Об одном специальном классе двумерных операторов Теплица в пространстве винеровских функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

А.Э.Пасенчук, В.В.Серегина ОБ ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ КЛАССЕ ДВУМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА В ПРОСТРАНСТВЕ ВИНЕРОВСКИХ ФУНКЦИЙ

Южный Федеральный университет, Россия (Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 06.12.2016 г.)

В винеровском пространстве рассматривается оператор Теплица на торе. Для од са символов устанавливается свойство нестандартной частичной мультипликативнос водит к построению эквивалентныхрегуляризаторов.

Ключевые слова: оператор Теплица, нестандартная мультипликативность, регуляризация.

г,

ного клас сти, что при

ая мультипликативность, регуляризация. дение

ениями N, Z, R, C для множеств нату

1. Введение

Будем пользоваться стандартными обозначениями N, Z

целых, вещественных, комплексных чисел соответствен:

е 2 : j > 0}, е 2 : j < 0}; Т = {х е С : $ = 1}, D+={z е С : < 1}

натуральных, оложим также

D ={zgC:\z\>\}- Г2 = ГхГ, D±T=D±xDT . Введём следующее стандартное банаховс

ое винеровским

W (Г2 = |*(£л) = ^ф£У, (^Г2: | = £|ф

В пространст

лам

"I ' '

е W (Г ) определим операторы проект!

тирования Р + , действующие по форму-

= £ Ф^Л1,

(k,j)eZ± ZT

= £ Ф^Л.

(k, j )eZ xZ±

^ • ■ - ^ ■ - ■

Положим Ж++ (Г2 ) = Р++ (]¥ (Г2 ^ , Ж + (Г2 ) = Р + (]¥ (Г2 ^. Аналогичный смысл будут иметь обозначения Ж'^Г"), Через Ж(Г), Ж+(Г), Р± будем обозначать одномерные аналоги пространств IV (Г-) и проекторов Р 1 соответственно.

Адрес для корреспонденции: Пасенчук Александр Эдуардович. 344000, Российская федерация, г.Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, 105/42,Южный федеральный университет. E-mail: [email protected]

Оператор Та : W++(Г2 ) ^ W++ (Г2 ), (Таф)(£,,г)) = Р++а называют двумерным

оператором Теплица, а функцию а е ^ (Г2) - символом этого оператора. Оператор Та и родственные ему операторы рассматривались во многих работах. И.Б.Симоненко [1] установил, что необходимыми и достаточными для нетёровости оператора Та : ^(Г2) ^ W(Г2) являются следующие условия а 0, (£,^)еГ2; ind а (£,^) = ind а (£,^) = 0. При выполнении этих условий оператор Та является фредгольмовым. Позже в работах С.Ошера [2], В.А.Малышева [3],

Л.И.Сазонова [4], А.Беттхера, А.Э.Пасенчука [5-7] были выделены классы символов операторов Теплица, для которых нетёровость равносильна обратимости. Р.Г.Дуглас и Р.Хоув [8] привели пример нетёрова оператора Та., не являющегося обратимым. В работах И.Б.Симоненко, Г.Стрэнга,

В.С.Пилиди, Р.Г.Дугласа и Р.Хоува, Л.И.Сазонова, Р.В.Дудучавы (см. обзор [9)] построены регуляри-заторы для двумерных операторов Теплица в банаховых пространствах типа суммируемых, винеров-ских или гельдеровских пространств. Однако эти регуляризаторы, вообще говоря, эквивалентными не являются.

В настоящей работе изучается оператор Та : ^++ (г2 ) ^ W++ (г2 ) в предположении, что его символ имеет вид = а-± ^7eZ+, где а'1 (^^ёЖ'^Г"! и порождает нетёров

оператор Та . Уравнение Таф++ = /++ сводится к равносильному фредгольмовому уравнению в про-

у фредго у фредго

странстве (W+ (Г)) . Случай п = 1 исследован более подробно, что приводит к конструкции опера-

ышева.

помогательные резул

............г-)

А'+ 1

тора, обратного к оператор

> X > V'

ультаты

Лемма 1. Пусть функция а'+ /7) е (Г") удовлетворяет условиям а' //) Ф 0,

Л* ^ /О

(£,77)еГ2 и т&а //) = //. Тогда найдется многочлен = аД^)еЖ0(Г)

и функция /7) е (Г2) так, что а //) = рп г])Ь' //). причём

Доказательство. Зафиксируем <

^еГ, поскольку тё а'+ 77) = п, то функция

иксируем

/Лч

имеет в области D+ п нулей с учетом кратностей. Пусть т]1 ,...,?]п - все корни этой

+

функции, причем каждый корень повторен столько раз, какова его кратность. Тогда,

мало.

1 С л" да I<-,,///1 „ . ч

-^-я-= 5 = 1,2,..., где у е (1 -е,\), а е >0 и достаточно

2тпта уд,уг]) иг/ к=1

т

Из последней формулы следует, что суммы Ньютона Sk (^) = (^) корней, лежащих в области

D+ , являются элементами пространства Ж0 (Г) при любом £ = 1,2,.... Но тогда, согласно формулам Ньютона-Жирара, элементарные симметрические функции корней ] (4),]2 (4),...,Т]п (4) также

п

принадлежат Ж (Г). Положим рп (4, ]) = ^ (] - Т (4)) . В силу сделанных замечаний, многочлен

1 уС ?

рп (4,]) имеет в качестве коэффициентов элементы из Ж (Г), причем коэффициент при старшей

п

степени равен 1. При этом, по построению, очевидно, // "рп = е О") и

Т "Р„ (4, ]) ^ 0, (4, ]) е Г х Б . Но тогда, как известно ложим Ь'+ (4, г]) = (рп (4, г})) 1 а + (4, >7) • Непосредст

р-+Ь-+(^17) = Ь-+(%,17), то есть, что (г2). Кроме

о-

что

того,

поэтому

г2).

Следствие. Пусть функция а (4

n

Pn (4л) = £а , а

k=0

<*~ = (4, >7).

летворяет условиям

найдется

GW- (Г2)

многочлен

так, что

причел

Лемма 2. Пусть Pn (4л) = П(л-Л (

гда операто

Теплица

(г

удовлетворяет условиям J Лк -1 (TЛ ) f++ (£,

Г2) и |/7Д^)|<1, = То-

^ Ж (Г2) обратим слева и уравнение имо тогда и только тогда, когда правая часть

(4,]) dт = 0, к = 0,1,..., п-1.

шечание. Условия разрешимости уравнения, приведенные в лемме 2, для произвольного n трудно проверяемы. Но при n = 1 ввиду того, что spr T ^ = max (4)|< 1 оператор (г^p )

жет быть представлен в виде ряда Неймана: (T-1 p ) = £ (т 7-1) . Поэтому условие разрешимости

jeZ+

уравнения (Тр (p++^)(3,V) = /++(3v), (3,7)еГ2 можно записать в следующей форме £ ((3)P+)' /j (3) == 0, где f+ (3) = jVj_/++ (3, v)V .

Лемма 3. tab р„ {¿rf) = П(>7 1(£)) е (Г2)

S=1

3)| < 1,

(3) <

3еГ; s = 1,2,...,л.

Рп

Замечание. При п = 1 оператор I Т

аписан в виде ряда

имеет вид ?++(£?) = [.^)J [£W++ (3 V)j, (3V с+ (3), j = 0,1,..., п — 1 - произвольные функции из W0+ (Г).

)J = (Т_^ может быть зап

++/",v) , (3,^)£Г2 можно

V) (-i(f)+*/"(fv)). (¿V^lT

^ /

3. О частичной мультипликативности

Пусть a (3,v)£W (Г ) и a(3V) ^ 0, (3,^)£Г2, тогда, как известно, функция a (3,V)

допускает факторизацию в алгебре W(Г2) : a(3V) = a~(3,v)a+_(3V)a (3V)a++ (3V)3nV, где a±+ (¿f, /7) e (7W 1 (г2). а n = ind ¿/(^,/7), да = hid a /7) . Выписанному представлению

Неймана, поэтому общее решение уравнения I Т

представить в виде (3, v) =

сим-

Т = Т__Т_+ +_„n mT ++ . Это свойство называется час-

a a a a 3'V a

вола соответс вующих сомножителям

тичной мультипликативностью. Однако, в отличие от одномерного случая, наличие этого свойства практически ничего не дает для исследования общего оператора Теплица (см.[2], [7], [11]). Оказывается, некоторые частные операторы Теплица обладают аналогичным, но более эффективным представлением.

Лемма 4. 77ус Г /7) е (V ) и допускает следующее представление

а

a+(£,ri)a++(Z, ri)Z"rik, где й±т(^,//)е^±т(г2). Тогда для опера-

тора Теплица с символом а + /7) справедливо равенство 7\+ = Т^Т^Т^^ Т^ .

1

Это уравнение ввиду свойства нестандартной частичной мультипликативности равносильно

следующемуТа_Т_Тп (т^)^) = Т^ Г£с; (4), (4, л)!, где

V к=0 )

с. (4) е W0+ (Г), к = 1,2,...,п — 1. В силу свойства частичной мультипликативности имеем 77 7;'„ = 7^ ^ =Тр , где рп - многочлен, построенный по функции (ь,//) при дока-

пока функции с; (4), к = 1,2,...,п — 1 следует выбрать так, _ чтобы

и—1

Т—;

V к=0

выполнение следующих условий

и—1

£ V; (4) = ^(4), к = од... и—1 (2)

к=0

зательстве леммы 1. Но тогда Тр (Т\;^++)(4, л) = Ть—; £с;(4)^к ;rff++(4,л) и произвольны

и а I к=0 )

следует выбрать так, чтоб £с;(4)цк ;,"/++(4,л) е 1тТр . Согласно лемме 2 для этого необходимо и достаточно

И Л

(4), к = п — 1

где ^ (4) = — ¿т К—1 прп)—1 Т^Г^Л) ^ а В = £ }Г—1 (т^)—1 Т—.

к = 0,1,...,п — 1, / = 0,1,...,и — 1.

Лемма 6. Пусть Ь. (4) = 'к—11 (а(4,л)) — а++ {4,лУл , а Т. : W+ (Г) ^ W+ (Г) оператор

Теплица с символом Ь. (4), к = 0,1,...,п — 1,. = 0,1,...,п — 1. Тогда оператор 0к. = Вк — Т. вполне непрерывен.

ояератор зг "(Г2 ьW "(Г!) нет™ и таьо тогда ~

транс транс

шом В (

рошо из рошо из

гда нетёров в пространстве (Ж; (Г)) матричный оператор Теплица ТВ, определяемый матрич-

ным символом В (4 Ч = \Ь.

эрошо известно (см., например, [1]), что при п > 1 конструктивное исследование матричного оператора ТВ :(Ж (Г)) ^(Ж^Г))* связано с построением правой факторизации матрицы-

оператора Тв : (Ж+ (Г))" ^ (Ж+ (Г))"> 'нкции В (4 = (В. (4) в банаховой алг

функции В (4 = (В. (4)) в банаховой алгебре (Ж(Г)) . Последняя задача вплоть до настоящего

времени эффективно решена только для некоторых классов матриц-функций. Случай же п = 1 может быть изучен более полно. В этом случае система (2) состоит из одного уравнения следующего вида:

лно.В этом

(Т00 ;000) с+(4) = ^(4), (3)

где

построению

^>+(4) = -¿7] (]Р1ТЬ-ТГ+(4,Т)Т Оператор Теплица Тж : Ж7 (Г)^Ж7 <Г) по определяется символом Ь00 (4) = "^— 1 (а<4,т)) а77(4,т)Т =

= I*-(4,Т)йТт = Ъ + <4,] (4)), а вполне непрерывный оператор 000 может быть найден по

2а ГТ-Т1 (4)

формуле: 000 =т00 Я 1 (г Р1) 1 ть- ^=]1

7. Функция

Лемма

„ч

построенная по символ

V

волу

(Г2)

Ь + (4, т]1 (4)) • построенная по сила

= а + (4,77)77 \ я'7 (4,77) е (Г2), порождающему нетёрое е пространстве Ж77 (

оператор Теплица, удовлетворяет условиям Ъ- + <4, ] <4)) ^ 0, 4 е Г; ind Ъ + <4, Т]1 <4)) = 0.

Доказательство. В самом деле, рассмотрим семейство функций = Ъ +((4,ил + (\-д)г(4))), (4,г)еГхБ7, деГ0,11. Поскольку функция Ъ"+(4,т)

обратима в алгебре + <Г2), то Ъ +<4,])^ 0, <4, ])е Б" х Б7 . Но тогда

Ъ-;{4г)ф 0, (4,г)еГх Б7 , И

получаем тёЪ+ <4, ] <4)) = ind Ъ07 <4,])= тё Ъ-+ <4, ]) = i

(ГН Ж 7<Г)

Т00 + 000 фредгольмов, а оператор <Т00 ) 1 = (т, ^ является его регуляризатором.

: Ж77 <Г2) ^ Ж77 <Г2) с символом

1 = тс Следствие. Операто

виду гомотопической инвариантности индекса тогда и (3) обратим, поэтому оператор

Теорема

а

(4^) = «'

з. Уравнение (1), порождаемое этим оператором, разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть такова, что разрешимо фредгольмово уравнение (3). В случае разрешимости уравнения (3) общее решение уравнения (1) может быть найдено по формуле р77 <4,]) — т тъ-Тъ-7 (с0+(4) + Т/++(4,Т7)) , где с7 (4) - общее решение

уравнения (2).

5. Оператор Теплица с символом а

Предположим, что оператор Теплица Та : Ж77 <Г2) ^ Ж77 <Г2) с символом а (4, Г]) = а" (4, Г]) 77", (4,/7) е (г2) нетёров. Пусть,

как

и

ранее,

а(4,г) = а (4,г)а7 (4,т)а 7(4,т)а77(4,т) - факторизация символа оператора Та, а

Л = (45'/) = 7 (4,'/)) • Рассмотрим уравнение (1) и воспользуемся следствием к лемме 5, тогда

( п—1

(Та—+ Та;;Та+— Т^++){4,) = Ть- I £ с; (Ж + (4,)

V к=0

при этом ск (4) е (Г), к = 1,2,..., п — 1. В силу свойства частичной мультипликативности

имеем

сле-

= = ТЧп- Ч„(£,п) = П(1"'7а (4)г}), где " корни, построенные по функции

+ (4, //) = а' П ') при доказательстве леммы 1. Поэтому последнее уравнение равносильно

а

дующему

(ТТ +— Т>++)(4,,)=тъ -

V к=0

причём

Г {4,

Отсюда

Л

V

п—1

к=0

Т-

Пользуясь последним

сформулировать условия разрешимости полу-

ченного уравнения, приводящие к фредгольмовой системе уравнений относительно функций г; (4)^ к = 1,2,—1 типа системы (2). Эта система, как было отмечено выше, конструктивно может быть исследована в случае п = 1, который мы рассмотрим несколько подробнее. Итак, имеем

т^ЛГ = {4)+~Г (4,'7) •

1—,1(4), а+— Л

Отсюд

да Т^О,

выбрать так, 1

+(4)=—

£ Ть

/ (4, //)) и поэтому функцию с0 (4) следует

\4) = К(4), где Ъ+-(4,Г1)=ТЪ](4У1-\

{4,пУг! ■

Г

Как и в предыдущем ^параграфе, нетрудно убедиться в том, что оператор

0ОО = £ ) - , г . вполне непрерывен, а функция Ь {4,1\1 (4)) удовлетворяет услови-

' 1 А ц'

ям Ь+— (4,Л1—1 (4))* 0, 4еГ; тё Ь+~(4,,—1 (4)) = 0. Таким образом, справедливо следующее ут-

верждение.

Теорема 2. Пусть оператор Та : Ж++ <Г2) ^ Ж++ <Г2) с символом

а[4, 7]) = а (4,//)//, о" (4,'/) ^ Ж' (Г ) нетёров. Уравнение (1), порождаемое этим оператором, разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть такова, что разрешимо уравнение е I]) + ®пп) (4) = (4) • В случае разрешимости этого уравнения общее решение уравнения

(1) может быть найдено по формуле ф++ /7) = Т^-хТь+- £ {Т,кп ) (¿о (4) +Т++ Оэ > ;7)) •

Замечание. Оператор Теплица символом вида a (4,л)= £ a^rf , очевидно, удовлетво

В.А.Малышева (см.[2],[4]).

......

Поступило 02.12. 2016 г.

сУа

ЛИТЕРАТУРА

^ Т jL

1. Пресдорф З. Линейные интегральные уравнения. - В кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1988, т.27, с.5-130.

2. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их применение в теории вероятностей. - М., ВИНИТИ, Итого науки и техники, сер. мат. статистика, теор. кибернетика, 1983, т.14, с.5-35.

3. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. - В сб. "Матем. исследования", Кишинев, Штиинца,1968, в.1, с.298-313.

4. Малышев В.А. О решении уравнений Винера-Хопфа в четверти плоскости. - Доклады АН СССР, 1969, т.187, №6, с.1066-1069.

5. Osher S.J. On certain Toeplitz operators in two variables. - Pacif.J.Math, 1970, 34, №1, pp.123-129.

6. Douglas R.G., Howe R. On the C*-algebras of Toeplitz operators on the quater-plane. - Trans. Amer. Math. Soc., 1971, 158, №1, pp.203-217.

7. Сазонов. Л.И. С*-алгебра бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами. - Изв. РАН, сер.мат., 1999, т.63, №2, с.167-200.

8. Беттхер А. Двумерные свертки в углах с ядрами, имеющими носитель в полуплоскости. - Матем.

заметки, т.34, №2, 1983, с.207-218.

братимо

9. Беттхер А., Пасенчук А.Э. Об обратимости теплицевых операторов на квадранте, носители которых лежат в полуплоскости. - В сб. "Дифф. и интегр. уравнения и их прилож.", Элиста, 1982, с.9-19.

10. Pasenchuk A.E. On certain Classes of Invertible Two-Dimensional Convolution operators. - Sibam, Sel. Math. Sov., 1982, 2, №1, pp. 1-7.

11. Пасенчук А.Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности. - Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2013, 279 с.

А.Э.Пасенчук, В.В.Сергеева ОИД БА ЯК СИНФИ МАХСУСИ ОПЕРАТОРНОЙ ДУЧЕНАКАИ ТЕПЛИТС ДАР ФАЗО^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ ВИНЕРЙ

Донишго^и Федералии Цанубй, Россия

Дар макола дар фазой винери оператори Теплите дар тор омухта мешавад. Барои як синфи символхо хосияти гайристандартии кисман мултипликативи исбот шудааст, ки он ба сохрани регуляризаторхои эквиваленти мусоидат мекунад.

Калима^ои калиди: оператор Теплите, гайристандарти, мултипликативи, регуляризатси.

мухта

E.A.Pasenchuk, V.V.Sergeeva

ABOUT SOME SPESIAL CLASS OF THE TWO DIMENSIONAL OPERATORS IN THE WIENER FUNCTIONS

Southern Federal University, Russia

The Wiener space is considered Toeplitz operator on the torus. For properties of non-standard part multiplicative, leading to the construction of regularizes equivalent.

& V V ¿j /V

Я • £>

О

ter class to set the