Об обратимости операторов линейного сопряжения с поточечно коммутирующими коэффициентами в счетно-нормированных пространствах гладких функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1

УДК 517.9 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-47-51

ОБ ОБРАТИМОСТИ ОПЕРАТОРОВ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ С ПОТОЧЕЧНО КОММУТИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

© 2017г. А.Э. Пасенчук

ON THE REVERSIBILITY OF LINEAR CONJUGATION OPERATORS WITH POINTWISE SWITCHING COEFFICIENTS IN COUNTABLY NORMED SPACES

OF SMOOTH FUNCTIONS

A.E. Pasenchuk

Пасенчук Александр Эдуардович - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры и дискретной математики, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: pasenchuk@mail.ru

Alexander E. Pasenchuk - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science,Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, email: pasenchuk@mail.ru

В счетно-нормированном пространстве гладких функций, принимающих значения в банаховом пространстве, рассматривается оператор линейного сопряжения с поточечно коммутирующими коэффициентами. Этот оператор является обобщением классического оператора краевой задачи Римана. Развитие теории оператора Римана и родственных операторов нашло отражение в известных монографиях Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга, Н.Я. Крупника, И.Б. Симоненко, З. Пресдорфа, А.П. Солдатова и др. Несмотря на такое обилие публикаций, задача Римана с вырождающимися коэффициентами к настоящему времени изучена недостаточно полно. В частности, отсутствуют критерии обратимости и конструкции обратных операторов в счетно-нормированных пространствах даже в самых простых случаях. В работе применена методика изучения оператора, предложенная И.Б. Симоненко, согласно которой нетеровость (обратимость) оператора Римана равносильна некоторой факторизации его коэффициентов. Последняя определяется пространством, в котором рассматривается оператор, и классом коэффициентов. В связи с этим в работе вводится и изучается понятие гладкой вырожденной факторизации функций со значениями в коммутативных банаховых алгебрах. Кроме того, вводится понятие взаимной простоты функций со значениями в банаховых алгебрах. Даются описания этих понятий в терминах поведения их преобразований Гельфанда. Приводятся критерии обратимости и указывается конструкция обратного оператора к оператору линейного сопряжения.

Ключевые слова: оператор, линейный, сопряжение, вырожденная, факторизация, обратимость, критерий, конструкция.

In countably normed space of smooth functions with values in a Banach space, we consider the operator interface with linear pointwise switching coefficients. This statement is a generalization of the classical operator Riemann boundary value problem. Development of the theory of Riemann operator and related operators is reflected in the well-known monographs by F.D. Gakhov, N.I. Muskhelishvili, I.N. Vekua, M.G. Kreyn, I.Ts. Gohberg, N.Y. Krupnik, I.B. Simonenko, S. Presdorf, A.P. Soldatov and others. Despite this abundance of publications, the Riemann problem with a degenerate coefficients have been studied insufficiently. In particular, there are no criteria of reversibility and construction of inverse operators in the countably normed space, even in the simplest cases. The paper used the method of studying the operator proposed I.B. Simonenko whereby Noether (of invertibility), the operator of Riemann is equivalent to a factorization of its coefficients. The latter is determined by the space in which the operator is considered and class factors. In this regard, the work is introduced and studied the concept of smooth singular factorization offunctions with values in a commutative Banach algebras. In addition, the concept of mutual simplicity offunctions with values in Banach algebras. Give a description of these concepts in terms of the behavior of the Gelfand transformation. Criteria of of invertibility, and points back to the operator to operator construction of linear conjugation.

Keywords: operator, line, pair, degenerate, factorization, invertibility, criterion, construction.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Введение

Будем пользоваться стандартными обозначениями 2, Я, С для множеств целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Введем также следующие подмножества этих множеств: 2+={] е 2: ] > 0}, 2_ = 2 \ 2+; Г=£е С: Щ = 1} £+={|е С: 1} = С \ Б+, Б± = Б± и Г.

Пусть Ь - банахово пространство, т е 2+ . Через Wm (Г, Ь) обозначим множество В -значных функций вида

а,- < а> II jllA

Wm (Г, Ь) = | Л(0 = 2 а^ : е Ь, 2 (] + 1)т

[ ] ]

Будем считать, что в Wm (Г, Ь) определены поточечные линейные операции, а топология порожда-

ется нормой

Z а Л3'

^(1 3+1)'

а J . Относи-

II 3IIA

тельно введенных операций и топологии Wm (Г, Ь) является банаховым пространством. Положим W00(Г,Ь) = nWm(Г,Ь) и введем в W00(Г,Ь) счетно-

mеZ+

нормированную топологию, порождаемую полным монотонным набором норм Ц*Ц , m е 2+.

Рассмотрим следующие подалгебры топологической алгебры Wm (Г, Ь):

Wm(Г,Ь) = Ь: а, = 0, ] е 2_ 1,

W(Г,L) = а3%3 : а, = 0, j = 1,2,...}

, где

m е 2+ и {о}. Ясно, что W+ (г, Ь) П W_ (г,Ь) = Ь .

Пусть Р+ :Wm(Г,Ь)^W+(Г,Ь) - оператор проектирования, действующий по формуле

(

Pi

Л

Z а, ^

eZ

= X а/13 . Через F обозначим до-

V1е2 У 1е2+ полнительный к оператору Р+ проектор Р~ = I _ Р+, где I - тождественный оператор, действующий в пространстве Wm (Г, ь) .

Отметим, что если Ь = А - банахова алгебра с единицей, то Wm (Г, А), m е 2+ и {о}, есть топологическая алгебра относительно поточечных операций и описанной выше топологии с той же единицей. Ясно, что Wm (Г, А) есть подалгебры этой алгебры. Очевидно, что если А - коммутативная ба-

нахова алгебра (КБА), то и Wm (Г, A), m е Z+ , также является КБА.

Пусть L - банахово пространство; EndL - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве L , I е EndL -тождественный оператор.

В настоящей работе рассматривается оператор

линейного сопряжения Ra b = a(£,)F+ + Ъ(£,)Р" : W„(r,L)^W„(r,L), где a(#),Ъ(§)е W00(r,A), а A с End L - банахова алгебра с единицей I.

Оператор Ra,b и родственные ему операторы при различных предположениях изучались в огромном количестве оригинальных работ, ссылки на которые можно найти в монографиях [1-11]. Отметим, что наиболее полные результаты для этих операторов получены в банаховых пространствах. Некоторые частные операторы Ra,b : W00(r,L)^ W00(r,L) рассмотрены в монографиях [8, 11], где имеются указания на оригинальные работы. Особо отметим результат Б. Зильбер-манна [12], получившего необходимость критерия

нетеровости оператора Ra,ъ в случае L = Cn . Однако даже в простейшем случае L = C не указан критерий обратимости оператора Ra b и не построен оператор Ra,b )"1.

Ниже дается критерий обратимости оператора Ra,b : W»(r,L)^ W0(r,L) с поточечно коммутирующими коэффициентами для произвольного пространства L и приводится конструкция обратного оператора.

Вспомогательные результаты

Пусть MA - пространство максимальных идеалов КБА A, m е Z+. Для хе MA, £,0 еГ и

a(^)= X aj^j еWm (Г, A) построим функционал

jеZ

Х^ (a(^)) = a(^0, х) = X x(ay )^0 . Нетрудно видеть, что

Х^0 есть линейный ограниченный мультипликативный функционал на КБА Wm (Г, A). Если a(%) е W« (Г, A), то аналогичным образом функционал Х^0 может быть определен для х е MA и

50 е D± .

Лемма 1. Пространство максимальных идеалов КБА Wm (Г, A) имеет вид

MWm(Г,A) = Х#0 :&еГ, хеMA}

т

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Лемма 2. Пространство максимальных идеалов КБА Я* (Г, А)

имеет вид

А)={хо еб1,х еМА).

Следствие 1. Преобразованием Гельфанда элемента а(^)е Ят (Г, А) (а(^)еЖ*(Г, А)) является

функция а(§, х) = Е х(ау ^, (§, х) е Г х МА

7е2

(§, х)е Б±х мА). Следствие 2. Элемент а(%)еЖт (Г, А)

(а(^)е^(Г,А)) обратим в ^(Г,А) (ж±(Г,А)) тогда и только тогда, когда его преобразование Гельфанда удовлетворяет условиям а(£х)* 0, х)е Г х МА

(а(§, х) * 0, (§, х) е Г х МА; Ыа($, х) = 0, х е Ма) .

для взаимной простоты элементов а(^), Ь(£,) в алгебре Жт (Г, А).

Отметим, что условий леммы 4 достаточно для взаимной простоты элементов не только в случае, когда А является С -алгеброй, но и для некоторых других алгебр. Например, это свойство имеет место для коммутативных матричных алгебр [11].

Предположим, что пространство максимальных идеалов КБА А представимо в виде дизъюнктного объединения конечного числа компо-

г

нент МА = и М , а Р}, ] = 1,2,...,г , - набор

7 =1

идемпотентов, соответствующий этому разложению [13].

Определение. Будем говорить, что функция а(%)еЖх(Г,А) допускает вырожденную факторизацию типа «минус» в алгебре яЦг, А) с частными индексами к ■, ] = 1,2,...,г , и записывать

Лемма 3. Радикал КБА Wm(Г, A) имеет вид a(?)e Fact_(к, W0(Г, A)), к = (к1;

г ),

если

Rad Wm (Г, A) = е Wm (Г, A): a, e Rad A V/

j

. /

( \ 1 f „

(%) = v.p.— J —^-dt,, который будем называть

x)

Следствие 3. КБА Ят (Г, А) полупроста тогда

и только тогда, когда КБА А является полупростой.

Пусть А - КБА с единицей; а(#) е Ят (Г, А); те 2+ и Н; х е МА. Положим 2а(х) ={;еГ:а(£,х) = 0} и обозначим через па (х) число нулей функции а(^, х) с учетом крат-ностей. Если па (х)<да, то для элементов из ЯДГ, А) определен функционал

а^, х)

т г а(

сингулярным индексом функции а(^, х).

Пусть А - алгебра. Элементы а, Ь е А будем называть взаимно простыми слева (справа) в алгебре А, если найдутся такие с, й е А , что ас + Ьй = е (са + йЬ = е). Разумеется, в случае коммутативной алгебры понятия взаимной простоты слева и справа совпадают. В этом случае будем говорить о взаимной простоте элементов а, Ь е А.

Лемма 4. Если элементы а(^),Ь(^)еЖт(Г,А), т е взаимно просты в алгебре Жт (Г, А),

то для любого хе МА 2а (х)П 2Ь (х) = 0 . Если А - С -алгебра, то последнего условия достаточно

a(?)= a_(?)s ja+(?), где a+(?)e GW+(r, A), а

j=l

a'ffieW'fi, A), при любом фиксированном е D~, a_(?0 )е GA и, если (a"(?)]_

то IlbJ < c(j +l)"

= 2 bj 5j,

/eZ+

для некоторых c > 0 и

^ .....

me Z+.

Аналогичным образом определяется вырожденная факторизация типа «плюс» в алгебре W00(r, A) и вводится обозначение a(§) е Fact + (к, W0 (Г, A)). Впрочем, свойство a(?)e Fact + (к, W0 (Г, A)) тогда и

только тогда, когда )е Fact_(_к,W00(r,A))

может быть использовано в качестве определения вырожденной факторизации типа «плюс» в алгебре

Wo(r, A).

Теорема 1. Если a(?)e Fact ±(r,W00(r, A)),

то:

1) при любом фиксированном % е MA число нулей преобразования Гельфанда факторизуемой функции конечно: na (%)<о;

2) число нулей, сингулярный индекс и частные индексы факторизации на каждой компоненте связности пространства максимальных идеалов КБА A связаны соотношением na (%)±кс (a)= 2кj,

X е M, j = 1,2,..., г.

к

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

то

Если КБА A такова, что ||a|| < c max Iy(a}, ' 1111 zefflA1^*'

выполнения условий 1), 2) достаточно для того,

чтобы a{§) е Fact + (к, W»(г, a)).

Замечание 1. Если A - коммутативная С -алгебра, то условия 1), 2) необходимы и достаточны для существования вырожденной факторизации типов «плюс» и «минус», а условие 2) можно рассматривать как средство вычисления частных индексов соответствующей факторизации.

Лемма 5. Пусть a(^) = a1(^)a+(^), ь(0 = biteHO, где a^),b(§) е W»(r, A), a +(#)eW0+(r, A), è"(^)eW"(r, A). Тогда имеет место равенство Rab = RalARa+ b .

Обратимость оператора линейного сопряжения

Пусть EndL - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве L .

1) для любого X е МА каждая из функций а(%, х), Ъ(%, х) имеет на г не более чем конечное множество нулей конечных кратностей;

2) 2а (х) П 2ъ (х) = 0, хе МА;

3) Па Х) + К (а) = щ (х)_кс (ъ), хе ма. Предположим, что условия теоремы 2 выполнены

и а(%) = а~(%)2 , Ъ(%) = Ъ_(%)2 С]Р]Ъ+(£) -

1=1 1 1=1 1 соответствующие факторизации коэффициентов оператора Яа ъ . Тогда, ввиду леммы 5, имеет место

равенство Rab =

с r ^

z P,

\j

=i

j

R

- , +R + , -

a ,b a ,b

. Из опре-

/

деления вырожденной факторизации вытекает, что

г к .

в этом равенстве операторы 2 % ]P], Яа + ь_ обра-

1=1 а , тимы, и при этом нетрудно убедиться в том, что

( r \

z ^ P

-1

U=1

/

r

= z S Kj P j j=1 j

= R,

(а +)_1,(Ъ )_1 .

Рассмотрим оператор линейного сопряжения СлеДовательно, обратимым талдатга и оператор Яа,ъ = а(%)Р+ + Ъ(%)Р_ : ^0о(Г,Ь) ^ W0(Г,Ь), предполагая, что а(%), Ъ(%)е W0(Г,End Ь).

Очевидно, что обратимость оператора Яа Ъ влечет за собой взаимную простоту слева операторов

Я _ ,+ . В связи с этим нашей целью является по-

а ,Ъ

строение оператора Я_ ь+1"1. Проблема заключается в том, что коэффициенты этого оператора а_(%), Ъ+(%), вообще говоря, необратимы в алгебре

умножения a(5)l, Ъ(5)1 в алгебре Wo(r;EndL). Этот w(г, A). Тем не менее имеет место следующее ут-простой факт уточняет в случае, когда A с End L - верждение. КБА, следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть a(^), A с End L - КБА с един Ra,b : W0(r,L)^ W0(r,L) обратим тогда и только

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1), 2)

компоненты соответст-

Те°рема 2. Пусть a(Ç\b(^)еWoo(г,A), где теоремы 2 и b+(£) -

A œ End L - КБА с единицей I. Оператор вующих факторизаций функций a(^), b(^). Тогда

тогда, когда найдется такая КБА A : A с A с End L, что выполнены условия:

оператор

k - ,b + )" = a+fe)P+(a +(^))-1 Hf / +

+ b~®P "(a +(Ç)]-1 (b "(Ç)]-1

I ограничен в пространст-

1) коэффициенты a(^), b(^) взаимно просты в ве Wo (г, L) и является обратным к оператору R

алгебре ^(г, II);

Замечание 2. Операторы умножения на функ-+ t

что

2) найдется вектор к = (кьк2,...,кг)е2г такой, ции (а +(%))_1, (ъ"(%)]_1, вообще говоря, не определены и (или) не ограничены в пространстве ^0(Г, Ь).

a(#)e Fact- (к, (г, а)), ô(#)e Fact+ (к, Wœ (г, A)).

Если при этом А - С -алгебра, то А = А. Следствие 4. Пусть А - С -алгебра, а(%),Ъ(%) е Wо (Г, А). Оператор

Ra,b : W»(r,L)^ W»(r,L) обратим тогда гда, когда выполнены условия:

и только то-

Слагаемые в выражении для оператора Я_ ь+1"1

определяются корректно с использованием условия 1) теоремы 2 [11].

Литература

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. 640 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962. 599 с.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

3. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., 1971. 352 с.

4. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.

5. Малышев ВА. Случайные блуждания. Уравнения Винера - Хопфа. Автоморфизмы Галуа. М., 1970. 201 с.

6. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. Кишинев, 1984. 138 с.

7. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977. 424 с.

8. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979. 493 с.

9. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М., 1991. 207 с.

10. Симоненко И.Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих. Ростов н/Д., 2007. 120 с.

11. Пасенчук А.Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности. Ростов н/Д., 2013. 280 с.

12. Зильберманн Б.О. сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций // Мат. исследования. 1971. Т. 6, № 3. С. 168-179.

13. Шилов Г.Е. О разложении коммутативного нормированного кольца в прямую сумму идеалов // Мат. сб. 1953. Вып. 32. С. 353-364.

References

1. Gakhov F.D. Kraevye zadachi [Boundary-value problems]. Moscow, 1977, 640 p.

2. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow, 1962, 599 p.

3. Gokhberg I.Ts., Fel'dman I.A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convolu-

tion equations and projection methods for their solution]. Moscow, 1971, 352 p.

4. Gokhberg I.Ts., Krupnik N.Ya. Vvedenie v teoriyu odnomernykh singulyarnykh integral'nykh operatorov [Introduction to the theory of one-dimensional singular integral operators]. Chisinau, 1973, 426 p.

5. Malyshev V.A. Sluchainye bluzhdaniya. Uravneniya Vinera - Khopfa. Avtomorfizmy Galua [Random walks. The Wiener-Hopf equations. Galois automorphisms]. Moscow, 1970, 201 p.

6. Krupnik N.Ya. Banakhovy algebry s simvolom i singulyarnye integral'nye operatory [Banach algebras with symbol and singular integral operators]. Chisinau, 1984, 138 p.

7. Monakhov V.N. Kraevye zadachi so svobodnymi granitsami dlya ellipticheskikh sistem uravnenii [Boundary value problems with free boundaries for elliptic systems of equations]. Novosibirsk, 1977, 424 p.

8. Presdorf Z. Nekotorye klassy singulyarnykh uravnenii [Some classes of singular equations]. Moscow, 1979, 493 p.

9. Soldatov A.P. Odnomernye singulyarnye operatory i kraevye zadachi teorii funktsii [One-dimensional singular operators and boundary value problems of function theory]. Moscow, 1991, 207 p.

10. Simonenko I.B. Lokal'nyi metod v teorii inva-riantnykh otnositel'no sdviga operatorov i ikh ogibayu-shchikh [Local method in the theory of operators invariant with respect to translation and their envelopes]. Rostov-on-Don, 2007, 120 p.

11. Pasenchuk A.E. Diskretnye operatory tipa svertki v klassakh posledovatel'nostei so stepennym kharakterom povedeniya na beskonechnosti [Discrete operators of convolution type in classes of sequences with power-law behavior at infinity]. Rostov-on-Don, 2013, 280 p.

12. Zil'bermann B. O singulyarnykh operatorakh v prostranstvakh beskonechno differentsiruemykh i obobshchennykh funktsii [On singular operators in spaces of infinitely differentiate and generalized functions]. Mat. issledovaniya. 1971, vol. 6, No. 3, pp. 168-179.

13. Shilov G.E. O razlozhenii kommutativnogo normirovannogo kol'tsa v pryamuyu summu idealov [On the decomposition of a commutative normed ring into a direct sum of ideals]. Mat. sb. 1953, iss. 32, pp. 353-364.

Поступила в редакцию /Received

11 ноября 2016 г. /November 11, 2016