О расщеплении многочленов с коэффициентами из коммутативных банаховых алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 2, С. 18-27

УДК 517.9

О РАСЩЕПЛЕНИИ МНОГОЧЛЕНОВ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИЗ КОММУТАТИВНЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

А. Э. Пасенчук

Рассматривается задача о разложении многочленов с коэффициентами из унитальной коммутативной банаховой алгебры в произведение многочленов с коэффициентами из этой же алгебры. Указываются достаточные условия существования такого разложения и его конструкция, приводятся приложения в теории операторов Теплица на окружности и торе. В частности, для двумерного теп-лицева оператора со специальным символом произведена равносильная регуляризация.

Ключевые слова: многочлен, коммутативная банахова алгебра, расщепление многочлена, оператор Теплица, регуляризация.

1. Введение

Будем пользоваться стандартными обозначениями Ж, М, С для множеств целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Нам понадобятся также следующие подмножества этих множеств: = {] е Ъ : ] ^ 0}, = Г = {£ £ С : |£| = 1}, В+ = е С : | < 1}, В~ = С\В+, = и Г.

Через СВ обозначим группу обратимых элементов алгебры В.

Пусть А — коммутативная банахова алгебра (КБА) с единицей е, а т £ Через Ш (Г, А) обозначим К Б А А-значных функций вида

Ш(Г, А) = {А(0 = £ а,? : ЦА^Ц^ = £ 1КНа < Ц•

Рассмотрим следующие подалгебры КБА Ш(Г, А):

Ш+(Г, А) = { А(£) = £ а,¥ : а, = 0, ^ £ жЛ ,

Ш-(Г,А) = {А(£) = £а,: а, = 0, ^ = 1,2,... }.

Ясно, что Ш +(Г, А) П Ш-(Г, А) = А.

При исследовании операторов Теплица решающим шагом является факторизация символа (см. [1-3]), т. е. его представление в виде а(£) = а- (£)ао(£)а+(0> где а±(е) £ СШ±(С,Г), а0(е) £ Ш(С,Г). В предлагаемой работе изучается аналог такого представления для многочленов с коэффициентами из унитальной КБА без радикала, приводятся некоторые приложения этого результата.

© 2017 Пасенчук А. Э.

2. Вспомогательные сведения

Доказательства приводимых в этом параграфе фактов труда не представляют и могут легко быть воспроизведены читателем.

Через MA будем обозначать пространство максимальных идеалов КБА A, а через Rad A — радикал этой алгебры.

Пусть % £ MA, а £о £ Г, обозначим через х х £о функционал, определенный на элементах КБА W(Г, A) равенством

оо \ оо

(х X Ц Е *0П = £ Х^.

/ j=—<x

Лемма 1. Пространство максимальных идеалов КБА Ш(Г, А) гомеоморфно компакту МА X Г, т. е. имеет вид

МШ(Г, А) = {х X : х £ МА, ^о € Г}.

Следствие 1. Пусть А — КБА с единицей, МА — пространство максимальных идеалов КБА А, А(е) = J2j aj& € Ш(Г, А). Преобразованием Гельфанда элемента А(£) является определенная на МА X Г функция А(х, £) = X]j х(aj)£■'.

Лемма 2. Пространство максимальных идеалов КБА Ш±(Г, А) гомеоморфно компакту МА X т. е. имеет вид

ШШ±{Т,А) = {х х 6 : X е ЯПЯ,

Отметим, что ввиду неравенства |х(%)| ^ \\ajII ПРИ любом фиксированном х £ MA функция А(х, £) является элементом алгебры W(Г,С). Более того, в силу мультипликативности элементов MA отображение A(£) ^ А(х,£) является гомоморфизмом алгебры W(Г, A) в алгебру W(Г,С).

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

1) A(£) £ GW (Г, A);

2) A(£0) £ GA для любого фиксированного £0 £ Г;

3) А(х,0 £ GC(MA х Г) т. е. А(х,£) = 0 (х,£) £ MA х Г.

Лемма 3. Радикал КБА W(Г, A) состоит из тех и только тех элементов этой алгебры,

A

Rad W(Г, A) = j aj£j £ W(Г, A) : (V j) aj £ Rad A j.

Следствие 2. Радикал КБА W(Г, A) тривиален тогда и только тогда, когда триви-A

Теорема 2. Следующие условия равносильны:

1) Д£) £ GW±(Г, А); ' _

2) .А(£о) £ GA для любого фиксированного £о £ D±;

3) А(хЛ)Ф 0, (х,0 eTlAxDi;

4) А(х, £) = 0 (х, £) £ MA х Г и indfep А(х, £) = 0 X £ MA.

3. Основной результат

Пусть К — связный компакт. Обозначим через С (К) банахово пространство непрерывных на К функций.

Лемма 4. Пусть многочлен р(4, е) = ^П=0 ак (4) £ С (К), таков, чтор(4, е) = 0,

(4, е) £ К х Г. Тогда индекс ш^ег Р(4 О не зависит от 4 £ К и имеет место неравенство

р(4,е) < п.

Теорема 3. Если многочлен р(4,е) = Хлг=0 (4) £ С (К) и р(4,е) = 0,

(4, е) £ К х Г то найдутся много члены £), дп_то(4, £) с коэффициентами из С (К) такие, что р(4, е) = Рт(4 е)Чп_т(4 е)> и ПРИ этом

1) га = £) = шс1?егК^£); п — т = deggra_m(i,f);

2) £) Ф о, £) е К х £) ф о, £) е К х

< Зафиксируем 4 £ С (К) и положим т = тё£ег Р(4,е)- Согласно свойствам индекса тё£ег е) есть число нулей многочлена р(4, е) в области Пусть е1 (4), е2(4), ет(4) — все корни этого многочлена, причем каждый корень повторен столько раз, какова его кратность. Тогда, пользуясь теорией вычетов, нетрудно получить 1 г го

Из последней формулы следует, что суммы Ньютона ¿к (4) = ^^=1 ек (4) корней многочлена, лежащих в области есть непрерывные па К функции при любом в = 1, 2,... Но тогда согласно формулам Ньютона — Жирара элементарные симметрические функции корней е1(4), е2(4), ..., ет(4) также непрерывны па К. Положим рт(4) = П!!=1(е — е«(4)) и дп_то(4) = р(4)/рт(4). В силу сделанных замечаний многочлен рт(4) имеет коэффици-

К

ясь стандартным алгоритмом деления многочленов, нетрудно заметить, что многочлен дп_то(4) также имеет коэффициенты, непрерывные на К. Условия 1), 2) при этом выполняются по построению. >

Пусть А - КБ А, Р (е) = Еп=0 Р, е, Р, £ А. Для Р (е) £ СШ (Г, А) положим ш, (Р,е) =

е^ (р (е))-1, з £

Теорема 4. Пусть А — унитальная КБ А без р адикала, Р (е) = ^ П=0 Рэ е^ Р, £ А. Если Р(е) £ СШ(Г, А), то найдутся многочлены Рто(е), ^п_то(е) с коэффициентами из КБ А А такие, что Р (е) = Рт(£,)Я п_т (е) и ПРИ этом

1) ш, (Рт, е) £ Ш_(Г, А) 3 = 0,1,..., т, причем ш, (Рт, то) = 0 3 =0,1,..., т — 1,

шт(Рт, то) = I;

2) шт(Рт,е) £ СШ_(Г, А);

3) (дп_т(е))_1 £ Ш+(Г, А).

< Рассмотрим функцию Р(х,е)> (х,е) £ МА х Г Согласно теореме 1 Р(х, е) = 0, (х, е) £ МА х Г, поэтому на каждой компоненте связности пространства максимальных идеалов имеет место представление функции Р(х, е)> описанное в теореме 3. Можно считать, что представление Р(х,е) = Рт(х,е)^п_т(х,е) имеет место на всем компакте МА х Г. Для этого достаточно положить коэффициенты многочленов Рт(х, е)> ^п_то(х, е) равными функциям, определенным па компонептах связности МА, при сое

довательно, они непрерывны па МА. Поскольку А тривиален, то преобразование

Гельфанда есть мономорфизм банаховой алгебры А в С (МА). Это означает, что имеет место представление Р(£) = РтПри этом утверждения 1), 2), 3) имеют место по построению. >

4. О теплицевых операторах с полиномиальными символами

Пусть Н — гильбертово пространство, Ь(Н) — банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве Н. Обозначим через ¿2(Г,Н) гиль-

Н

¿2(Г,Н) = {ф(£) = ЕФз: Фз е Н, Е \\Фз\\Н < Ц ^ зеж зеж -1

с очевидными операциями, нормой и скалярным произведением. Проекторы на подпространства

¿+(Г,Н) = {Ф(0 = ЕФзе ¿2(г, Н): Фз = о,^ е ж!,

¿-(Г,Н) = {Ф(£) = Е Фз£з е ¿2(г,Н): Фз = 0,^ е

Р+ Р-

Рассмотрим оператор Теплица Та : Т+(Г,Н) ^ Т+(Г,Н), порождаемый символом А(£) е Ш(Г,Т(Н)) и действующий по правилу Ф(£) ^ (ТаФ)(£) = Р+А(£)Ф(£).

Пусть А С Т(Н) — коммутативная подалгебра алгебры Т(Н) с тождественным оператором в качестве единицы, не имеющая радикала. Если Р(£) = Хз=о Рзз Рз е А, и Р(£) е СШ(Г, А), то через Рт(£), фп-т(£) будем обозначать многочлены, построенные по функции Р(£) в теореме 3.

Следующий результат является уточнением хорошо известного результата об обратимости слева оператора Теплица, символом которого является обратимый полином.

Теорема 5. Если Р(£) е СШ(Г, А), то оператор Теплица Тр обратим слева, уравнение Тр Ф = / разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условиям

! Г-к-1(Рт (О)-1 / (О ^ = 0, к = 0,1,...,т - 1.

г

При выполнении этих условий единственное решение уравнения Тр Ф = / имеет вид

Ф(0 = (д„-т(£))-1 Р+(Рт(£))-1/(£) = Р +(Р (£))-1 / (О.

Теорема 6. Пусть Р(£) е СШ(Г, А), а и(£) = Р(£-1). Тогда оператор Теплица Тцг обратим справа, подпространство кег Ти совпадает с линейной оболочкой системы Б = (Рт(£-1))-1 Фз= 0,1,... ,т — 1}, где Фз — произвольные элементы пространства Н. Общее решение уравнения Ти Ф = / имеет вид

т-1

Ф(0 = £ Гз (Рт(Г1))-1Фз + -1/(О-

з=0

< В доказательстве нуждается лишь утверждение о ядре оператора Тц. В силу свойства частичной мультипликативности и обратимости оператора Тдп-т(£-1) имеет место равенство кег Тц = кег Трт(£-1). Согласно теореме 4 имеем

Щ (Р,*,£-1) = Г3' (Р4Г1))-1 £ Ш+(Г, А), 3 = 0,1,...,т - 1,

поэтому £— (Р*(£-1)) £ ¿+(Г, И), 3 =0,1,... , т — 1, для любого ф3- £ И. Элементарная проверка показывает, что

ТртЦ- 1)Г3(Рт(£-1))-1фз = 0, 3 =0,1,... ,т — 1.

Это доказывает, что 1(5) С кег Трт(£-1) = кег Тц. То, что все элементы подпространства кег Трт(£-1) являются элементами линейной оболочкп системы 5, вытекает из следующих соображений. Рассмотрим сопряженный оператор (Трт(£-1))*. Нетрудно убедиться в том, что он является оператором Теплица и имеет в качестве символа многочлен Р* (О = ЕГ=о а1 £к, если Р*(£) = £*=0 ак£к. При этом ак £ А*, где А* = {а* £ ¿(И) : а £ А}. Ясно, что А* — унитальная КБ А без радикала и к оператору Тр^ применима теорема 5. Условия разрешимости

/ Г-к-1(Р*(£))-1 /(О ^ = 0, к = 0,1,..., т — 1, г

уравнения Тр^ ф = / можно записать в виде условий ортогональности правой части некоторой системе элементов, являющихся элементами ядра сопряженного оператора. При этом линейная оболочка этой системы ввиду нормальной разрешимости оператора Тр^ совпадает с ядром оператора (Тр^)*. Учитывая, что (Тр^(£))* = Трт(£-1), а упомянутая система элементов есть 5, убеждаемся в справедливости теоремы. >

5. О матричных теплицевых операторах

В этом параграфе будем предполагать, что И = Сп и, что зафиксирован некоторый базис. Тогда, очевидно, символ теплицева оператора есть матрица-функция порядка п. Пусть А(£) = (а^к(£)) £ Ш(Г,Р(Сп)), через (А(£))х = (Акз-(£)) будем обозначать присоединенную матрицу. Разумеется, в приведенных записях Акз (£) — алгебраическое дополнение элемента ащ(£) матрицы-функции А(£). Ясно, что если А±(£) £ Ш±(Г,Р(Сп)), то и (А±(£))х £ Ш±(Г,£(Сп)).

Теорема 7. Пусть А+(£) £ Ш+ (Г,Р(Сп)) такова, что det А+(£) = Р(£), где Р(£) — многочлен. Тогда, если Р(£) = 0, £ £ Г, то оператор Теплица ТА+ : ¿+(Г, Сп) ^ ¿+(Г, Сп) обратим слева. Если выполнены условия

п .

Е / £*-8-1(Рт (£))-1 (£)/ (£) = 0, 3 = 1,2,..., в = 0,1,..., т — 1, к=1 г

ТО уравнение ТА+ Ф = Р, где Ы£), ф2(£), ..., Фп(£))Т, Р(£) = (/1 (£), Я£), ..., /п(£))Т, разрешимо. При выполнении этих условий единственное решение уравнения Та+ Ф = Р имеет вид Ф(£) = (А+(£))-1 Р(£).

Теорема 8. Пусть А-(£) £ Ш-(Г, Р(Сп)) такова, что det А-(£) = Р(£-1), где Р(£) — многочлен. Тогда, если Р(£) = 0, £ £ Г, то оператор Теплица Та- : ¿+(Г, Сп) ^ Р+(Г, Сп) обратим справа. Имеет место вложение 1(5) С кег та-, где 1(5) — линейная оболочка системы элементов Б = (Рт(£-1))-1 фз,3 = 0,1,...,т — 1}, причем —

И

6. О двумерных теплицевых операторах

Положим Г2 = Г х Г ¿2(Г2) = ¿2(Г, ¿2(Г))) Ш(Г2) = Ш(Г, Ш(Г)), Т±±(Г2) = Т±(Г, Т±(Г)), Ш±±(Г2) = Ш±(Г,Ш±(Г)). Введем также следующие обозначения: Ш±ЧГ2) = Ш±+(Г2) + Ш±_(Г2), Ш^(Г2) = Ш+±(Г2) + Ш_±(Г2).

Оператор проектирования па подпространство Т±±(Г2) будем обозначать Р Двумерным теплпцевым оператором называют оператор та : Т++(Г2) ^ Т++(Г2), действующий по правилу ф(е,п) ^ Р++А(е,п)Ф(е,п) гДе А(е,п) £ Ш(Г2). Функцию А(е,п) называют символом оператора ТА.

До сих пор наиболее общим результатом для оператора Та : ¿++(Г2) ^ ¿++(Г2) является следующий критерий нетеровости, полученный И. Б. Симоненко [4].

Теорема 9. Оператор Та : Т++(Г2) ^ Т++(Г2) нетеров тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет условиям:

1) а(е,п) =0 (е,п) £ Г2;

2) шё^ а(е,п) = а(е,п) = 0.

Та

В этом параграфе рассматривается нетеров двумерный оператор Теплица с символом а(е,п) = а_1(п)е_1 + «0 (п) + «1 (п)е где а^ (п) £ Ш(Г) к = —1,0,1.

Пусть Ь(е,п) = Ь2(п)е2 + Ь1(п)е + Ь0(п) вде Ь2(п),Ь1 (п),60(п) £ Ш(Г) и функции 62 (п), 60 (п) не являются тождественными нулями. Нас будут интересовать корни уравнения Ь(е, п) = 0 в предположении, что иеременная п £ Г фиксирована. Ясно, что имеются два кривых корня е = е1 (п) е = е2(п), определяемых по стандартным формулам. Однако эти корни не обязаны обладать, вообще говоря, никакими свойствами непрерывности

п £ Г

тельных условиях о кривых е = е1 (п^ е = е2(п) можно утверждать, что они обладают, в некотором смысле, такими свойствами. Например, имеет место следующее утверждение.

Лемма 5. Пусть 6(е,п) = 0 (е,п) £ Г2 и шё^ 6(е,п) = 1- Тогда

б(е,п) = ¿0(п)(е — е1(п))(1 — е2_1(п)е)

и кривые нулей е = е1 (п^ е = е2(п) таковы, что

|6(п)1 < 1, Vп £ г, |е2(п)1 > 1, Vп £ Г и е1 (п) £ Ш(Г), е_1 (п) £ Ш(Г).

< Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3. >

Замечание. В представлении 6(е,п) = ^0(п)(е—е1(п))(1—е2~1 (п)е) квадратного трехчлена, удовлетворяющего условиям леммы 5, ^(п) = 0, п £ Г и ^(п) = 6(е,п) Лемма 6. Пусть а+^(е,п) £ Ш+^(Г2) и допускает представление

(е, п) = а (е, п)а+_ (е, п)а_+ (е, п)а++ (е, п)еп,

где п £ а а±т(е,п) £ Ш±Т(Г2), причем а+_(е,п) £ СШ+• (Г2). Тогда оператор Теплица Та+. допускает представление

Т1 Л?-? гт1 гт1 гт1 гт1

а+* = Та+-Т а Та~+ Та++ .

а(е, п)

Р(е,п) = еа(е,п) = а_1(п) + а0(п)е + а1(п)е2.

Очевидно, р(£,п) = 0 (£,п) £ Г2 и в сиу свойств индекса р(£,п) = 1)

р(£,п) = 0 Согласно лемме 5 и замечанию к ней найдутся функции £ = £1 (п) ? £ = £2(п) такие, что |£1 (п)| < 1 (Vп £ Г), |£2(п)I > 1 (VП £ Г) &(п) £ Ш(Г), £-1(п) £ Ш(Г), и при этом имеет место равенство

р(£,п) = ¿о(п)(£ — £1(п))(1 — £-1 (п)£).

Отметим, что (п) £ Ш(Г), й0(п) = 0 П £ Г и (п) = р(£,п) = 0. Хорошо

известно [2], что при выполнении последних условий функция ^0 (п) £ Ш(Г) допускает каноническую факторизацию в Ш(Г): ^0(п) = й-(п)^+(п)- Принимая во внимание приведенные факты, представим символ в следующем виде:

а(£,п) = й- (п) (1 — £1 (п)£-1 )(1 — £-1 (п)£) (п).

В силу свойства частичной мультипликативности отсюда следует, что

Та = Т^-(п) Т(1-£1 (п)£-1 )(1-£-1 (п)£) Тй+(п). Поскольку операторы Т^- (п), Т^+(п) обратимы и при этом

(Т^-(п) )-1 = Т(й-(п))-1, (ТЙ+ (п))-1 = Т(^+(п))-1,

то поведение оператора Та определяется поведением оператора Т(1-£1 (п)£-1 )(1-£-1 (п)£)' В связи с этим символ (1 — £1 (п)£-1 )(1 — £-1(п)£) и соответствующий ему оператор Тепли-

Г1-£2

ца будем называть модельными. Отметим, что операторы Теплица ^^(^£-1, Т^-!^^

обратимы и при этом

Т1-£1 (п)£-1 = Е (Р++(£1(п)£-1 )Р++)3, Т1-£-1 (п)£ = Е (Р++(£--1 (п)£)Р++)3.

Запишем модельный символ в виде

а(£,п) = £-1(£ — £1(п))(1 — £-1(п)£).

В силу свойства частичной мультипликативности отсюда имеем

Та = Т£-1 Т(£-£1(п))(1-£2-1 (п)£).

Поскольку (£ — £1(п))(1 — £ -1 (п)£) £ Ш+^(Г2), то из

(£ — £1 (п)) (1 — £-1 (п)£) = а-- (£, п)а+- (£, п)а-+ (£, п)а++ (£, п)£,

следует, что

гт1 гт1 гт1 гт1 гт1 гт1

Т(£-£1 (п))(1-£-1 (п)£) = Т«+-Т«--Т«-+ Т£ Т«++. Отсюда имеем следующее представление оператора Теплица:

Та = Т£-1 Т(£-£1 (п))(1-£2-1 (п)£) = Т(£-£1 (п))(1-£-1 (п)£) = Т£-1 Та+-Та--Та-+Т£ Та++. Теперь рассмотрим уравнение

Т(1-£1(п)£-1 )(1-£-1(п)£) Ф++(£,п) = /++(£,п).

Ввиду полученного представления, имеем

Т^-1 Та+-Та--Та-+ Т Та++ ф++(е,п) = /++(е,п).

Откуда получаем

Та+-Т1_?1 (п)?-1 Та++Ф++(е,п) = с+(п)+е/++(е,п),

где с+(п) £ кег Т^-1. Положим

б+_(е,п) = (а+_ (е,п))_1 = Е б-(п)е^.

Тогда последнее равенство равносильно следующему:

T1-fl(n)f-i Tf Ta++ ф++(£,п) = Tb+-c+(n) + Tb+-£/++(£,n).

Но тогда

£о++(£,п)Ф++ (£,n) = E (P++^i(n)e-1 P++ ' E P++6"(n)£jP++c+(n)+ /++(£,n),

fcez+ jez+

где

б+_(е,п) = Е 67(п)е^, /++(е,п) = ть+-е/++(е,п). е=0

Е (Р++е1 (п)Р+)кР++6_(п)Р+с+ (п) = —/++(0,п).

к€Ж+

Нетрудно видеть, что имеет место равенство

Е (Р+е1Р+)кР+6_Р+=Р+б+_(Ып),п)Р++Е ((Р+е1 Р+)кр+Ь_Р+—(Р+б_екР+)).

кеж+ кеж+

Лемма 7. Оператор

K = Е ((P+^i(n)P+)kP+b-(n)P+ - (P+6-(n)£? (n)P+))

вполне непрерывен в пространстве Р+(Г).

Таким образом, приходим к следующему уравнению:

(P+6+- (£1 (n), n)P + + K) c+ (n) = -/++ (0, n).

Лемма 8. Оператор Теплица P+6+-(£1(n),n)P+: L+(r) ^ L+(r) обратим.

< В самом деле, из то го, что 6+ (£,n) ^ GW + (Г2), следует, что 6+ (£,n) = 0 |£| ^ 1 |n| ^ 1- Поэтому, в частности, 6+ (£1 (n), n) =0 П ^ Г. Кроме того, в силу гомотопической инвариантости индекса и того, что

1(1 - A)6(n) + А| < |1 - A||£1(n)| + |А| < 1, A е [0,1],

имеем

М6+-(£1 (п),п)=^6л(п), 6л(п) = 6+-((1 — Л)£1(п) + Л,п), Л £ [0,1].

пег пег

Но indпег Ь1(п) = indпег 6+ (1,п) = 0 поэтому indnег 6+ (£1(п),п) = 0. Выполнение условий 6+ (£1 (п), п) =0, п £ Г и indпег 6+ (£1(п),п) = 0 влечет за собой обратимость оператора Р+6+-(£1 (п),п)Р + : ^+(Г) ^ ¿+(Г) (см. [21). >

Пользуясь леммой 8, запишем уравнение для функции с+ (п) в виде

с+(п) + К с+(п)= /+(п),

где

К = (Р+б+-(£1(п),п)Р^-1К, /2(п) = — (Р+б+-(£1 (п),п)Р+)-1/1(п).

Очевидно, это уравнение является уравнением Фредгольма второго рода в пространстве £+(Г). Будем называть это уравнение определяющим.

Теорема 10. Определяющее уравнение с+ (п)+Кс+(п) = /+(п); построенное по уравнению Таф++ = /++ при помощи модельного оператора, равносильно этому уравнению в том смысле, что 1)

оператор Та обратим и единственное решение уравнения Таф++ = /++ при любой правой части определяется формулой

ф++(£,п) = (а++)-1Р++£-1( Е (Р++£1£-1Р++)' Е Р++67£3Р++с+ (п)+/++ (£,п)1,

где с+ (п) — решение неоднородного определяющего уравнения;

2) если однородное определяющее уравнение имеет конечное число линейно независимых решений, а правая часть /++(£, п) такова, что неоднородное определяющее уравнение разрешимо, то уравнение Таф++ = /++ разрешимо и его общее решение имеет вид

Ф++(£,п) = (а++)-1Р++£-1( Е (Р++£1£-1Р++)к Е Р+Ч-£'Р++с+ (п)+/++ (£,п)1,

где с+ (п) — общее решение неоднородного определяющего уравнения.

Литература

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.—640 с.

2. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.-352 с.

3. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.—Кишинев: Штиинца, 1973.—426 с.

4. Симоненко И. В. О многомерных дискретных свертках // Мат. исследования.—Кишинев: Штиинца, 1968.—Вып. 1.-С. 298-313.

Статья поступила 26 августа 2016 г.

Пасенчук Александр Эдуардович Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

ON SPLITTING POLYNOMIALS WITH COEFFICIENTS FROM COMMUTATIVE BANACH ALGEBRAS

Pasenchuk A. E.

The problem of decomposition of polynomials with coefficients from a unital commutative Banach algebra into a product of polynomials with coefficients in the same algebra is considered. Sufficient conditions for the existence of such decomposition and its construction are indicated. Some applications in the theory of Toeplitz operators on a circle and a torus are given. In particular, the equivalent regularization for a two-dimensional Toeplitz operator with a special symbol is derived. Equations generated by the corresponding Toeplitz operators in the spaces of measurable square-integrable vector-valued functions on the circle and measurable square summable functions are examined. This leads to the construction of equivalent regularizers for the described Toeplitz operators. The regularizer construction turns out to be equivalent to right canonical Wiener-Hopf factorization of some matrix function built from the symbol in a case of vector functions. An equivalent regularizer is built in explicit form for a two-dimensional Toeplitz operator with a special symbol.

Key words: polynomial, commutative Banach algebra, decomposition of a polynomial, Toeplitz operator, regularization.