обеспечить однородность и изотропность пространства при движении по геодезическим, необходимо в определение геодезических ввести одно ограничение.

х (5)

Определение 2. Линию будем называть геодези-

ческой в RVF пространстве, если ее вектор скорости параллелен вдоль нее самой и в каждой точке линии имеет место

условие Л(х(^ х(5)) = 1 .

Из определения геодезической в RVF пространстве следует, что на любой геодезической х(5) имеет место соотношение

8,

(х(5) х(5)) = (х(5))

- многообразие

и ТМп - касательное расслоение над базой М . Пусть 8(х, у), (х, у) е и ® ТхМп _ _

V х , где ТхМп - касательный

слой над точкой х е и . Если имеет место соотношение

Это означает, что при параллельном перемещении вдоль геодезической в RVF пространстве, масштабы остаются неизменными и отсутствует локальная анизотропия пространства.

Перейдем теперь к выяснению вопроса о конкретной форме представления положительной функции х) . Пусть

^(х(5) х(5)) - произвольная положительная, непрерывная по обоим аргументам функция в некоторой окрестности и

(1)

2

x(so) где x(s)

точки 4 о! , где ^ ' - произвольная непрерывно дифференцируемая функция в окрестности и .

Лемма. Всегда можно подобрать непрерывное вектор-

ное поле

Л (x)

в касательном расслоении над базой та-

ким образом, чтобы

Л( x(s), x(s)) = exp ( Ak ( x(s))• xk (s))

Доказательство. Пусть в окрестности т.

(3)

x(so ) G U

ло-

кальная система координат подобрана так, что в т. х( 5(0 )

Фо ) е тх{(}и

вектор о имеет только одну компоненту от-

х\*0) т

личную от нуля, например, о . Тогда положим, по опре-

д(х(*0 )) = Ь Я(х(^ х(')У,

делению,

компонент вектора

x (so)

A (x)

x(so )

имеет место со-

k

произвольным образом. Тогда в т.

A(x(so) x(so)) = exp (Ak (x(so ))• xk (so )) A(x, x)

отношение

В силу непрерывности

L = gij (x, x)

xlxJ

на геодезической линии

Ak ( x(s) )• xk (s) = 0

x(s)

имеет место

(4)

Уравнения геодезических задаются системой дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа

дь а дь

= 0, k = 1,..., и

dxk ds dxk

В

dL

силу 1

выполнения

условия

(4)

имеем

dxk = 2giJk(x) xlxJ + Aik(x) x

■j

= gik,j (x)xlxJ + gik (x)xl + Ak ,i (x)x

■j

где

а дь_

ds дх х

Еук = д8ц/дхк Лх ,1 = дЛх/ дх1

Подставляя полученные соотношения в уравнения Эй-лера-Лагранжа, для геодезических окончательно получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка

хр +12Ярк (ё,к+ ёк,, -ё,;,к)хх +(ЛК1 -Лг,х)яркх1 хх1 = 0

p = 1,..., n

(5).

. Выбор остальных

x) x(so )

в точке осуществляется

Вводя стандартные обозначения

гр (х) = у2 ёрк (х) (ёк, 1 (х) + ё]к, (х) - (х)) рч (х) = ЛИ(х)- Л}(х)

уравнения геодезических (5) в RVF пространстве можно представить в форме

по обоим аргументам, а

хк (50 )

также непрерывности и/ относительно аргумента s , последнее соотношение можно распространить непрерывным образом на некоторую окрестность точки х(5(0 ) .■ Как следует из построения, выбор векторного поля

Л(х) с х(^)

оказывается неоднозначным. Если линия явля-

ется геодезической в RVF пространстве, то, согласно форму-

Л(х(5))

+rpxl xj + Flk xl g pk gj xl xj =0

или в форме

+Tpx xj + gpk gj xl FM xl xj = 0

(6)

у" ь & у к, (7)

Эти два представления приводят к различным геометрическим структурам.

Вводя симметрическую по индексам обобщенную связность

■ 1

rjP =rjP + F x'gcg, (8) и несимметрическую по индексам связность

r> - v./

ортогонально векторному

x(s) .

ле (3), векторное поле „ х(5)

полю скоростей в каждой точке геодезической 2. Уравнения геодезических в RVF пространстве Для нахождения геодезических в RVF пространстве воспользуемся лагранжевым формализмом. В качестве лагранжиана L выберем билинейную квадратичную форму

j =rjP + gР gj x Fk

(9)

Согласно формуле (2),L=2. В силу

,,, gij ( x x) = exp(Akxk )gij ( x)

соотношения (3), , причем

уравнения (6) и (7) можно представить в виде

xp +Ypxixj = 0 J (10)

xcp +f?xixj = 0 J (11) Геодезические вида (10) соответствуют пространствам с симметрической аффинной связностью, в то время как геодезические вида (11), с несимметрической связностью, соответствуют пространствам с кручением типа Картана. Отметим, что связности (8) и (9), помимо зависимости от пространственно-временных координат, также зависят от локальных скоростей.

Приведенные уравнения для геодезических (6), (7) справедливы для пространств произвольной размерности и сигнатуры. Если ограничиться рассмотрением четырехмерного пространства-времени сигнатуры , то уравнение (6) описывает геодезические в присутствии гравитационных и электромагнитных полей одновременно. Если гравитационное поле отсутствует, то уравнение (6), после простейших преоб-

jj + Fp xp = 0

разований, принимает следующий вид р

Полученное соотношение есть ни что иное как уравнение Лоренца, описывающее движение заряженной частицы с единичным зарядом в электромагнитном поле, задаваемом

тензором . Таким образом, векторное поле А(х) , появляющееся при определении метрики пространства, с физической точки зрения может быть интерпретировано как поле векторного потенциала в классической электро-

Р

динамике, а антисимметричный ковариантный тензор как электромагнитный тензор. Однако если ограничиться рассмотрением только четырехмерного пространства, то

Ак хк = 0

условие Л , возникающее при определении геоде-

зической, не позволяет построить теорию взаимодействия электромагнитного поля с электрическим зарядом (так называемое А — 3 взаимодействие). Кроме того, самому понятию электрического заряда, в рамках четырехмерного пространства-времени, не удается дать четкого математического определения.

Для устранения возникших трудностей в рамках четырехмерной модели электромагнетизма, в качестве реального кандидата на роль физического пространства-времени выберем шестимерное RVF пространство с сигнатурой .

3. Уравнения электродинамики в шестимерном RVF про-

тл Ак ( х)

странстве Используя векторное поле , входящее в

определение RVF-метрики, выводятся основные уравнения шестимерной электродинамики, вводятся понятия плотности заряда и тока, имеющие чисто геометрическую природу.

тг Ак ( х)

По вещественному векторному полю " , входящему в определение RVF- метрики, всегда можно построить поле двухвалентного кососимметричного тензора

Р = А ^- А /, и ] = 1,-,6

г, /

+ } + Fjk4 = 0, i, ], к = 1,-,6-

(12)

РЧ

имеет вид

Бр = 0, / = 1,...,6

(13)

где

Б х

ковариантная производная по параметру

нений (13) зависит от вида метрики пространства-времени. Разобьем систему уравнений (13) на две подсистемы

Б1Р1} +... + Б4Р4/ = -Б5Р5} -Б6Р6},; = 1,...,4

(14)

15 +... + Б4 Р 45 =- Б6 Р 65,

16 +... + Б4 Р 46 =- Б5 Р 56.

(15)

Система (14) остается ковариантной относительно любых преобразований координат из группы GL (4, Р) в то время как система (15) ковариантна относительно преоб-

разований из группы значение

GL(2, . Введем следующее обо-

3 / = -БР5; -Б6Р6;, / = 1,...,4 /с 5 6 (16)

Из определения J следует, что этот объект представляет собой четырехкомпонентное контравариантное векторное поле в четырехмерном подмногообразии шестимерного RVF пространства.

Определение 3. Векторное поле 3 (х),; = 1,...,4, в четырехмерном подмногообразии шестимерного RVF пространства будем называть четырехмерным вектором плотности тока.

Р( х ) =

= 3 4 ( х V

будем назы-

представляющего собой

ротор векторного поля к . Операция взятия градиента ко-сосимметрического тензора F дает тождественный нуль, в силу тождества Бианки.

Тождество (12) справедливо для пространств произвольной размерности и сигнатуры. Оно никак не связано с видом метрики пространства и остается ковариантным относительно любых невырожденных преобразований координат.

А

порождающее

Отметим также, что векторное поле к тождество (12), может быть выбрано совершенно произвольно. Еще одно ковариантное соотношение, которое может быть построено, используя кососимметрический тензор

Определение 4. Величину вать плотностью заряда.

Эти определения представляют собой дань сложившейся традиции, так как плотность тока и плотность заряда тесным образом связаны с известными феноменологическими понятиями плотностей электрического тока и электрического заряда. В дальнейшем будем пользоваться именно этими понятиями, хотя более последовательно было бы оперировать только с компонентами шестимерного электромагнитного тензора Р } .

Итак, соотношение (14), согласно формуле(16), можно представить в виде

п ги = / = 1... 4

' /с (17)

В силу ковариантности уравнения (17) относительно любых преобразований из группы GL(4, , уравнение (17) справедливо для любых непрерывных токов. Уравнения (17) являются обобщёнными уравнениями Максвелла четырехмерной электродинамики в пространстве Минковского

дР'У = /, / = 1,...,4

/ дх 'С*

Ясно, что если соотношение (13) имеет место в какой-либо системе координат, то оно сохраняется и в любой другой системе. Однако, в отличие от тождества (12), система урав-

Заключение.

Предложенная шестимерная геометрическая модель объединенной теории гравитации и электродинамики, как было показано в работе, достаточно естественно вводится в рамках RVF пространства. Отметим, что такие фундаментальные понятия электродинамики как электрический заряд и электрический ток в рамках этой модели получают чисто геометрическую интерпретацию, связанную с наличием двух дополнительных измерений пространства-времени. Более подробное изложение механизма образования электрического заряда как чисто геометрического объекта,

а также ряд других известных электромагнитных явлений, не имеющих объяснений в рамках четырехмерной электродинамики Максвелла, предполагается опубликовать в ближайшее время.

Список литературы

[1] А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. М. , Наука, 1966.

[2] A.S. Eddington. The Mathematical Theory of Relativity. Cambridge University Press, 1930.

[3] Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513527.

[4] C. Cartan. Ann. Ec. Norm. Sup (3), 42, 17, 1925.

[5] T. Kaluza. Math. Phys., k1, 966, 1921.

[6] O. Klein. Zs. Phys., 37, 895, 1926.

[7] Ю. Весс, Д. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация. М., Мир, 1986.

[8] Сб. Введение в супергравитацию. Под редакцией С. Феррары, Д. Тейлора, М., Мир, 1985.

[9] D. Z. Freedman, von P. Niewwenhuizen, S. Ferrara. Phys. Rev., D 13, 3214, 1976.

[10] S. Deser, B. Zummino. Phys. Lett., 628, 335, 1976.

[11] E. Witten. Nucl. Phys., B 186, 412, 1981.

[12] N.N. Popov. "A Geometric Interpretation of Gravity Theory", ASSA, 2012, v. 12, №3, p. 53-66.

[13] Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеро-вых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.

[14] Г.Ю. Богословский. Теория локального анизотропного пространства-времени. М., МГУ, 1992, 270 с.

[15] Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.

[16] Т. Калуца . К проблеме единства физики. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 529-534.

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НА СВЯЗАННЫХ ПОДВИЖНЫХ СЕТКАХ

Прозорова Гульшат Ринатовна

старший преподаватель Сургутского государственного педагогического университета, г. Сургут

ALGORITHM OF THE NUMERICAL SOLUTION OF PROBLEMS OF THE TWO-PHASE FILTRATION ON THE RELATED MOBILE GRIDS

Prozorova Gulshat

assistant of Surgut State Pedagogical University, Surgut

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается решение двумерных задач двухфазной фильтрации на подвижных сетках, пространственная структура которых определяется самими значениями рассчитываемого решения. Для задач нелинейной теплопроводности применение таких сеток, представляющих собой совокупность подвижных изотерм, дает эффективный способ выделения и прослеживания таких особенностей, как движущиеся границы фазовых переходов и бегущие температурные волны. В статье дан алгоритм численного метода к решению двумерных задач фильтрации на подвижных сетках, привязанных к значениям рассчитываемого поля температур, с обобщением на класс задач многофазной фильтрации.

ABSTRACT

This paper deals with the two-dimensional problems of two-phase filtration movable grids, the spatial Sructure is determined by the values calculated decision. For the purposes of the application of the nonlinear heat grids, representing an aggregate of moving isotherms, provides an effective method for isolating and tracking features such as moving boundaries of phase transitions and running temperature waves. In the article the algorithm for the numerical method to solve the two-dimensional filtration problems on moving grids linked to the values calculated temperature field, with the generalization of the class of problems of multiphase flow.

Ключевые слова: численное моделирование, двухфазная фильтрация, слоисто-неоднородные пористые среды, вытеснение нефти, пространственная сетка

Keywords: numerical modeling, two-phase filtration, layered porous medium, oil displacement, spatial grid

Для исследования характера многофазных фильтрационных течений в неоднородных пластах широко применяются методы математического моделирования. Решение практических задач многофазной фильтрации возможно только с применением численных методов. Проблемы построения эффективных вычислительных алгоритмов для данного достаточно сложного класса нелинейных задач хорошо известны и далеко не преодолены [2], [3], [6].

Рассмотрим совместное течение двух несжимаемых жидкостей в среде с постоянной пористостью и проницае-

мостью. Полагая в качестве неизвестных s -насыщенность порового пространства первой фазой и Р - давление во второй фазе, система двух уравнений относительно определяемых полей насыщенности и давления в безразмерном виде имеет следующий вид

= div(k1 (<т)gradP)- ГдЦк^)/ '(^гаД^) ¿^((к^ + ы-к2 (ст)^гаДр)-ГД1у(к1(ст)/ = 0 (2)