CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА
Пасенчук Александр Эдуардович
Доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики Южного Федерального Университета,
г. Ростов-на-Дону
АННОТАЦИЯ
Изучается специальный класс двумерных операторов Теплица в гильбертовом пространстве измеримых суммируемых с квадратом на торе функций. При помощи найденного свойства нестандартной частичной мультипликативности производится равносильная регуляризация упомянутого оператора Теплица.
ABSTRACT
We &udy a special class of two-dimensional Toeplitz operators in the Hilbert space of measurable square integrable functions on the torus. Using the properties of non^andard found partial multiplicative produced equivalent regularization said Toeplitz operator.
Ключевые слова: оператор, Теплиц, тор, нестандартная, частичная, мультинликативность, регуляризация.
Keywords: The operator, Toeplitz, torus, cu&om, partial, multiplicative, regularization.
1. Введение. этом прежние обозначения для пространств. Например,
Через C,RZ будем обозначать множества ком- L2(Г) = P (L2(Г)), L2+ (Г) = P + (L2(Г ))
В работе рассматривается оператор Тепли-
r = {íec: И = 1}, Г2 = ГхГ : ^ . (г*)
ца ' ' ' ' , действующий по
правилу V^n) ^ P++a($Ф($Л) , где
плексных, вещественных, целых чисел соответствен
r ={cEl :ю = 1}, Г2
но. Положим
Z + = {j е Z : j > 0}, Z_={j е Z : j < 0}
L (Г) L (г*) правилу
^^ ' - гильбертовы простран- a (^,tf)eW (Г2) a (Ю n)
.„„„, ......„„„.„„. ...........Л„,--------ü ------^ ' V ' Функцию V'' '/
Обозначим
ства измеримых суммируемых с квадратом функций, че- . Функцию называюг сим-
W (Г), W (Г2) волом оператора
> ' Г"ТЯТ1ТТЯГ\ТТ11^ТР Я ТТГР^ГУЬ.Т тт
T
До сих пор наиболее общим результатом для оператора
Ta:L+ +(Г2L+ +(Г2)
рез 4 ' - стандартные банаховы алгебры
функций, разлагающихся в абсолютно сходящтеся ряды ФуГ Г2 V / V /
рье на ' соответственно. Как известно, оператор син- является следующий кри-
терий нетеровости, полученный И.Б. Симоненко [14-16] в
гулярного интегрирования ^, ограничен и инволютивен в качестве следствия к разработанному им локальному прин-
^ (г) ш(г) ципу исследования операторов локального типа [1-4].
пространствах '' ^ '. Это позволяет опреде- ^ • £++(Г2 ) ^ (Г2)
1 Теорема 1: Оператор а 2 V / 2 V ' не-
P± = —(I ± $ ) теров тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет
лить операторы проектирования: 2 , дей- условиям:
4(Г) Ш (Г) 1Ч a и л)* 0, (^,п)еГ2
ствующие в пространствах 24 ' 4 ', а также опера- 1) V" '/ ' V' '/ , 2)
P* = p±® I, P•±= I ® p± inda(4,п) = inda(£,ц) = 0
торы проектирования ' ^ V'' '/ ^ V'''/
Р= Р± ® Р+ „ „„ При выполнении условий теоремы 1 индекс оператора
, , действующие в пространствах
Т
Ь2 (г), Ш(Г) ^ a равен нулю.
. Образы введенных операторов проек- Отметим,
что при выполнении условий 1), 2) символ
тирования будем помечать тем же набором + и -, который
присутствует в обозначениях проекторов, оставляя при a(Г2 ) T
оператор a допускает факторизацию
a= a--(£,rj)a+-(%,п)a-+ (g,rj)a++ (%,п) (1) где a±±(^'n)
W ±±(г2)
k
ственныи нуль кратности Л , то справедливо равенство
обратимы в соответствующих подалге-
a
да
функция
имеет в точке ^ един-
брах
T = T--T +- _+T ++
Из равенства (1) следует, что a a a a a , и,
T __, T ++ T +- -+
хотя операторы a ' a обратимы, оператор a a , в отличие от одномерного случая не проще, чем исходныи
T
оператор a . В последующих исследованиях этот результат в серии работ В.С. Пилиди [11], Л.И. Сазонова [13], а также Р.Г. Дугласа [9], [7], был обобщен в различных направлениях. Работы И.Б. Симоненко и его последователей посвящены качественному исследованию и практически не содержат никаких конструкций, исключая конструкции регуляриза-торов. Однако имеются и некоторые работы, посвященные конструктивному подходу при исследовании двумерного оператора Теплица. Укажем некоторые из этих работ. В.С. Рабиновича [12] заметил, что если в представлении 1 отсут-
ствует 4 ' или 4 ', то оператор а обратим. Л.И. Сазонов обобщил этот результат на случай, ког-
В работах С. Ошера [9], В.А. Малышева [8], автора [10], А. Беттхера [1], [2] рассмотрены двумерные операторы Теплица со специальными символами. В этих работах показано, что нетеровость рассматриваемых операторов равносильна их обратимости и предприняты попытки построения решений соответствующих уравнений. В работе Р.Г.Дугласа и Р.Хоува [8] приведен пример, показывающий, что нетеро-вость двумерных операторов Теплица не равносильна их обратимости.
В работе исследуется двумерный оператор Теплица с символов вида
а= а-1 (п)Г1 + ао (п) + а1 (п)? (2) где а,(П)^(г), к = -1,0,1.
Та:4 +(Г24 +(Г2)
Для оператора с симво-
лом (2) проведена процедура равносильной регуляризации
ТаФ = f
и редукции, сводящая уравнение к равносиль-
ному уравнению Фредгольма. При этом упомянутое уравнение Фредгольма одномерно и при его помощи описаны образ, ядро, даны условия разрешимости и конструкция исходного уравнения.
1. Вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть контур ^ ограничивает односвяз-ную область ^, а функция аналитична в области ^ и непрерывно дифференцируема на контуре ^. Если
2ПI а(?) Пусть Ь = Ь2 (4)? + Ь1(п)? + Ьо (п)
, где Ь2 (1), Ь1 (1), Ь0 (Г) и функции
Ь2 (п), Ь0 (п)
2 \ ' / 0 \ • / не являются тождественными нулями. Нас
б ь(4Л) = 0
будут инте-ресовать корни уравнения 4 ' в пред -положении, что переменная П еГ фиксирована. Ясно, что
<Е = <Е(п) <Е = <Е(п)
имеется, две кривых корней: Ъ1\'/' ъ ^>2\'/, определяемых по стандартным формулам. Однако, эти корни не обязаны обладать, вообще говоря, никакими свойства-
„ п еГ
ми непрерывности или гладкости по переменной . Однако, оказывается, что при некотрых дополнительных
¿ = £ (п) ? = ? (п)
условиях о кривых Ъ1\'/' Ъ Ъ2 V ' / можно
утверждать, что они обладают в некотором смысле такими свойствами. Например, имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть
indb (%,п) = 1
b0, (%,п)еГ2
тогда кривые ну-
лей
таковы, что
% = % (п), % = % (п) % (п)|<1, Vner, % (п)|>1, VneT
и % (п) е W(г), & (п)е W(Г). При этом
b (4,п) = do (п))(1 -%-1 Ш)
, где d0 (n)^W (Г), d0 Ш 0 п^г и
indd0 (п) = indb(%,п)
п п .
Лемма 3. Пусть
a (£,п) = а~(%п) a0 (%,п) a++(%,п), где
a = a0 (£,п)a++ Ц,п)a±+± Ц,п) е W±± (Г2), «0 0) 6 W (Г2)
T
, тогда для опе-ратора
T = T T T
a 1a - a/ a++
Лемма 4. Пусть и допускает
справедливо представление
a
'(í,n)еW +* (Г2)
представление
и
а+' (Кп) = а - (S,V) a- (S,V) a-+ Ю а+ (^)Г T , T
ку операторы ^ ' ^ ' обратимы и при этом
n е Z+ а±т(£,ф W+-~+ (Г2) , ,
, где +, а 4 ' v ', причем T = T T = T
a-(S,„)e G^il*) Г+. 1 «"I = C-C«"1' 1 = <d++
^ '. Тогда оператор Теплица a T
T = T T T T T ' то поведение оператора a определяет-
+• +—^--^ —b^ en
допускает представление a a a a a s . T
2. Модельный оператор. ся поведением оператора (l—)(н*П
Рассмотрим связанный с символом (2) многочлен
p(4,ri) = 4а(4,ф = a-i(n) + a0(n)^ + ai(n)^2 . В связи с этим оператор (l—^^ )(l—i2-1(n)i) . Очевидно, РКП) - 0, КП еГ2 и в с„щ , где S (")еW (Г)> i— (г) „
indpKn) = i, indpKn) = 0 |£(tf)|<i, ^еГ, (tf)|>i, ^еГ
свойств индекса КеГ пеГ
. Согласно лемме i и замечанию к ней найдут- > будем называть модельным оператором, а функцию
ф К = Si (П), К = S2 (П) (i - Si (П) Г1 )(i - К—i (П) S)
ся функции ^ v ' /' ^ ^>2 \ • / так, что v ' v ' - модельным симво-
лом.
S(ф^ S(ф^ VneГ w(г2)
п a(S,n)eW(Г )
Si (,)е Ж(Г), S- (n)eW (Г) (s) V
' \\Ta\\ = max a(S,n)
и при этом имеет место равенство II all (Кп)еГ2' '
^ ' . С другой стороны, из тео-ремы
Р(Sn) = d0(n)(s-si(n))(i -s2-1Ш). От- sprTa = max |a(£,?)|
Л ^ ^ w(t\ /7 I \ П T Симоненко следует, что (К,п)еГ . Та-
метим что 0 (n)eW ( ) 0 , П е и ким, образом, для рассматриваемого нами оператора Тепли-
ind do (n) = ind p (S,n) = 0 SPr Ta = ||Ta|| = ШЯХ |a ^^
n n . Хорошо из-вестно [5, ца (S,n)e .
стр. 48], что при выполнении последних условий функция в
„ ч „ ч Лемма 5. Пусть в - банахово пространство и
d0 (n)eW(Г) А A. d . B
0 допускает каноническую факториза- Л . Л ^ D - линейный ограни-ченный оператор. Если
W (Г): d0 (n) = d"Ы d +(n) spr Л < i т - Л _
цию в а алгебре 0 , где , то оператор обратим и при этом
d± (n) = exp(P± ln d0 (n)) е GW± (Г) (I - Л)-1 = £ Л7
Ясно, v
JeZZ+
ний
T,-s(,r- = 2(P++(i-Si (n)s-1 )P++)J, ^^(p^-Sii
jeZ+
Лемма 6. Пусть
(^ "(п)) (d +(п)) Следствие. Операторы Тепли-
что функции ' \ ^ П ввиду вложе- т Т
Ш~(Г)с Ш""(г2), Ш +(Г)с Ш ++(г2) ца (п)и (п)и обратимы и при этом
г Т1-4(п)Г' = ^ '
можно рассматривать как элементы алгебр
ш ~(г 2), ш++(г 2)
V V / соответственно. Принимая во (1 -#1 (п)Г1 )(1 (п)#) = a~(í,n) a+_(í,n) ar+(U,п) a++(í,n) внимание приведен-ные факты, представим символ (3) в
следующем виде Ш(Г2 )
a (#,п) = d "(п)(1 (п)^-1 )(1 (п)#) d +(п) - факГоризация- в ал1гебре модель11ого симмвола,
В силу свойства частичной мультипликативности (лемма 3) из равенства (3) следует, что " Запишем модельный символ в виде
Т = Т^(п)Т{1-,1{п),-^п),)Т^(п) Посколь- a= и"1 - #1 (п))(1 - #2-1 (п)#)
. В силу свойства частичной мультипликативности от-
T = T T
Лемма 7. Оператор Теплица
сюда имеем % . Шсколь- р+b+~(% (п),п)P + : L+ (Г) ^ L+ (Г)
- % (п))(1 - %2-1 (п)%) е W+' (г2 ) 3. Основной результат.
ку
, то из того, что
В силу леммы 5 в уравнении (6) оператор К вполне не? - ? (п))(1 - (п)? = а - (?,щ) а(?,щ) а(?п) а++ (?п)? пPеPывен, п°ЭТ°му это уравнение есть уравнение фредголь-
согласно лемме 4 следует, что Г+ (Г)
ма второго рода в пространстве 2 V '
t T T T T T
(%-%(п))(1-%-1(п%) _ a+- a-- a-+ % a+
ма второго рода в пространстве 2 . Таким образом справедливо следующее утверждение. . Отсюда име- Теорема 2. Уравнение (6), построенное по уравнению
(4)
% (%-%1(п))(1-%2-,(п)%) (%-%1(п))(1-%2-1(п)%) % »+- »"+ % »++ T ф++ = f++
a при помощи модельного оператора равно-
сильно этому уравнению в том смысле, что:
Теперь рассмотрим уравнение !) если однородное уравнение (6) имеет толь-
Т (р++(£п)= (++(?п) Т
(1-?(п? 1 )(1-1 (п?) ^ ' ^ ' ко тривиальное решение, то оператор а обратим
. Ввиду представления (4), имеем Т ф++ = /++
и единственное решение уравнения ^
Т^Т^ +ТаТа+ТТа++( (?,П) = / (?,П) при любой правой части определяется формулой
. Отсюда получаем ("(?чНа"(?ч)ТР"Г1[ЕУ"Шг1р")1 Е^М^МФ.п)
Т+-Т ? .?-1Т?Т(?п) = с (п) + ?/++(?п) если однородное уравнение (6) имеет конечное число ли-
/++(? л)
С+ (П) е кег Т 1 нейно независимых решений, а правая часть ^ ' '
, где ? . Положим такова, что неоднородное уравнение (6) разрешимо, то
Ь (?,п) = (а (?,п)) = Ь./(п)? уравнение Т( / разрешимо и его общее реше-
ние имеет вид
, тогда последнее равенство равносильно следующему ("?,ч)=(*"?,ч))~'р++г'[г,(р++Шг'р++)кЕр++ь-Ш'р++с+П)+г?,^
Т-ш?-ТТ++(++?п) = Т+-с+(п)+ТЛГ?). с +( ) ~ ,
Применяя следствие леммы 3, получим где \ '' - общее решение уравнения (6).
?а++?,я)е++?,я)=Е( р++? (л)?1р**)1 Е Р ++Ь;(п)?р++с+(п)+/;++(?, п)
г/ у. , Литература
+- . ч , ч 1. Беттхер А. Двумерные свертки в углах с ядрами, Ь (?,п) = Е Ьу имеющими носитель в полуплоскости. — Матем. заметут ки,т.34,№2,1983,с.207-218.
где + , ' ' ' '
2. Беттхер А., Пасенчук А.Э. Об обратимости тепли-/1++ ( ? П ) = Т +- ?/++ ( ? П ) цевых операторов на квадранте, носители которых лежат в
^ ' Ь ^ ' Полагая в последнем ______________________________т-» итт__л.л. ___________ ____________________
. Шлагая в последнем полуплоскости. — В сб. "Дифф. и интегр. уравнения и их
X (р(п)р + )P++b-- (п)P+c + (п) = -f+ (о,п)
% = 0 прилож.",Элиста,1982,с.9-19.
равенстве ь , получим 3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.,Наука,1977.
.(5)
4. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки — М.,Наука,1978.
5. Гохберг И.Ц.,Фельдман И.А. Уравнения в свертках X (р+b- (п)%- (п)р +) = P+b+- (п),п)р+ и проекционные методы их решения. — М.,Наука,1971.
Очевидно, -eZ+ . Кро- 6. Гохберг И.Ц.,Крупник Н.Я. Введение в теорию од-
ме того, имеет место следующее утверждение. номерных сингулярных интегральных операторов. — Ки-
Лемма 6. Оператор шинев,Штиница,1973.
7. Douglas R.G., Howe R. On the algebras of Toeplitz
operators on the quater-plane. — Trans. Amer. Math.
Soc.,1971,158,№1,p.203-217.
L+ (Г) 8. Малышев В.А. О решении уравнений Вине-
прерывен в пространстве ^ '. ра-Хопфа в четверти плоскости. — Доклад АН СС-
Тогда, уравнение (5) можно записать в виде СР,1969,т.187,№6,с.1066-1069.
(р+b+-(% (п) п) р ++ К^с+(п) = - f++(0 п) 9. Osher S.J. On certain Toeplitz operators in two
\r u \Ь1\'/)>'/)г ^^J1- \4) J1 VJ->4) variables. — Pacif.J.Math,1970,34,№1,p.123-129.
10. Пасенчук А.Э. Оператор Теплица на торе и задача о следах для аналитических функций двух комплексных
K =s(( р%(п) р+)-р+ь;(п) р +-( р+ь;(п)й- (п) р+))
вполне не-
переменных. — Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион, Сер. естеств. науки,2006,№1,с.19-24.
11. Пилиди В.С. О многомерных бисингулярных операторах. — Докл. АН СССР,1971,т.201,№2,с.787-789.
12. Рабинович В.С. Многомерное уравнение Вине-ра-Хопфа для конусов. — В сб."'Теория функций, функц. анализ и их приложен."',1967,в.5,с.59-67.
13. Сазонов. Л.И. -алгебра бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами. — Изв. РАН,сер. мат.,1999,т.63,№>2,с.167-200.
14. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. I. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.3,с.567-586.
15. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. II. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.4,с.775-782.
16. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. — В сб. "Матем. исследования",Кишинев,Шти-инца,1968,,в.1,с.298-313
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ (ЧАСТЬ II)
Попов Николай Николаевич
Кандидат физ-мат наук, старший науч.сотр. ВЦ РАН, Москва
АННОТАЦИЯ
В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (---+++) вводится система ковариантных уравнений электромагнетизма. Показывается, что между элементами группы локальных собственных движений метрики Минковско-го и допустимыми токами, входящими в уравнения Максвелла, существует однозначная связь.
ABSTRACT
Within the framework of the six-dimensional space it is introduced sy&em of covariant equations of electrodynamics. It is shown that there is a unique relationship between the elements of the group of local own motions of the Minkowski metric and admissible currents belonging to the Maxwell equations.
Ключевые слова: шестимерные псевдоевклидовы пространства, шестимерные уравнения электродинамики, группы собственных локальных движений метрики.
Keywords: six-dimensional space, six-dimensional equations of electrodynamics, groups of own local motions of a metric.
Введение
Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++). Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое
пространство с метрикой gi]■ (х, X) = ехр()gi]■ (х)
где Ак (х) - произвольное векторное поле, в дальнейшем называемое векторным потенциалом, gJ- (х) - метрический тензор Римана, впервые было введено в работе
[4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространства размерности не менее шести. В работе
[5], в рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями, была построена геометрическая модель точечного электрического заряда. Было показано, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само электрическое поле возникает в результате циркуляции
компонент Ак (х), к = 5,6, векторного потенциала А(х)
во временном подпространстве вокруг временной оси х со скоростью света. В рамках рассмотренной модели, все эти утверждения следуют из решения системы уравнений шестимерной электродинамики, включающими в себя уравнения Максвелла. Однако эти уравнения были выведены в работе[5] только для случая покоящегося электрического заряда. В предлагаемой работе уравнения шестимерной электродинамики выводятся для достаточно широкого класса токов. Показывается, что эти токи связаны с элементами локальных групп собственных движений метрики Минковско-го четырехмерного пространства и только для этого класса токов уравнения электродинамики адекватно описывают электромагнитные процессы.
1. Вывод уравнений Максвелла в случае равномерно и прямолинейно текущих токов.
В работе [5], в рамках шестимерной электродинамики, были выведены уравнения Максвелла, не содержащие токов, относительно некоторой псевдоевклидовой системы координат. Для того чтобы получить уравнения Максвелла, содержащие токи, сначала рассмотрим один конкретный пример построения уравнений Максвелла с равномерно и прямолинейно текущим током.
Для получения этих уравнений достаточно перейти из
системы координат
( x1,..., x6 ) ,
относительно которой
заряд покоится, в некоторую другую систему путем псевдо ортогонального поворота, относительно
(/,..., X6') юительно ко-
