Оператор теплица на торе и задача о следах для аналитических функций двух комплексных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

ОПЕРАТОР ТЕПЛИЦА НА ТОРЕ И ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДВУХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Посвящается 70-летию профессора Игоря Борисовича Симоненко

© 2006 г. А.Э. Пасенчук

++ 2

The bidimentional Ta Toeplitz operator in the L2 (Г ) space with the symbol of a special type is considered, and also the boundary problems for a function of two complex variables connected with this operator are considered. The problem about the description of defective spaces of the Ta operator is reduced to analysis of some one-dimensional full singular operator in the L2 (Г) space.

Введение

Пусть Г = {^е С :|4|=1>, Г2 = ГхГ . Через

¿2 (Г), ¿2(Г2) будем обозначать стандартные гильбертовы пространства измеримых, суммируемых с квадратом функций, определенных на Г, Г2. В пространствах ¿2(Г), ¿2(Г2) введем проекторы

Р± =-(/ ± S); Р± = Р±® I; Р± = I ® Р±; 2

Р±± = Р± ® Р±, порождаемые оператором сингулярного интегрирования (Бр)(4) = V.р.— 1Г ^(г).

Положим Р± (¿2(Г)) = ¿±(Г);

Р±(¿2(Г2)) = ¿±(Г2); Р±(¿2(Г2)) = ¿±(Г2);

Р±± (¿2 (Г2)) = ¿±± (Г2); Р±т (¿2(Г2)) = Ь±т (Г@).

Будем рассматривать также коммутативные банаховы алгебры Ш(Г), Ш(Г ) функций, определенных

на Г и Г2, разлагающихся в абсолютно сходящиеся ряды Фурье. Хорошо известно, что введенные выше операторы проектирования могут быть определены и

на пространствах Ш(Г), Ш(Г ). Положим Ш + (Г) = Р + (Ш(Г)); Ш0- (Г) = Р- (Г);

W ++ (Г2) = P++ (W(Г2)) ;

Ш- (Г) = Ш0- (Г) © С; Ш + (Г2) = Р + (Г2); Ш + (Г2) = Р + (Ш(Г2)); Ш+-(Г2) = Ш + (Г)-(Г); Ш"+ (Г2) = Ш-(Г)® Ш+ (Г);

Ш " (Г 2) = Ш - (Г) ® Ш - (Г).

++ 2

В пространстве Ь2 (Г ) будем рассматривать те-плицев оператор

Т а = Р ++ «(#,7)Л1тР++, (1)

для которого получен ряд фундаментальных результатов. Их подробный обзор имеется в [1-3]. Наиболее значительным из них вплоть до настоящего времени является критерий фредгольмовости, полученный И.Б. Симоненко [4, 5].

Теорема И.Б. Симоненко. Оператор (1) фред-

гольмов в пространстве 1+ + (Г2) тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет условиям:

2) ш^а(^п) = т^а(^п).

При выполнении этих условий индекс оператора

(I) равен нулю.

Хорошо известно, что выполнение условий 1), 2) влечет за собой факторизацию символа (см., например, [1]):

а(£ п) = а - (£ п)а+- (4,л)а"+ (4, п)а++ (4, П (2) В.С. Рабинович [6] показал, что если в представлении (2) отсутствует один из факторизационных

множителей а-+ (4, п) или а+- (4, п), то оператор Та

+__+ 2

обратим в пространстве ЬУ(Г ). Л.И. Сазонов [7] обобщил этот результат, показав, что утверждение об обратимости сохраняется и в том случае, когда

а+- (4, п) = (1 - п+ (#)п_1)_1,П+ (4)6 Ш+(Г). Аналогичные утверждения об эквивалентности фредголь-мовости и обратимости оператора (1) для других классов символов были получены В. А. Малышевым [8], С. Ошером [9], автором [10]. Р.Г. Дуглас и Р. Хоув

[II] привели пример символа, порождающего фред-гольмов, но необратимый оператор Та .

Рассмотрим оператор (1) с символом вида -1

+ + + (3)

a(Ç,rj) = a- (Ç,rj)1 ni(n)n _ а+ (#,n)a++ (#,n),

1-V2(n)eta а±± e GW±± (Г2),

а_+ (£n) e GW"+ (Г2),

1) а(#,п) * 0,(#,П) 6 Г

2

где

П (Е) е W (Г), (#)|<1,#еГ.

Разумеется, представление (3), вообще говоря, не является факторизацией (2), но от него легко перейти к факторизации, выписав факторизационные множи-

1 — п (Ля"1

тели (по переменной Е) для функции-1--.

1—Я2(Е)п_1

Ниже для оператора с символом (3) задача об описании дефектных подпространств этого оператора сведена к аналогичной задаче для некоторого одномерного полного сингулярного оператора, получены необходимые и достаточные условия обратимости в терминах этого оператора, указываются частные символы вида (3), для которых фредгольмовость влечет обратимость, строится некоторая задача о следах для аналитических функций двух комплексных переменных и устанавливаются связи между решениями этой задачи и уравнения, порождаемого оператором (1), (3).

Вспомогательные результаты

Условимся сначала о некоторых обозначениях и

сокращениях.

2

Пусть функция а(%,п) е W(Г ) удовлетворяет условиям И.Б. Симоненко:

1) а(%, п) * 0;2)1М % а(%, п) = а(%, П) = 0 .

Тогда, как известно (см., например, [10, 12]), существует такая ветвь функции 1п г, что

1па(%,п) е W(Г ). Это, в частности, означает, что

2

семейство функций ал (%, п) = ехр(Л1п а(%,п)) е

Г (Г"),

Ле [0,1] гомотопирует функцию а(%,п) к 1. В связи с этим тот факт, что функция удовлетворяет условиям 1), 2), будем для краткости записывать следующим образом: а(%, п) «1.

Лемма 1. Пусть а~+ е^ + (Г2), а~+ (%,п)«1

и функция такова, что |п(%)| < 1. Тогда след

а~+ (%,п(%)) является элементом алгебры и удовлетворяет условиям:

1) а~+ (%,п(%)) * 0, %еГ;

2)1М %а"+ (%,п(%)) = 0.

Доказательство. Поскольку а(%,п) ~ 1, то а(%,п) * 0,(%,п): % е Г,| п 1. Тогда, очевидно, а~+ (%, п(%)) * 0, % е Г. Кроме того, по формуле Коши

"(£гО = — Ц

1 г a-+ (£r)

dп, что обеспечивает

Следствия:

1) если сГ+ (%,п) eW"+ (Г2),a~+ (g,rf) ~ 1, то

a"+ (£0) e GW (Г);

2) если a~+ (£,r) eW"+ (Г2), a~+ (£,r) ~ 1, то

a (£0) e GW- (Г);

3) если a~+ (£,r) eW"+ (Г2), a~+ (£,r) ~ 1, то

а~+ (%,0) е GW+(Г).

Для операторов вида (1) имеет место свойство частичной мультипликативности, состоящее в том, что если символ оператора (1) допускает представление

а(%, п) = а-- (%, п)с(%, п)а++ (%, п), где

а" (%,п) е W" (Г2), с(%,п) еW(Г2),

++ 2 а (%, п) е W + +(Г ), то для теплицева оператора (1)

имеет место равенство Ta = T__TcT

a a

Если к тому же a (£, r) e GW- (Г2),

(см. [11]).

a++ (£,r) e GW++ (Г2), то операторы T__, T ++

aa

-1

обратимы и при этом (T__) = T

(Ta++ )-1= Tb++ ,

b±± = (a ±± )-1.

Учитывая сделанные замечания, при изучении вопросов фредгольмовости и обратимости оператора (1) с символом (3) достаточно рассматривать оператор (1)

с символом (3) при а (%,п) = 1, а++ (%,п) = 1. Более

того, мы можем считать, что а~+ (%,0) = 1. В связи с этим мы ниже рассматриваем теплицев оператор с символом

a(£r) =

_ 1 -п(£)п

-1

- a"+ (£,п), a"+ (£,0) = 1. (4)

1 -%(%)п

Пусть символ оператора (1) имеет вид (4). Стандартным образом уравнение

++ ++ ++ ++ 2 ++ ++ 2 ТаФ = / , V е ¿2 (Г ), / е ¿2 (Г )

может быть дополнено до краевой задачи Римана на 2

торе Г (см. [1, 5]):

а(%,п)ф++ (%,п) + (%,п) +

+ р"+ (£,п) + (£r) = f++ (£,r)-.

(5)

где р++, f++ e L+2+ (Г 2),

Р+- e L+- (Г2),

2П Г п-п(#)

выполнение условия а(%,п(%)) е Г.

Построим семейство функций ал(%,п) = а~+ (%,Лп + (1 -Л)п(%)), где п- фиксированная точка Г, а Л е [0,1]. В силу выпуклости круга | Лп + (1 -Л)п(%)|<1 и поэтому ал(%,п) * 0 при любых (%, п): % е Г, | п 1, Л е [0,1]. Но тогда шА %а(% ,п(%)) = ш^а^п) = \пА^а(%,п) = 0.

^"+е ¿-+ (Г2), V е ¿-"(Г2).

Воспользовавшись представлением (4), умножим (5) на 1 -п2(%)п_1 и спроектируем полученное равенство на подпространство £-+ (Г2):

(1 - ш(%)п_1)а+ (%, п^++ (%, п) + п (%)п-V + +(%,0) +

+(1-п2(%)п_1>~+ (%,п)+%(%)п^-+(%,0)=^ + (%,п),

где ^++ (%,п) = Р+ (1 -п2(%)п_1)/++ (%,п). Отсюда, полагая

т-+ = V++ (%,п)+ь(%,п)v"+ (%,п),

Ь-+ (%,п) = (а "+ (%,п))-1, получаем

(/-п_1(п1(%)^+ + п2 (%)Р~ (%,п) = = ь-+(%,п)(^-+(%,п) -

- п-1(щ (%^++ (%,0) + п2 (%^++ (%,0)). (6)

Обозначим через и = и(п), п е Г оператор, действующий в пространстве

¿2(Г): и = п~1(т(%)Р ++п2(%)Р").

Лемма 2. Спектральный радиус оператора и может быть найден по формуле

Брги = шах(шах | п(%) |,тах | п2(%) |).

%еГ %еГ

Доказательство. В самом деле, оператор Л1 - и может быть представлен в виде

Л1 - и = (Л-п~1т(%))Р ++ (Л-п~1п2(%))Р~ , т.е. является оператором краевой задачи Римана на окружности, зависящим от параметра п . Пользуясь критерием его обратимости [12], приходим к доказываемой формуле.

Следствие. Если функции п (4) в условиях леммы 2 таковы, что | п(4) |<1, 4 6 Г, к = 1,2, то Брг^ < 1.

Вернемся к уравнению (6). В силу следствия к лемме 2 оператор I - и обратим и обратный к нему оператор может быть записан в виде ряда Неймана. Но тогда уравнению (6) можно придать следующую форму:

х

¥+ (4п) = X икь+(4п)( ^ + (4,п -

]=0

- п"1(п1 (4)р++ (4,0)+П2 (4)р"+ (4,0)). Пользуясь тем, что ¥(4) = ¥+(4,0) = р++ (4,0) + р"+(4,0), получаем следующее уравнение в пространстве ¿2 (Г):

х

¥(4) + X (Ш4)Р ++П2(4)Р-)]ь;-+1(4)(щ(4)Р + +

]=0

(7)

1

- (П+1(4)b~+iP + +n2+1(4)b-+iP-). В силу следствия к лемме 3 spr(n1 (4)P + + П2(4)P~) < 1, поэтому

(щ(#) P ++П2(4) P -)j

< да.

где /(4)=— \п (I - и)-1ь+ (4п)(44л)*п -

2т

коэффициенты ряда Фурье функции:

х

ь-+ (4п): ь"+(4п) = X Ь]- (4)П

]=0

Проведенные нами рассуждения приводят к следующему результату.

Теорема 1. Уравнение Тар++ = /++,

р++6 ¿++ (Г2), /++6¿++ (Г2), имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение уравнение (7). Утверждение теоремы 1 означает, что построенная

для каждого решения уравнения Тар++ = /++ функция ¥ (4) = ¥+ (4п) = р++ (4,0) +р"+ (4,0) удовлетворяет уравнению (7). И наоборот, каждое решение уравнения (7) порождает решение уравнения с теплицевым оператором при помощи уравнения (5), которое после

подстановки функций р++ (4,0), р"+ (4,0) является краевой задачей Римана с параметром, имеющей единственное решение при любой правой части.

Рассмотрим оператор, порождаемый правой частью уравнения (7):

х

А = I + X (п(4)Р + +П2(4)Р-)}ь -+1(4)(п(4)Р + +

] =0

+ П>(4)Р-), А : ¿2 (Г) ^ ¿2 (Г), и оператор

А = ь-+ (4,П1(4))Р+ + ь-+ (4п(4))Р+, А: ¿2(Г) ^(Г).

В силу леммы 1 каждая из функций ь~+ (4,п(4)), ь~+ (4,п2(4)) гомотопна 1, оператор А обратим в пространстве ¿2 (Г) .

Лемма 3. Оператор К = А - А вполне непрерывен в пространстве ¿2 (Г) .

Доказательство. В самом деле,

х

к = X ((п(4)Р + +

] =0

+ п (4)Р -)] ь-+1 (4)(п (4) Р + + п (4) Р-) -

X

]=0

Кроме того,

8рг(п/+\4)ь-+1(4)Р ++П+\4)ь-+1(4) Р -) <

<8]+1тах| ь}+1(4) |, 4бГ

где 8 = тах(тах | п(4) |,тах | %(4) |) < 1.

4бГ 4бГ

Но тогда ряд, определяющий оператор К , сходится абсолютно и для доказательства леммы достаточно убедиться в том, что вполне непрерывным является каждое его слагаемое.

Покажем, что для любых ь(4) и ] 6 2 + оператор

к, = (п(4)Р + +П2(4) Р-) ]ь(4)(т(4)Р + +

+ п2 (4Р) - (п]+1 (4)ь(4) Р+ + п2" (4)ь(4) Р~)

вполне непрерывен в ¿2 (Г).

Доказательство проведем индукцией по ] 6 2 + . Непосредственный подсчет показывает, что К0 = 0,

К = (%(4) - п (4))(Р~ь(4)п (4)Р + - Р+ь(4)т(4)Р~).

В силу свойств сингулярных операторов [13] оператор К1 вполне непрерывен (для оператора к0 это очевидно). Предположим, что утверждение справедливо при ] = и . Тогда

Кп+1 = (П2(4) -п(4))(Р- (п(4))п+1ь(4))Р + -- Р + (П2(4))п+1ь(4)) Р - + (п(4)Р + +П2(4)Р -) Кп.

Очевидно, в правой части последнего равенства каждое слагаемое является вполне непрерывным оператором, что и доказывает утверждение.

Из теоремы 1 и леммы 3 вытекает следующая Теорема 2. Характер обратимости оператора (1), (3) определяется характером обратимости полного сингулярного оператора

х

X = ь+(4,п(4))Р+ + ь+(4,п(4))Р~ + к, к = Xк.-

j+h

j=1

в том смысле, что dim ker Ta = dim ker X,

dim co ker Ta = dim co ker £. Уравнение Tap++ = f++, p++ е L++ (Г) f++ е L++ (Г) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение (£Т)(Е) = f (Е), где функции Т(Е), f (Е) описаны выше.

Следствие. Оператор Ta с символом

1 -ni(4)ni-1

1

-a++ (4,П),

а(4П) =а (4,п , т

1 -п(4)п ь0 + ьг(4)П"

т 6 2+ фредгольмов в пространстве тогда и только тогда, когда является обратимым.

Доказательство. В рассматриваемом случае оператор задачи (7) имеет вид

А = I + (n(4)P+)m-1bm (4П(4) P +. в силу очевидной оценки

(n(4) P + )m-1bm (4)т(4) P+

^ (max| m(4) l)mmax|bm(#)|<1 оператор A обратим и

4еГ 4еГ

поэтому, согласно теореме 2, обратим и оператор Ta .

Замечание 1. При m = 1 следствие вытекает из результата, полученного Л.И. Сазоновым [7].

Замечание 2. Если известен обобщенный обратный оператор к оператору, порожденному полным сингулярным уравнением (7), то на основании (5) может быть построен обобщенный обратный оператор к оператору (1), (3). В частности, для оператора, рассмотренного в следствии, может быть построен обратный оператор.

Задача о следах для аналитических функций двух комплексных переменных

Отыскание условий разрешимости и нахождение общего решения уравнения (7) представляет собой принципиально сложную задачу и может быть осуществлено в явной форме лишь в некоторых частных случаях. В связи с этим рассмотрим здесь один прием, при помощи которого иногда удается построить решение уравнения (5), а, следовательно, и уравнения, где символ имеет вид (3).

Пусть а(4), Ь(4), тщ(4), %(4) eW (Г), причем | nk (4) l< 1. Под задачей о следах будем понимать задачу о нахождении функций р++ (4,%(4)), Ср~+ (4,щ(4)), являющихся следами р++(4,п)е¿++ (Г2), (р~+ е L-+ (Г2), по следующему условию

а(4)р++ (4, V2 (xi)) + Ь(4)р"+ (4, тц (xi)) = h(4), (8)

4еГ, где h(4) е ¿2(Г).

Теорема 3. Если а(4) Ф 0, Ь(4) Ф 0, 4еГ и ind а(4) = ind гЬ(4), то задача о следах (8) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Задача (8), очевидно, равносильна следующей задаче:

А(4)р++ (4, П2 (4))+р"+ (4, т (4)) = h (4),

4 е Г, (9)

где А(4) = а(4)Ь"1(4), h1(4) = h(4)b"1(4). Ясно, что А(4) е W(Г); А(4) Ф 0, 4 е Гind^А(4) = 0, а

h1 (4) е ¿2 (Г). Отметим, что в силу свойств А(4) найдется такая ветвь функции ln z , что lnА (4) е W (Г).

В пространстве W (Г ) рассмотрим краевую зада-

чу Римана 1 -71(4)7

Поскольку 1 П1(4)П | еW(Г2), задача (10) 1 -П2(#)П_1

имеет единственное решение при любой правой части (см. [5]). С другой стороны, разделив (10) на (п - П1(4)) и проинтегрировав по п, получим

Р++ (4,%(4)) + Р~+ (4п(4)) = Р (4), #еГ, (11) г^гч 1 г / (4,П)

где Р (4) =-/Г .

2п п-П1(#)

Выберем в качестве правой части уравнения (10)

тогда

-1

—^ (4,п)+р (4,п) +

1 -V2(4)V~1 + р+- (4, п) + +р-- (4, п) = / (4, п).

(10)

функцию /(4,п) = (1 -Щ(#)п_1)1п Л(4) Р(4) = 1пЛ(4). Обозначая решение задачи (10) с выбранной правой частью через р±± (4,п), получим

1пЛ(4) = р++ (4, п2 (4)) + Р"+т (4, П1 (4)). Потенцируя, получим следующую факторизацию функции Л(4):

Л(4) = х++ (4,п2(4))(х "+ (4,п(4)))-1, (12)

где X-+ (4,п) = ехр(р0++ (4,п)) е ОШ++ (Г2),

(X-+ (4,п))-1 = ехр(р0-+ (4,п)) е СГ "+ (Г 2). Пользуясь формулой (12), преобразуем (9) к следующему виду:

Ф++ (4,п2(4))+ф-+(4,п(4)) = ¿2(4), 4е г , (13) где ф++ (4, П2 (4)) = X++(4, П2 (4))р++ (4, П2 (4)), ф-+(4, п2 (4)) = х - + (4, п2 (4))р-+ (4, П2 (4)),

¿2(4) = х-+(4,Ш(4))Л|(4).

Рассматривая задачу Римана (10) в пространстве

2

¿2 (Г ) и сделав преобразования, аналогичные проведенным выше, получим

р++ (4, П2 (4)) + р"+ (4, П1 (4)) = Р (4), причем

Р (4) = 2- п

2п п-П1(4) Выберем функцию /(4,п) следующим образом:

/(4,п) = (1 -П1(4)П_1)^2(4) и соответствующее решение задачи (10) обозначим через Ф±± (4,п). Тогда

ф++ (4, П2 (4)) + Ф-+ (4, П1 (4)) = ¿2(4), 4 е Г .Это означает, что функции

р++ (4, П2 (4)) = (X++ (4, П2 (4)))-1 ф++ (4, П1 (4)),

р-+(4, П2 (4)) = (X -+ (4, П2 (4)))-1 ф-+(4, П1 (4)) являются решением задачи (9).

Для п(4) е^ (Г):|п(4)1<1 обозначим через Рп4)

оператор проектирования Рп4) : ¿2+ (Г2) ^ ¿2 (Г), действующий по формуле Рп(4)Ф + (4,П) = Ф+ (4,П(4)). Положим ° = ( Рп2(4)( Ь+ + ))1(Рп2(4)(£-+)). Очевидно, подпространство Б порождает подпространство решений однородного уравнения (11). Но тогда общее решение

задачи о следах (8), (9) может быть записано следующим образом:

р++ (4, п (4)) = (X++ (4, п(4)))-1 (Ф++ (4, П4)+8(4))), р-+ (4, п (4)) = (X-+ (4, п(4)))-1 (Ф-+ (4, п(4) + 8(4))),

где 8(4) 6 Б .

Рассмотрим краевую задачу Римана (5), предполагая, что функция а(4, п) имеет вид

а(4п) = 1 -п(4П 1 а( ++)(4,п). Разделив (5) на

1 -%(4П

1 -П1(4)П_1 и проинтегрировав, получим

а++ (4, п (4))р++ (4, п (4)) + р"+(4, п (4)) = ^ (4), (14)

где , 1г/П-.

2п п-П1(4)

Задача (14), очевидно, является задачей о следах, причем а(4) = а-+ (4,п2(4)), ь(4) = 1. Отсюда, пользуясь общим решением задачи о следах и тем, что в силу (5)

п(4)р++ (4,0)+п2(4)р-+(4,0) = = ^++ (4, т (4)) - (п (4) - п (4))р"+(4, п (4)),

получаем, что (5) представляет собой одномерную задачу Римана с параметром, имеющую единственное решение при любой правой части. В некоторых случаях (когда известно описание множества Б) это позволяет провести полное исследование оператора (1).

Отметим, что иногда множество Б тривиально, что позволяет однозначно определить следы

р++(4п2(4)), р"+ (4,п1(4)). Наприм^ если п (4) = п (4) 6 ш " (Г), п (4) = п+ (4) 6 ш+(Г), то

р++ (4п2(4)) 6 ¿+(Г), р-+ (4,п-(4)) 6 ¿-(Г) и (8) представляет собой краевую задачу Римана с коэффициентом а+ (4п(4)), гомотопным 1.

Пример. Рассмотрим оператор (1) с символом

а(4п) = (1 -а4тп_1)(1 |«|<1, | в |<1,

т 6 N. Очевидно, этот символ есть функция вида (4)

с п(4) = 4 , 72(4) = 0, а-+ (4,п) = 1 -Р4~п. Задача (8) в рассматриваемом случае имеет вид р"+ (4,4) + р++ (4,0) = /++ (4,4). Из последне-

го соотношения вытекает, что

х т-1 ,

р(4п)= X Xррs(Гтп)4п , где

к=0я=0

р « 6 ¿2(Г),р+ (0) = 0, и

о х т-1 , о

р-+ (4Ш12 = X X ||р+«)||2.

к=0я=0

С другой стороны, из (5) следует, что р-+ - а(1 - р4~1п)Р~+ (4тп"1(1 - в4Л)-1 р~+ (4, а4т)) =

F++ (£n) =

=(1_ߣ mn)P~+((i_ß^^1n)_1C/++(£n)-^"VV

Поскольку

X m_ 1 , , X

р"+ ) = s SP+ (a)ak#s+mk = S ®+ (a)#j,

k=0s=0

j=0

= F ++(£n),

где

где (а) = çck+y (a)ak , если j = 5 + "k , то предыдущему равенству можно придать следующую форму:

х m_1 ,

S Sp+ _

k=05=0

, , X ~

_aßmnm_1(1 _ßrlV) (a)ßV = F++ (#,П).

j=0

Полагая n = a^m , получаем

Ф+ (#) _ amßm#m(m_1^+ (aß#m ) = i~++ (£ a#m ), (15)

X

где Ф+ (#)= S®y+ (a)^.

j=0

Уравнение (15), рассматриваемое в ¿+(Г), порождает обратимый оператор в этом пространстве. Это объясняется тем, что оператор B : £+(Г) ^ ¿+(Г);

(ВФ+ )(#) = a"ß"^"("-1)ф+ (aß#m ), очевидно, является сжатием. Пользуясь этим, можно выписать решение уравнения (15), т.е. найти след р"+ ). Это позволяет найти решение уравнения (5) в случае, когда a(4,n) = (1 _n_a#mn_1)(1 _ß#_1n). Таким

образом, оператор T обратим в пространстве

+ 2

¿2 (Г ) при любых m e N.

Литература

1. Малышев В.А. // Итоги науки и техники. Мат. статистика, теор. кибернетика. М., Т. 13. С. 5 - 35.

2. Пресдорф З. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1988. Т. 27. С. 5 - 130.

3. Meister E., Speck F.-O. // Trends in Applications of Pure Mathematics to Mechanics. L., 1979. Vol. 2 (H. Zorkied.), Р. 217 - 262.

4. Симоненко И.Б. // Мат. исследования. Кишинев, 1968. Т. 3. Вып. 1. С. 298 - 313.

5. Симоненко И.Б. // Мат. сб. 1967. Т. 74. Вып. 2. С. 108 - 122.

6. Рабинович В.С. // Теория функций, функц. анализ и их приложен. 1967. Вып. 5. С. 59 - 67.

7. Сазонов Л.И. // Докл. АН СССР. 1973. Т. 203. №

4. С. 1288 - 1291.

8. Малышев В.А. // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. № 6. С. 1066 - 1069.

9. Osher S.J. // Pacif. J. Math. 1970. Vol. 34. № 1. Р. 123 - 129.

10. ПасенчукА.Э. // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. №

5. С. 1066 - 1069.

11. Douglas R.G., Howe R. // Trans. Amer. Math. Soc., 1971. Vol. 158. № 1. Р. 203 - 217.

12. Сазонов Л.И. // Мат. исследования. Кишинев,

1974. Т. 9. Вып. 2. С. 126 - 138. одномерных сингулярных операторов. Кишинев,

13. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию 1973.

Ростовский государственный университет_14 февраля 2006 г.